ĐỀ KIỂM TRA HSG LỚP 12 NĂM HỌC 2010-2011 Ngày thi: 22/10/2010 MÔN: TOÁN Mã đề 01 Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề) Câu I (5 điểm) 1) Cho hàm số 3 2 3 3 1 , 2 2 y x mx m m= − + ∈ ¡ a ) Khảo sát vẽ đồ thị của hàm số khi b) Tìm m để đồ thị hàm số có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng y x= 2) Giải phương trình a) 5 os2 2cos 3 2tan c x x x + = + b) 1 ln(1 ) x e x= + + Câu II (5 điểm) 1) Cho phương trình: 2 2 2cos2 sin .cos sin . os (sin cos )x x x x c x m x x+ + = + với m là tham số. a) Giải phương trình khi m = 2. b) Tìm m để phương trình có nghiệm 0; 2 x π   ∈     2) Giải phương trình: 1 8 (1 )(8 ) 3x x x x+ − − + + − = Câu III (2 điểm) Giải hệ phương trình: 3 3 3 2 2 1 19 6 x y x y xy x  + =   + = −   Câu IV (5 điểm) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Trên AB lấy điểm M, trên CC’ lấy điểm N, trên D’A’ lấy điểm P sao cho với 0 x a≤ ≤ 1) Chứng minh rằng tam giác MNP là tam giác đều. Tính diện tích tam giác MNP theo a và x. Tìm x để diện tích ấy nhỏ nhất. 2) Khi 2 a x = hãy tính thể tích khối tứ diện B’MNP và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện đó. Câu V (3 điểm) Trong mặt phẳng oxy cho ABC∆ có cạnh AB, BC lần lượt có phương trình 5 2 7 0; 2 1 0x y x y+ + = − − = . Biết phân giác trong góc A có phương trình 1 0x y+ − = . Tìm tọa độ điểm C của tam giác. ĐỀ KIỂM TRA HSG LỚP 12 NĂM HỌC 2010-2011 Ngày thi: 22/10/2010 MÔN: TOÁN Mã đề 02 Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề) Bài I (5đ) 1) Cho hàm số 3 3 3 1,y x mx m m= − − + ∈ ¡ a ) Khảo sát vẽ đồ thị của hàm số khi b) Tìm m để đồ thị hàm số có các điểm cực đại và cực tiểu đồng thời cách đều đường thẳng y x= 2) Giải hệ phương trình 2 2 1 2 2 (2 2) 1 x y x y x y y  + + = +  − − =  Bài II (5 đ) 1) Cho có , ,a b c là độ dài các cạnh, , , a b c h h h là các đường cao tương ứng và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác. Chứng minh rằng : 1 1 1 ( )( ) 18 a b c ab bc ca R h h h + + + + ≥ 2) Tìm giới hạn lim 2 2 2 2 . 2 3 n n K →∞    ÷ = − + + + +  ÷   (n dấu căn) Bài III (4 đ) 1) Chứng minh rằng có duy nhất một điểm thuộc đồ thị hàm số 3 2 3 2y x x= − + mà qua điểm đó chỉ kẻ được một tiếp tuyến với ( )C 2) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số Bài IV (3 đ) Tìm số hạng chứa 4 x trong khai triển sau ( ) ( ) ( ) ( ) 4 5 6 15 1 1 1 . 1S x x x x= + + + + + + + + Bài V (3đ) Cho tứ diện ABCD có ABC∆ vuông tại A, DBC∆ vuông. Biết ; 3;AB a AC a DA DB DC= = = = . Tính thể tích tứ diện ĐỀ KIỂM TRA HSG LỚP 12 NĂM HỌC 2010-2011 Ngày thi: 22/10/2010 MÔN: TOÁN Mã đề 03 Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề) Câu I (6 điểm) 1) Cho hàm số 3 2 2 9 12 4y x x x= − + − a ) Khảo sát vẽ đồ thị của hàm số. b) Tìm m để phương trình 3 2 2 9 12x x x m− + = có 6 nghiệm phân biệt. 2) Giải phương trình a) 1 4 (1 )(4 ) 5x x x x+ + − + + − = b) 1 1 2 2 cos sinx x − = − Câu II (4 điểm) 1) Tìm m để phương trình sau có đúng 2 nghiệm dương 2 2 4 5 4x x m x x− + = + − 2) Chứng minh rằng với mọi a, b, c dương ta có 3 2 a b c b c c a a b + + ≥ + + + Câu III (2 điểm) Giải hệ phương trình: 2 2 1 2 2 x y x x y y x x y + −  + = +   − = −   Câu IV (4 điểm) Cho hàm số 3 2 3 2y x x mx= − − + . Tìm m để hàm số có CĐ và CT đồng thời hai CĐ, CT của đồ thị cách đều đường thẳng (d) có phương trình 1y x= − Câu V (4 điểm) Trong mặt phẳng oxy cho ABC∆ có (1; 1), ( 2;1), (3;5)A B C− − . Viết phương trình đường phân giác trong góc A và tính diện tích tam giác đã cho. ĐỀ KIỂM TRA HSG LỚP 12 NĂM HỌC 2010-2011 Ngày thi: 22/10/2010 MÔN: TOÁN Mã đề 04 Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề) Câu I (6 điểm) 1) Cho hàm số 3 3 2y x x= − + a ) Có bao nhiêu tiếp tuyến đi qua ( 1;3)A − . b) Tìm trên đường cong trên những điểm M sao cho qua M chỉ có thể vẽ được duy nhất một tiếp tuyến với đường cong. 2) Giải hệ phương trình : a) 2 2 ln(1 ) ln(1 ) 2 5 0 x y x y x xy y + − + = −   − + =  b) 2 2 cos 1 2 cos 1 2 y x x y  = −     = −   Câu II (4 điểm) 1) Chứng minh rằng mọi số dương x ta có a) 2 1 2 x x e x> + + b) 3 sin 6 x x x x− < < 2) Cmr với 0; 2 x π   ∈  ÷   ta có sin tan 2x x x+ > và 2sin tan 3x x x+ > Câu III (4 điểm) a) Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số đôi một khác nhau mà trong đó chỉ có một chữ số chẵn. b) Tính 5 4 1 2 1 2 lim 1 x x x T x → − + − = − Câu IV (3 điểm) Cho hàm số 3 2 2 2 3 3( 1) 3 1y x x m x m= − + + − − − .Tìm m để hàm số có CĐ và CT đồng thời hai CĐ, CT của đồ thị cách đều gốc tọa độ. Câu V (3 điểm) Trong tam giác ABC lấy điểm M bất kỳ sao cho · · · MAB MBC MCA ϕ = = = chứng minh rằng : 3 )sin sin( ).sin( ).sin( ) )cot cot cot cot a A B C b A B C ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ = − − − = + + ĐỀ KIỂM TRA HSG LỚP 12 NĂM HỌC 2010-2011 Ngày thi: 22/10/2010 MÔN: TOÁN Mã đề 05 Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề) Câu I (5 điểm) Cho hàm số 4 2 2 ( 9) 10y mx m x= + − + a ) Tìm m để hàm số có 3 cực trị b) Tìm m để đồ thị hàm số cắt ox tại 4 điểm phân biệt lập thành cấp số cộng c) Tìm m để hàm số 3 2 ( 1) ( 1) 2 1y x m x m x m= − − − − + − cắt ox tai 3 điểm phân biệt lập thành cấp số cộng Câu II (5 điểm) a) Cho hàm số 2 2 ( ) x x e f x e e = + Tính tổng 1 2 2009 ( ) ( ) . ( ) 2010 2010 2010 S f f f= + + + b) Tìm GTLN và GTNN của hàm số trên đoạn ln 2;ln 5     Câu III (3 điểm) a) Giải phương trình 2 2 (1 sin )cos (1 os )sin 1 sin 2x x c x x x+ + + = + b) Giải phương trình 3 3 3 2 5 3 7 5 2x x x− + + = + Câu IV (4 điểm) Tìm hệ số của số hạng chứa 26 x trong khai triển sau : 7 4 1 n x x   +  ÷   biết 1 2 20 2 1 2 1 2 1 . 2 1 n n n n C C C + + + + + + = − Câu V (3 điểm) Trong mặt phẳng oxy cho đường tròn có phương trình : 2 2 ( 1) 1x y+ − = . Chứng minh rằng với mỗi điểm M trên đường thẳng 3y = luôn tìm được hai điểm A,B trên trục ox sao cho các đường thẳng MA,MB là các tiếp tuyến của đường tròn.Khi đó hãy viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác MAB. ĐỀ KIỂM TRA HSG LỚP 12 NĂM HỌC 2010-2011 Ngày thi: 22/10/2010 MÔN: TOÁN Mã đề 06 Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề) Câu I (6 điểm) 1) Cho hàm số 3 3 2y x x= − + a ) Biện luận số nghiệm của phương trình 3 2 3 2 3 2 3 2x x m m− + = − + b) Với mỗi điểm M trên đường cong có thể vẽ được bao nhiêu tiếp tuyến với đường cong. 2) a) Không dùng máy tính hãy tính sin ,sin 12 10 π π b) Trong tam giác ABC với AM là trung tuyến, · · ;MAB MAC α β = = chứng minh rằng cot cot cot cotC B α β + = + Câu II (4 điểm) a) Cho hàm số 4 ( ) 4 2 x x f x = + Tính tổng 1 2 2010 ( ) ( ) . ( ) 2011 2011 2011 S f f f= + + + b) Tính lim 2 2 2 2 . 2 2 n n K →∞    ÷ = − + + + +  ÷   (n dấu căn) Câu III (3 điểm) a) Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số đôi một khác nhau mà trong đó chỉ có 2 chữ số lẻ. b) Tìm hệ số của số hạng chứa 3 x trong khai triển 2 10 (1 )x x+ + Câu IV (4 điểm) Cho 3 2 2 2 2( 1) ( 4 1) 2( 1)y x m x m m x m= + − + − + − + . Tìm m để hàm số có cực trị 1 2 ,x x thỏa mãn 1 2 1 2 1 1 1 ( ) 2 x x x x + = + . Câu V (3 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A và AB=AC=1; Các cạnh SA=SB=SC=3.Gọi M,N lần lượt là trung điểm AC và BC.Trên cạnh SA,SB lần lượt lấy P,Q sao cho SP=BQ=1.Tính thể tích tứ diện MNPQ . ĐỀ KIỂM TRA HSG LỚP 12 NĂM HỌC 2010-2011 Ngày thi: 22/10/2010 MÔN: TOÁN Mã đề 01 Thời gian làm bài: 180 phút. 1 0x y+ − = . Tìm tọa độ điểm C của tam giác. ĐỀ KIỂM TRA HSG LỚP 12 NĂM HỌC 2010-2011 Ngày thi: 22/10/2010 MÔN: TOÁN Mã đề 02 Thời gian làm bài: 180 phút