VẤN ĐỀ 2 NHỊ THỨC NEWTON A/ CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NHỚ: II)Tam giác Pascal: (Hệ số của đa thức trong công thức Newton) B/ CÁC DẠNG TOÁN CẦN LUYỆN TẬP: 1) Dùng công thức nhò thức Newton để khai triển nhò thức. 2) Tìm số hạng không chứa biến, số hạng tổng quát thứ k+1, số hạng chính giữa,… trong khai triển nhò thức. 46 I)Công thức nhò thức Newton: 1)Với mọi số tự nhiên 1n ≥ và với mọi cặp số(a;b), ta có: ( ) nn n 1n1n n 1 kthứquát tổng hạngSố kknk n 22n2 n 1n1 n n0 n n bCabC .baC .baCbaCaCba +++++++=+ −− + −−−    2)Dùng dấu Σ, ta có thể viết công thức nhò thức Newton dưới dạng sau: ( ) ∑∑ = − = − ==+ n 0k knkk n n 0k kknk n n baCbaCba 3)Vài khai triển nhò thức Newton thường gặp: ( ) n n 1n n knk n 2n2 n 1n1 n n0 n n CxC xC xCxCxC1x +++++++=+ −−−− ( ) ( ) ( ) n n n knk n k 2n2 n 1n1 n n0 n n C1 xC1 xCxCxC1x −++−+−+−=− −−− ( ) ( ) ( ) nn n n kk n k 22 n 1 n 0 n n xC1 xC1 xCxCCx1 −++−+−+−=− II)Tính chất: 1)Số các số hạng của công thức bằng n+1. 2)Tổng các số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng số mũ của nhò thức (n -k) + k = n. 3)Số hạng tổng quát thứ k+1 có dạng kknk n1k baCT − + = (k = 0,1,….,n) 4) + n chẵn: Số hạng chính giữa là 1 2 n T + + n lẻ: Hai số hạng chính giữa là 2 1n T + & 1 2 1n T + + 5)Các hệ số nhò thức cách đều hai số hạng đầu và cuối bằng nhau. 6) ( ) n n k n 1 n 0 n n n C C CC112 +++++=+= (Tổng các hệ số của các số hạng trong sự khai triển của nhò thức bằng 2 n ). 7) ( ) ( ) ( ) n n n k n k 1 n 0 n n C1 C1 CC110 −++−++−=−= .CC CC 3 n 1 n 2 n 0 n ++=++⇔ (Tổng tất cả các hệ số đứng ở các vò trí lẻ bằng tổng tất cả các hệ số đứng ở các vò trí chẵn). 1)Dạng 1: 1 6 15 20 15 6 1 :6n 1 5 10 10 5 1 :5n 1 4 6 4 1 :4n 1 3 3 1 :3n 1 2 1 :2n 1 1 :1n 1 :0n = = = = = = = 2)Dạng 2: 1 6 15 20 15 6 1 :6n 1 5 10 10 5 1 :5n 1 4 6 4 1 :4n 1 3 3 1 :3n 1 2 1 :2n 1 1 :1n 1 :0n = = = = = = = 3) Dùng công thức nhò thức Newton để tính tổng hoặc chứng minh một đẳng thức chứa các số tổ hợp. BÀI TẬP Bài 1: Khai triển ( ) 6 y2x + ; 5 2 x 1 x       − ; ( ) ( ) ( ) 654 1x1x22x3 −−++− ; ( ) 6 1x + Bài 2: Tìm hệ số của x 3 trong khai triển biểu thức : (x + 1) 2 + (x + 1) 3 + (x + 1) 4 + (x + 1) 5 + (x + 1) 6 Bài 3: Trong khai triển nhò thức n x 1 x       + , hệ số của số hạng thứ ba lớn hơn hệ số của số hạng thứ hai là 35. Tìm số hạng không chứa x của khai triển nói trên. (Đề thi TN THPT Kì I 1996-1997) Bài 4 : Tìm số hạng không chứa ẩn x, số hạng chính giữa trong khai triển nhò thức Niu-Tơn: 12 1       + x x .(Đề thi TN THPT Kì I 2000-2001) Bài 5: Tính tổng 5 5 54 5 43 5 32 5 21 5 0 5 C2C2C2C2C2C +++++ Bài 6: Chứng minh rằng : 1) n 5 n 4 1n n C 1n 4 . 3 n C 3 4 2 n C 2 4 1 n C41 =+ −− +++++ 2) 0 n n nC 1n )1( . 4 n C4 3 n C3 2 n C2 1 n C = − −++−+− 3) n1 1 1n 2 n1 n n C . 31 3 n C 21 2 n C 11 1 n C 0 n C + − + = + ++ + + + + + + Bài 7: Tổng các hệ số trong khai triển nhò thức n3 2 nx2 1 nx2       + bằng 64. Hãy xác đònh số hạng không chứa x. Bài 8: Với giá trò nào của x, số hạng thứ ba trong khai triển ( ) 5 xlg xx + bằng 100? Bài 9 : Tìm số hạng không chứa ẩn x, trong khai triển của luỹ thừa: 10 x 6 x1       ++ . Bài 10 : Tìm số hạng thứ năm trong sự khai triển của ( ) n 1 3 22 − − , nếu số hạng cuối cùng của sự khai triển bằng 8log 3 3 93 1         . Bài 11: Tìm số tự nhiên n, biết rằng trong dạng khai triển n 2 1 x       + thành đa thức đối với biến x, hệ số của x 6 bằng bốn lần hệ số của x 4 . Bài 12: 1) Tìm 3 hệ số đầu trong sự khai triển của nhò thức Newton của n 4 1 2 1 x 2 1 x         + − ( ) 0x > 2) Xác đònh số mũ n, biết rằng 3 hệ số nói trên lập thành một cấp số cộng theo thứ tự đó. Bài 13: Cho khai triển nhò thức: +                 +         =         + − − −− − − 3 x 1n 2 1x 1 n n 2 1x 0 n n 3 x 2 1x 22C2C22 2 3 x n n 1n 3 x 2 1x 1n n 2C22C .         +                 ++ − − − − − (n là số nguyên dương ). Biết rằng trong khai triển đó 1 n 3 n C5C = và số hạng thứ tư bằng 20n, tìm n và x.(ĐH KHỐI A 2002) Bài 14: Tìm số nguyên dương n sao cho 243C2 .C4C2C n n n2 n 1 n 0 n =++++ .(ĐH KHỐI D 2002) Bài 15: Tìm hệ số của số hạng chứa x 8 trong khai triển nhò thức Niutơn của n 5 3 1 x x   +     , biết rằng n 1 n n 4 n 3 C C 7(n 3) + + + − = + . (n là số nguyên dương, x >0, k n C là số tổ hợp chập k của n phần tử).(ĐH KHỐI A 2003) Bài 16: Cho n là số nguyên dương. Tính tổng : 47 2 3 n 1 0 1 2 n n n n n 2 1 2 1 2 1 C C C . C 2 3 n 1 + − − − + + + + + ( k n C là số tổ hợp chập k của n phần tử )(ĐH KHỐI B 2003) Bài 17: Với n là số nguyên dương, gọi a 3n-n là hệ số của x 3n – 3 trong khai triển thành đa thức của ( x 2 + 1 ) n ( x + 2 ) n . Tìm n để a 3n-n = 26.(ĐH KHỐI D 2003) Bài 18: Tìm hệ số của số hạng chứa x 8 trong khai triển thành đa thức của ( ) 8 2 1 x 1 x   + −   . (ĐH KHỐI A 2004) Bài 19: Tìm các số hạng không chứa x trong khai triển nhò thức Niu-Tơn của: 7 3 4 1 x x   +  ÷   với x > 0. (ĐH KHỐI D 2004) 48 . VẤN ĐỀ 2 NHỊ THỨC NEWTON A/ CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NHỚ: II)Tam giác Pascal: (Hệ số của đa thức trong công thức Newton) B/ CÁC DẠNG TOÁN CẦN LUYỆN TẬP: 1). :0n = = = = = = = 3) Dùng công thức nhò thức Newton để tính tổng hoặc chứng minh một đẳng thức chứa các số tổ hợp. BÀI TẬP Bài 1: Khai triển ( ) 6 y2x +