Đang tải... (xem toàn văn)
Chuyên đề cực trị trong không gian oxyz có lời giải được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 21 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.
www.thuvienhoclieu.com CHUYÊN ĐỀ CỰC TRỊ TRONG KHÔNG GIAN Oxyz I PHƯƠNG PHÁP Để tìm cực trị khơng gian thường sử dụng hai cách làm: Cách 1: Sử dụng phương pháp hình học Cách 2: Sử dụng phương pháp đại số Bài tốn 1: Trong khơng gian (P ) : ax by cz d MA MB Tìm điểm cho điểm M �(P ) A(xA ; yA ; zA ), B(xB ; yB ; zB ) mặt phẳng cho nhỏ MA MB Oxyz, lớn với d( A, (P )) �d(B, (P )) Phương pháp: � Xét vị trí tương đối điểm A, B so với mặt phẳng � (axA byA czA d)(axB byB czB d) � (axA byA czA d)(axB byB czB d) Nếu Nếu (P ) hai điểm hai điểm A, B A, B phía với mặt phẳng (P ) nằm khác phía với mặt phẳng (P ) MA MB nhỏ � Trường hợp 1: Hai điểm Vì A, B A, B khác phía so với mặt phẳng (P ) khác phía so với mặt phẳng M (P ) � AB � Trường hợp 2: Hai điểm Gọi A' đối xứng với A A, B nên MA MB qua mặt phẳng nhỏ nhỏ AB phía so với mặt phẳng (P ) (P ), MA MB MA � MB �A � B Vậy MA MB (P ) A� B khi A' B khác phía (P ) MA MA � nên M A� B �(P ) MA MB lớn � Trường hợp 1: Hai điểm Vì A, B A, B phía so với mặt phẳng phía so với mặt phẳng M (P ) � AB � Trường hợp 2: Hai điểm Gọi A' đối xứng với A A, B (P ) (P ) MA MB lớn AB nên khác phía so với mặt phẳng qua mặt phẳng (P ) , A' B (P ) phía www.thuvienhoclieu.com (P ) Trang www.thuvienhoclieu.com MA MB MA � MB �A � B MA MA � nên MA MB Vậy lớn A� B M A� B �(P ) (P ) Bài tốn 2: Lập phương trình mặt phẳng (P ) (P ) qua đường thẳng qua biết A � khoảng cách từ (Q) tạo với mặt phẳng đến (P ) lớn góc nhỏ (P ) qua tạo với đường thẳng d góc lớn Phương pháp: Cách 1: Dùng phương pháp đại số : x x1 a Giả sử đường thẳng Khi phương trình (P ) có dạng: y y1 b d( A, (P )) Thay (1) vào (2) đặt diễn A, B A (x0; y0; z0) bB cC a ( a �0 ) (1) A2 B2 C2 t Trong c A(x0 x1) B ( y0 y1) C (z0 z1) Khi f (t) z z1 A(x x1) B( y y1) C (z z1) Aa Bb Cc � A Trong B C , ta đươc (2) d( A, (P )) f (t) mt2 nt p m ' t2 n ' t p ' qua C cho C , khảo sát hàm f (t) ta tìm giá trị ta tìm A, B max f (t) Từ suy biểu làm tương tự Cách 2: Dùng hình học Gọi K,H hình chiếu d( A, (P )) AH �AK Hay (P ) Nếu , mà AK mặt phẳng qua K A lên khơng đổi Do , nhận � (Q) � (P ),(Q) 900 uuuu r AK (P ) , ta có: d( A, (P )) lớn H K làm VTPT nên ta xét (Q) khơng vng góc với www.thuvienhoclieu.com Trang www.thuvienhoclieu.com B � Gọi định đường thẳng Hạ Ta có Mà điểm thuộc , dựng đường thẳng qua CH (P ), CK d B vng góc với Góc mặt phẳng (P ) (Q) Lấy điểm mặt phẳng (Q) C cố � BCH BH BK � sin BCH � BC BC BK BC không đổi, nên � BCH nhỏ H �K (P ) (BCK ) � Mặt phẳng cần tìm mặt phẳng chứa vng góc với mặt phẳng Suy uuu r uur uur uuu r � nP � u ,� u ,n � (P ) � � Q � � VTPT Gọi M điểm thuộc cố định đường thẳng Hạ � AMH Mà cos � AMH Ta có KM AM khơng đổi, nên , dựng đường thẳng AH (P ), AK d d' qua M song song với Góc mặt phẳng (P ) d Lấy điểm đường thẳng d' A HM KM � AM AM � AMH lớn H �K (d ', (P ) � Mặt phẳng cần tìm mặt phẳng chứa vng góc với mặt phẳng Suy uuu r uur uur uuur � nP � u ,� u ,u � (P ) � � d ' � � VTPT II CÁC VÍ DỤ Ví dụ Trong khơng gian với hệ toạ độ đề vng góc Oxyz cho A (2;5;3) đường thẳng x1 y z2 d: 2 Tìm tọa độ hình chiếu vng góc A lên d viết phương trình mặt phẳng (P ) chứa đường thẳng d cho khoảng cách từ A đến (P ) lớn Lời giải � Đường thẳng Gọi Do H d có uur ud (2;1;2) hình chiếu A lên VTCP uuuur d � H (1 2t; t;2 2t) � AH (2t 1; t 5;2t 1) uuuur uur AH d � AH ud � 2(2t 1) t 2(2t 1) � t � H (3;1;4) � Gọi H' hình chiếu Khi đó, ta có: Suy A lên mp(P ) AH ' �AH � d( A, (P )) uuuur AH (1; 4;1) Vậy phương trình VTPT (P ) : x y z lớn (P ) (P ) � H qua H' H (P ) AH www.thuvienhoclieu.com Trang www.thuvienhoclieu.com Ví dụ 2.8 Trong không gian với hệ toạ độ đề vng góc Oxyz cho bốn điểm A 1;0;0 , B 1;1;0 , C 0;1;0 , D 0;0; m m �0 với tham số Tính khoảng cách hai đường thẳng AC BD m ; Gọi H hình chiếu vng góc O BD Tìm giá trị tham số m để diện tích tam giác OBH đạt giá trị lớn Lời giải.uuur uuur AB (0;1;0), CD (0; 1; m) Ta có: uuur uuuu r CD (0; 1;2) AC (1;1;0) m Với ta có: uuur uuur uuur uuur uuuu r � AB, CD � (2;0;0) � � AB, CD �.AC 2 � � � Do � uuur uuur uuuu r � AB, CD �.AC uuur uuur � � d( AB, CD) 1 uuur uuur � AB, CD � � � Vậy 2 2 Đặt x OH � BH OB OH x 1 1 x x2 x (2 x2) � (x2 x2 ) 2 Suy Đẳng thức xảy � x � OH � d(O, BD) uuur uuur uuur uuur BD (1; 1; m), OB (1;1;0) � � BD, OB � (m; m;0) � � Ta có: uuur uuur � BD, OB � m � � d(O, BD) � 2m2 m2 uuur BD 2 m SOBH Do � m �2 Vậy m � giá trị cần tìm Ví dụ 3.8 Lập phương trình mặt phẳng ( ) qua điểm M (1;9;4) cắt trục tọa độ điểm A, B, C (khác gốc tọa độ) cho: M trực tâm tam giác ABC ; Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến mặt phẳng ( ) lớn nhất; OA OB OC ; x 0, zC 8OA 12OB 16 37OC A Lời giải Giả sử mặt phẳng ( ) cắt trục tọa độ điểm khác gốc tọa độ A (a;0;0), B(0; b;0), C (0;0; c) với a, b, c �0 x y z Phương trình mặt phẳng ( ) có dạng a b c (1) ( ) qua điểm M (1;9;4) nên a b c Mặt phẳng uuuur uuur uuuur uuur AM (1 a ;9;4), BC (0; b ; c ), BM (1;9 b ;4), CA (a;0; c) Ta có: www.thuvienhoclieu.com Trang www.thuvienhoclieu.com �M �( ) � �uuuur uuur �AM BC �uuuur uuur BM CA Điểm M trực tâm tam giác ABC � �1 � 1 a b c � 98 49 � �� 9b 4c � a 98; b ;c �a 4c � � Phương trình mặt phẳng ( ) cần tìm x 9y 4z 98 d(O,( )) 1 a2 Cách 1: Ta có: 1 b2 c2 a2 T Bài toán trở thành, tìm giá trị nhỏ 1 a b2 b c2 c2 với số thực (1) a, b, c �0 thỏa mãn a b c �1 � 1 1� 1� � �(12 92 42 ) � � � 2 a b c� � a b c � � Ap dụng bđt Bunhiacopski ta có: � 1 1: 9: : � � a b c � a 9b 4c 98 � � 1 T � 98 Dấu đẳng thức xảy �a b c Nên suy Phương trình mặt phẳng ( ) cần tìm x 9y 4z 98 Cách 2: Gọi H hình chiếu O mặt phẳng ( ) Vì mặt phẳng ( ) ln qua điểm cố định M nên d(O, ( )) OH �OM 98 Dấu đẳng thức xảy H �M , ( ) mặt phẳng qua M có véc tơ pháp tuyến uuuur OM(1;9;4) nên phương trình ( ) 1.(x 1) 9( y 9) 4.(z 4) � x y 4z 98 Vì OA OB OC nên �Trường hợp 1: a b c a b c, xảy bốn trường hợp sau: � a 14, Từ suy a a a nên phương trình ( ) là: x y z 14 � a 6, (1) �Trường hợp 2: a b c Từ suy a a a nên phương trình ( ) x y z (1) �Trường hợp 3: a b c Từ x y z (1) �Trường hợp 4: a b c Từ x y z 12 � a 4, suy a a a nên phương trình ( ) (1) � a 12, có a a a nên phương trình ( ) Vậy có bốn mặt phẳng thỏa mãn x y z 14 0, mặt phẳng www.thuvienhoclieu.com Trang www.thuvienhoclieu.com x y z 0, x y z 0, x y z 12 Vì xA 0, zC nên a 0, c 0, 8OA 12OB 16 37OC � 8a 12 b 16 37c 2a a, b ,a 37 �Nếu nên từ (1) ta có � a5 27 37 � a2 2a 35 � � a 2a 2a a 7 � b 0� c Vì a nên �Nếu a � b 2; c 40 , 37 phương trình mặt phẳng cần tìm ( ) : 8x 20y 37z 40 2a a, b ,a 37 nên từ (1) ta có b 0� c 27 37 29 �3 109 � a2 29a 35 � a a 2a 2a Vì a nên khơng có giá trị thỏa mãn Vậy phương trình mặt phẳng ( ) : 8x 20 y 37z 40 2 Ví dụ 4.8 Cho mặt cầu (S) : (x 1) ( y 1) (z 1) 25 mặt phẳng ( ) có phương trình 2x 2y z Chứng minh mặt phẳng ( ) cắt mặt cầu (S) theo đường tròn Xác định tâm tìm bán kính đường tròn đó; Lập phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm A(1; 1;2), B(3;5; 2) (P) cắt mặt cầu (S) theo đường tròn có bán kính nhỏ Lời giải Mặt cầu (S ) có tâm I (1;1;1) , bán kính R d(I , ( )) Ta có r 2 21 22 22 12 4 R , suy ( ) cắt mặt cầu (S) theo đường tròn tâm H bán kính R d2 (I , ( )) H hình chiếu I lên mặt phẳng ( ) , suy phương trình HI là: �x 2t � �y 2t �z t � �x 2t � �y 2t � � �z t � 2x 2y z Tọa độ điểm I nghiệm hệ � � 5 1� H � ; ; � � 3 3� Vậy tâm � x y � � � �z � uuur AB 2;6; 4 �x t � AB : �y 1 3t �y 2t � Ta có nên phương trình đường thẳng Vì I A R nên mặt phẳng (P ) qua AB cắt mặt cầu (S) theo đường tròn có bán kính r 25 d2 (I , (P )) www.thuvienhoclieu.com Trang www.thuvienhoclieu.com Do r nhỏ � d(I , (P )) lớn Gọi K , H hình chiếu I lên AB (P ) , ta ln có H K I H �I K nên suy d(I , (P )) lớn uuur Do H �AB � H (1 t; 1 3t;2 2t) � I H (t;3t 2;1 2t) uuur uuur uuur 1� � IH � � ; ; � I H AB � I H AB � t 3(3t 2) 2(1 2t) � t �7 7 � Vì Vậy phương trình ( ) : 4x 2y z Ví dụ 5.8 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho (P ) : 2x y 2z 14 mặt cầu x2 y2 z2 2x y 2z Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa trục Ox cắt (S) theo đường tròn có bán kính ; Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt cầu (S) cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) lớn Lời giải Mặt cầu (S) có tâm I (1; 2; 1) 1.Trục Ox có phương trình: bán kính �y � � �z R3 phương trình (Q): Mặt cầu (S) cắt (Q) theo đường tròn có bán kính � I �(Q) � a 2b , chọn Vậy phương trình mp(Q): b 1� a 2x y ay bz=0 r 3 R Gọi đường thẳng qua I vng góc với mp(P) Suy phương trình : x1 y z1 1 cắt mặt cầu Khi (S) hai điểm A, B d( A, (P )) d(B, (P )) � d(M ,(P )) Tọa độ giao điểm M lớn A mặt cầu (S) nghiệm hệ: �x2 y2 z2 2x y 2z � �x y z � 1 �2 Giải hệ ta hai giao điểm Ta có: A(1; 1; 3), B(3; 3;1) d( A, (P )) d(B, (P )) Vậy d(M , (P )) lớn � M (1; 1; 3) Ví dụ 6.8 Trong khơng gian Oxyz cho mặt phẳng (P ) : 2x y 2z hai điểm A (5; 2;6), B(3; 2;1) Tìm điểm M thuộc (P ) cho: MA MB MA MB nhỏ lớn Lời giải www.thuvienhoclieu.com Trang Mặt phẳng (P ) có uuu r nP (2; 1;2) Thay tọa độ hai điểm phía so với Gọi A' M �(P ) Do (P ) , ta có VTPT vào vế trái phương trình MA MA ' A qua (P ) , ta 18 nên hai điểm A, B nằm A' B khác phía so với (P ) với điểm M �(P ) : MA MB A ' M MB �A ' B , suy (P ) điểm đối xứng với M A ' B �(P ) Ta có: A, B www.thuvienhoclieu.com MA MB nhỏ , mà A 'B không đổi đẳng thức xảy � M A ' B �(P ) �x 2t � AA ' (P ) � AA ' : �y 2 t �z 2t � Tọa độ giao điểm H AA ' (P ) nghiệm hệ: �x 2t �x � � �y 2 t � �y � H (1; 1; 2) � �z 2t � �z � x y z � H trung điểm Suy Tọa độ Vậy Vì �xA ' 2xH xA 3 � AA ' � �yA ' 2yH yA � A '(3;2; 2) � �zA ' 2zH zA 2 uuuuur A ' B (6; 4;3) M , phương trình nghiệm hệ �x 3 6t � A ' B : �y 4t , t �� �z 2 3t � � 21 �x �x 3 6t � 11 � 14 �y 4t � � �y � 11 �z 2 3t � � � 2x y 2z � �z 11 � �21 14 � M � ; ; � �11 11 11 � điểm cần tìm A, B nằm phía so với (P ) nên với M �(P ) AM MB �AB , đẳng thức xảy ta ln có M AB �(P ) www.thuvienhoclieu.com Trang www.thuvienhoclieu.com Phương trình �x 2t � AB : �y 2 �z 5t � � 17 �x 2t �x � � �y 2 � M :� � �y 2 �z 5t � � �z x y z � � Tọa độ Vậy �17 3� M � ; 2; � 7� �7 Ví dụ 7.8 Trong khơng gian Oxyz cho điểm A(1; 1;1) , đường thẳng có phương trình x1 y z1 : 1 mặt phẳng (P ) : 2x y 2z Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng khoảng cách từ A đến (Q) lớn nhất; Viết phương trình mặt phẳng (R ) chứa tạo với (P ) góc nhỏ nhất; Viết phương trình mặt phẳng ( ) chứa hai điểm M (1;1;1), N (1;2; 1) tạo với đường thẳng góc lớn Lời giải uuu r nP (2; 1;2) Mặt phẳng (P) có Đường thẳng qua Cách 1: Giả sử VTPT B (1;0; 1) ur n (a; b; c) có u r u (2;1; 1) VTPT (Q) VTCP a(x 1) by c(z 1) � ax by cz a c Do �(Q) nên 2a b c � c 2a b d( A, (Q)) Do đó: 2c b a2 b2 c2 Xét hàm số ta đặt f (t) a t b Suy b 1 16a2 8ab b2 , ta có: t �� max f (t) f (2) Chọn 5a2 4ab 2b2 5a2 4ab 2b2 f '(t) với ta tìm 16a2 8ab b2 5a2 4ab 2b2 Nếu Nếu b � d( A, (Q)) b �0 có dạng: (1) 4a b (Q) , suy phương trình ta có: a 2, c 5t2 4t 24t2 54t 12 2 (5t 4t 2) max d( A, (Q)) , 16t2 8t f (t) , f '(t) � t 2, t 14 , đạt a 2b www.thuvienhoclieu.com Trang www.thuvienhoclieu.com Vậy phương trình Cách 2: Gọi (Q) : 2x y 3z K,H Dẫn tới Vì A hình chiếu d( A, (Q)) AH �AK (Q) , mà AK không đổi nên mặt phẳng qua K nhận lên d( A, (Q)) uuuur AK (Q) , lớn H K làm VTPT uuuu r K � � K 2t; t; 1 t � AK 2t; t 1; t 2 uuuur u r � 1 �uuuur AK � AK u � 4t t t � t � K � 0; ; � , AK � 2� Vậy phương trình (Q) : 2x y 3z Cách 1: Tương tự ta có � 3� 1; ; � � � 2� (Q) : ax by (2a b)z a b � (P ), (R ) 00 � �900 Gọi , cos Ta có: 2a b 2(2a b) a2 b2 (2a b)2 a � cos Nếu Nếu a �0 , đặt b t a Khảo sát hàm số Suy f (t) max cos Vậy phương trình Cách 2: Gọi d b2 12ba 36a2 2b2 4ab 5a2 b2 12ba 36a2 ta có: 2b2 4ab 5a2 max f (t) f ( ta tìm đạt b a 10 , chọn (R) : 10x y 13z đường thẳng qua Ta có phương trình �x 2t � d : �y t �z 1 2t � B , lấy t2 12t 36 2t2 4t f (t) 53 ) 10 b 7 � a 10 vng góc với C (3; 1;1) d, C (P ) B www.thuvienhoclieu.com Trang 10 www.thuvienhoclieu.com H,K Gọi C hình chiếu (R ) lên , BH BK � BC BC � sin sin BCH BK BC Mà không đổi, nên suy mặt phẳng Mặt phẳng Do (R ) (BCK ) (BCK ) qua phương trình M , N �( ) qua vng góc với vng góc với (BCK ) nên Ta có: uuu r n (2a;2b; b 2a) uuu ru r n u sin uuu r u r n u a � sin Nếu f (t) Xét hàm số ( ) uuur uur u r nR � n1, u� 10; 7;13 � � a �0 , đặt t2 12t 36 5t2 4t ta tìm vng góc với VTPT VTPT (R ) (BCK ) , suy ax by cz d có dạng: 2ax 2by (b 2a)z 3b Gọi (� )) 4a2 4b2 (b 2a)2 , với mặt phẳng qua uur uuu r u r n1 � nP , u� (1;6;4) � � nên 4a 2b b 2a t � d b � � � �c a b � sau: VTPT (R ) ( ) �a b c d � � � a 2b c d ( ) (P ) nên (R ) : 10x y 13z Ta viết lại dạng phương trình Suy hay Cách 1: Giả sử phương trình mặt phẳng Do K H nhỏ � BCH b2 12ab 36a2 5b2 4ab 8a2 b , t �� a �5 � 53 max f (t) f � � �8 � www.thuvienhoclieu.com Trang 11 www.thuvienhoclieu.com Do b max � sin max � a Vậy phương trình Cách 2: Ta có: , chọn b 5, a ( ) : 16x 10y 11z 15 uuuuu r NM 2; 1;2 �x 2t � MN : �y t , t �� �z 2t � Gọi d VTCP MN , suy phương trình đường thẳng đường thẳng qua M , song song với Suy phương trình �x 2t � d : �y t , t �� �z t � Trên d ta lấy điểm ( ), � ABH � Ta có: ( ) Ta có: Suy Gọi H,K hình chiếu A lên ( ) MN , cos � ABH Hay A (3;2;0) BH BK � BA BA mặt phẳng qua , mà MN uuu r uuuuu r u r n � NM , u� 1;6;4 � � BK BA lớn vng góc với mặt phẳng VTPT uuu r uuuuu r uuu r n � NM , n � 16; 10;11 � � Vậy phương trình khơng đổi nên � ABH H K ( ) �(M N , d) ( ) VTPT ( ) : 16x 10y 11z 15 ( ) Ví dụ 8.8 Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng ( ) : x y z điểm A (1;2;3) Lập phương trình đường thẳng nằm ( ) qua M (1;1;1) khoảng cách từ A đến lớn nhất, nhỏ nhất; qua M khoảng cách Lời giải Mặt phẳng ( ) có ur n (1;1;1) d: x y z 1 lớn VTPT www.thuvienhoclieu.com Trang 12 u r u (a; b; c) Gọi Ta có: www.thuvienhoclieu.com VTCP , � (P ) � a b c � c a b uuuur u r uuuur AM 0; 1; 2 � � u, AM � c 2b;2a; a � � u r uuuur � u, AM � � � d( A, ) u r u (c 2b)2 5a2 a2 b2 c2 (1) (b a)2 5a2 a2 b2 (a b)2 Do đó: b2 2ab 6a2 b2 2ab b2 a � d( A, ) Nếu f (t) , với a �0 b , t �� a t đặt t2 2t t2 t Xét hàm số , khảo sát hàm số f (t) ta tìm 2 max f (t) ff( ) 10, (t) f (4) 3 � A Khoảng cách từ đến phương trình đường thẳng : � A Khoảng cách từ đến : trình đường thẳng : Đường thẳng d t lớn , chọn b 2 � a 3, c 1 , suy x1 y1 z1 : 2 1 t4� nhỏ x1 y1 z 1 5 qua b � a N (2;0;0) có b 4 a , chọn b � a 1, c 5 , suy phương uur u1 (1;2; 1) VTCP uuuur u r uur u r uur uuuur MN 1; 1; 1 , � u, u1 � (2a b; b;2a b) � � u, u1 �.MN 3b � � � � Do u r uur uuuur � u, u1 �.MN � � d(, d) u r uur � u, u1 � � � Đẳng thức xảy Vậy phương trình 3b 2 (2a b) b (2a b) 3 b2 4a2 3b2 � u r a � c b � u b(0;1; 1) �x � : �y t �z t � www.thuvienhoclieu.com Trang 13 www.thuvienhoclieu.com Ví dụ 9.8 Lập phương trình đường thẳng d qua A (0; 1; 2) cắt đường thẳng d� : x1 y z2 1 cho: Khoảng cách từ B (2; 1;1) đến đường thẳng d lớn nhất, nhỏ nhất; Khoảng cách d : x5 y z 2 lớn Lời giải d Giả sử cắt d' điểm uuuur AM (2t 1; t 1; t) Ta có B M (1 2t; t; t), t �� VTCP đường thẳng uuur AB (2; 2; 1) Khoảng cách từ điểm M nên d uuur uuuur � AB, AM � (1 t; 1; 2t) � � đến đường thẳng d uuur uuuur �AB, AM � � � d(B, d) uuuur AM f (t) Ta có 5t2 18t 18 6t2 2t f� (t) nên 98t(t 2) (6t2 2t 2)2 5t2 18t 18 6t2 2t f (t) max f (t) ff(0) 18, (t) f (2) Từ ta tìm 11 Do đó: � d(B, d) d: 11 đạt uuuur t � AM (3; 3; 2) nên phương trình đường thẳng cần tìm x y1 z 3 2 �max d(B, d) đạt uuuur t � AM (1;1; 1) nên phương trình đường thẳng cần tìm x y1 z d: 1 1 qua Ta có N (5; 0; 0) có véc tơ phương uur u (2; 2; 1) uur uuuur uuuur � u , AM � (t 1; 4t 1; 6t), AN (5; 1; 2) � � Khoảng cách hai đường thẳng là: www.thuvienhoclieu.com Trang 14 www.thuvienhoclieu.com uur uuuur uuuur � u , AM �.AN � � d(; d) uur uuuur � u , AM � � � f� (t) Vì 6(t 2)(4 37t) (53t2 10t 2)2 Từ ta tìm (2 t)2 53t2 10t 6 3t (t 1)2 (4t 1)2 (6t)2 f (t), f (t) f� (t) � t 2, t nên �4 � max f (t) f � � �37 � , d: Vậy đường thẳng d có phương trình (2 t)2 53t2 10t 37 uuuur AM 29; 41; 4 37 x y1 z 29 41 CC BÀI TỐN DNH CHO HỌC SINH ÔN THI ĐẠI HỌC Bài P : 2x y z Trong không gian Oxyz cho điểm A (1;3; 2), B (3;7; 18) mặt phẳng a) Viết phương trình mặt phẳng chứa AB vng góc với (P ) b) Tìm toạ độ điểm M thuộc (P ) cho MA MB nhỏ Trong không gian với hệ tọa độ Đề Các vng góc Oxyz cho tứ diện ABCD với A (2;3;2), B(6; 1; 2), C(1; 4;3), D(1;6;-5) Tính góc hai đường thẳng AB CD Tìm tọa độ M CD cho tam giác ABM có chu vi nhỏ Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng (P ) có phương trình: x 2y 2z hai A 3;0;1 , B 1; 1;3 điểm Trong đường thẳng qua A song song với (P ) , viết phương trình đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng nhỏ Lập phương trình mặt phẳng ( ) qua điểm M(1;4;9) cắt tia Ox,Oy,Oz điểm A,B,C (khác gốc tọa độ) cho a) Thể tích khối tứ diện OABC có giá trị nhỏ b) OA OB OC đạt giá trị nhỏ x 1 y z 1 điểm A(3; 4; 1), Cho đường thẳng B(1; 6; 1), C(1; 10; 3) Tìm điểm M thuộc đường thẳng cho : a) MA MB nhỏ b) MA MC nhỏ Bài Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình hộp chữ nhật ABCD.A ' B ' C ' D ' có A trùng với gốc tọa độ, B a;0;0 , D 0; a;0 , A ' 0;0; b với a 0, b 0 Gọi M trung điểm CC ' a) Tính thể tích khối tứ diện BDA ' M max VA ' BDM b) Cho a b Tìm Cho điểm A(3; 1;0),B(2;1; 1),C(3;2;6) a) Tìm điểm D thuộc mặt phẳng (Oyz) cho ABCD tứ diện có cặp cạnh đối vng góc b) Tìm điểm M trục hồnh cho tam giác ABM có diện tích nhỏ Cho hai điểm A(5;2;3),B(1; 2; 1) www.thuvienhoclieu.com Trang 15 www.thuvienhoclieu.com a) Đường thẳng AB cắt mặt phẳng (Oxz) M Điểm M chia đoạn AB theo tỉ số nào? b) Tìm tọa độ điểm N mặt phẳng (Oxz) cho NA NB có gia trị nhỏ 2 c) Cho điểm K có thành phần tọa độ Xác định K biết 2K A 3K B đạt giá trị lớn Cho A(1; 1; 2), mặt phẳng (P ): x y z đường thẳng x1 y z 3 Lập phương trình đường thẳng d qua điểm A đồng thời a) d //(P ) khoảng cách d lớn : b) d //(P ) góc d lớn nhất, bé x 1 t � � d� : � y t (t �R) � z 1 t � c) d vng góc với đường thẳng khoảng cách từ điểm B(1; 1; 1) đến đường thẳng d lớn nhất, bé Bài Trong không gian Oxyz : cho đường thẳng A (3;2; 1), B(1; 2;1), C (2;1;3) MA MB Tìm nhỏ M � x y z1 1 ba điểm cho: MA MC nhỏ M 1;4;9 Bài Lập phương trình mặt phẳng ( ) qua cho ( ) cắt tia Ox, Oy, Oz điểm A, B, C thỏa: M trọng tâm tam giác ABC ; Tứ diện OABC tích lớn nhất; Khoảng cách từ O đến ( ABC) lớn nhất; OA OC 4OB OA OB Bài Cho A a;0;0 , B 0; b;0 , C 0;0; c Tìm tâm bán kính Gọi r Tìm tọa độ điểm a, b, c mặt cầu ngoại tiếp tứ diện bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện Bài Cho điểm M R với thuộc mặt phẳng Tìm thuộc mặt cầu trị lớn OABC OABC Tìm giá trị nhỏ bán kính Chứng minh rằng: A (1; 0; 1), B(2; 2; 1), C (0; 1; 0) M 1 2 a b c (P ) : x 2y 2z (S) : (x 1)2 ( y 1)2 (z 1)2 57 r� 2( 1) R uuuur uuuur uuuur MA MB MC cho : đạt giá trị nhỏ uuuur uuuur uuuur 2MA 4MB 3MC cho : đạt giá Bài www.thuvienhoclieu.com Trang 16 www.thuvienhoclieu.com Cho mặt cầu 2 (S1) : x y z 6x 12y 12z 72 mặt cầu (S) (S2) : x2 y2 z2 phương trình mặt cầu có tâm nằm đường nối tâm hai mặt cầu mặt cầu có bán kính lớn (S1) (S2), Lập tiếp xúc với hai Lập phương trình đường thẳng qua điểm điểm A(3; 2; 1) x 1 y 1 z 1 1 cho cắt đường thẳng a) Khoảng cách từ B(2; 1; 1) đến lớn nhất, bé �x 2t � � : �y t (t �R) � z 1 2t � b) Khoảng cách lớn c) Góc mặt phẳng (P ): 5x 2y 3z lớn d: d: Bài Cho mặt phẳng x1 y z 1 (P ) chứa đường thẳng Góc mặt phẳng Góc mặt phẳng (P ) (P ) d� : d mặt phẳng (Q) (Q) đường thẳng Viết phương trình mặt phẳng chứa (P ) d Viết phương trình mặt phẳng nhỏ d� lớn A (1;4;2), B (1;2;4) chứa d chứa d d: đường thẳng: cho khoảng cách từ vào tạo với mặt phẳng (R ) Lập phương trình Bài Trong khơng gian cho hai điểm Viết phương trình x y1 z , 1 (Q) : x 2y 2z tạo với (Oxy) Oy A đến (P ) x y z 1 lớn góc nhỏ góc lớn Bài 10 Cho điểm Tìm điểm M MA MB A (1; 1; 2), B (2; 1; 0), C (2; 0; 1) thuộc (P ) mặt phẳng (P ) có phương trình 2x y z cho có giá trị nhỏ MA MC có giá trị lớn MA MC có giá trị nhỏ MA MB có giá trị lớn Bài 11 Cho O(0; 0; 0) : x1 y1 z , 2 d� : x y z1 2 1 đường thẳng đường thẳng O , d d' phương trình đường thẳng qua vng góc với cách khoảng lớn www.thuvienhoclieu.com Lập Trang 17 www.thuvienhoclieu.com Cho điểm A (4; 1; 2), B(1; 4; 2), C (1; 1; 5) (P ) : x y z đường tròn (C) giao mặt phẳng x2 y2 z2 2x 2y 4z (S) mặt cầu có phương trình M �(C ) MA MB MC điểm cho đạt giá trị lớn Tìm tọa độ Bài 12 Cho điểm A,B,C nằm trục Ox, Oy, Oz (khác gốc tọa độ) Lập phương trình mặt phẳng (ABC) biết Điểm G(2;3;1) trọng tâm tam giác ABC Điểm H(5; 3; 2) trực tâm tam giác ABC Mặt phẳng (ABC) qua M(1; 2;3) d(O,(ABC)) lớn Mặt phẳng (ABC) qua N(1;2;3) OA OB OC Mặt phẳng (ABC) qua P(3;2;1), A điểm có hồnh độ 2 đồng thời OB 2OC Bài 13 Cho mặt phẳng (P ):x y z ba điểm A(1;1;1), B(0;1;2),C(2;0;1) Tìm tọa độ điểm M có tung độ 1, nằm mặt phẳng (P ) thỏa mãn MA MB Tìm điểm N thuộc mặt phẳng (P ) cho 2NA NB NC đạt giá trị nhỏ Bài 14 Cho mặt phẳng (P ) : x 2y z điểm A(1; 0;0), B(0; 2; 3) Lập phương trình đường thẳng d nằm (P ), qua A cách B khoảng lớn nhất, nhỏ nhất? Lập phương trình đường thẳng d qua A(1; 1; 2), song song với mặt phẳng (Q) : 2x y z 0, đồng thời d tạo với đường thẳng d� : x 1 y 1 z 2 góc nhỏ nhất, lớn nhất? x 1 y z d� : A( 1; 0; 1) 1 cho Lập phương trình đường thẳng d qua cắt đường thẳng x3 y2 z3 : 1 2 lớn nhất, nhỏ nhất? góc đường thẳng d đường thẳng x 1 y z d: 1 điểm A(1; 4; 2), Bài 15 Cho đường thẳng B(1; 2; 4) Lập phương trình mặt phẳng (P ) chứa đường thẳng d Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P ) lớn Góc mặt phẳng (P ) mặt phẳng (xOy) nhỏ Góc mặt phẳng (P ) trục Oy lớn Chú ý: Trong không gian cho Tìm M cho a) Nhỏ b) Lớn n điểm A1, A2, , An P 1MA12 2MA22 n MAn2 1 n 1 n www.thuvienhoclieu.com Trang 18 www.thuvienhoclieu.com M Tìm cho uuuuur uuuuur uuuuur P 1 MA1 MA2 n MAn n � i nhỏ lớn , �0 i 1 Phương pháp giải: I Gọi điểm thỏa mãn: Khi : uuuu r uuuu r uuuur r 1 I A1 I A2 n I An n điểm I � i tồn i 1 �0 uuur uuuu r uuur uuuu r uuur uuuur P 1 MI I A1 1 MI I A2 1 MI I An (1 n )I M n �1I Ai2 i 1 n �1I Ai2 Do i 1 không đổi nên: � 1 n � 1 n Nếu Nếu thì P P nhỏ lớn � MI � MI nhỏ nhỏ n uuur uuuu r uuur uuuu r uuur uuuur P 1 MI I A1 MI I A2 n MI I An � i MI Do � Nếu I P M lên nhỏ lớn thuộc đường thẳng (hoặc (P ) � MI i 1 nhỏ lớn (hoặc mặt phẳng (P ) ) MI lớn M hình chiếu ) �Nếu M thuộc mặt cầu (S) đường thẳng qua I tâm (S), cắt (S) hai điểm A, B ( I A I B) M I nhỏ (lớn nhất) M B ( M �A ) Ví dụ 10.8 Cho (P ) : x y z ba điểm A (1;1;1), B(0;1;2), C (2;0;1) Tìm tọa độ điểm M �(P ) cho MA MB yM ; 2 2 Tìm N �(P ) cho S 2NA NB NC nhỏ Lời giải Gọi M (x;1; z) �(P ) , ta có: x z � x z 2 2 Suy M A MB � (x 1) (z 1) x (z 2) � 2x 2z 4z 1 1 ;x M ( ;1; ) 2 Vậy 2 uur uur uuu r r (x; y; z) điểm thỏa mãn 2I A I B I C (*) Gọi I u ur uur uuu r 2I A 2x; 2y;2 2z , I B x;1 y;2 z , I C 2 x; y;1 z � z Ta có: www.thuvienhoclieu.com Trang 19 www.thuvienhoclieu.com Nên �4x � (*) � � y � x 0, y , z 4 � 4z � Khi đó: Do � 5� I� 0; ; � 4� � Suy uuuu r2 uuur uur uuur uur 2NA NI I A 2NI 2I A 4NI I A uuuu r2 uuur uur uuuu r2 uuur uuu r NB NI I B 2NI I B ; NC NI I C 2NI I C uuur uur uur uuu r S 4NI 2I A I B2 I C 2NI 2I A I B I C 4NI 2I A I B I C 2 Do 2I A I B I C không đổi nên S nhỏ NI nhỏ hay N hình chiếu I lên mặt phẳng (P ) uuur � 5� N (x; y; z) � I N �x; y ; z � ur 4 � n 1; 1;1 � Gọi , VTPT (P ) Vì N �(P ) � x y z (1) � �x k � uuur ur � I N kn � �y k � � z k � � Do I N (P ) nên thay vào (1), ta có được: �3 � �5 � 3 k � k � � k � � k � x , y , z 2 4 �4 � �4 � � 3 1� N� ; ; � 4� � Vậy Ví dụ 11.8 Trong khơng gian cho ba điểm A (1;2;3), B(1;0; 3), C (2; 3; 1) Tìm M thuộc mặt phẳng ( ) : 2x y 2z cho biểu thức sau nhỏ S 3MA 4MB 6MC ; Tìm M thuộc đường thẳng uuuur uuuur uuuur P MA 7MB 5MC x y z 1 cho biểu thức sau lớn nhất: ; 2 Tìm M thuộc mặt cầu (S) : (x 2) ( y 2) (z 8) 36 cho biểu thức F MA 4MB2 2MC đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Lời giải Cách 1: Gọi Mà I (x; y; z) điểm thỏa mãn: uur uur uuu r r uur uuuu r uuur 3I A 4I B 6I C � I A 6AC AB uur uuuu r uuur I A (1 x;2 y;3 z), 6AC (6; 30; 24), AB (8; 8; 24) Do � 1 x 6 � (*) � � y 30 � � z 24 24 � (*) �x 13 � �y 24 � I (13;24;3) �z � www.thuvienhoclieu.com Trang 20 www.thuvienhoclieu.com uuuur2 uuuur2 uuuur2 uuur uur uuur uur uuur uuu r S 3MA 4MB 6MC MI I A MI I B MI I C Khi đó: I M 3I A 4I B 6I C 3I A 4I B 6I C chiếu I Tọa độ Vậy uuur uur uur uuu r I M 2MI 3I A 4I B 6I C 3I A 4I B 6I C Do lên M ( ) Cách 2: Gọi không đổi nên Ta có S nhỏ � IM nhỏ �M hình �x 13 2t � I M ( ) � I M : �y 24 t �z 2t � nghiệm hệ: M (11;25;1) �x 13 2t � �y 24 t � � �z 2t � 2x y 2z � �x 11 � �y 25 �z � điểm cần tìm M (a; b; c) �( ) � 2a b 2c 3MA 3a2 3b2 3c2 6a 12b 18c 42 Suy ra: 4MB 4a2 4b2 4c2 8a 24c 40 6MC 6a2 6b2 6c2 24a 36b 12c 84 Suy S a2 b2 c2 26a 48b 6c (a 11)2 (b 25)2 (c 1)2 4a 2b 4c 749 �2(2a b 2c 1) 747 �747 Đẳng thức xảy Cách 1: Gọi Mà � a 11, b 25, c I (x; y; z) M (11;25;1) điểm cần tìm điểm thỏa mãn: uur I A x;2 y;3 z Nên (*) hay uur uur uuu r r uur uuur uuuu r I A 7I B 5I C � I A 7 AB 5AC , (*) uuur uuuu r 7AB (14;14;42), 5AC (5; 25; 20) � x 14 � �� y 14 25 � � z 42 20 � �x 18 � �y 13 � I (18;13; 19) �z 19 � www.thuvienhoclieu.com Trang 21 www.thuvienhoclieu.com uuur uur uuur uur uuur uuu r P MI I A MI I B MI I C MI Khi đó: Do P nhỏ � MI nhỏ �M hình chiếu I lên uuur M � � M 2t; 1 3t;1 t � I M (2t 19;3t 14; t 20) I M � 2(2t 19) 3(3t 14) (t 20) � t Vì Vậy �31 29 � M � ; ; � 7� �7 điểm cần tìm Cách 2: Ta có Suy Do Nên 12 M � � M 2t; 1 3t;1 t uuuur uuuur MA 2t;3 3t;2 t , 7MB 14 14t; 7 21t;28 7t uuuur 5MC 10t; 10 15t; 10 5t uuuu r uuuur uuuur MA 7MB 5MC 2t 19;3t 14; t 20 P (2t 19)2 (3t 14)2 (t 20)2 14t2 48t 957 � 12 � 6411 6411 14 � t � � 7 � 7� � t Đẳng thức xảy Gọi E (x; y; z) Ta tìm Khi Vì 12 Vậy �31 29 � M � ; ; � 7� �7 điểm thỏa mãn: E 10; 2;16 điểm cần tìm uuur uuur uuur r uuur uuuu r uuur EA 4EB 2EC � EA 2AC AB F EM EA 4EB 2EC EA 4EB2 2EC Mặt cầu (S) có tâm không đổi nên F lớn nhất, nhỏ EM nhỏ nhất, lớn �x 8t uuu r � I E 8; 4;8 � I E : �y 4t �z 8t I (2;2;8) � Tọa độ giao điểm , IE với mặt cầu (S) nghiệm hệ www.thuvienhoclieu.com Trang 22 www.thuvienhoclieu.com �x 8t � �y 4t � 82 t2 42 t2 82 t2 36 � t � � �z 8t � (x 2)2 ( y 2)2 (z 8)2 36 � � � t uuur � M 6;0;12 � I M (2; 2;4) � MI t uuur � N 2;4;4 � I N (4;2;4) � NI NI MI Do �F �F nên ta có được: E �M � E 6;0;12 lớn nhỏ E �N � E 2;4;4 BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(2;3;1), B (1; 2;0), C (1;2; 2) Lập phương trình mặt phẳng ( ABC ) ; Tìm a, b để mặt phẳng ( ) : (2a b)x (3a 2b) y 1z song song với ( ABC ) ; 2 Tìm M �( ) : 3x y z cho S 2MA 4MB 3MC nhỏ nhất; Tìm N �( ) : 3x 3y z 29 cho uuuu r uuuu r uuuu r P 3NA 5NB 7NA nhỏ Bài Cho điểm A (2;3;1), B(5; 2;7), C (1;8; 1) Tìm tập hợp điểm M khơng gian thỏa mãn 2 MA MB MC uuuur uuur uuuur uuuur AM AB BM CM Oxyz A (1; 4; 5), B(0; 3; 1), Bài Trong không gian cho điểm (P ) : 3x 3y 2z 15 (P ) M Tìm điểm MA MB MC cho có giá trị lớn A (1; 4; 2), B(1; 2; 4) MA MB mặt phẳng có giá trị nhỏ MA 2MB 4MC Bài Cho thuộc mặt phẳng C (2; 1; 0) : x1 y z 1 Tìm điểm M thuộc đường thẳng cho nhỏ uuuur uuuur uuuur 3OM 2AM 4BM Diện tích tam giác nhỏ MAB nhỏ A 3; 2;5 , B 2;1; 3 ,C 5;1; 1 Bài Cho tam giác ABC có Điểm www.thuvienhoclieu.com Trang 23 M có thành phần tọa độ www.thuvienhoclieu.com Chứng minh tam giác ABC tam giác nhọn uuuur uuur MA 3BC Tìm tọa độ điểm M cho đạt giá trị nhỏ Tìm điểm M cho 2MA MB 4MC2 đạt giá trị lớn Bài Cho ba điểm A(1;2; 3),B(2;4;5),C(3;6;7) mặt phẳng (P ) : x y z Tìm tọa độ hình chiếu trọng tâm G tam giác ABC mặt phẳng (P ) Tìm tọa độ điểm G�đối xứng với điểm G qua mặt phẳng (P ) (P ) M T Tìm tọa độ điểm thuộc mặt phẳng cho biểu thức có giá trị nhỏ với T MA MB MC2 Bài Cho điểm A(1; 0; 1),B(0; 2; 3), C(1; 1; 1) đường thẳng x 1 y1 z 2 Tìm điểm M thuộc đường thẳng cho 2 a) MA 2MB 4MC lớn uuuur uuur AM BC b) nhỏ �x 2t � m : �y (1 m)t (t ��), � z 2 mt � m tham số Bài Cho đường thẳng m Tìm giá trị cho Khoảng cách từ gốc tọa độ đến m lớn nhất, nhỏ : m tạo với mặt phẳng (xOy) góc lớn Khoảng cách m trục Oy lớn www.thuvienhoclieu.com Trang 24 ... 0), C (2; 0; 1) thuộc (P ) mặt phẳng (P ) có phương trình 2x y z cho có giá trị nhỏ MA MC có giá trị lớn MA MC có giá trị nhỏ MA MB có giá trị lớn Bài 11 Cho O(0; 0; 0) : x1 y1... z � 1 �2 Giải hệ ta hai giao điểm Ta có: A(1; 1; 3), B(3; 3;1) d( A, (P )) d(B, (P )) Vậy d(M , (P )) lớn � M (1; 1; 3) Ví dụ 6.8 Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng... nhỏ Trong không gian với hệ tọa độ Đề Các vng góc Oxyz cho tứ diện ABCD với A (2;3;2), B(6; 1; 2), C(1; 4;3), D(1;6;-5) Tính góc hai đường thẳng AB CD Tìm tọa độ M CD cho tam giác ABM có