Đang tải... (xem toàn văn)
Quy hoạch tuyến tính
Tiểu luận về bài toán Quy Hoạch Tuyến Tính Người viết: Tô Thanh HiềnMỞ ĐẦUPHẦN I: LÝ DO.Loài người xuất hiện trên trái đất cách đây hàng triệu năm, nhưng chỉ cách đây khoảng 5 hoặc 6 nghìn năm con người mới bắt đầu có những hoạt động trí óc. Từ khi ngôn ngữ ra đời con người đã biết đến những khái niệm cơ bản ban đầu về toán học. Cùng với sự tiến bộ về kinh tế - xã hội của loài người, đã thút đẩy toán học từng bước phát triển nhảy vọt. Nhất là khi con người biết tạo ra sản phẩm cần thiết để phục vụ cho nhu cầu của đời sống xã hội thì việc trao đổi hàng hóa cần có sự tính toán. Không những thế, ngay từ khi con người biết suy nghĩ để tìm cách hành động sao cho có lợi nhất cho mình theo những mục đích xác định. Những yêu cầu cấp bách của sự phát triển nền kinh tế và quốc phòng lại càng làm nảy sinh những ý tưởng tương tự. Do đó đã xuất hiện một bài toán cần phải giải quyết, đó là bài toán về tìm phương án tối ưu.Để giải quyết một cách có hiệu quả bài toán ấy, trước hết cần phải xây dựng một mô hình toán học cho nó, trên đó thể hiện được bản chất của mỗi đối tượng đã được khảo xác và sự liện quan cần phải tôn trọng giữa chúng; ngoài ra, dường như cần phải chỉ rõ mục tiêu mong muốn đạt được. Bài toán tìm quyết định tối ưu với mô hình toán học đã được xây dựng được gọi là bài toán quy hoạch toán học hay bài toán tối ưu. Sự liên quan giữa các đối tượng đã được khảo sát trong quá trình xây dựng mô hình toán học thường được thể hiện dưới dạng một hệ phương trình và bất phương trình, coi đó như là những điều kiện ( hay ràng buộc ) không thể bỏ qua. Nếu tất cả các hàm số có mặt trong bài toán ấy là các hàm tuyến tính thì ta có bài toán quy hoạch tuyến tính.ở phần quy hoạch tuyến tính này chỉ nghiên cứu về kiến thức ban đầu của phần quy hạch tuyến tính. Đó chính là nội dung của chương IPHẦN II: NỘI DUNG1./ CƠ SỞ LÝ LUẬN.Quy hoạch tuyến tính là một bộ phận cơ bản và có nhiều ứng dụng trong thực tiển của tối ưu hóa. Sự ra đời của quy hoạch tuyến tính nói riêng và quy hoạch toán học nói chung có thể coi vào năm 1939.Nội dung của môn học nhằm đáp ứng được yêu cầu cung cấp những kiến thức và thuật toán cơ bản của quy hoạch tuyến tính. Phương pháp đơn hình và thuật toán của nó, do Dantzig đề xuất năm 1947, cho đến ngày nay vẫn được coi là phương pháp tổng quát và được sử dụng nhiều nhất để giải bài toán quy hoạch tuyến tính.Có những phương pháp khác nhau để giải bài toán vận tải, tuy nhiên thuật toán của chúng có tên gọi là thuật toán thế vị.Các kiến thức của chương I- Trang 1 - Tiểu luận về bài toán Quy Hoạch Tuyến Tính Người viết: Tô Thanh HiềnDạng tổng quát của bài toán quy hoạch tuyến tính :Tìm vectơ x* = ( x1, x2, …, xn ) sao cho tại đó ( ) ( )( ) { }( )ij j i1' 'ij j j11 1 a = a , i I 2 trong I M= 1,2, .,m a = b , j I 3 I = M \ I njminj jjxxf x c x===∈ ⊂∈=∑∑∑ñoù( ) { }j x 0 , j J 4 J N= 1,2, .,n≥ ∈ ⊂f(x) là hàm mục tiêu; các ràng buộc (2) và (3) là ràng buộc cưỡng bức; ràng buộc (4) là ràng buộc tự nhiên. Mỗi vectơ x* = ( x1, x2, …, xn ) là một phương án.phương án mà tại đó hàm mục tiêu đạt giá trị nhỏ nhất ( lớn nhất ) gọi là phương án tối ưu. Khi đó x* là giá trị tối ưu của hàm mục tiêu trên tập hợp các phương án.Đối với bài toán quy hoach tuyến tính đòi hỏi giá trị của hàm mục tiêu đạt giá trị nhỏ nhất ( hoặc lớn nhất ) ta nói bài toán cực tiểu hay bài toán dạng min ( hoặc bài toán cực đại hay bài toán dạng max ). Phương án x* được gọi là phương án tốt hơn phương án x nếu: f(x*) < f(x) đối với bài toán cực tiểu ( f(x*) > f(x) đối với bài toán cực đại ) Giải bài toán quy hoạch tuyến tính được hiểu là tìm được dù chỉ một phương án tối ưu; hoặc là chứng tỏ trên tập phương án hàm mục tiêu không bị chặn, tức là hàm mục tiêu có thể nhận giá trị nhỏ tùy ý đối với bài toán dạng min ( hoặc lớn tùy ý đối với bài toán dạng max ) Ta có thể thấy rằng:( )( )( )( )x Xx Xx =max x - x =min - xf f f f∈∈ ⇔Viết dưới dạng gọn hơn ( ) ij j i1'ij j j1j1 Min a a , i I a = b , j I x 0 , j J njminj jjxxf x c x===→≥ ∈∈≥ ∈=∑∑∑Đưa ra một số kí hiệu và quy ước:+ A là ma trân cỡ (m,n) thì Ai = ( ai1,ai2, … , ain ) là vectơ dòng thứ i của A; Aj = ( a1j,a2j, … , amj ) là vectơ cột thứ j của A.- Trang 2 - Tiểu luận về bài toán Quy Hoạch Tuyến Tính Người viết: Tô Thanh Hiền+ Nếu A = ( aij ) và B = ( bij ) là hai ma trận cùng kiểu thì A≥B hiểu là aij≥bij ∀i,j. + Nếu c = ( c1, c2, … , cn ) và x = ( x1, x2, … , xn )là hai vectơ nào đó thì biểu thức: 1,nj jjc x c x==∑ được gọi là tích vô hướng của hai vectơ c và xXem c và x là hai ma trận cột thì 1tnj jjcx c x= =∑ là ma trận cấp 1, trong đó tc là ma trận chuyển vị của c ( còn có thể kie hiệu là ct hay cT ) đẻ gọn ta quy ước 1,tnj jjcx c x c x===∑Dạng chính tắc và chuẩn tắc của bài toán quy hoạch tuyến tính:a./ Nếu I = ∅ và J = N thì ta có bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chính tắc. nó có dạng:( )tf x = cx Min Ax b x 0→≥≥ trong đó : b = ( b1,b2, …,bm )A là ma trận ràng buộcb./ Nếu I’ = ∅ và J = N thì ta có bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn tắc. nó có dạng:( )tf x = cx Min Ax b x 0→≥≥Bằng phép biến đổi ta có thể đưa bài toán quy hoạch tuyến tính bất kì về dạng chính tắc hoặc chuẩn tắc cụ thể :Mỗi phương trình Aix = bi được thay bởi bằng hệ hai bất phương trình Aix ≥ bi và - Aix ≥ - bi Mỗi bất phương trình Aix ≥ bi được thay bởi bằng hệ Aix – xn+1 = bi và xn+1 ≥ 0 trong đó xn+1 ẩn bùMỗi bất phương trình Aix ≤ bi được thay bởi bằng hệ Aix + xn+1 = bi và xn+1 ≥ 0 trong đó xn+1 ẩn bùMỗi ẩn xj không ràng buộc về dấu đều có thể viết thành hiệu hai hai ẩn mới không âm: , ,, , ,,j j j j jx = x -x ; x 0 ; x 0≥ ≥. Nếu ẩn xj có điều kiện xj≤0 thì đặt xj = -tj với tj≥0Giải bài toán quy hoạch tuyến tinh bằng phương pháp đồ thị:Xét bài toán quy hoach tuyến tính :- Trang 3 - Tiểu luận về bài toán Quy Hoạch Tuyến Tính Người viết: Tô Thanh Hiền( )∑==21jjjxcxf với các ràng buộc ijjijbxa≥∑=21- Biểu diễn các ràng buộc lên đồ thị Oxy.- Xác định phần được giới hạn bởi các ràng buộc là tập phương án.- Xác định các điểm cực biên của tập phương án thỏa mãn các ràng buộc.- Xác định giá trị của ( )xftại các điểm cực biên.- Suy ra phương án tối ưu 2./ THỰC TIỂN.Trên cơ sở các kiến thức cơ bản của chương I của bài toán Quy Hoạch Tuyến Tính nhằm vận dụng tốt các kiến thức trên vào giải các bài toán về tập mô hình toán học và tìm phương án cho bài toán kinh tế ta thực hiện giải các bài toán sau:Bài 1: ( bài 1 chương I trong giáo trình quy hoạch tuyến tính trang 22)GiảiNguyên liệu A Nguyên liệu B Danh thuHàng loại I 2 3 7 đơn vị tiềnHàng loại II 1 4 5 đơn vị tiềnTổng 6 8Gọi x1 và x2 là số hàn loại I và II cần sản xuất theo kế hoạch trong 1 ngày, khi đó danh thu trong 1 ngày là f(x) = 7x1 + 5x2 . do trữ lượng nguyên liệu có hạn và lượng hàng sản xuất không vước quá nhu cầu thì trường ta có các ràng buộc 2x1+x2≤6 ; 3x1 + 4x2 ≤8 ; x1 ≤ 2 ; x1 – x2 ≤1 và x1, x2 ≥0 .Từ đó ta có mô hình toán học của bài toán là →≥≤≤≤≤. 0 x,x 1 x - x 2 x 8 4x + 3x 6 x +2x Max 25x + 7x = f(x)2121121211Bài 2: ( bài 2 chương I trong giáo trình quy hoạch tuyến tính trang 22)Giải - Trang 4 - Tiểu luận về bài toán Quy Hoạch Tuyến Tính Người viết: Tô Thanh HiềnGọi xj≥0 là số đơn vị hàng loại j cần xếp lên máy bay. Do đề bài ràng buộc về trọng lượng M nên Mnj≤∑=1jjxα và tổng giá thành là lớn nhất Maxnj∑==→1jjxfβ. Từ đó ta có mô hình toán học của bài toán vận tải.≥→≤∑∑=== 0 x j11jjjjxxfMMaxnjnjαβBài 3: ( bài 3 chương I trong giáo trình quy hoạch tuyến tính trang 22)GiảiGọi S là tổng số máy sản xuất theo kế hoạch. xij là số đơn vị thời gian dành cho phân xưởng i làm chi tiết j. Theo đề bài ta có được mô hình toán học của bài toán như sau: ≥≥∑=== 0 S 0af1ijijijxkSxnjBài 4: ( bài 4 chương I trong giáo trình quy hoạch tuyến tính trang 22;23)a./ ( )minx 48xxf31→+= ≥−≥−≥+−≥++0 x3x 4x1x xx5xx2x 131321321x*=( 0,2,3 )GiảiTập X≠φvì x*∈X. với x*=( x1,x2,x3 ) là một phương án bất kì.Cộng hai vế các bất đẳng thức ràng buộc cưỡng bức ta có 7x1 + x3 ≥3 .Thay x*=( 0,2,3 ) vào thỏa mãn và thay vào hàm cơ bản ta có f(x*) = 3nên 7x1 + x3 ≥3 = f(x*) với mọi phương án. Vậy x*=( 0,2,3 ) là phương án tối ưu- Trang 5 - Tiểu luận về bài toán Quy Hoạch Tuyến Tính Người viết: Tô Thanh Hiềnb./ ( )minx xxf42→+=≥=+=+++−=+++−0x32x 3x 2xxx2x1xx2xx14243214321x* = ( 0,-1,0,3 )GiảiTập X≠φvì x*∈X. với x*=( x1,x2,x3,x4 ) là một phương án bất kì.Cộng hai vế các bất đẳng thức ràng buộc cưỡng bức ta có : -3x1 + 6x2 + 2x3 + 4x4 =6 .Thay x*=( 0,-1,0,3 ) vào thỏa mãn và thay vào hàm cơ bản ta có f(x*) = 6nên -3x1 + 6x2 + 2x3 + 4x4 = 6 = f(x*) với mọi phương án vậy x* = ( 0,-1,0,3 ) là phương án tối ưu.Bài 5: ( bài 5 chương I trong giáo trình quy hoạch tuyến tính trang 23) a./ ( )maxx- x3xf21→=( )( )( )≥≥≤−≤+−≥+0 x, 0x3 22x x2 2 xx 1 2x x21212121GiảiNhân (-1) vào 2 vế của ( )1 và cộng các vế của các ràng buộc Ta có: -x1 – 2x2 ≤2 có vô số nghiệm.Suy ra hệ ràng buộc có vô số nghiệm.Vậy hàm mục tiêu không bị chặn.b./ ( )minx- xxf21→=( )( )( )≥≥≤−≥+≥−0 x, 0 x3 33x x2 2 xx2 1 2x 2x 21212121GiảiNhân (-1) vào 2 vế của ( )1, ( )2và cộng các vế của các ràng buộc Ta có: -3x1 – 3x2 ≤3 có vô số nghiệmSuy ra hệ ràng buộc có vô số nghiệm.- Trang 6 - Tiểu luận về bài toán Quy Hoạch Tuyến Tính Người viết: Tô Thanh HiềnVậy hàm mục tiêu không bị chặn.Bài 8: ( bài 8 chương I trong giáo trình quy hoạch tuyến tính trang 24)a./ -x1 + x2 → min( )( )( )≥≥≤+≤≤+0 x, 0 x3 5 x x2 2 x- x 1 2x 2x- 21212121biểu diễn đồ thị các bất đẳng thức lên hệ trục tọa độ ta được miền các phương án là hình ngũ giác ABCDE. Các điểm coa tọa độ như sau A(0,0); B(0,2); C(1,4); D(4,1); E(2,0) là các cực biện. lầm lược thay các cực biện vào hàm mục tiêu ta có f(A) = 0; f(B) = 2; f(C) = 3; f(D) = -3; f(E) = -2. Vậy phương án tối ưu x*=(4,1) tại đó hàm mục tiêu đạt giá trị MinBài 9: ( bài 9 chương I trong giáo trình quy hoạch tuyến tính trang 24)Giải : x1+ x2 → Max ≥≥=+=−+0 x, 0 x 0x x- x 1 xx 2x 21421321PHẦN III: KẾT LUẬN Qua các kiên thức về quy hoạch tuyến tính và trên cơ sở những bài tập về vận dụng kiến thức tôi nhận thấy rằng đây là một môn học vận dụng nhiều kiến thức. đối với môn học này, nhằm giúp đỡ người nghiêm cứu biết tìm ra phương án tối uư cho một kế hoạch cần thực hiện.Qua tiểu luận này, nếu có thời gian nghiêm cứu tôi sẽ thực hiện một cách cụ thể hơn và kiếm thức tìm hiểu sẽ rộng hơn. Tuy nhiện trong quá trình nghiệm cứu vẫn còn những vấn đề sai xót xin được sự góp ý. Chân thành cảm ơn. - Trang 7 -DCABE Tiểu luận về bài toán Quy Hoạch Tuyến Tính Người viết: Tô Thanh Hiền1./ KẾT LUẬN.2./ KIẾN NGHỊ.Quy hoạch tuyến tính là một bộ phận cơ bản và có nhiều ứng dụng trong thực tiển của tối ưu hóa. Sự ra đời của quy hoạch tuyến tính nói riêng và quy hoạch toán học nói chung có thể coi vào năm 1939.Nội dung của môn học nhằm đáp ứng được yêu cầu cung cấp những kiến thức và thuật toán cơ bản của quy hoạch tuyến tính. Phương pháp đơn hình và thuật toán của nó, do Dantzig đề xuất năm 1947, cho đến ngày nay vẫn được coi là phương pháp tổng quát và được sử dụng nhiều nhất để giải bài toán quy hoạch tuyến tính.Có những phương pháp khác nhau để giải bài toán vận tải, tuy nhiên thuật toán của chúng có tên gọi là thuật toán thế vị.Cơ sở lí luận của thuật toán thế vị là trường hợp riêng của thuật toán đơn hình. Lí thuyết đối ngẫu là một vấn đề rất quan trọng của quy hoạch tuyến tính.Để giải quyết một cách có hiệu quả bài toán, trước hết cần phải xây dựng một mô hình toán học cho nó, trên đó thể hiện được bản chất của mỗi đối tượng đã được khảo sát và sự liên quan cần phỉa tôn trọng giữa chúng; ngoài ra, đương nhiên cần chỉ rõ mục tiêu muốn đạt được.Bài toán tìm quyết định tối ưu với mô hình toán học đã được xây dựng được gọi là bài toán quy hoạch toán học hay bài toán tối ưu. Sự liên quan giữa các đối tượng đã được khảo sát trong quá trình xây dựng mô hình toán học thường được thể hiện dưới dạng một hệ các phương trình và bất phương trình, cói đó như là những điều kiện ( hay ràng buộc ) không thể bỏ qua. Nếu tất cả các hàm có mặt trong bài toán ấy là các hàm tuyến tính thì ta có bài toán quy hoạch tuyến tính.Tư tưởng tối ưu hóa đã có từ xa xưa, con người đã tìm đến cách sản xuất và trao đổi làm sao để cho lợi nhậm cao mà tốn ích chi phí sản xuất cũng như vận chuyển.2./ MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU.- Trang 8 - Tiểu luận về bài toán Quy Hoạch Tuyến Tính Người viết: Tô Thanh Hiền3./ ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU.4./ KHÁCH THỂ NGHIÊN CỨU.5./ PHẠM VỊ ĐỀ TÀI.4./ THỰC TIỂN.5./ BIỆN PHÁP.- Trang 9 - . hàm tuyến tính thì ta có bài toán quy hoạch tuyến tính. ở phần quy hoạch tuyến tính này chỉ nghiên cứu về kiến thức ban đầu của phần quy hạch tuyến tính. . LUẬN .Quy hoạch tuyến tính là một bộ phận cơ bản và có nhiều ứng dụng trong thực tiển của tối ưu hóa. Sự ra đời của quy hoạch tuyến tính nói riêng và quy hoạch