Đang tải... (xem toàn văn)
tối ưu hóa đặt nhà máy công nghiệp
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Khoa Toán *** Nguyễn Thị Phương MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ BẤT ĐẲNG THỨC ĐỐI XỨNG BA BIẾN KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC HÀ NỘI - 2010 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Phạm Lương Bằng LỜI CẢM ƠN Em xin trân trọng cảm ơn ban chủ nhiệm khoa Toán, trường ĐHSP Hà Nội 2, thầy cô giáo tổ Đại số tạo điều kiện thuận lợi để giúp em hồn thành khố luận tốt nghiệp Đặc biệt, em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy giáo hướng dẫn: Thạc sĩ Phạm Lương Bằng quan tâm hướng dẫn chỉnh sửa khoá luận cho em Mặc dù cố gắng thân em làm quen với công tác nghiên cứu khoa học nên tránh khỏi thiếu sót Em hi vọng nhận góp ý chân thành thầy bạn để khố luận em hồn chỉnh Sinh viên Nguyễn Thị Phương SVTH: Nguyễn Thị Phương Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Phạm Lương Bằng LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan: Khố luận tốt nghiệp kết lỗ lực tự thân hướng dẫn thầy giáo hướng dẫn: Thạc sĩ Phạm Lương Bằng Nội dung khoá luận khơng trùng lặp với cơng trình nghiên cứu tác giả trước công bố Sinh viên Nguyễn Thị Phương SVTH: Nguyễn Thị Phương Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Phạm Lương Bằng MỤC LỤC LỜI MỞ ĐẦU CHƯƠNG 1: LÍ THUYẾT CHUNG VỀ BẤT ĐẲNG THỨC ĐỐI XỨNG BA BIẾN 1.1 SƠ LƯỢC VỀ BẤT ĐẲNG THỨC ĐỐI XỨNG BA BIẾN 1.2 CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN VÀ ỨNG DỤNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC ĐỐI XỨNG BA BIẾN 1.2.1 Bất đẳng thức AM-GM 1.2.2 Bất đẳng thức Cauchy Schwarz – Holder 1.2.2.1 Bất đẳng thức Cauchy Schwarz : 1.2.2.2 Bất đẳng thức Holder: 12 1.2.3 Bất đẳng thức Chebyshev 14 1.2.4 Bất đẳng thức Jensen 17 1.2.5 Bất đẳng thức Schur 18 CHƯƠNG 22 MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ BẤT ĐẲNG THỨC ĐỐI XỨNG BA BIẾN 22 2.1 BẤT ĐẲNG THỨC CỦA CÁC DÃY SỐ ĐỒNG THỨ TỰ 22 2.2 LỚP HÀM ĐỐI XỨNG SƠ CẤP BA BIẾN .25 2.3 MỘT SỐ TIÊU CHUẨN VỀ S.O.S 29 2.4 HAI DẠNG CƠ BẢN CỦA BẤT ĐẲNG THỨC ĐỐI XỨNG BA BIẾN 33 2.4.1 Bất đẳng thức dạng bậc 33 2.4.2 Đồng bậc hoá bất đẳng thức 36 2.4.3 Bất đẳng thức đối xứng ba biến khơng có điều kiện 39 2.4.4 Bất đẳng thức đối xứng ba biến có điều kiện 44 CHƯƠNG 3: HỆ THỐNG BÀI TẬP VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI 50 3.1 HỆ THỐNG BÀI TẬP 50 3.2 HƯỚNG DẪN GIẢI 53 KẾT LUẬN 67 TÀI LIỆU THAM KHẢO SVTH: Nguyễn Thị Phương 68 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Phạm Lương Bằng LỜI MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong kỷ nguyên công nghệ thông tin, biến đổi ngành lĩnh vực khoa học tự nhiên hay khoa học xã hội diễn với tốc độ chóng mặt Nhờ internet phương tiện truyền thơng mà quốc gia xích lại gần giới hội nhập toàn cầu hố Ở phạm vi hẹp thấy phát triển webside Toán học làm cho người đam mê Toán học giới dễ dàng nhanh chóng tiếp cận trao đổi thông tin vô phong phú Một điều mà người dễ thống với bất đẳng thức ln chiếm vị trí quan trọng tốn học phổ thơng webside Toán học Bất đẳng thức vấn đề cổ điển Toán học sơ cấp ngày phát triển, phần toán sơ cấp đẹp thú vị nhất, ln hút nhiều đối tượng bạn đọc quan tâm Điểm đặc biệt, ấn tượng bất đẳng thức tốn sơ cấp, có nhiều tốn khó, chí khó, ln giải kiến thức sở việc hoàn thành chứng minh niềm vui thực Bất đẳng thức đối xứng phần quan trọng bất đẳng thức sơ cấp, dạng quen thuộc kì thi học sinh giỏi quốc gia quốc tế Đây dạng bất đẳng thức u thích khơng với bạn thành thạo mà hấp dẫn với bạn bắt đầu Xuất phát từ sở lí luận thực tiễn mà em định chọn đề tài: “Một số vấn đề bất đẳng thức đối xứng ba biến” làm đề tài nghiên cứu cho SVTH: Nguyễn Thị Phương Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Phạm Lương Bằng Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu Nắm kiến thức độc đáo bất đẳng thức đối xứng ba biến, từ có phương pháp giải phù hợp bước đầu hình thành khả tự sáng tạo bất đẳng thức Đối tượng nghiên cứu Các bất đẳng thức bản, bất đẳng thức dãy số đồng thứ tự, lớp hàm đối xứng ba biến, tiêu chuẩn S.O.S, bất đẳng thức dạng đồng bậc, bất đẳng thức đối xứng có điều kiện khơng có điều kiện Một số toán bất đẳng thức đối xứng ba biến Phương pháp nghiên cứu Đọc, nghiên cứu tài liệu So sánh, phân loại, tổng hợp kiến thức Tổng hợp, xếp, giải tập SVTH: Nguyễn Thị Phương Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Phạm Lương Bằng CHƯƠNG LÍ THUYẾT CHUNG VỀ BẤT ĐẲNG THỨC ĐỐI XỨNG BA BIẾN 1.1 SƠ LƯỢC VỀ BẤT ĐẲNG THỨC ĐỐI XỨNG BA BIẾN Nói chung, bất đẳng thức đối xứng ba biến dạng tổng qt ln có biểu diễn dạng sau: f ( a, b, c) 0 f (a, b, c) hàm đối xứng ba biến a, b, c hay nói cách khác: f ( a, b, c) f (c, b, a) f (b, a, c) Ví dụ: f (a, b, c) 2a 2b 2c 3ab 3bc 3ca 5abc Tính chất quan trọng biểu thức đối xứng vai trị bình đẳng biến, ta xắp xếp lại theo trật tự tuỳ ý giá trị biến số chứng minh Đây ý sử dụng nhiều Bài toán 1: Cho x, y, z số thực không âm, khác đôi Chứng minh rằng: y z z x x y xy yz zx Chứng minh: Do vai trị bình đẳng biến x, y, z , khơng tính tổng qt, giả sử z min{x, y, z} SVTH: Nguyễn Thị Phương Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Phạm Lương Bằng Nhận thấy: cyc 1 = y z z x y z z x z x x y x y y z =0 Do : VT = cyc y z2 cyc 1 = y z z x y z z x x y = 4 1 4 x y y z z x x z y z xy xy yz zx Bài toán chứng minh Bài toán 2: Cho số thực x, y , z khác thoả mãn xyz = Chứng minh rằng: 2 x y z 1 x 1 y 1 z 1 Chứng minh: Đặt a x x y z ,b ,c , ta có x y z1 a b c ,y ,z Do giả thiết xyz = nên a b c abc a 1 b 1 c 1 a b c ab bc ca 1 Bất đẳng thức cần chứng minh đưa dạng a b c 1 a b2 c 2 a b c ab bc ca a b c 1 0 (đpcm) SVTH: Nguyễn Thị Phương Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Phạm Lương Bằng Bài toán 3: Cho số dương a, b, c thoả mãn a + b +c = Chứng minh rằng: a bc b ca c ab 3 b ca c ab a bc Chứng minh: Ta có: 3( b + ca) = 3b + 3ca = (a + b + c)b + 2ca +ca a b c ab bc ca a bc 3(a bc) 3(a bc ) , từ suy ra: Do b ca 3(b ca) a b c ab bc ca a bc b ca c ab 3(a bc ) 3(b ca ) 3(c ab) =3 a b c ab bc ca b ca c ab a bc Bài toán giải Đẳng thức xảy a = b = c = Bài tốn 4: Tìm số k lớn để bất đẳng thức sau 1 k k , a b b c c a a b c a, b, c số thực khơng âm cho chúng có số dương a + b + c = ab + bc + ca Chứng minh: Cho a = b = 2, c = hiển nhiên a + b + c = ab + bc + ca, ta thu k 1 Ta giá trị lớn k, tức là: 1 a b b c c a a b c SVTH: Nguyễn Thị Phương 1 1 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Phạm Lương Bằng a b c a b c a b c a b c 1 bc ca a b a(b c) bc b(c a ) ca c (a b) ab a b c 1 bc ca a b bc ca ab ab bc ca b c c a a b a b c Bất đẳng thức đúng, ta suy điều phải chứng minh 1.2 CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN VÀ ỨNG DỤNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC ĐỐI XỨNG BA BIẾN 1.2.1 Bất đẳng thức AM-GM Với số thực dương a1 , a2 , , an ta có bất đẳng thức a1 a2 an n a1a2 an n Đẳng thức xảy a1 a2 an Những trường hợp đặc biệt hệ hay áp dụng cho bất đẳng thức đối xứng ba biến Với a, b, c khơng âm ta có a b c 3 abc ; a b c abc ; a b c 3 ab bc ca ; a b2 c ab bc ca a b c ; 3abc a b c ; Một số toán đặc trưng sử dụng bất đẳng thức AM-GM SVTH: Nguyễn Thị Phương ... Sinh viên Nguyễn Thị Phương SVTH: Nguyễn Thị Phương Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Phạm Lương Bằng LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan: Khoá luận tốt nghiệp kết lỗ lực tự thân hướng dẫn thầy giáo hướng... luận khơng trùng lặp với cơng trình nghiên cứu tác giả trước công bố Sinh viên Nguyễn Thị Phương SVTH: Nguyễn Thị Phương Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Phạm Lương Bằng MỤC LỤC LỜI MỞ ĐẦU ... 67 TÀI LIỆU THAM KHẢO SVTH: Nguyễn Thị Phương 68 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Phạm Lương Bằng LỜI MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong kỷ nguyên công nghệ thông tin, biến đổi ngành lĩnh vực khoa học