Đang tải... (xem toàn văn)
Thay loi seminar1-1
gii thiu mt s kt qu nh lngtrong gii tớch vi phõnT Lờ Liý kin tỡm ra cỏc kt qu cú tớnh nh lng trong Gii tớch vi phõn c xut bi Yomdin (2004). cỏc kt qu cú tớnh nh tớnh (chng hn trong lýthuyt K d) cú th ỏp dng c trong tớnh toỏn, iu quan trng l philm mnh hn cỏc kt qu ú nh lng c, i.e. cung cp thụng tintng minh v cú th ỏnh giỏ hiu qu mi tham s quan trng cú liờn quan.iu ny s m ra kh nng ỏp dng ca Gii tớch vi phõn trong cỏc lnh vckhỏc nh Gii tớch, Hỡnh hc, Phng trỡnh vi phõn, H ng lc, . ,v khoahc tớnh toỏn.Mc ớch ca bi ny l gii thiu mt s kt qu quan trng theo hng nờutrờn.B cc:1. nh lý hm n.2. nh lý Morse.3. nh lý Sard.4. nh lý honh.5. nh lý chun b v nh lý chia.6. Cỏc vn .7. Ti liu.Ký hiu: Bnrhay Brl hỡnh cu tõm 0, bỏn kớnh r, trong Rn. Bn= Bn1.1. nh lý hm n.nh lý (Dng nh tớnh) Cho f : Rn Rp Ck, vi k 1, n p, f (a) = 0,cho trong h ta y1= f1(x1, ã ã ã , xn), ã ã ã , yp= fp(x1, ã ã ã , xn). Gi s Df(a)cú hng cc i p. Khi ú tn ti cỏc lõn cn U(a), U(0) trong Rn, v bin ita lp Ck, : U(0) U(a), x1= 1(w1, ã ã ã , wn), ã ã ã n(w1, ã ã ã , wn), saocho trong ta ú f cú dng y1= w1, ã ã ã , yp= wp.nh lý (Dng nh lng) Gi s mi o hm riờng n cp k ca fb chn bi K trờn Bn. Khi ú tn ti r(K), m(K), M(K) > 0, cú biu thctng minh, sao cho U(0) = Br(K)v m(K) < Ck< M(K).Note. Xem k cỏc chng minh kinh in s cú r, m, M tng minh. Cú thxem kt qu ca Clark (1976) m rng nh lý cho f tho iu kin Lipschitz.51 Note. Trng hp f gii tớch: Smale (1986) cho cỏc ỏnh giỏ cho nh lý hmngc, i.e. p = n; cỏc vớ d khi n, p = 1, 2 xem Yomdin (2005).Note. Cỏc ỏnh giỏ nh lng l cn thit khi x lý d liu s vi chớnhxỏc hu hn. Chng hn trong Gii tớch s, xột nh lý trờn di dng:Cho f : Rmì Rp Rp C1. Gi s f(a0, y0) = 0 v o hm theo y,(f/y)(a0, y0) l khụng suy bin. Khi ú tn ti g : U(a0) Rp C1, saocho f(a, g(a)) = 0, khi a U(a0), v g(a0) = y0.Khi xem a0l input v y0l output, theo cụng thc Taylor, chn trờn chosai s vụ cựng bộ ca output y theo sai s vụ cựng bộ ca input a, ngi tadựng s iu kin à = Dg(a0), trong úDg(a0) = fy(a0, y0)1fa(a0, y0)Vy à cng ln thỡ ỏnh giỏ sai s gia y v y0cng t.Shub v Smale (1993) cú nhng kt qu ỏnh giỏ xỏc sut (theo phõn phichun) khi à 1/ cho cỏc h a thc n bin bc d. Ngoi ra nhúm nycũn nờu cỏc ỏp dng trong lý thuyt Tớnh toỏn v phc tp.2. nh lý Morse.Cho f0: Bn R Ck(k 3). Khi ú ta cú tớnh cht tng quỏtca hm Morse:nh lý (Morse 1931). Tn ti nhiu bộ tựy ý (theo chun .Ck) dng f =f0+ h, sao cho(i) Mi im k d xica f l khụng suy bin. Vy s im k d l hu hn.(ii) Cỏc giỏ tr k d l khỏc nhau.(iii) Tn ti bin i ta ti lõn cn xil y1, ã ã ã , yn, sao chof(y1, ã ã ã , yn) = y21+ ã ã ã + y2p y2p+1 ã ã ã y2n+ constNote. Tớnh trự mt ca cỏc hm Morse cú nhiu ỏp dng quan trng, chnghn nh trong lý thuyt Morse (Morse 1931, Milnor 1963, Goresky v McPher-son 1988).Dng nh lng ca nh lý trờn l:nh lý (Yomdin 2004). Gi s mi o hm riờng ca f0b chn bi K.Khi ú vi mi > 0, tn ti hm f = f0+ h cú hCk , v cỏc hm1(K, ), 2(K, ), 3(K, ), d(K, ), N(K, ), M(K, ) > 0 cú biu thc tngminh, sao cho(i) Ti mi im k xica f, cỏc giỏ tr riờng ca Hessian Hf(xi) cú trtuyt i 1(K, ).52 (ii) Khoảng cách giữa hai giá trị kỳ dị khác nhau d(xi, xj) ≥ d(K, ε). Số điểmkỳ dị không vượt quá N(ε).(iii) Với δ = ψ3(K, ) và mỗi điểm kỳ dị xicủa f, trong δ-lân cận của xi, tồntại biến đổi tọa độ y1, · · · , yn, sao chof(y1, · · · , yn) = y21+ · · · + y2p− y2p+1− · · · − y2n+ constCác biến đổi này có chuẩn .Ck−1không vượt quá M(K, ε).Note. Yomdin (2005) còn cho chứng minh là khi f là hàm Morse như định lýtrên, tồn tại α0, sao cho với o < α < α0, nếu f1gần f theo Ck-chuẩn khôngquá α, thì f1= G ◦ f ◦ H với G, H là các vi phôi khác với ánh xạ đồng nhất,theo Ck−1-chuẩn, không quá một giá trị s(K, ψ1, ψ2, α).Note. Niederman (2004) đã sử dụng kết quả của định lý trên vào bài toán ổnđịnh của hệ Hamilton.3. Định lý Sard.Độ đo và chiều Hausdorff. Cho A là tập con của một không gian metric.Với mỗi α ≥ 0, ký hiệu C(, A) = {(Di)i∈N: A ⊂i∈NDivà diam (Di) ≤ },Hα(A) = inf{idiam (Di)α: (Di)i∈N∈ C(, A)}Độ đo Hausdorff chiều α của A được định nghĩa là Hα(A) = lim→0Hα(A).Nếu Hα(A) = ∞, thì Hα(A) = 0 khi α> α; nếu Hα(A) = 0, thì Hα(A) = ∞khi α< α. Từ đó định nghĩa số chiều Hausdorff của A:dimHA = inf{α : Hα(A) = 0} = sup{α : Hα(A) = ∞}Note. Chiều Hausdorff là mở rộng chiều cổ điển, độ đo Hausdorff Hn(A) trùngvới độ đo Lebesgue Ln(A) trong Rnđối với một lớp khá rộng các tập A.Định lý (Morse 1939, Sard 1942, Holm 1987). Cho f : Rn→ Rp∈ Ck.Gọi Σ(f) = {x ∈ Rn: rank Df(x) < p}, và ∆(f) = f(Σ(f)). Khi k ≥max(n − p + 1, 1), ta có Hp(∆(f)) = 0.Định lý (Federer 1969). Cho f : Rn→ Rp∈ Ck. Với ρ < p, ký hiệu Σρ(f) ={x ∈ Rn: rank Df(x) ≤ ρ}, và ∆ρ(f) = f(Σρ(f)). Khi đó Hρ+(n−ρ)/k(∆ρ(f)) =0. Đặc biệtdimH(∆ρ(f)) ≤ ρ +n − ρkNote. Một hệ quả của định lý Sard khẳng định với hầu hết giá trị y ∈ Rp,f−1(y) hoặc trống hoặc là đa tạp con có chiều n − p.53 Note. Định lý sau suy ra định lý đầu khi cho ρ = p − 1. Hơn nữa, nó còn chothấy bậc trơn k đóng vai trò quan trọng. Tuy nhiên, thông tin về độ đo khôngkhó có thể áp dụng được.Để các định lý có thể áp dụng được, Yomdin (1983) đưa ra khái niệm ‘gần kìdị’ và dùng entropy để đánh giá.Giá trị gần kỳ dị (Yomdin 1983):Cho L : Rn→ Rplà ánh xạ tuyến tính. Khi đó L(Bn) là một ellipsoid r chiềucó độ dài các nửa cạnh là l1(L) ≥ · · · ≥ lr(L), với r = rank L. Khi r < p, kýhiệu lr+1(L) = · · · = lp(L) = 0.Cho f : Rn→ Rp∈ Ck. Với mỗi Λ = (1, · · · , p), 1≥ · · · ≥ p≥ 0,ký hiệu Σ(f, Br, Λ) = {x ∈ Br: li(Df(x)) ≤ i, i = 1, · · · , p},khi đó tập giá trị Λ-tới hạn của f trên Br, định nghĩa là∆(f, Br, Λ) = f (Σ(f, Br, Λ))Entropy và chiều entropy. Với A là tập con của một không gian metricvà α > 0, ký hiệu M(α, A) là min của số hình cầu đóng bán kính ≤ α, phủ A.log2(M(α, A)) gọi là α-entropy của A, nó phản ánh lượng thông tin cần thiếtđể ghi nhớ A bằng số với độ chính xác α (Kolmogorov và Tihomirov 1961). Sốchiều entropy của A, định nghĩa là bậc của M(α, A) theo 1/α khi α → 0:dimeA = lim supα→0log(M(α, A))log(1/α)= inf{δ : M(α, A) ≤ (1/α)δ, khi α đủ bé }Note. Ta có dimHA ≤ dimeAKý hiệu Rk(f) =1(k − 1)!supx∈BrDkf(x)rk.Định lý (Yomdin 1983). Cho 0= 1. Khi đó tồn tại hằng số C(n, p, k),˜C(n, p, k)chỉ phụ thuộc n, p, k sao choM(α, ∆(f, Br, Λ)) ≤ C(n, p, k)pi=00· · · irαiRk(f)αn−ikkhi α ≤ Rk(f)M(α, ∆(f, Br, Λ)) ≤˜C(n, p, k)pi=00· · · irαikhi α > Rk(f)Định lý (Yomdin 1983). Cho 0= 1, i= sup{li(Df(x)) : x ∈ Br}, i ∈54 {1, ã ã ã , }. Khi úM(, (f, Br, )) C1(n, p, k)i=00ã ã ã iriRk(f)nikkhi Rk(f)M(, (f, Br, )) C2(n, p, k)i=00ã ã ã irikhi > Rk(f)c bit dimH((f, Br)) dime((f, Br)) +n kNote. Kt qu nh lng cho tp giỏ tr gn ti hn cho phộp ỏp dngtrong tớnh toỏn, m kt qu loi nh vy khụng th suy t tớnh o khụngnh nh lý Sard c in. Mt vớ d in hỡnh l:Mnh . Cho f : Bn R l a thc bc d. Khi ú (f, Bn, ) cú thph bi N(d, n) (2d)nkhong cú di . Suy ra:(i) (f, Bn, ) cú o khụng vt quỏ (2d)n.(ii) Chn ngu nhiờn thuc [a, b], thỡ xỏc sut khụng l giỏ tr -ti hnl 1 (2d)n/(b a).(iii) Vi h > 0, gi Zh= {xi= x0+ ih : i I} l mt li ca [a, b]. Khi úvi 0, cú ớt nht (b a)/h (2d)n(/h + 1) im thuc li m khụng lgiỏ tr -ti hn ca f. Chng hn h h0= (b a)/(2d)nv = h0 h.4. nh lý honh.Khỏi nim v tớnh honh c Thom (1955) xut, nú úng mt vai trũcn bn trong lý thuyt K d.Tớnh honh. Cho g : Rn Rm Ckv P l mt a tp con trong Rm. Khiúg gi l honh vi P ti x nuu g(x) P hoc ImDg(x) + Tg(x)P = Rm.g gi l honh vi P nuu nú honh vi P ti mi x Rn.nh lý (Honh yu, Thom 1955) Cho T l a tp con p chiu trong Rm,f : Rnì T Rm C. Xột h (ft)tT, ft(x) = f(x, t), x Rn, t T .Gi s f honh vi P. Khi ú tp T1= {t T : fthonh vi P} l residuetrong T (nờn trự mt). Nu P compact, thỡ T1l m v trự mt. c bitHp(T \ T1) = 0. nh lng, cn o honh gia cỏc i tng. Ta cú th a bi toỏn vdng sau:Cho f : Bnrì Bpr Rp Ck. Xột h (ft)tBpr, ft(x) = f (x, t), x Bnr.55 Giả sử với mọi (x, t), đạo hàm theo t, Dtf(x, t) : Rp→ Rplà toàn ánh. Dotính compact, ta có thể giả sử(∗) Tồn tại ρ > 0, sao cho lp(Dtf(x, t)) ≥ ρ, ∀(x, t) ∈ Bnr× Bpr.Với mỗi Λ = (1, · · · , p), 1≥ · · · ≥ p≥ 0, và δ > 0, ký hiệuΣ(f, Br, Λ, δ) = {(x, t) ∈ Bnr×Bpr: li(Dxf(x, t)) ≤ i, i = 1, · · · , p, f(x, t) ≤ δ}Gọi π2: Rn× Rp→ Rplà phép chiếu tự nhiên. Định nghĩa∆(f, Br, Λ, δ) = π2(Σ(f, Br, Λ, δ))là tập các tham số t ∈ Bpr, mà tồn tại x ∈ Bnr, li(Dft(x)) ≤ i, i = 1, · · · , p; vàf(x, t) ≤ δ.Định lý (Yomdin và Comte 2004) Với các ký hiệu ở trên. Cho 0 < α <ρr2k.Nếu α ≤ Rk(f), thìM(α, ∆(f, Br, Λ, δ)) ≤ C3pi=00· · · irRk(f)ik(1 +δα+ · · · + (δα)p−i)Nếu α > Rk(f), thìM(α, ∆(f, Br, Λ, δ)) ≤ C4pi=00· · · i(1 +δα+ · · · + (δα)p−i)trong đó C3, C4là các hằng số phụ thuộc f, Df.Note. Một số áp dụng quan trọng của định lý Sard và định lý hoành địnhlượng vào Hình học symplectic được cho bởi Donalson (1996-1999) và vào lýthuết hệ động lực cho bởi Niederman (2004).Note. Các công cụ chính để chứng minh các định lý trên thuộc lĩnh vựcHình học đại số thực. Ngoài ra, để có các bất đẳng thức cho M(α, A) có thểdùng lý thuyết Tích phân hình học, cụ thể là biến phân nhiều chiều (Ivanov1975, Yomdin và Comte 2004):Cho một tập bị chặn A trong không gian Rn. Với α > 0, ta có chặn trên theođa thức của 1/α như sauM(α, A) ≤ C(n)ni=1Vi(A)(1/α)itrong đó Vi(A) là biến phân thứ i của A, là giá trị trung bình theo P (vớiđộ đo thích hợp) của số thành phần liên thông của A ∩ P , với P thuộc khônggian các không gian affin n − k chiều trong Rn.56 5. nh lý chun b v nh lý chia.Cho f l hm xỏc nh trờn mt lõn cn ca (0, 0) Rnì R. Ký hiu(z, w) Rnì R. Khi ú f c gi l chớnh qui cp k theo bin th n + 1hay w-chớnh qui cp k nuu f(0, w) = h(w)wk, vi h(0) = 0.nh lý (Chun b Weierstrass, Poincarộ 1879, Weierstrass 1886). Gi sf(z, w) l hm gii tớch ti U ca (0, 0) trong Rnì R, f(0, 0) = 0 v w- chớnhqui cp k. Khi ú tn ti lõn cn B ca (0, 0), trờn ú hm f cú biu din duynht:f(z, w) = h(z, w)P (z, w),trong ú h, P l gii tớch trờn B, h khỏc khụng trờn B, vP (z, w) = wk+ a1(z)wk1+ ã ã ã + ak(z), vi aj(0) = 0.nh lý (Chia Weierstrass, Spath 1929). Cho f(z, w) l hm gii tớch tilõn cn U ca (0, 0) trong Rnì R. Gi s f l w- chớnh qui cp k. Khi úvi mi hm g gii tớch ti lõn cn 0, tn ti lõn cn B ca (0, 0) trờn ú g cúbiu din duy nht:g(z, w) = Q(z, w)f(z, w) + R(z, w) ,trong ú Q, R l gii tớch trờn B, R(z, w) = a1(z)wk1+a2(z)wk2+ã ã ã+ak(z).Note. Nghiờn cu k mt s chng minh bng phng phỏp chui ly tha(chng hn ca Grauert v Remmert) cú cỏc ỏnh giỏ nh lng cho lnca lõn cn B, v cỏc h s ca cỏc chui phn kt lun ca nh lý, theokớch thc ca U v chn trờn ca cỏc h s ca cỏc chui phn gi thit.Kt qu nh lng cho nh lý chia hay nh lý chun b Malgrange, i.e. chohm kh vi, cha c bit.6. Cỏc vn . Mt cỏch rng, vn l a ra cỏc kt qa nh lngca Gii tớch vi phõn v cỏc ỏp dng. Cú th nờu ra mt s hng sau: K d. Trong lý thuyt K d, cỏc cụng c chớnh l nh lý Sard, nhlý honh, nh lý chia, nh lý chun b v cỏc k thut i s phõn loiv chun hoỏ cỏc k d. V nguyờn tc, cỏc kt qu ú cú th a ra dng nhlng. Ngoi ra, xem xột cỏc kt qu nh lng trong lý thuyt Phõn tng(cha ai lm, cú ý ngha? ) hay trong nghiờn cu tp r nhỏnh ca mt ỏnh57 xạ (Nhóm Kurdyka 2000-2003, có kết quả về định lý Sard định lượng cho tậpgiá trị tới hạn suy rộng của ánh xạ semi-đại số ).• Cấu trúc o-tối tiểu. Đánh giá tường minh các bất đẳng thức trong cácđịnh lý nêu trên theo các dữ liệu của các yếu tố tham gia thuộc một cấu trúco-tối tiểu cụ thể, chẳng hạn đa thức, semi-đại số, . (một số kết quả của D’Acunto và Kurdyka 2003, cho một số chặn trên tường minh cho một vài đốitượng liên quan đến đa thức, e.g. độ dài qũy đạo gradient, số đoạn N(d, n) phủtập ∆(f, Br) )• Xác suất. Dựa vào các kết quả định lượng, đánh giá phân phối xác suất,kỳ vọng, . (như hệ quả của định lý Sard nêu trên, hay các kết quả của Smale).• áp dụng. Một hướng phát triển gần đây là sử dụng các kết quả định lượnglàm cho các kết quả của Giải tích vi phân có thể áp dụng được, hay đưa racác áp dụng vào các lĩnh vực khác như Giải tích số, Hệ động lực, Lý thuyếtđộ phức tạp, .7. Tài liệu.ở đây chỉ dẫn ra một số tài liệu điển hình nhất có liên quan đến đề tài.Các tài liệu chính dùng để viết bài này:Comte G , Entropy and quatitative transversality, Elservier (2006)Yomdin Y, The geometry of critical and near-crictical values of differentiablemapping., Math. Ann. 264(4) (1983), 495-515.Yomdin Y và Comte G, Tame Geometry with Application in Smooth Analysis,LNM vol. 1834 (2004) .Yomdin Y, Some quantitative results in singularity theory, Ann. Pol. Math. 87(2005), 277-299.Các tài liệu cho phần cơ sở:Arnold V.I, Gusein-Zade S.M và Varchenko A.N, Singularities of Differen-tiable Maps, Vol. I và II, Birkhauser Boston (1985) và (1988).Bochnak J, Coste M, Roy M.F, Real algebraic geometry, Sringer-Verlag (1998)Federer H, Geometric measures theory, Springer-Verlag (1969)Golub G.H và van Loan C.F, Matrix computation, Johns Hopkins Univ. Press(1983).Golubitski M và Guillemin V, Stable mappings and their singularities, GTM14 (1973).Gromov M, Entropy, homology and semialgebraic geometry, Séminaire Bour-58 baki, Vol. 1985/86, Astérisque 145-146 (1987), 225-240.Lojasiewicz S, Ensembles semi-analytiques, preprint I.H.E.S. (1965)Malgrange B, Ideals of differentiable functions, Oxford Univ. Press (1966)Tougeron J.Cl, Idéaux de functions differentiables, Springer (1972).Tham khảo để làm bài tập:Clarke F.H, On the inverse function theorem, Pacific J. Math. 64 (1976), 97-102.Krantz S.G và Parks H.R, The implicit fuction theorem - History, theory andapplications, Birkhauser (2002)Grauert H và Remmert R, Analytische Stenalgebren, Springer-Verlag (1971).Smale S, Algorithms for solving equations, Proceedings of the InternationalCongress of Mathematicians, AMS (1986), 172-195.Các kết quả khác và áp dụng:Blum L, Cucker F, Shub M, Smale S, Complexity and Real Computation,Spriger-Verlag (1998).D’Acunto D và Kurdyka K, Bounds for gradient trajectories of definable fuc-tions with applications to robotics and semialgebraic geometry, Ppreprint (2003)Donaldson S.K, Symplectic submanifolds and almost-complex geometry, J. Dif-ferential Geom. 44 (1996), 666-705.Kurdyka K, Orro P và Simon S, Semialgebraic Sard theorem for generalizedcritical values, J. Differential Geom. 56 (2000), 67-92Neiderman L, Prevalence of exponential stability among near-integrable Hamil-tonian systems, preprint Univ. Paris XI (2004) .Rohde A, On the ε-entropy of nearly critical values, J. Approx. Theory 76(1994), 166-176.Yomdin Y, Sard’s theorem and its improved versions in numerical analysis,Lectures in Applied Math. Vol 26 (1990), 701-706Hướng Cấu trúc o-tối tiểu:van den Dries L, Tame topology and o-minimal structures, London Math. So-ciety LNS 248 (1996)Loi T.L, Tame topology and Tarski-type systems, Vietnam J. Math. 31:2 (2003),127-136.Loi T.L, Genericity of aFand wFregularity conditions and equisingularity offunctions in a family of functions definable in o-minimal structures, Proc. ofthe National conf. of Vietnam, 2002 (2004), 183-189.Loi T.L, Density of Morse fuctions on sets definable in o-minimal structures,Ann. Pol. Math. 89.3 (2006), 289-299.Shiota M, Geometry of subanalytic and semialgebraic sets, Progress in Math-ematics 150 (1997)59 60 . London Math. So-ciety LNS 248 (1996 )Loi T.L, Tame topology and Tarski-type systems, Vietnam J. Math. 31:2 (2003),127-136 .Loi T.L, Genericity of aFand wFregularity. chớnh l nh lý Sard, nhlý honh, nh lý chia, nh lý chun b v cỏc k thut i s phõn loiv chun hoỏ cỏc k d. V nguyờn tc, cỏc kt qu ú cú th a ra dng nhlng. Ngoi ra,