Báo cáo đà lạt 08

Trang 1

Một số kết quả của Hình học và Giải tích vi phântrong cấu trúc o-tối tiểu

Là các đối tượng định nghĩa được trong cấu trúc o-tối tiểu.

Hiện nay là đối tượng chính của Hình học giải tích thực (từ sau 1990).

Là mở rộng tự nhiên và cần thiết của nhiều bài toán liên quan đến các hàmphức tạp hơn lớp hàm:

- Semi-đại số (Whitney, Lojasiewicz, vào những năm 50)

- Sub-giải tích (Gabrielov, Hironaka, Hardt, Lojasiewicz và trường phái Krakówvào những năm 70).

Các tiên đề về cấu trúc o-tối tiểu được đưa ra bởi Lou van den Dries (1980).Có thể xem là một cách tiếp cận cho việc phát triển các phạm trù Hình họcthuần do Grothendieck đề xuất ở Esquisse d’un Programme (1984).

Trong những năm gần đây tính o-tối tiểu của nhiều cấu trúc đáng chú ýđã được chứng minh và các kết quả thú vị đối với đối tượng thuần được xáclập (chẳng hạn các kết quả của M Coste, L van den Dries, A Gabrielov, K.Kurdyka, C Miller, P Speissegger, M Shiota, A Wilkie, và tác giả).• Các bài toán quan tâm:

Thuộc lĩnh vực Hình học thực và Giải tích vi phân của lý thuyếtnày.

(14B05, 14E5, 14J17, 14P10, 26E05, 26E, 32B20, 32S60, 28A78)• Bố cục:

1 Cấu trúc o-tối tiểu trên (R, +, ·)2 Các kết quả về phân tầng.

Trang 2

3 Ba định lý cơ bản của lý thuyết Kỳ dị.4 Các bất đẳng thức kiểu Lojasiewicz.5 Chặn trên cho độ đo Hausdorff.

Tài liệu dẫn.

1 Cấu trúc o-tối tiểu trên (R, +, ·)

1.1 Định nghĩa ([D] 1980) Mộtcấu trúc o-tối tiểu là một họ D = (Dn)n∈Nthoả:

(D1) Dn là một đại số boole các tập con của Rn.(D2) Nếu A ∈ Dn, thì A × R và R × A ∈ Dn+1.

(D3) Nếu A ∈ Dn+1, thì π(A) ∈ Dn, với π là phép chiếu xuống n tọa độ đầu.(D4) Dn chứa mọi tập đại số {x ∈ Rn : P (x) = 0}, với P ∈ R[X1, · · · , Xn].(D5) Mọi tập thuộc D1 là hợp của hữu hạn các khoảng và các điểm.

Một tập trong D được gọi làđịnh nghĩa được (trong cấu trúc đó).

ánh xạ định nghĩa được trong cấu trúc D là ánh xạ có đồ thị thuộc D.1.2 Ví dụ Các cấu trúc o-tối tiểu đáng chú ý là:

2.1 Định lý (1998) Cho S1, · · · , Sk là các tập định nghĩa được trong Rn Khiđó tồn tại một Cp phân tầng Verdier của Rn tương thích với mỗi {S1, · · · , Sk}.

Trang 3

Trong cấu trúc o-tối tiểu điều kiện (w) suy ra điều kiện (b), ta có

2.2 Định lý (1996, 1998, c.f.[DM][S]) Cho S1, · · · , Sk là các tập định nghĩađược trong Rn Khi đó tồn tại một Cp phân tầng Whitney của Rntương thíchvới mỗi {S1, · · · , Sk}.

Cho X ⊂ Rn định nghĩa được và f : X → Rm định nghĩa được Một Cp

phân tầng Whitney của f là (S, T ), với S và T là các Cp phân tầng ney của Rn và Rm, S tương thích với X và nếu Γ ∈ S mà Γ ⊂ S, thì tồn tạiΦ ∈ T , f |Γ: Γ → Φ là một Cp submersion.

Whit-2.3 Định lý (1996,1998, c.f.[DM][S]) Cho f : X → Rm là ánh xạ địnhnghĩa được Khi đó tồn tại Cp phân tầng Whitney của f

Cho f : X → R là định nghĩa được Cho S là một phân tầng của f Với x ∈ Γ, ký hiệu Tx,f = ker d(f |Γ)(x).

Cho Γ, Γ0 ∈ S với Γ ⊂ Γ0\ Γ0.

Cặp (Γ, Γ0) được gọi là thoả điều kiện Thom tại y0 ∈ Γ nếu:(af) nếu dãy (xk) in Γ0, hội tụ về y0, thì δ(Ty0,f, Txk,f) → 0Cặp (Γ, Γ0) được gọi là thoả điều kiện Thom chặt tại y0 nếu:(wf) tồn tại C > 0 và lân cận U của y0, sao cho

δ(Ty,f, Tx,f) ≤ Ckx − yk với mọi x ∈ Γ0∩ U, y ∈ Γ ∩ U.

2.4 Định lý (1997).Tồn tại Cp phân tầng của f thoả điều kiện Thom (af)tại mọi điểm của mỗi tầng.

Nói chung, hàm định nghĩa được không có phân tầng thoả (wf).Ví dụ: f : (a, b) × (0, +∞) → R, f (x, y) = yx.

2.5 Định lý(1998) Giả sử D bị chặn kiểu đa thức Khi đó tồn tại Cp phântầng của f thoả điều kiện (wf) tại mọi điểm của mỗi tầng.

2.6 Hệ quả (2002, 2004, c.f.[C]) Cho f : X × T → R, (x, t) 7→ ft(x), làhọ các hàm định nghĩa được Khi đó tồn tại phân hoạch T = ∪ki=1Ti bởi cácđa tạp lớp Cp định nghĩa được, sao cho khi t và t0 cùng thuộc Ti, thì ft và ft0là tương đương topo.

Hệ quả trên mở rộng kết quả của Fukuda (1976) chứng minh kiểu topo của

Trang 4

hàm đa thức trên Rn bậc ≤ d là hữu hạn.

3 Ba định lý cơ bản của lý thuyết Kỳ dị.

Gọi Dp(N, M ) là không gian các hàm từ đa tạp N vào M, định nghĩa được,lớp Cp Không gian này trang bị topo Whitney định nghĩa được.

Cho X là tập con của Rn và S là một Cp phân tầng Whitney của X Một

hàm Morse f trên X là hạn chế của một hàm ˜f : Rn→ R lớp Cp, thoả:

(M1) Với mỗi S ∈ S, các điểm tới hạn của f |S là không suy biến.

(M2) Với mọi điểm tới hạn x ∈ S của f |S, và mỗi không gian tiếp xúc suyrộng Q tại x mà Q 6= TxS, thì d ˜f (x)|Q 6= 0

3.1 Tính mở và trù mật của các hàm Morse (2006) Tập các hàm địnhnghĩa được lớp Cp trên Rn mà là hàm Morse trên X và có các giá trị tới hạnkhác nhau là mở và trù mật trong Dp(Rn, R).

3.2 Định lý Morse-Sard (2008) Cho f : M → Rn là định nghĩa được,lớp C1 Đặt

Σs(f ) = {x ∈ M : rank df (x) < s}

Khi đó Cs(f ) = f (Σs(f )) là tập định nghĩa được có chiều Hausdorff < s.

Định nghĩakhông gian các r-tia định nghĩa đượclà

|f (x, t)| ≤ ϕ(t) , khi t đủ lớn.

Trang 5

Gọi Φp là tập mọi hàm chẵn, lớp Cp, tăng trên R+, định nghĩa được và p-phẳngtại 0.

4.2 Định lý (1994, c.f.[DM], [Ku]).

(i) Cho f, g : X → R là các hàm liên tục, định nghĩa được trên tâp đóng Xtrong Rn Giả sử f−1(0) ⊂ g−1(0) Khi đó tồn tại p ∈ N, ϕ ∈ Φp và hàm liêntục h trên X sao cho ϕ(g) = hf

Đặc biệt, tồn tại ϕ, ϕ0 ∈ Φp sao cho

|f (x)| ≥ ϕ(|g(x)|), ∀x ∈ X,|f (x)| ≥ ϕ0( dist(x, f−1(0)), ∀x ∈ X,

(ii) Cho X, Y là các tập đóng trong Rn Khi đó tồn tại p ∈ N, ϕ ∈ Φp sao chodist(x, X) + dist(x, Y ) ≥ ϕ(dist(x, X ∩ Y )), ∀x ∈ Rn.

(iii) Cho f : U → R là hàm lớp C1 định nghĩa được trên tập mở U của Rn.Giả sử 0 ∈U và lim

x→0f (x) = 0 Khi đó tồn tại p ∈ N, ϕ ∈ Φp sao cho|gradf (x)| ≥ ϕ−1(|f (x)|), khi x ∈ U gần 0.Ghi chú:

- Nếu D là bị chặn kiểu đa thức thì ϕ có dạng ϕ(t) = C|t|α, α > 0.- Nếu D là bị chặn kiểu mũ thì ϕ(t) = C

expm(1/|t|), m ∈ N.

5 Chặn trên cho độ đo Hausdorff.

Với k ≤, đặt Λ(m, k) là tập mọi hàm tăng từ {1, · · · , k} vào {1, · · · , m}.Với λ ∈ Λ(m, k), tương ứng pλ : Rm → Rk, p(x1, · · · , xm) = (xλ(1), · · · , xλ(k)).Cho A là tập con của Rm Định nghĩa

B0,m−k(A) = sup{B0(A ∩ p−1λ (y)) : λ ∈ Λ(m, k), y ∈ Rk}

Ghi chú: Khi A định nghĩa được, thì B0,m−k(A) hữu hạn Hơn nữa, nếu A làsemi-đại số, thì B0,m−k(A) bị chặn bởi hằng số chỉ phụ thuộc lược đồ của A.

Cho A ⊂ Rm là tập semi-đại số A =Spi=1

j=1Aij, Aij có dạng{(x1, · · · , xm) ∈ Rm : pij(x1, · · · , xm) ≥ 0}, hay

{(x1, · · · , xm) ∈ Rm : pij(x1, · · · , xm) > 0}với pij là các đa thức bậc dij.

Bộ D = D(A) = (m, p, j1, · · · , jp, (dij)) được gọi làlược đồ của A.

5.1 Độ đo Hausdorff (2008 với P Phiến) Nếu A, B là các tập định nghĩađược trong Rm, có chiều k Giả sử B compact và A ⊂ B Khi đó

Trang 6

1 Hk(B) là hữu hạn.

2 Hk(A) ≤ CmkB0,m−k(A)Hk(B).

Hơn nữa nếu A, B là semi-đại số, thì Hk(A) ≤ C(D(A))Hk(B).

5.2 Hệ quả Cho A là tập định nghĩa được trong Rm có chiều k Khi đóvới mọi hình cầu Bm

r bán kính r trong Rm,Hk(f−1(y) ∩ Brm) ≤ CmkB0,m−k(f )Volk(Bk1)rk, với mọi y ∈ Ik(f )

Đặc biệt, nếu f là semi-đại số, thìHk

(f−1(y) ∩ Brm) ≤ Ck(D(f ))rk, với mọi y ∈ Ik(f )

Trang 7

Ghi chú:

- Các kết quả của bài này đúng cho các đối tượng thuần (xem [DM] và [S]).- Có thể đưa ra các đánh giá tường minh ở phần 5 cho tập semi-Pfaff haysub-Pfaff (xem [Kh]).

logarithmic-Ann Inst Fourier 45,4(1995), 951-971.

[L3] T.L.Loi, Whitney Stratification of Sets Definable in the Structure Rexp, nach Center Publications, Vol 33(1996), 401-409.

Ba-[L4] T.L.Loi, Thom stratifications for functions definable in o-minimal structureson (R, +, ·), C R Acad Sci., Paris, Série I, 324 (1997), 1391-1394.

[L5] T.L.Loi, Verdier and Strict Thom Stratifications in o–minimal structures,Illinois J.Math., Vol 42, No.2 (1998), 347-356.

[L6] T.L.Loi, Stratifications of families of functions definable in o-minimal tures, Acta Math Vietnam., Vol 27, No.2 (2002) , 239-244.

struc-[L7] T.L.Loi, Tame topology and Tarski-type systems, Vietnam Journal of Math.31:2 (2003), 127-136.

[L8] T.L.Loi, Genericcity of aF and wF regularity conditions and ity of functions in a family of functions definable in o-minimal structures,Proceedings of the National conferences of Vietnam 2002 (2004), 183-189.[L9] T.L.Loi, Density of Morse Functions On Sets Definable in O-minimal Struc-

equisingular-tures, Ann Polon Math 89.3 (2006) , 289-299.

[L10] T.L.Loi, Transversality Theorem in O-minimal Structures, Compositio atica, August (2008).

matem-[S] M.Shiota, Geometry of subanalytic and semianalytic sets, Progress in Math.Vol 150, Birkh¨auser, Boston (1997).