A PHẦN MỞ ĐẦU I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Đất nước ta đường đổi cần có người phát triển toàn diện, động sáng tạo Muốn phải nghiệp giáo dục đào tạo, đòi hỏi nghiệp giáo dục đào tạo phải đổi để đáp ứng nhu cầu xã hội Đổi nghiệp giáo dục đào tạo phụ thuộc vào nhiều yếu tố, yếu tố quan trọng đổi phương pháp dạy học, bao gồm phương pháp dạy học môn Tốn Mục tiêu Giáo dục phổ thơng rõ “Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo học sinh, phù hợp với đặc điểm lớp học, môn học, bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kỹ vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh.” Từ năm học 2016-2017, kỳ thi trung học phổ thông quốc gia, đề thi mơn Tốn thay đổi từ hình thức tự luận sang hình thức trắc nghiệm khách quan Chính điều tạo chuyển biến lớn dạy học nhà trường Để đạt điểm số cao kỳ thi này, học sinh không cần nắm vững kiến thức bản, làm thục dạng tốn quan trọng mà cần có khả logic cao để tiếp cận vấn đề cách nhanh nhất, chọn cách giải nhanh đến đáp án Đây thực thách thức lớn Trong năm trước đây, kể từ đưa vào chương trình mới, tốn số phức xuất thường xuyên đề thi tốt nghiệp THPT, tuyển sinh ĐH – CĐ, cấu trúc chung đề thi giai đoạn toán số phức thường nằm mức độ “nhận biết, thông hiểu”, hầu hết học sinh cần nắm kiến thức lấy điểm phần Tuy nhiên, kể từ thay đổi từ hình thức tự luận sang hình thức trắc nghiệm khách quan, phần dành cho toán số phức đề xuất thêm nhiều tốn khó mức độ “vận dụng, vận dụng cao”, có lẽ lớp tốn “cực trị số phức” gây khơng khó khăn cho người dạy lẫn người học Bởi vậy, tìm nguồn tốn góp phần giúp cho giáo viên, học sinh tiếp cận toán cách linh hoạt hơn, từ làm tăng tính hiệu việc giảng dạy, ơn tập mơn Tốn nói chung chủ đề số phức nói riêng Trong q trình giảng dạy, ôn thi, làm đề phát rằng: nhiều tốn khó số phức xây dựng sở số toán cực trị hình học mặt phẳng, học sinh tiếp cận theo hướng đại số túy tính tốn cồng kềnh, phức tạp nên khó để giải vấn đề khoảng thời gian ngắn Đây phải hướng tiếp cận khoa học triệt để hơn? Áp dụng phương pháp có giúp học sinh giải vấn đề thời gian giải tốn? Có thể giúp giáo viên tự tạo toán tương tự để phục vụ cho cơng tác giảng dạy mình? Những câu hỏi thơi thúc tơi tìm hiểu thơng qua tài liêu; đề thi thử, thức năm 2017 2018 Từ tơi mạnh dạn đưa đề tài “ Rèn Luyện Kĩ Năng Cho Học Sinh Giải Các Bài Toán Cực Trị Trong Số Phức Bằng Việc Khai Thác Các Bài Toán Cực Trị Trong Hình Học Phẳng” II ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU: Đối tượng nghiên cứu: Đối tượng nghiên cứu đề tài chủ yếu tập trung vào mối quan hệ kiến thức số phức với kiến thức hình học tọa độ mặt phẳng, qua chọn lọc số tốn cực trị đặc trưng hình học chuyển hóa thành toán cực trị tập số phức Phạm vi nghiên cứu: Để thực đề tài này, nghiên cứu dựa tài liệu viết số phức, dạng toán cực trị số phức, cực trị hình học phẳng (đã giảng dạy chương trình hình học lớp 10) dạng tốn có liên quan thường xuất đề thi tuyển sinh ĐH-CĐ, đề thi THPT quốc gia Có nhiều phương pháp để giải tốn cực trị số phức biến đổi đại số sử dụng kiến thức hàm số, kiến thức BĐT, kiến thức vectơ, nhiên phạm vi nghiên cứu đề tài tập trung vào vấn đề sau:  Tiếp cận số toán “cực trị số phức” theo hướng hình học  Đưa phương pháp xây dựng toán tương tự để làm tài liệu giảng dạy cho GV  Đưa ví dụ minh họa cho lập luận III MỤC TIÊU VÀ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU: Mục tiêu nghiên cứu: Mục tiêu nghiên cứu đề tài giúp học sinh lớp 12 tiếp cận toán “cực trị số phức” cách nhẹ nhàng, có hệ thống từ cung cấp, rèn luyện cho em kỹ giải trình bày dạng tốn Góp phần nâng cao chất lượng dạy học chủ đề số phức thuộc mơn Tốn trường trung học Phổ thơng Nhiệm vụ nghiên cứu: Tìm hiểu nghiên cứu tài liệu liên quan, đúc rút kinh nghiệm từ thực tiễn giảng dạy từ xây dựng trình bày cách có hệ thống kiến thức, phương pháp giải toán tập điển hình tốn “cực trị số phức” Ghi chép tổng hợp kết thực nghiệm thu từ việc áp dụng đề tài vào giảng dạy IV GIẢ THIẾT KHOA HỌC CỦA ĐỀ TÀI: Trong thực tiễn giảng dạy chủ đề số phức, ta bắt gặp toán “cực trị số phức”, người giáo viên hệ thống cách ngắn gọn đầy đủ lý thuyết, đồng thời xây dựng hợp lý phương pháp áp dụng lý thuyết vào việc giải tập điển hình giúp học sinh chủ động, tự tin tiếp cận giải tốt tập dạng Từ phát huy, khơi dậy khả vận dụng sáng tạo kiến thức học học sinh vào việc giải toán đồng thời gây hứng thú học tập cho em V PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU: Trong trình nghiên cứu, đề tài sử dụng phương pháp sau: Nghiên cứu lý luận, điều tra quan sát thực tiễn, thực nghiệm sư phạm Trên sở phân tích kỹ nội dung chương trình Bộ giáo dục Đào tạo, phân tích kỹ đối tượng học sinh (đặc thù, trình độ tiếp thu…) Bước đầu mạnh dạn thay đổi tiết học, sau nội dung có rút kinh nghiệm kết thu (nhận thức học sinh, hứng thú nghe giảng, kết kiểm tra,…) đến kết luận Lựa chọn ví dụ tập cụ thể phân tích tỉ mỉ sai lầm học sinh vận dụng hoạt động lực tư kỹ vận dụng kiến thức học sinh để từ đưa lời giải cho toán VI DỰ BÁO NHỮNG ĐĨNG GĨP MỚI CỦA ĐỀ TÀI: Trong q trình giảng dạy, thân áp dụng đề tài bước đầu thu kết khả quan, hầu hết sau em chủ động tự tin đối mặt với tốn “cực trị số phức” nói chung Qua phát huy tính tích cực, tư độc lập sáng tạo việc giải tốn Đề tài làm tài liệu tham khảo cho giáo viên học sinh việc bồi dưỡng học sinh giỏi ôn thi THPT quốc gia B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I CƠ SỞ KHOA HỌC CỦA ĐỀ TÀI: I.1 Cơ sở lý thuyết đề tài: a Kiến thức số phức:  Số i gọi đơn vị ảo có i  1  Dạng đại số số phức z z  a  bi , a, b  , a gọi phần thực số phức z , b gọi phần ảo số phức z  Số phức liên hợp số phức z  a  bi kí hiệu z z  a  bi  Hai số phức nhau: Cho z1  a1  b1i, z2  a2  b2i , a  a2 z1  z2    b1  b2  Các phép toán cộng, trừ, nhân hai số số phức: z1  a1  b1i, z2  a2  b2i  z1  z2   a1  a2    b1  b2  i  z1  z2   a1  a2    b1  b2  i  z1.z2   a1  b1i  a2  b2i   a1a2  a1b2i  b1a2i  b1b2i   a1a2  b1b2    a1b2  a2b1  i  kz1  ka1  kb1i , với k số thực  Phép chia hai số phức: z1 z1 z2  a1  b1i  a2  b2i    , z2  z2 z2 z2 a22  b22 b Mô-đun số phức số mở rộng:  Mơ-đun số phức z  a  bi kí hiệu z , xác định: z  a  b  Mở rộng: zw  zw z  z zw  zw z z  z z.w  z.w z.w  z w  z z   w w z z  w w z  n   zn  zn  z n c Biểu diễn hình học số phức số mở rộng:  Biểu diễn hình học số phức z  x  yi với x, y  mặt phẳng tọa độ điểm M  x; y  Khi z  OM  Biểu diễn hình học hai số phức z z hai điểm đối xứng qua trục Ox nên quỹ tích điểm biểu diễn hai số phức  C  ,  C ' hai hình đối xứng qua trục  Nếu điểm biểu diễn hai số z hình z Ox phức z1 , z2 A, B   z1  z2  AB với M trung điểm đoạn AB  z  z  OA  OB  2O M    Cho điểm biểu diễn hai số phức z1 , z2 A, B Số phức mãn z  z1  z  z2 quỹ tích điểm biểu diễn số phức z z thay đổi thỏa trung trực đoạn AB  Cho điểm biểu diễn hai số phức z1 , z2 A, B Số phức mãn z  z1  z  z2 quỹ tích điểm biểu diễn số phức z z thay đổi thỏa đường thẳng  Cho z0 số phức khơng đổi có điểm biểu diễn I , số phức thay đổi thỏa mãn z  z0  R  quỹ tích điểm biểu diễn số phức z z đường tròn tâm I bán kính R  Cho z0 số phức khơng đổi có điểm biểu diễn I , số phức thay đổi thỏa mãn z  z0  R  quỹ tích điểm biểu diễn số phức z z miền đường tròn tâm I bán kính R  Cho z0 số phức khơng đổi có điểm biểu diễn I , số phức thay đổi thỏa mãn z  z0  R  quỹ tích điểm biểu diễn số phức z z miền đường tròn tâm I bán kính R  Cho hai số phức z1 , z2 khơng đổi có điểm biểu diễn hai điểm A, B Một số phức z thay đổi thỏa mãn z  z1  z  z2  a  Khi đó: +) Nếu z1  z2  a quỹ tích điểm biểu diễn số phức z đường E-lip nhận A, B làm hai tiêu điểm độ dài trục lớn a +) Nếu z1  z2  a quỹ tích điểm biểu diễn số phức z đoạn thẳng AB I.2 Cơ sở thực tiễn đề tài: Trong thực tế gặp dạng toán “cực trị số phức” phát triển từ tốn “cực trị hình học phẳng” thường làm học sinh kể học sinh giỏi lúng túng từ khâu phát nút thắt mấu chốt cách xử lý Đa số em không nhận “bẫy” đề bài, sa đà vào tính tốn, gây thời gian mà thường khơng thu kết mong đợi Khi gặp toán vấn đề trên, học sinh nhiều thời gian để biến đổi toán Một số học sinh lực tư hạn chế chưa biết cách phối hợp tư hình học tính tốn đại số Một thực tế nhiều học sinh làm toán loại chương hình học làm thành thạo chương số phức với ngôn từ, giả thiết khác em lại khơng phát vấn đề cốt lõi, quen thuộc mà lúng túng gặp tốn Chính người dạy phải hướng dẫn học sinh tìm chất vấn đề cách giải đơn giản, thuận lợi để kết thúc toán II CÁC SÁNG KIẾN VÀ GIẢI PHÁP ĐỂ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ: II.1 VẤN ĐỀ 1: Khai thác từ toán cực trị liên quan đến đường thẳng, đoạn thẳng: Bài toán 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm A đường thẳng  d  Tìm điểm M chạy đường thẳng  d  cho độ dài đoạn AM nhỏ a Hướng dẫn giải: A d(M,d) (d) H M Gọi H hình chiếu vng góc điểm A lên đường thẳng  d  Khi AM  AH , nên độ dài đoạn AM nhỏ M hình chiếu vng góc điểm A lên đường thẳng  d  AM  AH  d  M , d  b Cách tạo giải số toán cực trị tập số phức từ toán trên:  Tạo giả thiết: Tạo điều kiện ràng buộc số phức z cho quỹ tích đường thẳng  Tạo kết luận: Tìm giá trị nhỏ mơ-đun z  z0 với z0 số phức biết  Cách giải quyết: Gọi điểm biểu diễn số phức z, z0 M , A Gọi đường thẳng biểu diễn quỹ tích số phức z  d  Khi tốn số phức trở tốn hình học nêu - Nhận xét: Điểm mấu chốt để tạo tập loại ta tạo điều kiện ràng buộc số phức z để quỹ tích biểu diễn đường thẳng Điều kiện kiểu đa dạng, mà hay gặp kể đến: +) Cho số phức z  x  yi ( x, y  ) cho ax  by  c  (a, b, c  ) +) Cho số phức z thỏa mãn z  z1  z  z2 với z1 , z hai số phức biết c Bài tập minh họa: Bài tập 1: Cho số phức z có điểm biểu diễn nằm đường thằng  d  : 3x  y   Tính giá trị nhỏ A B z C D Hướng dẫn giải: Gọi M điểm biểu diễn số phức z  Min z  OM  d  O; d   Bài tập 2: Trong số phức z thỏa mãn iz   z   i Tính giá trị nhỏ z A 2 B C D Hướng dẫn giải: Gọi số phức z  x  yi thỏa mãn iz   z   i   y   xi  x    y  1 i  x  y 1  Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường thẳng  d  : x  y   Với điểm M  x; y  biểu diễn số phức z  x  yi thi z  OM  OH với H hình chiếu vng góc O lên đường thẳng  d  OH khoảng cách từ điểm O lên đường thẳng  d  Tính OH  d  O;  d    Vậy z  1.0  2.0  12  22  5 Bài tập 3: [Thi thử chuyên Võ Nguyên Giáp lần năm 2017] Biết số phức z  x  yi,  x, y   thỏa mãn điều kiện z   4i  z  2i có mơ đun nhỏ Tính P  x  y A P  B P  10 C P  16 D P  26 Hướng dẫn giải: Ta có z  x  yi,  x, y   Ta có z   4i  z  2i  x  y   Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường thẳng  d  : x  y   Với điểm M  x; y  biểu diễn số phức z  x  yi z  OM  OH với H hình chiếu vng góc O lên đường thẳng  d  OH khoảng cách từ điểm O lên đường thẳng  d  Tính OH  d  O;  d    1.0  1.0  12  12 2 Vậy z nhỏ x  2, y  Khi P  Bài tập 4: [Thi thử chuyên ĐH Vinh – Nghệ an - Lần năm 2017] Cho số phức z, w thỏa mãn z   2i  z  4i , w  iz  Giá trị nhỏ w A B C D 2 Hướng dẫn giải: Gọi A  2;  , B  0;  M điểm biểu diễn số phức z Từ đề ta có: MA  MB , hay quỹ tích điểm M đường trung trực đoạn AB  Quỹ tích điểm M đường thẳng  d  : x  y   i Mà w  iz   i z   z  i  IM với I  0;1  Min w  d ( I ; d )  Bài tập 5: Cho số phức z số ảo thỏa điều kiện z   z  z  2i  Giá trị nhỏ z  i A B C D Hướng dẫn giải:  z  2i  z Ta có z   z  z  2i   z  2i z  2i  z z  2i    z  2i (l ) Như toán trở dạng giống Bài tâp Bài tâp 6: [ Thi thử Sở GD – Long An - 2018] Cho số phức z thỏa mãn z   4i  z  2i Giá trị nhỏ z   i A 10 B C 10 D 10 Hướng dẫn giải: 10 Hướng dẫn giải: Gọi M điểm biễu diễn số phức z Theo z  nên quỹ tích điểm M đường tròn  C  tâm O bán kính R  Đặt A  1;0  , B 1;0  , vẽ hình trực quan dễ thấy AB nhận O làm trung điểm nên MAB ta có MO  MA2  MB AB AB  MA2  MB  2MO   4 2 Khi T  z   z   MA  2MB  12  22 MA2  MB  , dấu xảy MB  2MA  MA  đường tròn tâm A bán kính  A giao điểm đường tròn  C  với Suy max T  Bài toán 8: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn  C  có tâm I bán kính R Điểm M cố định nằm miền đường tròn; hai điểm A, B thay đổi  C  cho ba điểm M , A, B thẳng hàng Xác định vị trí hai điểm A, B để tổng độ dài k MA  l.MB (với k  0, l  ) giá trị nhỏ tính giá trị a Hướng dẫn giải: I A M B +) Ta có tích MA.MB độ lớn phương tích điểm M với đường tròn  C  , suy MA.MB  R  MI +) Vậy: k MA  l.MB  klMA.MB  kl ( R  MI ) +) Dấu xảy  kMA  lMB  kl ( R  MI )  MA  l ( R  MI ) k 30 +) Từ ta có: A giao điểm đường tròn tâm M bán kính l ( R  MI ) k với đường tròn  C  b Cách tạo giải số toán cực trị tập số phức từ toán trên:  Tạo giả thiết: Tạo điều kiện ràng buộc hai số phức z1 , z2 cho quỹ tích điểm biểu diễn chúng đường tròn Chọn số phức z0 có điểm biểu diễn nằm miền đường tròn biểu diễn z1 , z2 Tạo điều kiện ràng buộc để ba điểm biểu diễn z0 , z1 , z2 thẳng hàng  Tạo kết luận: Tìm giá trị nhỏ tổng mô-đun k z0  z1  l z0  z2  Cách giải quyết: Gọi điểm biểu diễn số phức z0 , z1 , z2 M , A, B Gọi đường tròn biểu diễn quỹ tích hai số phức z1 , z2  C  Khi tốn số phức trở tốn hình học nêu - Nhận xét: Điểm mấu chốt để tạo tập loại tạo điều kiện ràng buộc để ba điểm biểu diễn ba số phức z0 , z1 , z2 thẳng hàng; đồng thời hai số thực k , l số phức z0 phải chọn cẩn thận để đường tròn tâm M bán kính l ( R  MI ) đường tròn  C  có điểm chung, nghĩa đánh giá bất đẳng k thức lời giải xảy dấu Điều kiện ràng buộc để ba điểm biểu diễn ba số phức z0 , z1 , z2 thẳng hàng ta thường sử dụng z1  z0  z2  z0  z1  z2 c Ví dụ minh họa: Bài tâp 34: (THPT PHẠM HỒNG THÁI – HÀ NỘI - LẦN - 2018)  z1   i  z2   i   Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn  1 Tìm giá trị nhỏ  z1  z2  z1   i  z2   i  biểu thức T  z1   i  2iz2   2i A T  B T  C T  2 D T  31 Hướng dẫn giải: Gọi A, B điểm biểu diễn hai số phức z1 , z2 Theo z1   i  z2   i  , suy quỹ tích điểm A quỹ tích điểm B đường tròn  C  tâm I 1;1 có bán kính R  Đặt điểm M 1;  , ta có z1  z2  z1   i  z2   i  MA  MB  AB  2  2 1 điểm M thuộc đoạn MA.MB  R  IM  AB , nên theo công thức phương tích ta có Lại có: T  z1   i  2iz2   2i  z1   i  i i   2i z2     z1    z2    2i 2   T   MA  MB   MA.MB  Dấu xảy MA  MB hay A, B giao điểm đường thẳng qua M vng góc với IM đường tròn  C  II.3 VẤN ĐỀ 3: Khai thác từ toán cực trị liên quan đến đường elip Bài toán 9: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho E-lip  E  có độ dài trục lớn 2a , độ dài trục bé 2b , tâm đối xứng I ; điểm M thay đổi  E  Xác định vị trí điểm M cho độ dài đoạn IM lớn nhất, nhỏ tính giá trị a Hướng dẫn giải: B M A' I A B' IM max  IA  IA '  a IM  IB  IB '  b 32 b Cách tạo giải số toán cực trị tập số phức từ toán trên:  Tạo giả thiết: Tạo điều kiện ràng buộc số phức z cho quỹ tích điểm biểu diễn đường E-lip  Tạo kết luận: Tìm giá trị nhỏ mô-đun z  z0 với z0 số phức có điểm biểu diễn tâm E-lip  Cách giải quyết: Gọi điểm biểu diễn hai số phức z0 , z I , M Gọi đường E-lip biểu diễn quỹ tích số phức z  E  Khi tốn số phức trở tốn hình học nêu - Nhận xét: Điểm mấu chốt để tạo tập loại tạo điều kiện ràng buộc để quỹ tích điểm biểu diễn số phức z E-lip; đồng thời số phức z0 phải chọn cẩn thận để điểm biểu diễn tâm E-lip c Ví dụ minh họa: Bài tâp 35: (ĐỀ THTT LẦN – 2017) Cho số phức z thỏa mãn z   z   10 Gọi M , m giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ z Tính T  M m A T  14 B T  C T  D T  Hướng dẫn giải: Gọi M điểm biểu diễn số phức z Đặt F1  4;0  , F2  4;0   F1F2  Theo z   z   10  MA  MB  10 nên quỹ tích điểm M đường Elip có hai tiêu điểm F1 , F2 , độ dài trục lớn 10 , tiêu cự , độ dài trục bé Do đó, phương trình tắc ( E ) x2 y  1 25 Vậy max z  OA  OA '  z  OB  OB '  Suy T  M m 8 33 Bài tâp 36: (THPT CHUYÊN KHTN - LẦN - 2017) Cho số phức z thỏa mãn z   i  z   3i  10 Gọi M , m giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ z   i Tính T  M  m2 B T  45 A T  40 C T  10 D T  10 Hướng dẫn giải: Gọi M điểm biểu diễn số phức z Đặt A  2;1 , B  4; 3  AB  Theo z   i  z   3i  10  MA  MB  10 nên quỹ tích điểm M đường E-lip có hai tiêu điểm A, B , độ dài trục lớn 10 , tiêu cự , độ dài trục bé Đặt I  3; 1 , dễ thấy I tâm E-lip và: z   i  IM  z   i  IM  5, z   i max  IM max  Suy T  M  m2  45 Bài tâp 37: Cho số phức z thỏa mãn z   z   10 Giá trị lớn giá trị nhỏ z A 10 B C.4 D Hướng dẫn giải: Gọi M(x;y) điểm biểu diễn số phức z Đặt A(-4; 0), B(41; 0) Khi z   z   10  MA  MB  10 M z  OM b a Do MA + MB = 10  M thuộc elip (E) có tiêu điểm A(-4; 0), B(4; 0) độ dài trục lớn 2a = 10 A O 2 2 (E) có tiêu cự 2c = AB =  c =  b  a  c   (E) có độ dài trục nhỏ 2b = Khi Max z  maxOM  a  , Min z  OM  b   đáp án D Nhận xét: GV cần lưu ý phân biệt cho học sinh điều kiện: MA + MB = 2a với 2a = AB 2a < AB để tránh nhầm lẫn dạng dạng 2 Bài tâp 38: Cho số phức z thỏa mãn iz   iz   Tìm giá trị lớn 1 i i 1 giá trị nhỏ z B 34 Hướng dẫn giải: Giả sử z = x +yi  2 2 iz   iz    xi  y   xi  y  4 1 i i 1 1 i i 1   y   ( x  1)i   y   ( x  1)i  a b  y   ( x  1)i  y   ( x  1)i  (1) Gọi M(y; x), A(1; -1), B(-1; 1)  (1)  MA + MB =  M thuộc elip (E) có tiêu điểm A, B, độ dài trục lớn 2a = 4, tiêu cự 2c = AB = 2 , có tâm O(0; 0) trung điểm AB Ta có: b2 = a2 – c2 =  b   độ dài trục nhỏ 2b  2 Ta lại có OM = y  x  z M A O B  Max z  MaxOM  a  , Min z  MinOM  b  Bài tâp 39: Cho số phức z thỏa mãn z   3i  z   5i  38 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ z   4i Hướng dẫn giải: Giả sử M(x; y) điểm biểu diễn hình học z Đặt A(-4; 3), B(8; 5)  I(2; 4) trung điểm AB Khi z   3i  z   5i  38  MA  MB  38 z  IM Do MA + MB = 38  M thuộc elip (E) có tiêu điểm A, B độ dài trục lớn 2a = 38 , tâm I(2; 4) (E) có tiêu cự 2c = AB = 37 , có độ dài trục nhỏ 2b = (trong b2  a  c  ) Khi Max z  max IM  a  38 , Min z  OM  b  Bài tâp 40: Cho số phức z thỏa mãn z   z   , giá trị nhỏ z : A z  B z  C z  D z  Hướng dẫn giải: Trong mặt phẳng Oxy Giả sử điểm M, F1 , F2 biểu diễn số phức z, -1, Suy F1M biểu diễn số phức z - (-1) = z + 1; F2 M biểu diễn số phức z - Với F1 , F2 nằm trục thực Ox Khi điều kiện: z   z    MF1  MF2  F1F2  Vậy tập hợp điểm M Elip có trục lớn trục bé x2 y Phương trình Elip mặt phẳng tọa độ Oxy là:   35 Để z nhỏ OM nhỏ M trùng với đỉnh thuộc trục nhỏ z  OM  OB  Đáp án A Tìm số phức z thỏa mãn z   z   10 z lớn Bài tâp 42: Hướng dẫn giải: Giả sử z  x  yi ( x, y  R) có điểm biểu diễn M ( x; y ) , ta có ( x  2)  y  ( x  2)  y  10  MF1  MF2  10 Với F1 (2;0) ; F2 (2;0) Tập hợp điểm M elip nhận F1 ; F2 tiêu điểm, elip (với c  2; a   b2  a  c  21 ) có phương trình ( E ) : x2 y   25 21 Rõ ràng, giá trị lớn z ứng với diểm thuộc (E) mà khoảng cách đến O lớn Các điểm A' (5;0) A(5;0) ứng với số phức z  5 Bài tâp 43: Trong số phức z thỏa mãn z  3i  iz   10 Hai số phức z1 z2 có mơđun nhỏ Hỏi tích z1 z2 bao nhiêu? B 25 A 25 C 16 D 16 Hướng dẫn giải: Gọi số phức z  x  yi thỏa mãn z  3i  iz   10  x   y  3 i  y   xi  10  x   y  3    y  3  y  3  x  10  x  10  x   y  3   y  3  x  100  20 x   y  3  x   y  3 2  20 x   y  3  100  12 y  25 x  16 y  400  x2 y2  1 16 25 Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường Elip  E  : x2 y   có 16 25 đỉnh thuộc trục nhỏ A  4;0  , A '  4;0  36 Với điểm M  x; y  biểu diễn số phức z  x  yi thuộc đường tròn tâm O bán kính R '  z  x  y Vì elip  E  đường tròn  C  có tâm O nên để OM nhỏ M đỉnh thuộc trục nhỏ  M  A '  z1  4 , M  A  z2  Tổng hợp z1.z2   4   16 Mở rộng Nếu đề hỏi tích z1 z2 với z1 , z2 có giá trị lớn hai điểm M biểu diễn hai số phức hai đỉnh thuộc trục lớn B  0; 5 , B '  0;5  M  B '  z1  5i , M  A  z2  5i Tổng hợp z1 z2  5i  5i   25i  25 II.4 Một số tập đề nghị cho dạng toán trên: Bài (THPT CHU VĂN AN – HÀ NỘI) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z   Tìm giá trị lớn biểu thức T  z  i  z   i A max T  B max T  C max T  D max T  Bài (THPT CHUYÊN NGOẠI NGỮ - HÀ NỘI) Cho số phức z thỏa mãn z  Tìm giá trị lớn biểu thức T  z   z  A max T  B max T  10 C max T  D max T  Bài (SỞ GD&ĐT QUẢNG NAM) Cho số phức z  x  yi ( x, y  ) thỏa mãn z   8i  có mơđun nhỏ Tính tổng A x  y  3 B x  y  1 x y C x  y  D x  y  Bài (THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN – QUẢNG TRỊ) Trong số phức z thỏa mãn điều kiện z   4i  Tìm max z A max z  B max z  C max z  D max z  13 Bài (THPT CHUYÊN KHTN - HÀ NỘI) Trong số phức z thỏa mãn điều kiện 1  i  z   7i  Tìm max z A max z  B max z  C max z  D max z  37 Bài (THPT CHUYÊN VÕ NGUYÊN GIÁP - QUẢNG BÌNH) Trong số phức z thỏa mãn điều kiện z   4i  z  2i Biết số phức z  x  yi ,  x, y   có mơđun nhỏ Tính P  x  y A P  10 Bài Trong số phức z D P  26 C P  16 B P  thỏa mãn điều kiện z  5i  Nếu số phức z có mơđun nhỏ phần ảo bao nhiêu? A B C D Bài (THPT CHUYÊN ĐH VINH - LẦN 2) Cho số phức z, w thỏa mãn z   2i  z  4i , w  iz  Giá trị nhỏ biểu thức w A z  B z  2 C z  D z  2 Bài (THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU - NGHỆ AN - 2017) Cho số phức z thỏa mãn z   3i  Giá trị lớn z   i A 13  B D 13  C Bài 10 (SỞ GD&ĐT BẮC NINH - 2017) Cho số phức z có mơđun z  Giá trị lớn biểu thức P   z   z A max P  10 B max P  10 C max P  D max P  Bài 11 (THPT TRẦN HƯNG ĐẠO - 2018) Trong số phức thỏa mãn điều kiện z  3i  z   i Giá trị nhỏ biểu thức z A z  B z  C z  D z  2 Bài 12 (LẠNG GIANG SỐ - 2018) Cho số phức z thỏa mãn z   z   Gọi M , m giá trị lớn nhỏ z Khi M  m A  B  C D  Bài 13 Cho số phức z thỏa mãn z  Tìm giá trị lớn biểu thức P  1 z  1 z 38 A 15 B C 20 D 20 Bài 14 Biết số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện z   4i  2 biểu thức M  z   z  i đạt giá trị lớn Tính mơđun số phức A z  i  41 B z  i  C z  i  Bài 15 Cho số phức z thỏa mãn z  Gọi M D z  i  41 m giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P  z   z  z  Tính giá trị A 13 B 39 z  i C 3 D M m 13 Bài 16 Cho số phức z thỏa mãn z   2i  Tìm môđun lớn số phức z A  B 11  C  D  Bài 17 Cho số phức z thỏa mãn z   2i  Tìm mơđun nhỏ số phức A z   i B 2 C D 2 Bài 18 (THTP CHUYÊN ĐHKHTN - HUẾ - 2018) Trong số phức z thỏa z + + 4i = , gọi z0 số phức có mơ đun nhỏ Khi A Không tồn số phức z0 B z0 = C z0 = D z0 = 39 III KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM: Mục đích thực nghiệm: Kiểm tra tính khả thi hiệu đề tài Nội dung thực nghiệm:  Triển khai đề tài: Đưa phương pháp giúp học sinh tiếp cận số toán cực trị số phức thơng qua tốn cực trị hình học phẳng  Đối tượng áp dụng: Học sinh hai lớp 12A1, 12A4 năm học 2017-2018  Thời gian thực hiện: buổi dạy ôn thi THPT quốc gia trường (2 buổi đầu không áp dụng đề tài, buổi sau áp dụng đề tài) Kết thực nghiệm: a Phân tích mặt định lượng: Trong năm học 2017 – 2018 phân cơng giảng dạy mơn Tốn lớp 12A1, 12A4, lớp chất lượng mơn tốn mức gần tương đương Tôi tiến hành thực nghiệm sư phạm tiến hành kiểm tra để kiểm chứng hiệu đề tài này, kết thu thống kê bảng sau: Thực Lần kiểm tra nghiệm đối Kết Số Yếu, chứng (%) Trung bình (%) Khá Giỏi (%) (%) TN 82 28 44 22 ĐC 82 15 41 34 10 TN 82 25 43 28 ĐC 82 14 40 35 11 Tổng TN 82 26.5 43.5 25 Hợp ĐC 82 14.5 40.5 34.5 10.5 (Thớng kê xếp loại trình độ học sinh qua lần kiểm tra.) Qua bảng cho thấy, tỉ lệ % điểm khá, giỏi nhóm TN ln có tỉ lệ cao nhóm ĐC, đặc biệt tỉ lệ % điểm giỏi 40 b Phân tích mặt định tính: Qua trình ứng dụng phương pháp hướng dẫn học sinh tự học giảng dạy kiểm tra đánh giá đối tượng thực nghiệm đối chứng, tơi thấy: - Ở lớp ĐC: Học sinh phát biểu, hứng thú tiết học Trả lời câu hỏi gợi ý giáo viên lan man, lúng túng Khả tư duy, khái quát, hệ thống kiến thức học sinh chưa cao - Ở lớp TN: Học sinh hào hứng với phương pháp tiếp cận này, thể qua trình hoạt động nhận thức cách tích cực, sơi Trong học HS trả lời nhanh, ngắn gọn súc tích câu hỏi gợi ý mà giáo viên sử dụng Điều chứng tỏ chất lượng dạy nâng cao Như vậy, qua việc phân tích kết mặt định lượng định tính kết thu thực nghiệm thể tính hiệu phương pháp giúp học sinh tiếp cận số tốn cực trị số phức thơng qua tốn cực trị hình học phẳng 41 C KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Kết luận chung: Sáng kiến kinh nghiệm thu số kết sau đây: Đã hệ thống hóa, phân tích, diễn giải khái niệm kĩ hình thành kĩ học giải tập toán cho học sinh Thống kê số dạng toán điển hình liên quan đến nội dung chuyên đề thực Chỉ số sai lầm thường gặp học sinh trình giải vấn đề liên quan đến nội dung chuyên đề thực Xây dựng số biện pháp sư phạm để rèn luyện kĩ giải vấn đề liên quan đến nội dung chuyên đề thực Thiết kế thức dạy học số ví dụ, hoạt động theo hướng dạy học tích cực Đã tổ chức thực nghiệm sư phạm để minh họa tính khả thi hiệu biện pháp sư phạm đề xuất Như khẳng định rằng: mục đích nghiên cứu thực hiện, nhiệm vụ nghiên cứu hoàn thành giả thuyết khoa học chấp nhận Trong q trình giảng dạy mơn Tốn trường, từ việc áp dụng hình thức rèn luyện cách trình bày lời giải tốn cho học sinh có kết rõ rệt, thân rút nhiều học kinh nghiệm phương pháp rèn luyện cách trình bày lời giải tốn cho học sinh từ đưa cho cách truyền thụ tốt Cũng qua thực tế kinh nghiệm giảng dạy thân, với nội dung phương pháp nêu giúp học sinh có nhìn tồn diện Tốn học nói chung Đặc biệt nhận thấy đối tượng học sinh khá, giỏi hứng thú với việc làm mà giáo viên áp dụng chuyên đề Kiến nghị: +) Thơng qua số ví dụ phần thấy vai trò phương pháp việc giải số toán cực trị số phức Tuy 42 nhiên, sử dụng phương pháp giáo viên cần phải cung cấp cho học sinh số vốn kiến thức định kỹ nhận dạng tập Phương pháp phương pháp khác áp dụng cho tất loại toán cực trị số phức chưa phương pháp tối ưu, học sinh cần vào đặc điểm toán, khai thác giả thiết cho nhận dạng tập để lựa chọn phương pháp giải cho thích hợp, từ có cách nhìn linh hoạt, uyển chuyển có nhuần nhuyễn kỹ +) Là giáo viên xác định cho phải ln tạo cho học sinh niềm hứng thú say mê q trình học tập; ln cải tiến phương pháp dạy học, phát triển tư duy, vận dụng kiến thức phục vụ tốt cho dạy +) Bài tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ môđun số phức đa dạng Trong viết đưa số ví dụ tốn hay gặp đề thi thử THPT quốc gia nên chưa thể đầy đủ, chưa bao quát hết, với mong muốn giúp cho học sinh có định hướng tốt gặp tốn , tơi mong nhận góp ý chân thành đồng nghiệp để viết tơi hồn thiện Đề tài kinh nghiệm nhỏ, kết nghiên cứu cá nhân, thông qua số tài liệu tham khảo nên không tránh khỏi hạn chế, khiếm khuyết Vậy, mong Hội đồng xét duyệt góp ý để kinh nghiệm giảng dạy ngày phong phú hữu hiệu Tôi xin trân trọng cảm ơn ! Vinh, ngày 30 tháng năm 2019 Tác giả: Phạm Thị Ngọc Hương 43 TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa Giải tích 12 – Trần Văn Hạo (tổng chủ biên) – NXB Giáo dục Tài liệu bồi dưỡng giáo viên mơn tốn lớp 12 – NXB Giáo dục Dạy học theo chuẩn kiến thức kỷ mơn tốn lớp 12 – Bùi Văn Nghĩa ( chủ biên) – NXB đại học sư phạm Hàm biến phức - Nguyễn Văn Khuê - Lê Mậu Hải - Nhà xuất đại học quốc gia Hà Nội năm 2001 Các dạng tốn điển hình giải tích 12 – Thạc sỹ Lê Đức – NXB Đại học quốc gia Hà Nội Phân loại phương pháp giải tốn đại sớ tổ hợp sớ phức – Thạc sỹ Lê Thị Hương – NXB Đại học quốc gia Hà Nội Cơng phá tốn – Ngọc Huyền LB – NXB Đại học quốc gia Hà nội Câu hỏi tập trắc nghiệm toán 12- Nguyễn Phú Khánh, Huỳnh Đức Khánh- NXB đại học quốc gia Hà Nội Đề thi thử THPT Quốc gia trường THPT nước, Sở GD&ĐT; Các đề thi thử nghiệm, thức GD&ĐT năm 2017, 2018 44 ... 2018 Từ tơi mạnh dạn đưa đề tài “ Rèn Luyện Kĩ Năng Cho Học Sinh Giải Các Bài Toán Cực Trị Trong Số Phức Bằng Việc Khai Thác Các Bài Tốn Cực Trị Trong Hình Học Phẳng II ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN... toán cực trị số phức phát triển từ toán cực trị hình học phẳng thường làm học sinh kể học sinh giỏi lúng túng từ khâu phát nút thắt mấu chốt cách xử lý Đa số em không nhận “bẫy” đề bài, sa... giúp học sinh lớp 12 tiếp cận toán cực trị số phức cách nhẹ nhàng, có hệ thống từ cung cấp, rèn luyện cho em kỹ giải trình bày dạng tốn Góp phần nâng cao chất lượng dạy học chủ đề số phức thuộc