ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NINH THỊ LƯU BẤT ĐẲNG THỨC DẠNG HERMITE–HADAMARD–FEJÉR CHO HÀM P -LỒI THÁI NGUYÊN – 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NINH THỊ LƯU BẤT ĐẲNG THỨC DẠNG HERMITE–HADAMARD–FEJÉR CHO HÀM P -LỒI CHUYÊN NGÀNH: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP MÃ SỐ: 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS NGUYỄN THỊ THU THỦY THÁI NGUYÊN – 2019 i Mục lục Bảng ký hiệu Mở đầu Bất đẳng thức tích phân dạng Hermite–Hadamard–Féjer cho hàm lồi 1.1 1.2 Hàm lồi Hàm đối xứng 1.1.1 Hàm lồi 1.1.2 Hàm đối xứng Bất đẳng thức Hermite–Hadamard–Féjer 1.2.1 Bất đẳng thức tích phân dạng Hermite–Hadamard–Féjer 1.2.2 Ví dụ áp dụng 17 Bất đẳng thức tích phân dạng Hermite–Hadamard–Féjer cho hàm p-lồi 2.1 2.2 19 Bất đẳng thức tích phân dạng Hermite–Hadamard–Féjer cho hàm p-lồi 19 2.1.1 Hàm p-lồi 19 2.1.2 Bất đẳng thức tích phân dạng Hermite–Hadamard–Féjer 21 Áp dụng 35 Kết luận 39 Tài liệu tham khảo 40 Bảng ký hiệu R Rn I I◦ L[a, b] tập số thực không gian Euclid n-chiều tập tập số thực R phần tập I khơng gian hàm khả tích đoạn [a, b] Mở đầu Cho f : C ⊂ R → R hàm lồi xác định tập C tập số thực R a, b ∈ C với a = b Bất đẳng thức a+b f b−a ≤ b f (x)dx ≤ a f (a) + f (b) (1) tiếng biết tên gọi bất đẳng thức Hermite–Hadamard (xem [4]) Hầu hết bất đẳng thức tiếng liên quan đến giá trị trung bình tích phân hàm lồi f dạng bất đẳng thức Hermite–Hadamard dạng trọng số nó, bất đẳng thức Hermite–Hadamard–Féjer Trong [3], Fejér xây dựng bất đẳng thức, mang tên ông Fejér, mở rộng bất đẳng thức Hermite–Hadamard (1): f a+b b b w(x)dx ≤ a f (x)w(x)dx ≤ a f (a) + f (b) b w(x)dx, (2) a a+b Trong trường hợp hàm f : C ⊂ (0; ∞) → R hàm p-lồi, p ∈ R \ {0}, a, b ∈ C với w : [a, b] → R hàm khơng âm, khả tích đối xứng ứng với a < b, bất đẳng thức Hermite–Hadamard xây dựng dạng f ap + b p 1/p ≤ p p b − ap b a f (x) f (a) + f (b) dx ≤ , 1−p x (3) hàm f khả tích đoạn [a, b] Nhiều tác giả xây dựng bất đẳng thức dạng Hermite–Hadamard–Féjer cho số lớp hàm lồi khác đưa ứng dụng đánh giá số giá trị trung bình đặc biệt từ bất đẳng thức Mục tiêu đề tài luận văn tìm hiểu trình bày lại số bất đẳng thức dạng Hermite–Hadamard–Féjer cho hàm p-lồi [6] [7] công bố năm 2016 2017 Luận văn ngồi phần mở đầu, kết luận, nội dung gồm chương với bố cục cụ thể sau: Chương Bất đẳng thức tích phân dạng Hermite–Hadamard–Féjer cho hàm lồi Chương giới thiệu số kiến thức hàm lồi, hàm đối xứng số bất đẳng thức dạng Hermite–Hadamard–Féjer cho hàm lồi số ví dụ áp dụng Nội dung chương tổng hợp từ tài liệu [1]–[8] Chương Bất đẳng thức tích phân dạng Hermite–Hadamard–Féjer cho hàm p-lồi Chương giới thiệu khái niệm hàm p-lồi, trình bày mối liên hệ hàm p-lồi hàm lồi trình bày số bất đẳng thức dạng Hermite–Hadamard–Féjer cho hàm p-lồi số áp dụng đánh giá số bất đẳng thức khác Nội dung chương tham khảo từ hai báo [6] [7] cơng bố năm 2016 2017 Luận văn hồn thành trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên Lời tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới giáo PGS.TS Nguyễn Thị Thu Thủy Cô dành nhiều thời gian hướng dẫn giải đáp thắc mắc suốt trình làm luận văn Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Tác giả xin chân thành cảm ơn tồn thể thầy Khoa Toán - Tin, trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên tận tình hướng dẫn, truyền đạt kiến thức suốt thời gian theo học, thực hoàn thành luận văn Cảm ơn giúp đỡ bạn bè, người thân đồng nghiệp thời gian làm luận văn Thái Nguyên, tháng 11 năm 2019 Tác giả luận văn Ninh Thị Lưu Chương Bất đẳng thức tích phân dạng Hermite–Hadamard–Féjer cho hàm lồi Chương trình bày số bất đẳng thức cho hàm lồi, hàm đối xứng kết nối với bất đẳng thức tích phân dạng Hermite–Hadamard–Féjer Nội dung chương viết sở tổng hợp từ tài liệu [1]–[8] 1.1 Hàm lồi Hàm đối xứng 1.1.1 Hàm lồi Cho hai điểm a, b ∈ Rn Tập tất điểm x = (1 − λ)a + λb với ≤ λ ≤ gọi đoạn thẳng (đóng) nối a b, ký hiệu [a, b] Định nghĩa 1.1.1 (xem [1]) Tập C ⊂ Rn gọi tập lồi chứa đoạn thẳng nối hai điểm thuộc nó; nói cách khác, (1 − λ)a + λb ∈ C với a, b ∈ C ≤ λ ≤ Ví dụ 1.1.2 Các tập sau tập lồi: (a) Các tập afin, siêu phẳng, nửa khơng gian đóng, nửa khơng gian mở (b) Hình cầu đóng tâm a bán kính r > 0: B(a, r) = x ∈ R : x − a ≤ r , hình cầu mở tâm a bán kính r > 0: B(a, r) = x ∈ R : x − a > r Định nghĩa 1.1.3 (xem [1]) Hàm f : C → R xác định tập hợp lồi C ⊆ Rn gọi hàm lồi C với x1 , x2 ∈ C số thực λ ∈ [0, 1] ta có f (1 − λ)x1 + λx2 ≤ (1 − λ)f (x1 ) + λf (x2 ) Hàm f gọi hàm lồi chặt C với x1 , x2 ∈ C , x1 = x2 λ ∈ (0, 1) ta có f (1 − λ)x1 + λx2 < (1 − λ)f (x1 ) + λf (x2 ) Hiển nhiên hàm lồi chặt hàm lồi, điều ngược lại nói chung khơng Định nghĩa 1.1.4 (xem [1]) Hàm f gọi hàm lõm (lõm chặt) C −f hàm lồi (lồi chặt) C Nếu n = 1, Định nghĩa 1.1.3 cho ta định nghĩa hàm lồi biến R Định nghĩa 1.1.5 (xem [1]) Hàm f : [a, b] ⊂ R → R gọi hàm lồi với x1 , x2 ∈ [a, b] λ ∈ [0, 1] f λx1 + (1 − λ)x2 ≤ λf (x1 ) + (1 − λ)f (x2 ) (1.1) Tính chất 1.1.6 Một số phép tốn bảo toàn hàm lồi: (a) Nếu fi : Rn → R, i = 1, , m, hàm lồi α1 f1 + · · · + αm fm hàm lồi với αi ≥ hàm lồi chặt hàm fi lồi chặt với αi > 0, i = 1, , m (b) Nếu fi : Rn → R, i ∈ I , hàm lồi f (x) = supi∈I fi (x) hàm lồi, I tập số (c) Nếu A : Rn → Rm ánh xạ tuyến tính g : Rm → R hàm lồi hàm hợp f (x) = g(Ax) hàm lồi Định lý 1.1.7 (xem [1]) Cho C tập lồi, khác rỗng Rn f : Rn → R hàm lồi Khi đó, điểm cực tiểu địa phương f C cực tiểu toàn cục Chứng minh Giả sử x0 ∈ C điểm cực tiểu địa phương hàm f C U (x0 ) lân cận x0 cho f (x0 ) ≤ f (x) với x ∈ C ∩ U (x0 ) Khi đó, với x ∈ C ta có xλ = λx + (1 − λ)x0 ∈ C ∩ U (x0 ) với λ > đủ bé Suy ra, f (x0 ) ≤ f (xλ ) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (x0 ) hay f (x0 ) ≤ λf (x) Do λ > nên f (x0 ) ≤ f (x) Vì x ∈ C chọn tùy ý nên x0 điểm cực tiểu toàn cục f C Định lý 1.1.8 (xem [1]) Một hàm lồi chặt f tập lồi C có nhiều điểm cực tiểu C Chứng minh Nếu f có hai điểm cực tiểu khác x1 , x2 ∈ C tính lồi chặt f , f 1 x + x < f (x1 ) = f (x2 ), 2 điều vơ lý Ví dụ 1.1.9 Hàm lồi chặt biến f (x) = x2 có điểm cực tiểu x0 = Hàm lồi chặt f (x) = ex , x ∈ R khơng có điểm cực tiểu 1.1.2 Hàm đối xứng Định nghĩa 1.1.10 (xem [7]) Một hàm w : [a, b] ⊂ R → R gọi đối xứng ứng với a+b w(x) = w(a + b − x) ∀x ∈ [a, b] (1.2) Ví dụ 1.1.11 Các hàm w1 , w2 : [a, b] ⊂ R → R xác định w1 (x) = c, c ∈ R, hàm đối xứng ứng với w2 (x) = x − a+b 2 a+b Định nghĩa 1.1.12 (xem [5]) Cho I ⊂ R\{0} khoảng thực Hàm f : I → R gọi hàm lồi điều hòa f xy tx + (1 − t)y ≤ tf (y) + (1 − t)f (x) (1.3) với x, y ∈ I t ∈ [0, 1] Nếu bất đẳng thức (1.3) đổi chiều hàm f gọi hàm lõm điều hòa Ví dụ 1.1.13 Cho f : (0, ∞) → R, f (x) = x g : (−∞, 0) → R, g(x) = x f hàm lồi điều hòa g hàm lõm điều hòa Định nghĩa 1.1.14 (xem [7]) Hàm w : [a, b] ⊂ R\{0} → R gọi hàm đối xứng điều hòa ứng với 2ab a+b w(x) = w 1 a + b − x ∀x ∈ [a, b] , (1.4) Ví dụ 1.1.15 Các hàm w1 , w2 : [a, b] ⊂ R → R xác định w1 (x) = c, c ∈ R, hàm đối xứng đối điều hòa ứng với 1.2 1.2.1 a+b − x 2ab w2 (x) = 2ab a+b Bất đẳng thức Hermite–Hadamard–Féjer Bất đẳng thức tích phân dạng Hermite–Hadamard–Féjer Cho f : C ⊂ R → R hàm lồi xác định tập C tập số thực R a, b ∈ C với a < b Bất đẳng thức f a+b ≤ b−a b f (x)dx ≤ a f (a) + f (b) (1.5) tiếng biết tên gọi bất đẳng thức Hermite–Hadamard (xem [4]) Trong trường hợp hàm f hàm khả vi lồi, bất đẳng thức dạng Hermite–Hadamard xây dựng sau Bổ đề 1.2.1 (xem [6]) Cho f : I ◦ ⊂ R → R ánh xạ khả vi I ◦ a, b ∈ I ◦ với a < b Nếu hàm f khả tích [a, b] bất đẳng thức sau thỏa mãn f (a) + f (b) − b−a b a b−a f (x)dx = (1 − 2t)f (ta + (1 − t)b)dt (1.6) Sử dụng Bổ đề 1.2.1, Dragomir [6] thu hai bất đẳng thức Hermite–Hadamard cho hàm lồi trình bày định lý Định lý 1.2.2 (xem [6]) Cho f : I ◦ ⊂ R → R ánh xạ khả vi I ◦ a, b ∈ I ◦ với a < b Nếu |f | lồi [a, b] bất đẳng thức sau thỏa mãn f (a) + f (b) − b−a b f (x)dx ≤ a (b − a)(|f (a)| + |f (b)|) (1.7) 26 Thay (2.8) (2.9) vào bất đẳng thức bên ta thu bất đẳng thức (2.7), điều phải chứng minh Nhận xét 2.1.17 Trong Định lý 2.1.16, thay p = ta thu bất đẳng thức (1.8) Định lý 1.2.3 Định lý 2.1.18 (xem [6]) Cho f : I ⊂ (0, ∞) → R hàm khả vi I ◦ , a, b ∈ I với a < b, p ∈ R\{0} f ∈ L[a, b] Nếu |f |q hàm p-lồi [a, b] với q > 1, 1 + =1 r q b f (a) + f (b) p − p b − ap a q bp − ap r1 f (x) ≤ C dx x1−p 2p q+1 |f (a)|q + |f (b)|q q , (2.10) C6 = C6 (a, b; p; r) =    2a   F1 2bpr−r F pr−r 1 b a a b r r − , 1; 2; − p r r − , 1; 2; − p p p , p Chứng minh T B 2.1.11, bt ng thc Hăolder v tớnh p-lồi |f |q [a, b], ta có p f (a) + f (b) − p b − ap b p − ap ≤ 2p b a f (x) dx x1−p tap + (1 − t)bp bp − ap r1 ≤ C6 2p q+1 q r− pr dt 1 r q p p |1 − 2t| f [ta + (1 − t)b ] p q dt q |f (a)|q + |f (b)|q q , tính toán ta 1 C6 (a, b, ; p; r) = r [tap + (1 − t)bp ]r− p  r   pr−r F1 r − , 1; 2; − p = 2a r   pr−r F1 r − , 1; 2; − 2b p 1 q |1 − 2t|q (1 − t)dt = |1 − 2t| tdt = 0 b a a b p p , p0 (2.11) 2(q + 1) (2.12) Thay (2.11) (2.12) vào bất đẳng thức bên ta thu (2.10), điều phải chứng minh 27 Định lý 2.1.19 (xem [7]) Cho hàm f : I ⊂ (0, ∞) → R hàm p-lồi, a, b ∈ I với a < b, p ∈ R\{0} w : [a, b] → R hàm không âm, khả tích p-đối xứng ứng với ap +bp 1/p Khi bất đẳng thức sau thỏa mãn 1/p ap + b p f b b w(x) dx ≤ x1−p a a f (x)w(x) dx x1−p b f (a) + f (b) ≤ a w(x) dx x1−p (2.13) Chứng minh Cho p > Vì f : I ⊂ (0, ∞) → R hàm p-lồi, với x, y ∈ I ta có (với t = bất đẳng thức (2.1)) f Chọn x = tap + (1 − t)bp f 1/p 1/p ap + b p ≤ 1/p xp + y p ≤ f (x) + f (y) y = tbp + (1 − t)ap 1/p , ta thu f [tap + (1 − t)bp ]1/p + f [tbp + (1 − t)ap ]1/p Vì w khơng âm, khả tích p-đối xứng ứng với ap +bp 1/p (2.14) nên w [tap + (1 − t)bp ]1/p = w [tbp + (1 − t)ap ]1/p Nhân hai vế (2.14) với w [tap + (1 − t)bp ]1/p , sau lấy tích phân theo t đoạn [0, 1], đổi biến ta thu f ap + b p 1/p ap + b p =f = f ≤ p p b − ap 1/p ap + b p b a w(x) dx x1−p w [tap + (1 − t)bp ]1/p dt 1/p w [tap + (1 − t)bp ]1/p dt f [tap + (1 − t)bp ]1/p w [tap + (1 − t)bp ]1/p + f [tbp + (1 − t)ap ]1/p w [tbp + (1 − t)ap ]1/p dt, 28 hay f = 1/p ap + b p b p p b − ap a w(x) dx x1−p 1 f [tap + (1 − t)bp ]1/p w [tap + (1 − t)bp ]1/p dt f [tbp + (1 − t)ap ]1/p w [tbp + (1 − t)ap ]1/p dt + b p = p b − ap = bp a b p − ap a b f (x)w(x) p dx + p 1−p x b − ap a f (x)w(x) dx x1−p f (x)w(x) dx x1−p Nhân hai vế (2.15) với (2.15) b p − ap , ta thu bất đẳng thức thứ p (2.13) ap + b p f 1/p b a b w(x) dx ≤ x1−p a f (x)w(x) dx x1−p Để chứng minh bất đẳng thức thứ hai (2.13), ta ý f hàm p-lồi với t ∈ [0, 1] ta có f [tap + (1 − t)bp ]1/p + f [tbp + (1 − t)ap ]1/p f (a) + f (b) ≤ 2 Vì w khơng âm, khả tích p-đối xứng ứng với ap +bp 1/p , (2.16) nhân hai vế (2.16) với w [tap + (1 − t)bp ]1/p , lấy tích phân theo t [0, 1] đổi biến ta thu b p p b − ap a f (x)w(x) dx x1−p p = p b − ap = b a f (x)w(x) p + p 1−p x b − ap b a f (x)w(x) x1−p 1 f [tap + (1 − t)bp ]1/p w [tap + (1 − t)bp ]1/p dt f [tbp + (1 − t)ap ]1/p w [tbp + (1 − t)ap ]1/p dt + = f [tap + (1 − t)bp ]1/p w [tap + (1 − t)bp ]1/p + f [tbp + (1 − t)ap ]1/p w [tbp + (1 − t)ap ]1/p dt 29 hay b p p b − ap ≤ a f (x)w(x) dx x1−p f (a) + f (b) w [tap + (1 − t)bp ]1/p dt f (a) + f (b) = w [tap + (1 − t)bp ]1/p dt f (a) + f (b) p = b p − ap Nhân hai vế (2.17) với b bp −ap p , b a w(x) dx x1−p ta thu bất đẳng thức thứ hai (2.13) b f (x)w(x) f (a) + f (b) dx ≤ 1−p x a (2.17) a w(x) dx x1−p Điều phải chứng minh Bổ đề 2.1.20 (xem [7]) Cho f : I ⊂ (0, ∞) → R hàm khả tích I ◦ (phần I ) a, b ∈ I ◦ với a < b, p ∈ R\{0} Nếu f ∈ L[a, b] w : [a, b] → R khả tích bất đẳng thức sau thỏa mãn b a = ap + b p f (x)w(x) dx − f x1−p b p − ap p 1/p b a k(t) [tap + (1 − t)bp ]1− p w(x) dx x1−p [tap + (1 − t)bp ] p dt, f (2.18) k(t) =     t w [sap + (1 − s)bp ] p ds, t ∈ 0, 21 w [sap + (1 − s)bp ] p ds,   − t∈ t 2, Chứng minh Ta ý J= = b p − ap p bp p J1 − J2 k(t) 1− p1 [tap + (1 − t)bp ] − ap − 1 t w − ap p [tap + (1 − t)bp ] p dt [sap + (1 − s)bp ] p ds f [tap + (1 − t)bp ]1− p bp f 1 w t [tap + (1 − t)bp ] p dt [sap + (1 − s)bp ] p ds [tap + (1 − t)bp ] 1− p1 f [tap + (1 − t)bp ] p dt (2.19) 30 Sử dụng cơng thức tích phân phần, ta có p p J1 = f [ta + (1 − t)b ] t p p ap − b p ds p p p w [sa + (1 − s)b ] − 1 f [tap + (1 − t)bp ] p w [tap + (1 − t)bp ] p ap + b p =f − 1/p 1 f [tap + (1 − t)bp ] p w [tap + (1 − t)bp ] p =f p +bp 1/p [a 1/p + bp ap − b p dt p ap − b p dt p p +bp 1/p ] ap − b p ds p w [sap + (1 − s)bp ] p ap w(x) dx − x1−p b [a ] f (x)w(x) dx x1−p b (2.20) tương tự p p J2 = f [ta + (1 − t)b ] 1 p p p w [sa + (1 − s)b ] ap − b p ds p p t 1 f [tap + (1 − t)bp ] p w [tap + (1 − t)bp ] p − ap + b p = −f 1/p 1 w [sap + (1 − s)bp ] p 1 1 = −f ap + b p 1/p a [a ap − b p dt p ap − b p ds p f [tap + (1 − t)bp ] p w [tap + (1 − t)bp ] p − ap − b p dt p a p +bp 1/p ] w(x) f (x)w(x) dx − dx 1−p 1/p p p x x1−p [ a +b ] (2.21) Kết hợp (2.19)–(2.21) ta thu (2.18) Điều phải chứng minh Định lý 2.1.21 (xem [7]) Cho f : I ⊂ (0, ∞) → R hàm khả tích I ◦ thỏa mãn f ∈ L[a, b], a, b ∈ I ◦ a < b Nếu |f | hàm p-lồi [a, b] với p ∈ R\{0}, w : [a, b] → R liên tục bất đẳng thức sau thỏa mãn b a ≤ f (x)w(x) dx − f x1−p b p − ap p ap + b p 1/p b a w(x) dx x1−p w ∞ C1 (p)|f (a)| + C2 (p)|f (b)| 31 t2 C1 (p) = dt + [tap + (1 − t)bp ]1− p dt + [tap + (1 − t)bp ]1− p dt dt [tap + (1 − t)bp ]1− p t − t2 C2 (p) = t − t2 (1 − t)2 [tap + (1 − t)bp ]1− p Chứng minh Sử dụng Bổ đề 2.1.20, ta thu b a ≤ ≤ b p − ap p b p − ap p [tap + (1 − t)bp ] w ∞ t + a [tap + (1 − t)bp ]1− p b |k(t)| × 1/p ap + b p f (x)w(x) dx − f x1−p 1−t [tap + (1 − t)bp ] f [tap + (1 − t)bp ]1− p [tap + (1 − t)bp ]1− p f [tap + (1 − t)bp ]1− p f 1− p1 1− p1 w(x) dx x1−p dt dt dt (2.22) Vì |f | hàm p-lồi [a, b] nên [tap + (1 − t)bp ]1− p f ≤ t|f (a)| + (1 − t)|f (b)| Kết hợp (2.22) (2.23), ta thu b a ≤ ap + b p f (x)w(x) dx − f x1−p b p − ap p × + w a w(x) dx x1−p ∞ t [tap + (1 − t)bp ]1− p 1−t 1 b 1/p [tap + (1 − t)bp ]1− p [t|f (a)| + (1 − t)|f (b)|]dt [t|f (a)| + (1 − t)|f (b)|]dt (2.23) 32 hay b a ≤ b a w(x) dx x1−p b p − ap p w ∞ × + b p − ap p t dt + t − t2 [tap + (1 − t)bp ]1− p ≤ 1/p ap + b p f (x)w(x) dx − f x1−p [tap + (1 − t)bp ]1− p t − t2 dt + [tap + (1 − t)bp ]1− p (1 − t)2 1 [tap + (1 − t)bp ]1− p dt |f (a)| dt |f (b)| w ∞ C1 (p)|f (a)| + C2 (p)|f (b)| Điều phải chứng minh Định lý 2.1.22 (xem [7]) Cho f : I ⊂ (0, ∞) → R hàm khả tích I ◦ f ∈ L[a, b], a, b ∈ I ◦ a < b Nếu |f |q , q ≥ 1, hàm p-lồi [a, b] với p ∈ R\{0}, w : [a, b] → R liên tục bất đẳng thức sau thỏa mãn b a b p − ap p ≤ 1/p ap + b p f (x)w(x) dx − f x1−p b a w(x) dx x1−p w ∞ (C3 (p))1− q C4 (p)|f (a)|q + C5 (p)|f (b)|q q q +(C6 (p))1− q C7 (p)|f (a)|q + C8 (p)|f (b)|q C3 (p) = C5 (p) = dt, t − t2 C6 (p) = 1− p1 dt, C8 (p) = t2 dt, dt, dt [tap + (1 − t)bp ]1− p 1 dt, t − t2 [tap + (1 − t)bp ] C4 (p) = [tap + (1 − t)bp ]1− p 2 [tap + (1 − t)bp ]1− p C7 (p) = t 1−t [tap + (1 − t)bp ]1− p (1 − t)2 [tap + (1 − t)bp ]1− p Chứng minh Sử dụng (2.22), bất đẳng thức trung bình lũy thừa tính p-lồi 33 |f |q ta suy b a ≤ w [tap + (1 − t)bp ] [tap + (1 − t)bp ]1− p w × 1− 1q t [tap + (1 − t)bp ]1− p t × [tap + (1 − t)bp ]1− p 1 [tap + (1 − t)bp ]1− p 1−t × [tap + (1 − t)bp ] dt [tap + (1 − t)bp ] f p q q dt 1− 1q 1−t + 1− p1 dt [tap + (1 − t)bp ] p f q q dt   b p − ap p w  ∞ × 1− 1q t [tap + (1 − t)bp ]1− p × + + (1 − t)bp ]1− p [t|f (a)|q + (1 − t)|f (b)|q ]dt 1− 1q 1−t 1 dt q t [tap dt ∞ × [tap + (1 − t)bp ] p [tap + (1 − t)bp ] p f 1− p1 f b p − ap p  ≤ w(x) dx x1−p t 1−t + ≤ ∞ b a 2 b p − ap p 1/p ap + b p f (x)w(x) dx − f x1−p [tap + (1 − t)bp ]1− p 1−t [tap + (1 − t)bp ]1− p dt q [t|f (a)|q + (1 − t)|f (b)|q ]dt   dt 34 ≤ bp  − ap w p ∞ 2 + (1 − t)bp ]1− p [tap + (1 − t)bp ]1− p 1 [tap + (1 − t)bp ]1− p × + b p − ap p dt + (1 − t)bp ]1− p |f (a)|q dt q (1 − t)2 [tap |f (b)|q dt t − t2 [tap |f (a)|q dt 1− 1q 1−t + dt q t − t2 + ≤ [tap + (1 − t)bp ]1− p t2 [tap t × 1− 1q + (1 − t)bp ]1− p dt |f (b)|q   w (C3 (p))1− q C4 (p)|f (a)|q + C5 (p)|f (b)|q ∞ q +(C6 (p))1− q C7 (p)|f (a)|q + C8 (p)|f (b)|q q Điều phải chứng minh Định lý 2.1.23 (xem [7]) Cho f : I ⊂ (0, ∞) → R hàm khả vi I ◦ cho f ∈ L[a, b], a, b ∈ I ◦ a < b Nếu |f |q , q > hàm p-lồi [a, b] với p ∈ R\{0}, w : [a, b] → R liên tục bất đẳng thức sau b f (x)w(x) dx − f x1−p a ≤ b p − ap p w ∞ ap + b p b 1/p a w(x) dx x1−p q |f (a)|q + 3|f (b)|q C9 (p) 3|f (a)|q + |f (b)|q + C10 (p) 1/2 C9 (p, r) = C10 (p) = 1 + = q r dt r r [tap + (1 − t)bp ]1− p 1−t 1 với r t [tap + (1 − t)bp ]1− p dt r , q 35 Chứng minh S dng (2.22), bt ng thc Hăoder v tớnh p-li |f |q ta thu b f (x)w(x) dx − f x1−p a ≤ b p − ap p ap + b p w ∞ [tap + (1 − t)bp ] b p − ap w ∞ p w |f ([ta + (1 − t)b ] r r dt )| dt q p 1− p1 p |f ([ta + (1 − t)b ] q )| dt q 11 ∞ dt [tap + (1 − t)bp ]1− p [tap + (1 − t)bp ]1− p b p − ap p dt r q q [t|f (a)| + (1 − t)|f (b)| ]dt 11 2 w ∞ × dt r 1−t + dt [tap + (1 − t)bp ]1− p r r t [tap + (1 − t)bp ]1− p b p − ap p [t|f (a)|q + (1 − t)|f (b)|q ]dt r 1−t r r t 1 q × + p 1− p1 p 1 = dt [tap + (1 − t)bp ]1− p b p − ap p r r 1−t |f ([tap + (1 − t)bp ]1− p )|dt |f ([tap + (1 − t)bp ]1− p )|dt + = 1− p1 [tap + (1 − t)bp ]1− p ≤ [tap + (1 − t)bp ] t × 1− p1 1 ≤ t 1−t + w(x) dx x1−p a 2 b 1/p r |f (a)|q + 3|f (b)|q 3|f (a)|q + |f (b)|q q q w ∞ |f (a)|q + 3|f (b)|q × C9 (p) Điều phải chứng minh q 3|f (a)|q + |f (b)|q + C10 (p) q q q 36 2.2 Áp dụng Sau vài áp dụng bất đẳng thức dạng Hermite–Hadamard–Féjer cho hàm p-lồi để đánh giá số bất đẳng thức khác mối liên hệ với bất đẳng thức Hermite–Hadamard cho hàm lồi Trước hết ta nhắc lại số giá trị trung bình đặc biệt hai số không âm a, b với b > a (a) Trung bình cộng: A = A(a, b) := (b) Trung bình nhân: G = G(a, b) := a+b , √ ab, a, b ≥ (2.24) a, b ≥ (c) Trung bình điều hòa: H = H(a, b) := 2ab , = 1 a+b + a b a, b > (d) Trung bình lơgarit:   b−a , a = b; ln b − ln a L = L(a, b) :=  a, a = b, a, b > (2.25) (e) Trung bình p-lơgarit:    bp+1 − ap+1 Lp = Lp (a, b) := (p + 1) (b − a)   a, a = b, p , a = b; (2.26) với p ∈ R\ {−1, 0} a, b > (f) Trung bình bậc p: Mp = Mp (a, b) := ap + bp 1/p , a, b > (2.27) Những giá trị trung bình thường sử dụng xấp xỉ số số lĩnh vực khác 37 Mệnh đề 2.2.1 (xem [6]) Cho < a < b p ∈ (−∞, 1)\{0} Khi ta có bất đẳng p p−1 thức sau Mp Lp−1 p−1 ≤ Lp ≤ A · Lp−1 Chứng minh Khẳng định suy từ bất đẳng thức (2.2) Định lý 2.1.9 với f : (0, ∞) → R, f (x) = x Mệnh đề 2.2.2 (xem [6]) Cho < a < b p > Khi bất đẳng thức sau thỏa mãn p−1 H(ap , bp ) ≤ Lp−1 · L ≤ A(ap , bp ) Chứng minh Khẳng định suy từ bất đẳng thức (2.2) Định lý 2.1.9 với f : (0, ∞) → R, f (x) = x−p Mệnh đề 2.2.3 (xem [6]) Cho < a < b Khi bất đẳng thức sau thỏa mãn 2+2p Lpp H ≤ Lp−1 ≤ Lpp Mp p−1 G Chứng minh Khẳng định suy từ bất đẳng thức (2.2) Định lý 2.1.9 x với f : (0, ∞) → R, f (x) = Nhận xét 2.2.4 (xem [7]) Trong Định lý 2.1.19, ta có nhận xét sau (1) Nếu cho p = w(x) = 1, ta thu (1.5) (2) Nếu cho p = 1, ta thu (1.9) (3) Nếu cho w(x) = 1, ta thu (2.2) Hệ 2.2.5 (xem [7]) Trong Định lý 2.1.21, cho p = 1, ta thu bất đẳng thức Hermite–Hadamard–Fejér cho hàm lồi b f (x)w(x)dx − f a ≤ (b − a)2 w ∞ b a+b w(x)dx a |f (a)| + |f (b)| Hệ 2.2.6 (xem [7]) Trong Định lý 2.1.22, (1) Nếu cho p = w(x) = 1, ta thu bất đẳng thức Hermite–Hadamard cho hàm lồi b−a b f (x)dx − f a (b − a) ≤ q a+b |f (a)|q + 2|f (b)|q q + 2|f (a)|q + |f (b)|q q 38 (2) Nếu cho w(x) = 1, ta thu bất đẳng thức Hermite–Hadamard sau cho hàm p-lồi b p p b − ap bp ≤ ap + b p f (x) dx − f x1−p a − ap p 1/p (C3 (p))1− q C4 (p)|f (a)|q + C5 (p)|f (b)|q (C6 (p))1− q C7 (p)|f (a)|q + C8 (p)|f (b)|q q q (3) Nếu cho p = 1, ta thu bất đẳng thức Hermite–Hadamard–Fejér cho hàm lồi b a (b − a)2 ≤ q w b a+b f (x)w(x)dx − f f (x)w(x)dx a |f (a)|q + 2|f (b)|q ∞ q + 2|f (a)|q + |f (b)|q q Hệ 2.2.7 (xem [7]) Trong Định lý 2.1.23, (1) Nếu cho w(x) = 1, ta thu bất đẳng thức Hermite–Hadamard cho hàm p-lồi p p b − ap bp ≤ b a − ap p f (x) dx − f x1−p ap + b p 1/p |f (a)|q + 3|f (b)|q C9 (p) q 3|f (a)|q + |f (b)|q + C10 (p) q (2) Nếu cho p = 1, ta thu bất đẳng thức Hermite–Hadamard–Fejér cho hàm lồi b a a+b f (x)w(x)dx − f (b − a)2 ≤ 16 r+1 r w b f (x)w(x)dx a ∞ (|f (a)|q + 3|f (b)|q ) q + (3|f (a)|q + |f (b)|q ) q 39 Kết luận Đề tài luận văn trình bày số bất đẳng thức dạng Hermite–Hadamard– Fejér cho hàm lồi hàm p-lồi vài áp dụng xây dựng bất đẳng thức khác đánh giá số giá trị trung bình đặc biệt Cụ thể: (1) Trình bày khái niệm hàm lồi, hàm đối xứng, hàm đối xứng điều hòa số bất đẳng thức dạng Hermite–Hadamard–Fejér cho hàm lồi (2) Trình bày khái niệm hàm p-lồi (lõm), mối liên hệ hàm p lồi (lõm) hàm lồi (lõm) (3) Trình bày số bất đẳng thức dạng Hermite–Hadamard–Fejér cho hàm p lồi vài áp dụng đánh giá số giá trị trung bình đặc biệt 40 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Trần Vũ Thiệu, Nguyễn Thị Thu Thủy (2011), Giáo trình Tối ưu phi tuyến, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội Tiếng Anh [2] F Chan, S Wu (2014), Fejăer and HermiteHadamard type inequalities for harmonically convex functions, J Appl Math., Article Id:386806 [3] L Fejér (1906), "Uberdie Fourierreihen, II, Math.", Naturwise Anz Ungar Akad Wiss, 24, 369–390, (in Hungarian) [4] J Hadamard (1893), "Étude sur les propriétés des fonctions enti‘eres et en particulier d’une fonction considérée par Riemann", J Math Pures Appl., 58, 171–215 [5] I Iscan (2014), "Hermite–Hadamard type inequalities for harmonically convex functions", Hacet J Math Stat., 43(6), 935–942 [6] I Iscan (2016), "Hermite–Hadamard type inequalities for p-convex functions", Int J Anal Appl., 11(2), 137–145 [7] M Kunta, I Iscan (2017), "Hermite–Hadamard–Fejér type inequalities for pconvex functions", Arab J Math Sci., 23, 215–230 [8] M.Z Sarikaya (2012), "On new Hermite–Hadamard–Fejér type integral inequalities", Stud Univ Babe’s-Bolyai Math., 57(3), 377–386 ... 2r β (p, p) với r ≥ 1, p ≥ −1 19 Chương Bất đẳng thức tích phân dạng Hermite Hadamard Féjer cho hàm p- lồi 2.1 Bất đẳng thức tích phân dạng Hermite Hadamard Féjer cho hàm p- lồi 2.1.1 Hàm p- lồi. .. 1 /p ap + b p b p p b − ap a w(x) dx x1 p 1 f [tap + (1 − t)bp ]1 /p w [tap + (1 − t)bp ]1 /p dt f [tbp + (1 − t)ap ]1 /p w [tbp + (1 − t)ap ]1 /p dt + b p = p b − ap = bp a b p − ap a b f (x)w(x) p. .. Lưu Chương Bất đẳng thức tích phân dạng Hermite Hadamard Féjer cho hàm lồi Chương trình bày số bất đẳng thức cho hàm lồi, hàm đối xứng kết nối với bất đẳng thức tích phân dạng Hermite Hadamard Féjer