Đang tải... (xem toàn văn)
những kết quả rất đẹp rút ra từ một bài toán tích phân đơn giản
7 HƯỚNG BIẾN ĐỔI CHO MỘT BÀI TỐN TÍNH TÍCH PHÂN (Chuyên đề: Giải tích 12) Giảng viên: NGUYỂN CHIẾN THẮNG Người thực hiện: PHAN HỒNG QUÂN NGUYỄN THỊ THANH NGA Lớp: 50A- Tốn Nhóm: HƯỚNG BIẾN ĐỔI CHO MỘT BÀI TỐN TÍNH TÍCH PHÂN I.Khái qt hóa: Khái qt hóa gì? Khái qt hố chuyển từ một tập hợp đối tượng sang một tập hợp lớn chứa tập hợp ban đầu bằng cách nêu bật một số đặc điểm chung của phần tử tập họp xuất phát Khái quát hóa nào? Giớng mợt người họa sỹ vẽ một bức tranh, một người nhạc sỹ sáng tác một nhạc, tất phải cứ từ chất riêng của từng đới tượng mà có nhìn riêng đới tượng Chính điều dẫn tới thành cơng cho tác phẩm của Vậy tốn học cần khái qt hóa mợt tốn nào? HƯỚNG BIẾN ĐỔI CHO MỘT BÀI TỐN TÍNH TÍCH PHÂN Mợt phương pháp học toán sau toán cần tìm “điểm nhấn “ để có thể hiểu vấn đề một cách “ thông thái “ 7 HƯỚNG BIẾN ĐỔI CHO MỘT BÀI TỐN TÍNH TÍCH PHÂN • Vậy để làm được điều đó, người học tốn cần điều gì? - Suy nghĩ thật kỹ, thật thấu đáo vấn đề được đặt - Tìm mới liên hệ kiến thức xung quanh vấn đề - Tự đặt câu hỏi xung quanh mợt vấn đề nhỏ để tìm cách tổng qt thích hợp 7 HƯỚNG BIẾN ĐỔI CHO MỘT BÀI TỐN TÍNH TÍCH PHÂN II Khái qt hóa cho mợt tốn cụ thể Xin phân tích qua mợt tốn nhỏ sau: Bài tốn : Tính tích phân sin x dx sin x cos x (Bài tập 19c)-Chương III, SGK Giải tích 12 Nâng cao) HƯỚNG BIẾN ĐỔI CHO MỘT BÀI TỐN TÍNH TÍCH PHÂN Nhận xét 1: Quan sát thấy được hàm số dưới dấu tích phân có dạng phân thức Vậy kiến thức sử dụng cho hàm phân thức gì? Chắc chắn nghĩ đến nguyên hàm dx ln x C x • Vậy để sử dụng được cơng thức cần phải tìm mọi cách biến đổi dạng ! HƯỚNG BIẾN ĐỔI CHO MỘT BÀI TỐN TÍNH TÍCH PHÂN Nhận xét 2: Ở xuất hàm số lượng giác sinx cosx Vậy có cách biểu diễn thông qua một yếu tố không ? Ta tìm kiếm kiến thức để giải 7 HƯỚNG BIẾN ĐỔI CHO MỘT BÀI TỐN TÍNH TÍCH PHÂN 2.1 Hướng 1: Chia tử mẫu cho cosx ta được sinx t anx t anx 1 1 f ( x) 1 sinx cos x t anx 1 t anx 1 t anx 1 Từ đặt t= tanx tdt Bt C A I dx dx dt dt (1 t )(1 t ) 1 t t 1 HƯỚNG BIẾN ĐỔI CHO MỘT BÀI TỐN TÍNH TÍCH PHÂN 2.2 Từ đó, với cách giải ta có thể giải được tốn tổng qt sau: n sin x dx 0 sin n x cosn x HƯỚNG BIẾN ĐỔI CHO MỘT BÀI TỐN TÍNH TÍCH PHÂN 2.3 Hướng 2: Đặt x t tan 2t s inx 1 t2 1 t2 cos x 1 t Với hướng ta có thể tính được tích phân có dạng tổng quát sau: b a1 s inx b1 cos x c1 dx a2 s inx b2 cos x c2 a Các bạn làm tốn tự nghĩ đề giải nhé! HƯỚNG BIẾN ĐỔI CHO MỘT BÀI TỐN TÍNH TÍCH PHÂN Nhận xét 3: X́t phát từ quan hệ của sinx cosx Điều đặc biệt cận của tích phân ? 3.1 Hướng 3: Đặt: x t dx dt Với x 0 t ; x t 0 2 ( cách đặt ẩn phụ mà không làm thay đổi cận của tích phân rất hay) 7 HƯỚNG BIẾN ĐỔI CHO MỘT BÀI TỐN TÍNH TÍCH PHÂN • Khi đó: sinx cost cosx I dx dt dx sinx cos x sint cos t sinx cos x 0 sinx cosx I dx dx dx s inx cos x s inx cos x 0 2I I Thật đáng kinh ngạc! HƯỚNG BIẾN ĐỔI CHO MỘT BÀI TỐN TÍNH TÍCH PHÂN 3.2 Với hướng ta có thể tính được tích phân tổng qt sau: n I n m sin m x n m sin x cos x dx HƯỚNG BIẾN ĐỔI CHO MỘT BÀI TỐN TÍNH TÍCH PHÂN Nhận xét 4: Nếu dùng biến đổi lượng giác ? 4.1 Hướng 4: Biến đổi cos2 x sin x s inx(cos x sinx) 2 f ( x) cos x sin x cos2 x 1 tan x 1 2 cos2 x ta tính với tích phân bình thường của hàm lượng giác 7 HƯỚNG BIẾN ĐỔI CHO MỘT BÀI TỐN TÍNH TÍCH PHÂN 4.2 Điều cho ta suy nghĩ để tìm cách giải cho tốn sau: b n s in x dx n n c os x sin x a HƯỚNG BIẾN ĐỔI CHO MỘT BÀI TỐN TÍNH TÍCH PHÂN 4.3 Hướng 5: Biến đổi: sin x 4 cot x sin x 4 ta tính được bình thường Tiếc theo hướng ta khơng tìm được tốn tổng qt cho nó! HƯỚNG BIẾN ĐỔI CHO MỘT BÀI TỐN TÍNH TÍCH PHÂN Nhận xét 5: Vì tích phân có dạng hàm phân thức nên ta biến đổi tử thức để tìm cách viết được qua mẫu số đạo hàm của mẫu hay ! 5.1 Hướng 6: Biến đổi: sinx sinx cos x sinx cos x f ( x) sinx cos x 2(sinx cos x) cos x sinx 2(sinx cos x) HƯỚNG BIẾN ĐỔI CHO MỘT BÀI TỐN TÍNH TÍCH PHÂN 5.2 Từ đó, ta có toán sau: n n cos x s in x dx n n s in x cos x HƯỚNG BIẾN ĐỔI CHO MỘT BÀI TỐN TÍNH TÍCH PHÂN Nhận xét 6: Quan sát tích phân cần tìm ta thấy sai khác của tử số mẫu số, vậy ta tìm được mợt tích phân khác có “họ hàng” với ? Trả lời câu hỏi ta xét tích phân: 6.1 Hướng 7: Xét tính phân sau: cos x J dx s inx cos x I J Từ hai tích phân ta giải hệ : I J tìm được I Cách giải có thể áp dụng để giải tốn có tính đới xứng của sin cos 7 HƯỚNG BIẾN ĐỔI CHO MỘT BÀI TỐN TÍNH TÍCH PHÂN TRÊN ĐÂY LÀ BÀI GIẢNG CỦA MÌNH, RẤT MONG ĐƯỢC SỰ ĐĨNG GĨP Ý KIẾN CỦA THẦY CƠ VÀ CÁC BẠN XIN CHÂN THÀNH CẢM ƠN! ... CHO MỘT BÀI TỐN TÍNH TÍCH PHÂN II Khái qt hóa cho mợt tốn cụ thể Xin phân tích qua mợt tốn nhỏ sau: Bài tốn : Tính tích phân sin x dx sin x cos x (Bài tập 19c)-Chương III, SGK Giải tích. .. ĐỔI CHO MỘT BÀI TỐN TÍNH TÍCH PHÂN 3.2 Với hướng ta có thể tính được tích phân tổng quát sau: n I n m sin m x n m sin x cos x dx HƯỚNG BIẾN ĐỔI CHO MỘT BÀI TOÁN TÍNH TÍCH PHÂN Nhận... BIẾN ĐỔI CHO MỘT BÀI TỐN TÍNH TÍCH PHÂN 5.2 Từ đó, ta có tốn sau: n n cos x s in x dx n n s in x cos x HƯỚNG BIẾN ĐỔI CHO MỘT BÀI TỐN TÍNH TÍCH PHÂN Nhận xét 6: Quan sát tích phân cần