ầ ẻ ầè ầ ặ ặ ặ ộặ ẻ ặ ỡặ ẩ ặ ẩ ẩ è ặ è èấầặ ẩ ặ èấỡặ ẻ ẩ ặ èấỡặ Ä Ỉ Á ÙÝịỊ Ị Ị ÈÀ Ỉ ÈÀ È èầ ặ ậ ì ẳ ẳẵ ẵ èỵ è è ặ ẻ ặ è ậợ ầ ặ ề ặ ẹ ắẳẵ ẩ ề ỉệứề ặ Ị Ĩ ỊØ Ị Ø Ỉ Ỉ Ị Ĩ ậèậ ặ ẩ ề ữề ẵ ẩ ậèậ èệề ẫ ộặ ẻ ặ ụề ẩ ề ữề ¾ Ì˺ ÀĨ Ị ÉÙ Ị ÌÙÝơỊ ÄÙ Ị Ú ề íũề ề ề ề ẹ ắẳẵ ả ể ữ Ø È Ø ØøĐ Ø Ị Ơ ÝØ Ơ ØĨ Ị × Ị Đ ÄÙ Ị Ú Ị Ø ỉ ề ữễ ỉ ìỳ ễ ễỉ ặ ề Ĩ Ị Ý ½¿ Ø Ị Ị Ø Ị ÐÙ Ị Ú Ị Ø ¹ ÌỨỊ Ø Đ Ì Ị ỉ ề é ữá è ữề ỉệ ề ậ ễ ẹá ặề ặề ẵ  ½º Äù Ĩ Ị ó Ø Í Ø Ị Ø Ð Đ Ø ØƯĨỊ Ị Ị Ú Ị ó ưỊ Ị Ø ØĨ Ị ¸ Ý Ị Ð Đ Ø ØƯĨỊ Ị Ị Ơ Ị ØĨ Ị × Ơ đƠ ỉ ề ỉ ặ ề ĩíũề ì ỉ ÐÙ Ị Ú Ị Ð ÷ Ø Ị Ơ Ị Ơ Ơ Ø Ị Ø ØƯĨỊ Ơ Ị ØỊ Ú ÷ Ơ Ị ØỊ Ð Ị º ưĐ ÷ظ Ị Ø Ị Ị Ø Ø Ị Ø ØƯĨỊ ØĨ Ị × Ơ Ð Ú Ư Ø ¸ Ị Ị Ø Ị Ị Ơ Ị ØỊ Ú ÷ Ơ Ị ØỊ Ð Ị ¸ Ị Ú Ø ÕÙ Ị Ị ØỊ ØĨ Ị Ơ Ø Ị º Ỵ ÷ ØøĐ ØĨ Ị¸ Ð Ú Ơ Ị ÐĨ Ị Ð Ị óĐ × Ý Đị Ị ùØ Ị ¸ ÷Ø Ð Ị Ị Ị Ị ØƯ Ø ơƠ Ị Ý ØĨ Ịº ØĨ Ị × Ị Ơ Ị Ơ Ơ Ø Ị Ø Ư Ø Ị Úó ó Ø ¸ Ơ ĨỊ Ơ Úó Ị ÐĨ Ú Ơ Ơ Ú Ị óÙ Ø Ị Ø Ù Ơ Ị Ùº ó Ø È Ị Ơ Ơ Ø Ị Ø ØƯĨỊ Ơ Ị ØỊ Ú ÷ Ơ Ị ØỊ Ð Ị Ị Đ Ơ Ị ĐĨỊ ĐÙ Ị Ị Ø Ị Úó Đ Ø ó Ø Ơ ƠĐ × Ù Ị Ý Ø Ơ Ú Ø Ø Ĩ Ú ÷ Ị Ị Ĩ Ø Ð Ị Ị Ý ĐøỊ ØƯĨỊ Ị ØƯ Ị Ơ Ø Ị º ó Ø Ị Ý Ð ịỊ ÕÙ Ị ơỊ Ị óÙ ÙÝịỊ ó¸ ØƯĨỊ Ú Ị ó Úó ØƯ Ị ¸ ØùỊ Ø Ú õỊ ẹ ì ì ề ỉ ề ỉ ế ề ỉ ề í ề ểì ắ ự ề ũề ặ ẹ ữ ỉ ề ỉ ề ế ề ØĨ Ị Úó Ơ Ị ØỊ Ú ÷ Ơ Ị ØỊ Ð Ị Ị Đ Ù Đ ặ ẹ ẹ ỉ ì ỉ ỉ ú ữ ì ề ẹ ỉ ì é ễ ỉ Ị Ø Ơ Ị ØỊ Ú ÷ Ơ Ị ØỊ Ð Ị º ¿º Ø Ị Ú Ơ Đ Ú Ị ịỊ Ù Ỉ ịỊ Ù ØĨ Ị × Ị Ơ Ị Ơ Ơ Ø Ị Ø Ú ÷ Ø Ị ơỊ Ø Ð ịỊ ÕÙ ề ặ ũề ỉ ỉ é ữá ể ỉệứề ậèậ ặ íừề ẻ ề ỉ é ữ ề ìề ỉ ì íũề ỉể Ị¸ Ø Ơ ù ØĨ Ị Ú ØÙ ØƯ𸠺 º º ºÈ Ị Ơ Ơ Ị ịỊ Ù Ỉ ịỊ Ù ØƯ Ø ơƠ Ø Ø Ð ÷Ù Ø Ý Ị Ị Ị Ú ịỊ ØƯĨỊ Ð Ơº º Ị ú ÌĨ Ĩ Đ Ø óØ Ơ ễ ể ữ ề ề íá ềá ề ề ữễ ề ể ũề ắ × Ị ØỨỊ Ơ Ø Ị º ó Ø Ị Ơ Ø Ø Ĩ Ú ÷ Ị Ị Ĩ Ø Ð Ị Ý ÙÝịỊ ó ØĨ Ị ØƯĨỊ ØƯ Ị ÌÀÈ̸ Đ Ð Ị óĐ Đ Đị × Ị Ø Ĩ Ø Ị Ị ØĨ Ị Ò Ò Øº º Ù ØÖ ÐÙ Ò Ú Ò ÄÙ Ị Ú Ị Ĩ Đ Ơ Ị Đ Ù¸ ¿ Ị ¸ Ơ Ị ÐÙ Ị Ú Ị ẹ ỉ é ữ ỉ ẹ ể ề ẵ ụề ỉ ề ặ é ẹ ỉì ỉ ề ỉ ề ỉ ề ỉ ỉ ề ỉ íạ ề ểì ỉ ề ỉ ềì ề ĩ ẹ àá ỉ ề ỉ é ề ỉệểề ỉ ẹ ĩ ẹ ề ắ ẩ ề ỉệứề ữ ễ ề ỉệứề é ề ề Ơ ØĐ Ø× ØĨ Ị × Ùº · Ơ Ị ØỊ Ð Ị Ị Ơ Ị Ơ Ơ × Ị ØùỊ Ø Ị Ø ¸ Ø Ị Ø Ị¸ Ø Ị Ø Ð Ị ØƯĨỊ ·Ë Ị Ø Ị Ø Ð Ị ØƯĨỊ Ø Đ × Ị Ø Ĩ Ú Ø Ù Ø Ơ Ị ØỊ Ð Ị Ịº · ÷ Ơ Ị ØỊ Ị Ơ Ị Ơ Ơ ×Ĩ × Ị º · ØĨ Ị ØøĐ ØƯ ¸ Ị Ị Ị Ø Đ º Ị ¿º Å Ø × ØĨ Ị Ð ịỊ ÕÙ Ị Ø Đ Ø × Ơ Ị ØỊ Ú ØỊ Ị Ơ Ø Ð Ị Ú ×º ×Ĩ × Ị Ị Ơ Ơ Ø Ø Đ º ÜÝ Ị ÷Ơ ề ặ ẵ ốặ è ặ ỹ  Ị Ị Ý ÙỊ Ơ Đ Ø × Ø Ị Ø ÕÙ Ị ØƯ Ị Ơ Ú Ĩ Ú ÷ Ị Đ Ị Ø Ị Ø Ð ịỊ ÕÙ Ị Ú ÷Ø Ð Ị ÕÙÝ Ĩ ễ ề ì ẵẵ è ặ è ề é ẵẵ ì x1, x2, , xn Ð × √ n x1 + x2 + · · · + xn n Ị Ø Ü ÝƯ ỷ ẵắ è ặ è ề é ẵắ ẻ ẹ ẵẵà x1 x2 xn ặ ầẻậ ì (xi) , (yi ) ỉ ÐÙ Ị n ≤ xi yi i=1 Ü ÝƯ Ơ× Ø Đº à x1 = x2 = · · · = xn n Ù Ò Ø Ø Ð Ø ÒØ Ò Ú û α, β n xi i=1 ề ẵắà yi i=1 (xi) , (yi ) ỉ éữ ề ề ỉ ề ẳì Ó Ó αxi + βyi = 0, ∀i = 1, 2, , n ẵ è ặ è ặậ ặ ề é ẵ ì ẹ ì f (x) é ũề Ø ØƯịỊ I(a, b) ´ØƯĨỊ Ị Đ Ð Đ Ø ØƯĨỊ Ø Ơ [a, b], [a, b), (a, b], (a, b)à ẹ ì f (x) Ð ØƯịỊ I(a, b) Ð f x1 + x2 f (x1) + f (x2) , ∀x1 , x2 ∈ I(a, b) ẵ è ậ è ặ è ẵ ẵ ề ĩề ặ I(a, b) ú ữề ề ẵà èấầặ è ỉể ề ½º½º Ị Đ Ị Ư Ị ØƯĨỊ Đ Ø Đ ABC ¸ Ø óÙ cos A + cos B + cos C ỉể ề ẵắ ề ẹ Ị Ư Ị ØƯĨỊ Đ Ø Đ A B C cos + cos + cos 2 ØĨ Ị ½º¿º ØĨ Ị ½º º sin A sin B sin C √ 3 ´½º µ ABC ¸ Ø óÙ Ị Đ ề ệ ề ỉệểề ẹ ỉ ẹ ẵ ABC ¸ Ø óÙ Ị Đ Ị Ư Ị ØƯĨỊ Đ Ø Ñ A B C sin sin 2 ẵ ABC ỉ ú 3 B C A + sin + sin 2 sin ỉể ề ẵ ABC ỉ ú Ị Đ Ị Ư Ị ØƯĨỊ Đ Ø Đ sin ỉể ề ẵ ẵ 3 Ị Đ Ị Ư Ị ØƯĨỊ Đ Ø Đ ẵ ABC ỉ ú ề ẹ ề ệ ề ØƯĨỊ Đ Ø Đ sin A + sin B + sin C ØĨ Ị ½º º √ 3 A B C cos cos cos 2 ØĨ Ị ½º º ABC Ø óÙ Ị Đ Ị Ư Ị ØƯĨỊ Đ Ø Đ cos A cos B cos C ẵ ẵẵẳà ABC, ỉ ú ẵẵẵà ỉể ề ẵ ề ẹ ề ệ Ị ØƯĨỊ Đ Ø Đ ABC ¸ Ø óÙ sin2 A + sin2 B + sin2 C ỉể ề ẵẵẳ ề ẹề ệ ề ỉ ẹ ề Ị ABC ¸ Ø óÙ √ 3 tan A + tan B + tan C ØĨ Ị ½º½½º Ị ẹề ệ ề ẹ ỉ ẹ tan ỉể ề ẵẵắ ØĨ Ị ½º½¿º Ị ĐỊ Ư Ị Đ Ø Đ tan A tan B tan C Ò Ø ÐÙ Ò ỉể ề ẵẵ ề ề ABC ỉ é ề ẵẵ ề ẹ ề ệ ề Ị Ð × Ị ÙÝịỊ A B C + tan2n + tan2n 2 3n−1 Ị Đ Ị Ư Ị ØƯĨỊ Đ Ø Đ √ B C A + cot + cot 2 A B C cot cot 2 ẵẵ ẵẵ ABC ¸ Ø óÙ √ 3 Ị Đ Ị Ư Ị ØƯĨỊ Đ Ø Đ cot ABC ¸ Ø óÙ Ị Đ Ị Ư Ị ØƯĨỊ Đ ỉ ẹ cot ỉể ề ẵẵ ẵẵ 3 cot A + cot B + cot C ØÓ ề ẵẵ ẵẵ 3 Ị Đ Ị Ư Ị ØƯĨỊ Ø Đ tan2n √ ABC ¸ Ø óÙ A B C tan tan 2 ØĨ Ị ½º½ º Ĩ Ø ẹ ABC ẵẵà ABC ỉ ú B C A + tan + tan 2 tan ẵẵắà 3 ẵẵ ABC, ỉ é ề ẵắẳà ØĨ Ị ½º½ º Ị Đ Ị Ư Ị ØƯĨỊ Ø Đ Ị Ị ABC, Ø ÐÙ Ị √ 3 cot A cot B cot C ẵắẵà ẵ ắ ề ề ĩề ỉể ề ẵẵ ẻ Ñ Ø Ñ ABC, Ø óÙ −2k2 − 2k −2k2 − 2k a) cos 2A + cos 2B + k cos 2C b) cos 2A + cos 2B + k cos 2C Ị Ø Ü ÝƯ ÝØ Đ Ú û  cos(A − B)   cos C = 2k   cos2(A − B) = ABC Ò Ø Ú 2 ØÑ Ú û  cos(A − B)  cos C = 2k cos2(A − B) = ABC ề ỉ ỉể ề ẵắẵ ể × ABC, Ø óÙ Ú Ị cos C = x, y, z k > ẵắ k < ẵắ cos C = 2k A = B 2k × Ĩ Ĩ x1 + y1 x cos A + y cos B + z cos C º z x + y − z Ò Ø Ü ÝÖ Ú û A = B = 0, C = π Ỵ Ý Ị Ø ØƯĨỊ ØĨ Ị Ü Ý Ư Ú û ØĐ A = B = 0, C = ẵắà 2k (2k + 1)2 4k (2k + 1)2 4k b) sin2 A + sin2 B + k sin2 C ÝØ Ñ k < ¸ Ø óÙ a) sin A + sin B + k sin C Ù Ò Ø Ü íệ ẵắắà cos C = 2k A=B cos C = ỉể ề ẵắẳ ẻ ẹ ỉ ẹ k > ẹ ẵắ ABC ìí ụề ặ ắ ẩ ặ èấỡặá ẩ ặ èấỡặ ặ Ỉ ÈÀ Ỉ ÈÀ È ËÇ Ë ỈÀ Ư Ư × Ð Ì Ð ÷Ù Ð ịỊ ÕÙ Ị ơỊ ễ ề ễ ễ ú ễ ề ỉệứề ữ Ơ Ị ØỊ Ø Ị óÙ¸ Ị Ø Ú ễ ề ỉệứề ữ ễ ề ỉệứề é ề Ð Ø ùغ ÉÙ Ø Ị Ị ịỊ Ù¸ ØøĐ Ø Ú Ơ Ị ÐĨ Ø Ü Ị ØỊ Ý ẹ ỉ ề ề ú ữ ì ề ỉ ề ỉ ễ ề ỉệứề ữ ễ ề ỉệứề Ị Ị Ị óÙ ØĨ Ị Úù Đ Ị ẹ ỉì ề ề ắẵ ẩ ặ ÌÊìỈÀ Ä Ỉ Á Á Á Ỉ ÈÀ Ỉ ÈÀ ẩ ậầ ậ ặ ắẵẵ ẩ ề ễ ễ ì ề ỉựề ỉ ỉ ề ỉ ỉể ề ắẵ ễ Ị ØỊ sin x + ØĨ Ị ¾º¾º Ơ √ cos x sin 3x = Ị ØỊ cos 2x + cos 4x + cos 6x = cos x cos 2x cos 3x + 2º ØĨ Ị ¾º¿º Ơ Ò ØÖøÒ sin8x + cos8x = 2(sin10x + cos10x) + ØĨ Ị ¾º º Ơ cos 2xº Ị ØỊ sin6x + cos6 x 10 10 (sin x + cos x) = º sin2 2x + 4cos2 2x ØĨ Ị ¾º º Ơ Ị ØỊ cos5x + sin5x + sin 2x + cos 2x = + ØĨ Ị ¾º º Ơ √ 2º Ị ØỊ sin13x + cos14 x = 1º ØĨ Ị ¾º º Ơ ề ỉệứề cos4x + sin4x + ắẵắ ẩ ỉể ề ¾º º 1 sin x º + = + cos4 x sin x Ị Ơ Ơ× Ơ Ị Ø Ị Ø Ị ØỊ sin8 2x + cos8 2x = ỉể ề ắ ẻ 2nN ¸ Ơ tan x + cot x ØĨ ề ắẵẳ ễ ẵà ề ỉệứề n = sinn x + cosn xº Ị ØỊ √ π 1 + = 2, ∀x ∈ 0; sin x cosx ỉể ề ắẵẵ ễ ề ỉệứề sin5 x + √ √ cos x = 3º º ề ẵẳ ắẵ ẩ ỉể ề ắắẳ ề ễ Ơ× Ơ Ị Ø Ị Ø Ð Ị Ị ØỊ cos x + cos 3x − cos 4x = ØÓ ề ắắẵ ễ () ề ỉệứề () cos x cos 2x cos 3x + = ØĨ Ị ¾º¾¾º Ơ Ị ØỊ √ tan x + tan y + tan z = 3 ØĨ Ị ¾º¾¿º Ơ Ị ØỊ sin2 x + sin2 y + sin2 z = ØĨ Ị ¾º¾ º Ơ Ơ (∗)º Ị ØỊ cos 2x − cos 2y + cos 2z = ØĨ Ị ¾º¾ º (∗)º º (∗) Ị ØỊ √ (cos 2x + cos 2y) + cos 2z = − º ØÓ Ị ¾º¾ º Ơ Ị ØỊ sin2 x + sin2 y + sin2 z = 2 (∗)º (∗) ỉệểề ỉ ẹ ẵẵ ỉể ề ắắ ễ ề ØỊ − cos2 3y (∗)º cos x + cos y + cos z = (∗)º sin2 3x + sin23z = ØĨ Ị ¾º¾ º ễ ề ỉệứề ắẵ ậ ề ỉ ề ỉ Ð Ị ØƯĨỊ Ø Đ × Ị Ø Ĩ Ú Ü Ý Ị Ø Ù Ø Ơ Ị ØỊ Ð Ị Ị ØĨ Ị ¾º¾ º Ơ Ị ØỊ sin2 x + sin2 y + sin2 (x + y) = (1)º È Ị ØỊ ØƯịỊ ơỊ Ø Ð ịỊ Ø Ị ơỊ Đ Ø Ø Ị Ø Ð Ị Ị ØƯĨỊ Ø Đ ØƯĨỊ ØĨ Ị ½º sin2 A + sin2 B + sin2 C (2)º Ị Ø Ü ÝƯ Ú û Ø Đ ABC óÙº ÌƯĨỊ Úơ ØƯ (2) Ð Ý A = x, B = y, C = π − (x + y)¸Ø Ø Ù Úơ ØƯ (1)º Ä (1) Ị Ø Ù ØƯịỊ × Ơ Ơ Ị Đ Ị Ø Ị Ø (2)º Ä º Ì (1) ⇔ − cos 2x + cos 2y + sin2 (x + y) = ⇔ − cos(x + y) cos(x − y) + − cos2 (x + y) = ⇔ cos2 (x + y) + cos(x − y) cos(x + y) + È Ị ØỊ (3) Ð Ơ ∆ = cos2 (x − y) − ≤ 0º Ó ¸Ơ Ị ØỊ (3) Ị ØỊ Ị ÷Đ = (3) Ø Ó cos(x + y)á ỉ ẵắ cos2(x y) =   cos(x − y) =   cos(x − y)  =−   cos(x + y) = − 2  ⇔   cos(x − y) = −1    cos(x − y)   cos(x + y) = − = 2     x − y = k2π      2π   x + y = + l2π        x − y = k2π        x + y = − 2π + l2π    ⇔  ⇔   x − y = π + k2π      π   x + y = + l2π        x − y = π + k2π      π   x + y = − + l2π        ⇔     x − y = k2π 2π + l2π x − y = π + k2π π x + y = ± + l2π x+y =± π + kπ + lπ π y = + lπ − kπ 3π x = − + kπ + lπ π y = − + lπ − kπ 2π x= + kπ + lπ π y = − + lπ − kπ π x = + kπ + lπ 2π y = − + lπ − kπ x= º Ì Ĩ ØƯịỊ Ø ×ÙÝ Ư Đ Ø Ị × Ị Ø Đ Ø ÐĨ Ø Ơ Ị ØỊ Ð Ị Ị Ø Ú Ì Đ Ø Ø Ị Ø Ị ØƯĨỊ Ø Đ ¸ ØƯĨỊ Ø Ị Ø ¸ ¸ Đ Ø Ø Đ Ø ÐỊ Ð Ø Ð Ý A = f (x, y), B = g(x, y), C = π − [f (x, y) + g(x, y)] Ú Ø Ý Ù Ø Ò Ø Ò ề ỉ ỉ ì ẹ ỉ ễ ề ØỊ Ð Ị Ị x, y Ø Ị Ị º Ị Ú ÷ Ơ Ị ØỊ Ø ø Ø Ị Ø ơỊ Ị Ø Ị Ø Ị ØỊ Ý ØƯịỊº Ð Đ ØƯịỊ Ị Ơ Ð Ị Ĩ ề ỉ ề ề ỉ ỉ ì ề Ø Ị Ị Ơ Ị ØỊ Ð Ị ỊỊ Ị Ø Ị Ơ Ị ØỊ Đ Ø Ú × Ị Ø ºÌÙÝ Ị ịỊ Ý Ð Đ Ø Ơ Ị Ơ Ơ ØĨ Ị Đ Ư Ø Ị ÕÙ Ị Ø Đ¸ Ị Ĩ Ø Ị óÙ Ơ Ị ỉệứề ỉ ú é ề é ẻự ắẵ Ø Ø Ị Ø ØƯĨỊ Ø Đ ABC óÙº Ì Ð Ý A = x, B = y, C = (x + y) ỉ ỉể ề ẵẵá ề Ø Ü Ý Ư ØĨ Ị × Ùº Ú û ẵ ỉể ề ắẳ ễ ề ỉệứề cos x + cos y − cos(x + y) = Ä º º È cos Ị ØỊ ØƯịỊ Ø Ị Ò Ú x+y x−y x+y cos − 2cos2 −1 2 ⇔ cos2 = x+y x−y x+y − cos cos + =0 2 x+y 1 x−y x−y ⇔ cos + sin2 − cos =0 2   x+y x−y x−y x+y    cos  cos = cos = cos 2 2 2 ⇔ ⇔ x − y x − y    sin  cos =0 = ±1 2  x−y   cos =1   x+y  =   cos 2  ⇔ º x−y    cos = −1     cos x + y = 2 ẻự ắắ ỉ ỉ ề Ø ØƯĨỊ B= y 3y 3y ,C = π − x + 2 ỉể ề ắẵ ễ ề ỉệứề cos x ỉể ề ẵẵá ỉ é Ý A = x − y2 , = π − (x + y)á ỉ ỉể ề ì y 3y − cos(x + y) = º + cos 2 º È cos Ị ØỊ ØƯịỊ Ø Ò Ò Ú x+y x+y x − 2y cos − 2cos2 −1 2 = ½ ⇔ cos2 x+y x+y x − 2y − cos cos + =0 2 x − 2y x − 2y x+y + sin2 − cos =0 ⇔ cos 2   x+y x+y x − 2y x − 2y    cos  cos = cos = cos 2 2 2 ⇔ ⇔ x − 2y x − 2y    sin  cos =0 = ±1 2  x − 2y   cos =1   x+y  =   cos 2  ⇔ º  x − 2y   cos = −1     cos x + y = − 2 ẻự ắ ỉ ỉ ề ỉ ỉệểề Ú ØÙ ØĨ Ị ¾º¿¾º Ơ Ị ØỊ C = (2x + 2y) ỉể ề ẵ ỉ Ð Ý A = 2x, B = 2y, ØĨ Ị × Ùº sin x + sin y + cos(x + y) = ẻự ắ ỉ ỉ ề ỉ ỉệểề Ú ØÙ ØĨ Ị ¾º¿¿º Ơ Ị ØỊ C = (2x + 2y) ỉể ề ẵ ỉ Ð Ý A = 2x, B = 2y, ØĨ Ị × Ùº sin x sin y cos(x + y) = Ä º º º È Ò ØỊ ØƯịỊ Ø Ị Ị Ú cos(x + y) (cos(x − y) − cos(x + y)) = ⇔ 4cos2 (x + y) − cos(x + y) cos(x − y) + = ⇔ [2 cos(x + y) − cos(x − y)]2 + sin2 (x − y) = ⇔ cos(x + y) = cos(x − y) sin(x − y) = ⇔ cos(x + y) = cos(x − y) cos(x − y) = ±1 ½       ⇔     Ỵù cos(x − y) = 1 cos(x − y) = −1 cos(x + y) = cos(x + y) = − º ¾º º Ì ỉ ề ỉ ỉệểề ỉể ề ẵ ỉ é Ð Ý A = 2x − y, ØĨ Ị × Ùº B = 3y, C = π − 2(x + y) Ú Ø Ù ØĨ Ị ¾º¿ º Ơ sin Ỵù Ị ØỊ 3y y − 2x sin cos(x + y) = − º 2 ¾º º Ù Ị Đ Ị ݸ Ø ÕÙ Ý é ĩ ỉ ỉ ề ỉ ỉệểề ẵẵá ỉ ỉệự Ư Ơ Ị ØỊ cos x + cos y − cos(x + y) = (1) cos(2x − y) + cos(2y − x) − cos(x + y) = Ị (1)Ú (2) Úơ Ø Ĩ Úơ Ø ØĨ Ị ¾º¿ º Ơ (2) ØĨ Ị × Ùº Ị ØỊ cos x + cos y + cos(2x − y) + cos(2y − x) = + cos(x + y)º Ä º È Ị ØỊ ØƯịỊ Ø Ò Ò Ú [cos x + cos(2y − x)] + [cos y + cos(2x − y)] = + cos(x + y) ⇔ cos y cos(x − y) + cos x cos(x − y) = + cos(x + y) ⇔ cos(x − y) (cos x + cos y) = + cos(x + y) ⇔ cos(x − y) cos x−y x+y x+y cos = + 4cos2 −2 2 ØÓ Ò ½ ⇔ 4cos2 x+y x+y x−y − cos(x − y) cos cos +1=0 2 2 x−y x−y x+y + − cos2(x − y)cos2 − cos(x − y) cos =0 ⇔ cos 2  x+y x−y   − cos(x − y) cos =0  cos 2 ⇔  x−y   − cos2 (x − y)cos2 =0  x+y x−y    cos − cos(x − y) cos = ⇔    − cos2 (x − y) + cos(x − y) =   cos x + y − cos(x − y) cos x − y = 2 ⇔  cos3(x − y) + cos2 (x − y) =    cos(x − y) = (∗) ⇔   cos x + y = cos x − y 2 Ỵø cos(x − y) = ỊịỊ 2cos2 x −2 y − = Ó ⇒ cos2     cos(x − y) =  cos(x − y) = 1 (∗) ⇔ ⇔ 2x + y  cos x + y = ±   cos = 2     cos(x − y) =  cos(x − y) = ⇔ 1 + cos(x + y) ⇔    cos(x + y) = − = 2 ắắ ẩ ặ èấỡặ ặ ẩ ẩ ậầ ậ ặ ỉể ề ắ ữ ễ Ò ØÖøÒ sin x + sin y = Á √ √ cos x + cos y = x−y = () ặ ẩ ặ ẵ ỉể ề ắ ữễ ề ỉệứề sin x + sin y = sin(x + y) |x| + |y| = ỉể ề ắ ỉể ề ắ ữễ  π   tan x + cot x = sin y + (1) π   tan y + cot y = sin x − (2) ỉể ề ắ ẳ ắ ề ỉệứề èầ ặ ỉể ề ắ ẵ èứẹ ữễ ề ỉệứề  cos 2x + cos x = cos y    cos 2y + cos y = cos z    cos 2z + cos z = cos x ÷Ơ Ị ØỊ  tan2 x + tan2 y    cos 2x + =2   + tan2 x   tan2y + tan2 z =2 cos 2y +  + tan y     tan2 z + tan2x   cos 2z + = + tan2 z èấỹá ặ ặ Ỉ Ì Å Á ØƯ Ð Ị Ị Ø Đ× y = sin9x + cos12x ẵ ỉể ề ắ ắ ÌøĐ ØƯ Ị Ị Ø Đ× y = (sin x + sin y)2 + sin2 z − 2(sin x + sin y) + 7º ØĨ Ị ¾º ¿º ÌøĐ y= sin x + √ ØƯ Ị Ị Ø Đ× cos x sin 3x + cos x − ØÓ Ị ¾º º ÌøĐ ØƯ Ị Ị Ø π π + cos 2x − + sin 3xº Đ× y = sin8 2x + cos82x + 4cos42x − 4cos22x + ØĨ Ị ¾º º Ĩ m, n é ì ỉ ề ũề é ề ề ẵ èứẹ ẹì y = cosm x.sinn x, èứẹ ỉể ề ắ º Ĩ a, b, c Ð ØƯ Ð Ị Ị Ø y= αi ∈ ÌøĐ asin2 x + x ∈ 0; × Ø Ư ịỊ Đ× b sin 2x + ccos2 x + π ÷Ø Đ × × Ù Ị ú º acos2 x + ØĨπ ề ắ ể ì ỉ i(i = 1; 2016) Ø ; ØƯ Ð Ị Ị Ø b sin 2x + csin2 xº Đ Ị óÙ ÷Ị Ø 2016 2016 sinαi C= i=1 ØĨ Ị ¾º º Ĩ Ø Đ ABC º ÌøĐ M= ØƯ Ð Ị Ị Ø i=1 sin αi º ØƯ Ò Ò Ø 1 + + º + cos 2A + cos 2B − cos 2C ỉ ẵ ỉể ề ắ ể Ø Đ ABC º ÌøĐ Ø ØĨ Ị ¾º ¼º Ĩ Ø Đ ABC º ÌøĐ Ø ØĨ ề ắ ẵ ể ỉ ẹ ABC èứẹ Ø ØƯ Ị Ị Ø cos 3A + cos 3B − cos 3C.º ØƯ Ị Ị Ø (1 + cos2 A)(1 + cos2 B)(1 + cos2 C)º ØƯ Ị Ị Ø √ 2(cos 2A + cos 2B) + cos 2C º ØĨ Ị ¾º ¾º Ĩ Ø Đ ABC Ị Ịº ÌøĐ ØƯ Ị Ị Ø Ø tan5 A + tan5B + tan5C K= º tan A + tan B + tan C ØĨ Ị ¾º ¿º Ĩ Ø Đ ABC Ø cot ÌøĐ ØƯ Ị Ị Ø Đ Ị ÷Ø A B C + cot − 23 cot = 0º 2 ´ óỊ cosC ầéíẹễ ẳạ ạắẳẳ ỉể ề ắ ể ỉ Đ ABC Ị Ịº ÌøĐ √ A B sin sin 2 º P = + −1 C sin ØĨ Ị ¾º º Ĩ × Ị 1 − x y ÌøĐ ØƯ Ð Ị Ị Ø ´ óỊ x, y, z z ỉ ỉệ é ề ề ỉ ầéíẹễ ẳạ ạắẳẳ µ Đ Ị óÙ ÷Ị 1 + º x y öÙ Ø x sin A + y sin B z cos C ỉ ắẳ Ỉ ¿ Å ÌË Á ÌÇ Ỉ ÄÁỉỈ ÉÍ Ỉ ÌƯĨỊ Ơ Ị Ị Ý Ư Đ Ø × Ơ ề ỉệứề ữ ễ ề ỉệứề ề ễ Ø Ð Ị Ú × º Ú Ị Ị Ý Ø ø Ơ Ị Ơ Ơ ×Ĩ × Ị ì ề é ề ề ữỉ ì ĩ ỉ ÷Ị ØùỊ Ø Ị ÷Ù¸ Đ ØƯ Ị º ØĨ Ị ¿º½º Ơ Ị ØỊ cos2 (2016x) = ln(1 + e)º ØĨ Ị ¿º¾º Ơ Ị ØỊ π |sin ØĨ Ị ¿º¿º Ỵ n∈N Ú √ n > x| = |cos x|º À Ý ØøĐ x ØƯĨỊ sinn x + cosn x = ØĨ Ị ¿º º Ơ 2−n ĨỊ º Ị ØỊ ln sin2 x − + sin3x = 0º ØĨ Ị ¿º º Ơ Ị ØỊ cos4 x + sin4 x + ØĨ Ị ¿º º Ô sin y + = + º cos4 x sin4 x Ị ØỊ − 4x − x2 = y y sin cos x x 0; ỉ ắẵ ỉể Ị ¿º º Ơ Ị ØỊ 2log3 tan x = log2 sin xº ØĨ Ị ¿º º Ơ Ị ØỊ 2x 2cos ØĨ Ị ¿º º Ơ +x = 2x + 2−x (∗) Ị ØỊ x2 1− = cos x ỉể ề ẵẳ ễ ề ỉệứề sin x + cos x − sin x cos x = − ln ØĨ Ị ¿º½½º Ơ + sin x + cos x º + sin x cos x Ị ØỊ log2(cos x + 1) = cos x ỉể ề ẵắ ễ ề ỉệứề (1 + cos x)logcos x sin x = (1 + sin x)logsin x cos x º ØĨ Ị ¿º½¿º 2+ √ Ơ sin2 x Ị ØỊ √ − 2+ cos2 x + 2− √ cos 2x = √ 1+ cos 2x ắắ ỉể ề ẵ ễ Ò ØÖøÒ √ 21−3 sin x + + sin x = log2(1 − sin x)º ØĨ Ị ¿º½ º Ơ Ị ØỊ sin1975x − cos1975x = ØĨ Ị ¿º½ º Ơ sin 2007 x ´ óỊ cos2007x ầéíẹễ ẳạ ạắẳẳ ề ỉệứề 32009x+3 cos x − 32009x+4cos x − cos 3x = 0º ´ óỊ ØĨ Ị ¿º½ º sin x 2008 Ơ Ị ØỊ √ sin2x + 2008 − (cos x + 1) 2008 cos2 x + cos x + 2009 = = cos x − sin x + úề ỉể ề ẵ ữễ ữễ ầéíẹễ ẳạ ạắẳẳ ề ỉệứề tan x tan y = √ x−y cos x + cos y = ỉể ề ẵ ầéíẹễ ẳạ ạắẳẳ π x, y ∈ − ; 2 Ị ØỊ cos x − cos 2y = x − 2y (∗) tan x = tan y (∗∗) º ¾¿ ØĨ ề ắẳ ữễ ề ỉệứề sin x = y sin y = x ỉể ề ắẵ ữễ ề ỉệứề  tan x = tan y x y  sin x + sin y = √2 (0 < x, y < ) ỉể ề ắắ ể ữ ễ Ò ØÖøÒ cos x = x2 y tan y = Ị Đ Ị Ư Ị ÷ Ị ÷Đ ÙÝ Ò Ø (x; y) Ø Ñ Ò < x < y < ắ ốè ặ Ò Ú Ò È Ò Ô Ô Ø Ò Ø ØƯĨỊ Ơ Ị ØỊ Ú ÷Ơ Ị ÕÙÝ Ị Ị ề ú ì ặ é ẹ ỉ ì ỉ ề ề í ề ểì ềì ềá ỉ ề ỉ é ề ỉệểề ỉ ẹ ễ ề ỉệứề ÷ Ơ Ị ØỊ Ð Ị Ị Ơ Ị Ơ ễ ìể ì ề ỉì ỉể ề é ũề ế ề ậ ỉẹ ẹ ỉ ì ú ỉ ú ề ầéíẹễ ẳ èệểề ế ØỊ Ð Đ ÐÙ Ị Ú Ị Ị ØƯ Ị ề ề ì ì ỉá ệ ỉ ẹểề ì ễ ề ỉứề ế ỉ íá ề ề ữễ ỉệứề Ð Ò