Đang tải... (xem toàn văn)
Chuyên đề 1: chia hết trên tập hợp số nguyênBài 1 a) Chứng minh rằng với n N thì 11n+2 + 122n+1 133
= 11n 133 + 12 133a = 133(11n + 12a) 133 với n Nb) Đặt B = 16n - 15n - 1 ta có
B = (16n - 1) - 15n
= 15 [(16n-1 + 16n-2 + + 16 + 1) - n]
= 15 [(16n-1 - 1) + (16n-2 - 1) + + (16 - 1) + (1 - 1)]Vì 16K - 1 16 - 1 hay 16K - 1 15 với K N
nên (16n-1 - 1) + (16n-2 - 1) + + (16 - 1) 15
Suy ra 15 [(16n-1 - 1) + (16n-2 - 1) + + (16 - 1)] 15 15hay B 225 đpcm
Chú ý: Có thể chứng minh theo phơng pháp quy nạp.
Bài 2 Chứng minh rằng tổng lập phơng của 3 số nguyên liên tiếp chia
hết cho 9.
Giải:Ta có: (n - 1)3 + n3 + (n + 1)3 = 3 (n3 + 2n)= 3(n3 - n + 3n) = 3 [(n3 - n) + 3n]= 3 [(n -1) n(n + 1) + 3n]
= 3 (n - 1) n(n + 1) + 9n 9.
Bài 3 Chứng minh rằng m là số nguyên lẻ thì: (m3 + 3m2 - m - 3) 48.
Giải:Ta có: m3 + 3m2 - m - 3 = m2 (m + 3) - (m + 3) = (m - 1) (m + 3) (m + 3)
Trang 2Và 19n - 2n 17 (2)Từ (1 ), (2) A = [(36n - 2n) + (19n - 2n)] 17.
Bài 5 Chứng minh rằng: Với n Z thì n3 + 11n 6.
Giải:Ta có: n3 + 11n = n3 - n + 12n = n(n - 1) (n + 1) + 12nVì 12n 6 n Z Vậy n3 + 11n 6 khi n (n - 1) (n + 1) 6
Mà n(n - 1) (n + 1) là 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 3 và 2nên n(n - 1) (n + 1) sẽ chia hết cho 6.
Vậy n3 + 11n n Z.
Bài 6 Tìm số nguyên n, sao cho: (2n + 1) (n - 5) (1)
Giải : (1) 2n - 10 + 11 n – 5 2(n - 5) + 11 n – 5 11 n - 5
n - 5 = 1 n = 6n - 5 = -1 n = 4n - 5 = -11 n = -6n - 5 = 11 n = 16
Vậy để 2n + 1 n - 5 n bằng: -6, 4, 6, 16.
Bài 7 Chứng minh rằng với n là số tự nhiên thì 92n + 14 5.
Giải:Ta có: 92n + 14 = 81n - 1 + 15 5 khi 81n - 1 5.Mà 81n - 1 81 - 1 hay 81n - 1 80 81n - 1 5Vậy 92n + 14 5, n N.
Bài 8 Chứng minh rằng với n 1 thì 4n + 15n - 1 9.
Giải:Với n - 1, ta có: 41 + 15.1 - 1 = 18 9Giả sử n = k, ta có: 4k + 15k - 1 9
Với n = k + 1 : 4k+1 + 15 (k + 1) - 1 = 4.4k + 15k + 14 (2)Từ (1) 4k = 9m - 15k + 1 thay vào (2)
Ta có: 4k+1 + 15(k + 1) - 1 = 4(9m - 15k + 1) + 15k + 14 = 36m - 45k + 18 9
Vậy 4n + 15n - 1 9, n 1.
Bài 9 Chứng minh rằng : chia hết cho 33.
Giải: Ta có :
Vì 33 chia hết cho 33 Vậy chia hết cho 33.
Bài 10 Chứng minh rằng: a3 - 13a 6, a Z và a > 1.
Trang 3Giải: Ta có :a3 - 13a = (a - 1)a (a + 1) - 12a.(a - 1) a (a + 1) 6, a N
12a 6, a NDo đó: a3 - 13a 6, a N.
Bài 11 Chứng minh: 10n + 18n - 28 27, với n 1.
Giải:Với n = 1; ta có: 10 + 18 - 28 = 0 27
Giả sử n = k, ta có: 10k + 18k - 28 27
10k + 18k - 28 = 27m (m Z) 10k = 27m - 18k + 28 (1)Với n = k + 1, ta có:
10k+1 + 18(k + 1) - 28 = 10 10k + 18k - 10 (2)Thay (1) vào (2) ta đợc:
10k+1 + 18(k + 1) - 28 = 10 (27m - 18k + 28) + 18k - 10 = 270m - 162k + 270 27.
Bài 13 Chứng minh rằng: chia hết cho 48.
Giải: Ta có:
Chuyên đề 2: phơng trình nghiệm nguyên
Bài 1 Tìm nghiệm nguyên của phơng trình: a) 12x-19y+21=0
Trang 4y=12t+3; t Zb) 2x+3y+4z=5
Ta có: 2x+3(y+z)+z=5, đặt y+z=t; x=u2u+3t+z=5
y=t-z=t-5+2u+3t=2u+4t-5Vậy nghiệm của phơng trình là:
Giải 4 hệ trên ta đợc nghiệm của phơng trình là(x,y) {(5,6); (-6,-6); (-6,6); (5,-6)}
Bài3 Tìm nghiệm nguyên của phơng trình: x3-y3=2y2+3y+1x3=y3+ 2y2+3y+1 (4)
Ta có: (y-1)3=y3-3y2+3y-1= y3+ 2y2+3y+1-(5y2+2)< y3+ 2y2+3y+1(y+1)3=y3+3y2+3y+1= y3+ 2y2+3y+1+y2 y3+ 2y2+3y+1Do đó: (y-1)3 <x3 (y+1)3
Gọi (x0,y0) là nghiệm nguyên của phơng trình đã cho Ta có: (y0 -1)3 <x (y0 +1)3
Mà y chẵn nên y2=0 hoặc y2=4
- Nếu y2=0 thì 6x2=74: Không có x thoả mãn
Trang 5Vậy phơng trình đã cho có 4 nghiệm: (x,y) {(3,2); 3,2) (3,-2) 3,-2,)}
(-Bài5 Tìm nghiệm nguyên của phơng trình: 2x+3y=xy+4(2-y)x=4-3y (6)
Dễ thấy y=2 không phải là nghiệm của phơng trình Vậy y 2
x3+ (-y)3+(-1)-3x(-y).(-1)=0(x-y-1)( x2+y2+12+xy-y+x)=0
x-y-1=0 hoặc x2+y2+12+xy-y+x=0x=y+1 hoặc (x+y)2+(x+1)2+(y-1)2=0
x=y+1 hoặc x=-1; y=1
Vậy nghiệm của phơng trình là: (-1,1) và (k+1,k) với k Z
Bài 7 Giải phơng trình tìm nghiệm nguyên:
a) + = (1)
3x + 3y = xy x = x = y = y = 3 +
Do y nguyờn dương cũng phải nguyờn dương (x - 3) là ước > 0 của 9 (x - 3) = {1 ; 3 ; 9} +) x - 3 = 1 x = 4 ; y = 12
+) x - 3 = 3 x = 6 ; y = 6 +) x - 3 = 9 x = 12 ; y = 4
- Vậy pt cú cỏc cặp nghiệm nguyờn là (x ; y) = (4 ; 12) ; (6 ; 6) ; (12 ; 4)b) + + = 2 (2)
Do vai trũ bỡnh đẳng của x, y, z, trước hết ta xột x ≤ y ≤ z Ta cú : 2 = + + ≤ 3 => x ≤ => x = 1
Thay x = 1 vào (2) ta cú :
+ + 1 = 2 => 1 = + ≤ => y ≤ 2
Trang 6=> y = 1 => = 0 (vụ lớ)
hoặc y = 2 => = 2 => z = 2
Vậy nghiệm nguyờn dương của phương trỡnh (2) là cỏc hoỏn vị của (1 ; 2 ; 2).
Bài 8 Tìm nghiệm nguyên của phơng trình:
a) xy + x - 2y = 3
y(x - 2) = - x + 3 Vỡ x = 2 khụng thỏa món phương trỡnh nờn xy + x - 2y = 3 y = y = -1 + Ta thấy : y là số nguyờn tương đương với x - 2 là ước của 1 hay x - 2 = 1 hoặc x - 2 = -1
với x = 1 hoặc x = 3 Từ đú ta cú nghiệm (x ; y) là (1 ; -2) và (3 ; 0).b) 5x – 7y = 15
b) Vì UCLN(5,15) = 5 nên phơng trình có nghiệm y chia hết cho 5 Đặt y = 5t (t Z)
Thay y = 5t vào pt 5x –7y = 15 ta đợc x = 7t +5
Vậy PT 5x – 7y = 15 có nghiệm tổng quát là: x = 7t +5 (t Z) y = 5t
Bài 9 Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình:
xy2+ 2xy – 243y + x = 0 x(y + 2y +1) – 243y = 0
x(y + 1)2 = 243y x = (*)
Ta thấy (y, y+1) = 1 (y+1)2 là ớc của 243 mà 243= 35
Mặt khác (y+1)2 là số chính phơng nên (y+1)2 chỉ có thể là một trong các số sau:
12; 32; 34 + Nếu (y+1)2 =1 y+1= 1 y= 0 x= 0 + Nếu (y+1)2 = 9 y+1= 3 y= 2 x= 54
+ Nếu (y+1)2 = 81 y+1= 9 y= 8 x= 24
Bài 10 Giải Phơng trình với nghiệm nguyên 3x +17y=159
Giả sử x,y là các số thỏa mãn phơng trình trên , ta thấy *159 chia hết cho 3
* 3x chia hết cho 3
17y chia hết cho 3 y chia hết cho 3Đặt y =3t ( t Z) thay vào PT ta cs
3x + 17.3t =159 x+17t =53Do đó x=53 -17t
y=3t
Thay các biểu thức của x,y vào PT đợc nghiệm đúngVậy nghiệm của phơng trinh là:
x=53-17t (t Z) y=3t
Chuyên đề 3: đồng d
* Bài 1: Tìm d trong phép chia 19911991 cho 13
Hớng dẫn: Theo định lý Fecma ta có: 212 1 (mod 13) vì (2, 13) = 121991 = (212 )165 + 11 1 211 (mod 13)
211 7 (mod 13)
Trang 7Vậy 19911991 chia cho 13 d 7
* Bài 2: Chứng minh rằng: 270 + 370 chia hết cho 13Hớng dẫn: Ta có: (2, 13) = 1
(3, 13) = 1
Theo trờng hợp đặc biệt của định lý Fecma
212 1 (mod 13) 270 = (212)5 210 210 (mod 13) 10 (mod 13) (1)312 1 (mod 13) 370 = (312)5 310 310 (mod 13) 3 (mod 13) (2)Từ (1) và (2) 270 + 370 0 (mod 13) hay 270 + 370 chia hết cho 13.
* Bài 3: Chứng minh rằng với mọi số nguyên a ta có:a) không chia hết cho 7.
Xét pt
Vì a nguyên nên không có giá trị của a để.
b) không chia hết cho 13 Xét pt
Vì a nguyên nên không có giá trị của a để.
* Bài 4 Tìm chữ số hàng chục của
Vậy chữ số hàng chục của là 4.
* Bài 5 Giải phơng trình
nên có Vậy
Vậy
Vậy nghiệm ptrình
* Bài 6: Giải phơng trình
Cách 1 Vậy
Cách 2 Nghiệm ptr
Ta có: Vậy Vậy
* Bài 7: Giải phơng trình
Trang 8* Bài 10 Tìm các nghiệm nguyên của phơng trình
65x – 200y = 7m + 24 (m số nguyên cho trớc).Ta có Vậy để ptr có nghiệm nguyên thì
Vậy ptr đã choGiải ptr đồng d:
Vậy, ptr có nghiệm tổng quát: ptr vô nghiệm.