Đang tải... (xem toàn văn)
Phương pháp đặt ẩn phụ để giải phương trình mũ.
Phơng pháp đặt ẩn phụ đểgiải phơng trình mũA/ Lý do chọn đề tài:Để giải đợc một bài toán phụ thuộc chủ yếu vào việc xác định đúng đắn đờng lối giải bài toán đó. Quá trình đi từ đờng lối đúng đắn đến việc có một lời giải tốt đòi hỏi ngời làm toán phải biết cách lựa chọn phơng pháp và công cụ thích hợp. Để giải đợc một phơng trình nói chung và phơng trình mũ nói riêng ngời làm toán đòi hỏi phải chọn đợc phơng pháp thích hợp cho từng lớp bài toán. Tôi nghĩ rằng phơng pháp đặt ẩn phụ để giải phơng trình là một phơng pháp hữu hiệu.Biết đặt ẩn phụ thích hợp sẽ đa một phơng trình khó giải về một phơng trình theo ẩn phụ đơn giản và dể giải hơn. Tất nhiên việc chọn ẩn phụ không đơn giản chút nào nếu ngời làm toán không biết nhìn mọi góc độ của bài toán đã cho.Bởi vậy, hớng dẫn học sinh sử dụng phơng pháp đặt ẩn phụ để giải 1 phơng trình mũ là điều hết sức cần thiết cho mọi đối tợng làm toán.B/ Nội dung:ở đề tài này tôi muốn trao đổi vài phơng pháp đặt ẩn phụ trong phơng trình mũ mà ở chơng trình đại trà học sinh không đợc học ở sách giáo khoa.1 I. Ph ơng pháp l ợng giác hóa: Ví dụ 1: Giải phơng trình: 2 21 1- 2005 (1 2 1 2005 )2005x x x+ = + Nhận xét: Từ điều kiện của phơng trình ta có 00 (2005) 1xx < Bởi vậy ta có thể đặt: (2005) sin , (0; ]2xt t= Khi đó phơng trình đã cho đa về một phơng trình lợng giác mà cách giải đơn giản hơn: 2 cos sin sin 2 ,2tt t= + (0; ]2t32 cos (1 2 sin ) 02 2t t = =cos 02t= (loại)3 26sin2 22ttt== =220051(2005)log 220(2005) 1xxxx== ==Nhận xét: Tất nhiên ta cũng có thể đặt ẩn phụ theo kiểu khác. Đặt 2 2 21 2005 0 2005 1x xt t = = Từ đó ta có điều kiện: 0 10tx Khi đó ta đa phơng trình về dạng: 21 (1 2 )( 1 )t t t+ = + 2 21 (1 2 ) (1 )t t t + = + 21 [(1 2 ) (1 ) 1] 0t t t + = + =2(3 4 ) 0t t =2 032tt== Với 0t= 21 2005 0x = 22005 1x = 0x = Với 32t = 231 20052x =120052x =2005log 2x = Vậy phơng trình có hai nghiệm :20050log 2xx== Ví dụ 2: Tìm m để phơng trình sau có nghiệm: 21 2 2xxm + = Nhận xét: 20 2 1x< Đặt: 22 sinxt=, 0;2t Phơng trình có dạng: 21 sin sint t m + =cos sint t m + =cos sint t m + =2 sin( )4t m + =sin( )42mt + =Vì 0;2t 34 4 4t < + < nênPhơng trình có nghiệm 0 12m 0 2m Nhận xét: Ta cũng có thể giải theo những phơng pháp khác.Bài tập 1: Giải phơng trình: 2 14.3 3 1 9x x x+ = Bài tập 2: Giải phơng trình: (3 2 2) ( 2 1) 3x x+ = +3 II. Ph ơng pháp sử dụng 2 ẩn phụ cho 2 biểu thức mũ trong ph ơng trình và biến đổi ph ơng trình đã cho về dạng tích:Ví dụ 1: Giải phơng trình: 2 25 6 1 6 55 5 5.5 1x x x x + + = + Ta thấy 6 5 7 55.5 5x x =2 2( 5 6) (1 ) 7 5x x x x + + = Bởi vậy ta đặt ẩn phụ:25 65 0x xu += >215 0xv= >Khi đó phơng trình có dạng: u+v = uv+1 1( 1)( 1) 01uu vv= = =25 6 225 1 5 6 03x xxx xx +== + = =21 25 1 1 0 1xx x= = = Vậy phơng trình có 4 nghiệm : 1; 2; 3x x x= = =Nhận xét: Bài toán này có thể hỏi nh sau: Với giá trị nào của m thì phơng trình 2 25 6 1 6 55 5 5.5x x x xm m + + = + có 4 nghiệm phân biệt Ví dụ 2: Giải phơng trình: 2 12 2 1 2 4 2x xx x++ + = + + ĐK: 12 1 02x x+ Viết phơng trình dới dạng: 22 2 1 2.2 2(2 1)x xx x+ + = + + Đặt 2 , 02 1 , 0xu uv x v= >= + Ta có phơng trình: 2 22 2u v u v+ = +2 2 2( ) 2 2u v u v + = +2( ) 0u v u v = =4 2 2 1xx = +22 2 1xx = +02 012 12xxxx== ==Bài tập 1: Giải và biện luận phơng trình2 2 22 1 ( 1)4 2 2 1x x m x x x+ + + + = Bài tập 2: Giải phơng trình: 2 21 1 12 2 2 2x x x x+ + = +III. Đặt ẩn phụ thích hợp đ a ph ơng trình đã cho về 1 hệ thông th ờng hệ này đối xứng: Ví dụ 1: Giải phơng trình: 3 1125 4 5 5 4x x++ = Nhận thấy PT 335 4 5 5.5 4x x + = Đặt: 5 , 0xu u= > 334 5 5. 4u u + = Đặt: 35. 4u v = 35 4v u = Đợc hệ pt: 335 45 4u vv u= = 2 22 2( )( ) 5( )( )( 5) 0u v u v uv v uu v u v uv + + = + + + =2 205 0u vu v uv =+ + + =u v =Ta có: 3 25 4 0 ( 1)( 4) 0u u u u u + = + =1 11 5 1 52 2u uu u= = + = = Với 1 5 1 0xu x= = = Với 1 5 1 552 2xu + += =5 55 1log ( )2x =Vậy nghiệm của phơng trình: 0x=, 55 1log ( )2x=Ví dụ 2: Giải phơng trình: 1 1 18 2 182 1 2 2 2 2 2xx x x x + =+ + + +Viết phơng trình dới dạng:1 1 1 18 1 182 1 2 1 2 2 2x x x x + =+ + + +Đặt 112 12 1xxuv= += + , 1u v >Ta có uv u v= +PT 8 1 18u v u vu v uv+ =++ = 8 18u vu v uv+ =+ =299,8u vu v= == = Với 2u v= = ta đợc 112 1 212 1 2xxx+ = =+ = Với 998uv== ta đợc 112 1 9492 18xxx+ = =+ =Bài tập 1: Giải phơng trình: 23 3 5 5x x+ + =Bài tập 2: Giải phơng trình: 2 2sin cos16 16 10x x+ =IV. Đặt ẩn phụ, chuyển ph ơng trình đã cho thành một ph ơng trình với mội ẩn phụ nh ng các hệ số vẫn còn chứa x:Ví dụ 1: Giải phơng trình: 2 22 216 ( 3)4 2 2 0x xx x+ + =Đặt 24 ; 1xt t= Khi đó PT2 2 2( 3) 2 2 0t x t x + + =.6 Ta có: 2 2 2 2 2( 3) 4( 2 2) ( 1)tx x x= + = +VPT221tt x== Với 2222 4 2 2 12xt x x= = = = Với22 21 4 1xt x x= = Nhận xét: VT 1 VT=1VP 1 VP=1 224 101 1xxx= = =Ví dụ 2: Giải phơng trình: 9 2( 5)3 9(2 1) 0x xx x + + + =Đặt 3xt=; 0t >. Khi đó ta có PT:2( ) 2( 5) 9(2 1) 0f t t x t x= + + + =2 2' ( 5) 9(2 1) ( 4)x x x = + + = 9( ) 02 1tf tt x= = = +3 93 2 1xxx== +20; 1xx x== =Chứng minh PT 3 2 1xx= + có nghiệm 0; 1x x= =Thật vậy: Theo bất đẳng thức Bécnuli với 0 1x< < ta có 3 1 3xx x+ <3 2 1xx < + Với x >1 thì 3 1 3xx x+ > 3 2 1xx > +Vậy PT 3 2 1xx= + chỉ có nghiệm 0; 1x x= =Bài tập 1: Giải phơng trình:3 22.2 3.2 3.2 1 0x x x + =Bài tập 2: Giải phơng trình:7 2 22 3 2 2.2 3.3 1x xx x xx+ + = + + +C/ Tính thực tiễn của đề tài:Bổ sung thêm cho học sinh phơng pháp đặt ẩn phụ trong việc giải một phơng trình mũ, mà các bài toán ở trong chơng trình không học.Giúp học sinh vững tin trớc những bài toán lạĐộng viên, phát huy tính tích cực, sáng tạo trong học toán nói chung và phơng trình nói riêng. Nhằm không ngừng nâng cao việc dạy và học trong nhà trờng.Đồng Hới, ngày tháng 2 năm 2006Ngời viết đề tàiTrần Minh Châu8 . pháp đặt ẩn phụ để giải phơng trình là một phơng pháp hữu hiệu.Biết đặt ẩn phụ thích hợp sẽ đa một phơng trình khó giải về một phơng trình theo ẩn phụ đơn. Phơng pháp đặt ẩn phụ đ giải phơng trình mũA/ Lý do chọn đề tài :Để giải đợc một bài toán phụ thuộc chủ yếu vào việc xác định đúng đắn đờng lối giải bài