Chuyên đề bồi dơng học sinh giỏi toán THCS Các chuyên đề bồi dỡng hsg toán thcs Chuyên đề 1: Phần I: Số phơng I- Định nghĩa: Số phơng số bình phơng số nguyên II- tính chất: 1- Số phơng có thĨ cã ch÷ sè tËn cïng b»ng 0, 1, 4, 5, 6, 9; có chữ tận 2, 3, 7, 2- Khi ph©n tÝch thõa số nguyên tố, số phơng chứa thừa số nguyên tố với số mũ chẵn 3- Số phơng có hai dạng 4n 4n+1 Không có số phơng có dạng 4n + hc 4n + (n  N) 4- Sè chÝnh ph¬ng chØ cã thĨ cã mét hai dạng 3n 3n +1 Không có số phơng có dạng 3n + ( n N ) 5- Sè chÝnh ph¬ng tËn cïng b»ng 1, chữ số hàng chục chữ số chẵn Số phơng tận chữ số hàng chục Số phơng tận chữ số hàng chục chữ số lẻ 6- Số phơng chia hết cho chia hết cho Số phơng chia hết cho chia hết cho Số phơng chia hÕt cho th× chia hÕt cho 25 Sè phơng chia hết cho chia hết cho 16 III- Một số dạng tập số phơng A- Dạng 1: chứng minh số số phơng Bài 1: Chứng minh số nguyên x, y th×: A= (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y số phơng Gi¶i : Ta cã A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y = ( x  xy  y )( x  xy  y ) y Đặt x xy y t (t  Z ) th× A = ( t  y )(t  y )  y t  y  y t ( x  xy  y )2 V× x, y, z  Z nªn x  Z , xy  Z , y  Z  x  xy  y  Z VËy A số phơng Bài 2: Chứng minh tích số tự nhiên liên tiếp cộng số phơng Giải : Gọi số tự nhiên, liên tiếp n, n+1, n+2, n+3 (n  Z) Ta cã: n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + = n ( n + 3)(n + 1)(n + 2) + = ( n 3n)(n 3n 2) (*) Đặt n  3n t (t  N ) th× (*) = t(t + 2) + = t2 + 2t + = (t + 1)2 = (n2 + 3n + 1)2 Vì n N nên n2 + 3n +  N VËy n(n + 1)(n + 2)(+ 3) + số phơng Bài 3: Cho S = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + + k(k + 1)(k + 2) Chøng minh r»ng 4S + số phơng Thầy giáo giỏi Chuyên đề bồi dơng học sinh giỏi toán THCS 1 k (k + 1)(k + 2) 4= k(k + 1)(k + 2)  (k  3)  (k  1)  4 1 = k(k + 1)(k + 2)(k + 3) - k(k + 1)(k + 2)(k - 1) 4 Gi¶i : Ta cã: k(k + 1)(k + 2) = => 4S =1.2.3.4 - 0.1.2.3 + 2.3.4.5 - 1.2.3.4 + + k(k + 1)(k + 2)(k + 3) - k(k + 1)(k + 2)(k - 1) = k(k + 1)(k + 2)(k + 3) => 4S + = k(k + 1)(k + 2)(k + 3) + Theo kết => k(k + 1)(k + 2)(k + 3) + lµ số phơng Bài 4: Cho dÃy số 49; 4489; 444889; 44448889; - DÃy số đợc xây dựng cách thêm số 48 vào chữ số đứng trớc đứng sau Chứng minh tất số dÃy sè chÝnh ph¬ng Ta cã 44 488 89 = 44 488 + = 44 10n + 11 + n ch÷ sè n - ch÷ sè n ch÷ sè n ch÷ sè n ch÷ sè n ch÷ sè n n = 10  10n  10   9 2n n n 2n n = 4.10  4.10  8.10   4.10  4.10 1 9  2.10n 1  =    n Ta thÊy 2.10 + = 200 01 có tổng chữ số chia hết nã chia hÕt cho n - ch÷ sè  2.10 n 1  =>   Z hay số có dạng 44 488 89 số phơng Các tơng tự: Chứng minh số sau sè chÝnh ph¬ng A = 11 + 44 + 2n ch÷ sè n ch÷ sè B = 11 + 11 + 66 + 2n ch÷ sè n+1 ch÷ sè n ch÷ sè C= 44 + 22 + 88 + 2n ch÷ sè n+1 ch÷ sè n ch÷ sè D = 22499 9100 09 n-2 ch÷ sè n ch÷ sè E = 11 155 56 n ch÷ sè n-1 ch÷ sè  n  KÕt qu¶: A=  10   ;   D = (15.10 - 3) n 2  10n   B   ;   E=  10 n        2.10n   C     2 Bài 5: Chứng minh tổng bình phơng số tự nhiên liên tiếp số phơng Thầy giáo giỏi Chuyên đề bồi dơng học sinh giỏi toán THCS Gọi số tự nhiên liên tiếp n - 2, n - 1, n +1, n + ( n  N, n >2) Ta cã (n - 2)2 + ( n - 1)2 + n2 + (n + 1)2 + (n + 2)2 = (n2 + 2) V× n2 tận ®ã n2 + kh«ng thĨ chia hÕt cho => (n2 + 2) không số phơng hay A không số phơng Bài 6: Chứng minh r»ng sè cã d¹ng n6 - n4 + 2n3 + 2n2 n N n >1 số phơng n6 - n + 2n3 + 2n2 = n2 (n4 - n2 + 2n +2) = n2 [n2(n-1)(n+1) +2(n+1)] = n2[(n+1)(n3 - n2 + 2)] = n2(n + 1) [(n3 + 1) - (n2 - 1)] = n2(n + 1)2 (n2 - 2n + 2) Víi n N, n > th× n2 - 2n + = ( n -1)2 + > ( n - 1)2 Vµ n2 - 2n + = n2 - 2(n - 1) < n2 VËy (n - 1)2 < n2 - 2n + < n2 => n2 - 2n + kh«ng phải số phơng Bài 7: Cho số phơng có chữ số hàng chục khác chữ số hàng đơn vị Chứng minh tổng chữ số hàng chục số phơng số phơng Ta biết số phơng có chữ số hàng đơn vị chữ số hàng chục số lẻ Vì chữ số hàng chục số phơng 1,3,5,7,9 ®ã tỉng cđa chóng b»ng + + + + = 25 = 52 lµ sè phơng Bài 8: Chứng minh tổng bình phơng số lẻ số phơng a b lẻ nên a = 2k + 1, b= 2m + (Víi k, m  N) => a2 + b2 = (2k + 1)2 + ( 2m + 1)2 = 4k2 + 4k + + 4m2 + 4m + = (k2 + k + m2 + m) + => a2 + b2 số phơng Bài 9: Chứng minh r»ng nÕu p lµ tÝch cđa n (víi n > 1) số nguyên tố p - p + số phơng Vì p tích n số nguyên tố nên p p chia hÕt cho (1) a- Gi¶ sư p + số phơng Đặt p + = m2 ( m N) Vì p chẵn nên p + lẻ => m2 lẻ => m lẻ Đặt m = 2k + (k  N) Ta cã m2 = 4k2 + 4k + => p + = 4k2 + 4k + => p = 4k2 + 4k = 4k (k + 1)  mâu thuẫn với (1) => p + số phơng b- p = 2.3.5 sè chia hÕt cho => p - cã dạng 3k + => p - không số phơng Vậy p tích n (n >1) số nguyên tố p - p + không số phơng Bài 10: Gi¶ sư N = 1.3.5.7 2007 2011 Chøng minh r»ng sè nguyªn liªn tiÕp 2N - 1, 2N 2N + số số phơng a- 2N - = 2.1.3.5.7 2011 - Cã 2N  => 2N - = 3k + (k N) => 2N - không số chÝnh ph¬ng b- 2N = 2.1.3.5.7 2011 => 2N chẵn => N lẻ => N không chia hết cho 2N nhng 2N không chia hết cho 2N chẵn nên 2N không chia cho d d => 2N không số phơng c- 2N + = 2.1.3.5.7 2011 + 2N + lỴ nên 2N + không chia hết cho 2N không chia hết 2N + không chia cho d => 2N + kh«ng số phơng Bài 11: Cho a = 11 ; b = 100 05 Thầy giáo giỏi Chuyên đề bồi dơng học sinh giỏi toán THCS 2010 chữ số Giải: 2009 chữ số Chứng minh ab số tù nhiªn b = 100 05 = 100 - + = 99 + = 9a + 2009 ch÷ sè 2010 ch÷ sè 2010 ch÷ sè  ab + = a(9a + 6) + = 9a + 6a + = (3a + 1)2  ab   (3a  1) 3a   N B d¹ng 2: tìm giá trị biến để biểu thức số phơng Bài 1: Tìm số tự nhiên n cho số sau số phơng a) n2 + 2n + 12 b) n(n + 3) c) 13n + d) n2 + n + 1589 Gi¶i: a) Vì n2 + 2n + 12 số phơng nên đặt n2 + 2n + 12 = k2 (k  N)  (n2 + 2n + 1) + 11 = k2  k2 – (n + 1)2 = 11  (k + n + 1)(k – n - 1) = 11 NhËn xÐt thÊy k + n + > k - n - vµ chóng lµ số nguyên dơng, nên ta viết (k + n + 1) (k - n - 1) = 11.1  k + n + = 11 k=6 k-n1=1 n=4 b) đặt n(n + 3) = a2 (n  N)  n2 + 3n = a2  4n2 + 12n = 4a2  (4n2 + 12n + 9) – = 4a2  (2n + 3)2 – 4a2 =  (2n + + 2a)(2n + – 2a) = NhËn xÐt thÊy 2n + + 2a > 2n + – 2a vµ chúng số nguyên dơng, nên ta viÕt (2n + + 2a)(2n + – 2a) = 9.1 2n + + 2a = n=1   2n + – 2a = a=2 2 c) Đặt 13n + = y (y  N)  13(n - 1) = y – 16  13(n - 1) = (y + 4)(y – 4)  (y + 4)(y – 4) 13 mµ 13 lµ số nguyên tố nên y + 13 y – 13  y = 13k  (víi k  N)  13(n - 1) = (13k  4)2 – 16 = 13k.(13k  8)  13k2  8k + VËy n = 13k2  8k + (với k N) 13n + số phơng d) Đặt n2 + n + 1589 = m2 (m  N)  (4n2 + 1)2 + 6355 = 4m2  (2m + 2n + 1) (2m – 2n – 1) = 6355 NhËn xÐt thÊy 2m + 2n + > 2m – 2n – > chúng số lẻ, nên ta cã thÓ viÕt (2m + 2n + 1) (2m – 2n – 1) = 6355.1 = 1271.5 = 205.31 = 155.41 Suy n có giá trị sau : 1588 ; 316 ; 43 ; 28 Bµi tơng tự : Tìm a để số sau số phơng a) a2 + a + 43 b) a2 + 81 c) a2 + 31a + 1984 KÕt qu¶: a) 2; 42; 13 b) 0; 12; 40 c) 12 ; 33 ; 48 ; 97 ; 176 ; 332 ; 565 ; 1728 Bài : Tìm sè tù nhiªn n  cho tỉng 1! + 2! + 3! + … + n! lµ mét số ph + n! số phơng Víi n = th× 1! = = 12 số phơng Với n = 1! + 2! = không số phơng Với n = th× 1! + 2! + 3! = + 1.2 + 1.2.3 = = 33 lµ số phơng Thầy giáo giỏi Chuyên đề bồi dơng học sinh giỏi toán THCS Với n ta cã 1! + 2! + 3! + 4! = + 1.2 + 1.2.3 + 1.2.3.4 = 33 cßn 5!; 6!; … + n! lµ mét sè chÝnh ph; n! ®Ịu tËn cïng bëi ®ã 1! + 2! + 3! + … + n! lµ mét sè chÝnh ph n! cã tËn cïng bëi ch÷ sè nên số phơng Vậy có số tự nhiên n thoả mÃn đề n = 1; n = Bµi 3: Cã hay không số tự nhiên n để 2010 + n2 số phơng Giả sử 2010 + n2 số phơng 2010 + n2 = m2 (m N ) Tõ ®ã suy m2 - n2 = 2010  (m + n) (m – n) = 2010 Nh số m n phải có số chẵn (1) Mặt khác m + n + m – n = 2m  sè m + n m n tính chẵn lẻ (2) Từ (1) (2) m + n m n số chẵn (m + n) (m – n) 4 nhng 2006 kh«ng chia hết cho Điều giả sử sai Vậy không tồn số tự nhiên n để 2006 + n2 số phơng Bài 4: Biết x N x > Tìm x cho x( x  1).x( x  1) ( x  2) xx( x 1) Đẳng thức đà cho đợc viết lại nh sau: x( x  1) ( x  2) xx( x 1) Do vế trái số phơng nên vế phải số ph¬ng Mét sè chÝnh ph¬ng chØ cã thĨ tËn cïng chữ số 0; 1; 4; 5; 6; nªn x chØ cã thĨ tËn cïng bëi chữ số 1; 2; 5; 6; 7; (1) Do x chữ số nên x 9, kết hợp với điều kiện đề ta có x  N vµ < x  (2) Tõ (1) vµ (2)  x chØ cã thĨ nhËn giá trị 5; 6; Bằng phép thư ta thÊy chØ cã x = tho¶ m·n đề bài, 762 = 5776 Bài 5: Tìm số tự nhiên n có chữ số biết 2n + 3n + sè chÝnh ph¬ng Ta cã 10  n  99 nên 21 2n + 199 Tìm số phơng lẻ khoảng ta đợc 2n + b»ng 25; 49; 81; 121; 169 t¬ng øng víi sè n b»ng 12; 24; 40; 60; 84 Sè 3n + b»ng 37; 73; 121; 181; 253 ChØ cã 121 số phơng Vậy n = 40 Bài 6: Chứng minh n số tự nhiên cho n + 2n + số phơng n bội số 24 Vì n + 2n + số phơng nên đặt n + = k2, 2n + = m2 (k, m  N ) Ta có m số lẻ m = 2a +  m2 = 4a(a + 1) + Mµ n m  4a( a  1)  2a (a  1) 2 n chẵn n + lẻ k lẻ đặt k = 2b + (với b  N )  k2 = 4b(b+1) + (1)  n = 4b(b+1)  n 8 Ta cã: k2 + m2 = 3n +  (mod3) MỈt khác k2 chia cho d 1, m2 chia cho d Nên để k2 + m2  (mod3) th× k2  (mod3) m2  (mod3)  m2 – k2 3 hay (2n + 1) – (n + 1) 3  n 3 (2) Mµ (8; 3) = (3) Tõ (1), (2), (3) n 24 Bài 7: Tìm tất số tự nhiên n cho số 28 + 211 + 2n số phơng Giả sử 28 + 211 + 2n = a2 (a  N) th× 2n = a2 – 482 = (a + 48) (a – 48) 2p 2q = (a + 48) (a – 48) víi p, q  N ; p + q = n vµ p > q a + 48 = 2p  2p 2q = 96  2q (2p-q – 1) = 25.3 Thầy giáo giỏi Chuyên đề bồi dơng học sinh giỏi toán THCS a 48 = 2q  q = vµ p – q =  p =  n = + = 12 Thư l¹i ta cã: 28 + 211 + 2n = 802 C.dạng : Tìm số phơng Bài : Cho A số phơng gồm chữ số Nếu ta thêm vào chữ số A đơn vị ta đợc số phơng B HÃy tìm số A B Gọi A = abcd k Nếu thêm vào chữ số A đơn vị ta cã sè B = (a  1)(b  1)(c  1)(d  1) m víi k, m  N vµ 32 < k < m < 100 a, b, c, d = 1;  Ta cã: A = abcd k B = abcd  1111 m §óng céng kh«ng cã nhí 2 (*)  m – k = 1111  (m - k)(m + k) = 1111 NhËn xÐt thÊy tÝch (m – k)(m + k) > nên m k m + k số nguyên dơng Và m k < m + k < 200 nªn (*) cã thĨ viÕt (m – k) (m + k) = 11.101 Do ®ã: m – k = 11 m = 56 A = 2025   m + k = 101 n = 45 B = 3136 Bài 2: Tìm số phơng gồm chữ số biết số gồm chữ số đầu lớn số gồm chữ số sau đơn vị Đặt abcd k ta có ab  cd 1 vµ k  N, 32  k < 100 Suy : 101 cd = k2 – 100 = (k – 10)(k + 10)  k + 10 101 k 10 101 Mà (k – 10; 101) =  k + 10 101 Vì 32 k < 100 nên 42 k + 10 < 110  k + 10 = 101  k = 91  abcd = 912 = 8281 Bài 3: Tìm số phơng có chữ số biết chữ số đầu giống nhau, chữ số cuối giống Gọi số phơng phải tìm lµ: aabb = n2 víi a, b  N,  a  9;  b  Ta cã: n2 = aabb = 11 a0b = 11.(100a + b) = 11.(99a + a + b) (1) NhËn xÐt thÊy aabb 11  a + b 11 Mµ  a  9;  b  nªn  a + b  18  a + b = 11 Thay a + b = 11 vµo (1) đợc n2 = 112(9a + 1) 9a + số phơng Bằng phép thử với a = 1; 2;… + n! lµ mét sè chÝnh ph; ta thÊy chØ cã a = tho¶ mÃn b = Số cần tìm là: 7744 Bài 4: Tìm số có chữ số vừa số phơng vừa lập phơng Gọi số phơng abcd Vì abcd vừa số phơng vừa lập phơng nên ®Ỉt abcd = x2 = y3 víi x, y  N Vì y3 = x2 nên y sè chÝnh ph¬ng Ta cã : 1000  abcd  9999  10  y  21 vµ y chÝnh phơng y = 16 abcd = 4096 Bài : Tìm số phơng gồm chữ số cho chữ số cuối số nguyên tố, bậc hai số có tổng chữ số số phơng Gọi số phải tìm abcd với a, b, c, d nguyên  a  9;  b, c, d  abcd chÝnh ph¬ng  d   0,1, 4, 5, 6, 9 d nguyªn tè  d = §Ỉt abcd = k2 < 10000  32  k < 100 Thầy giáo giỏi 2 2 Chuyên đề bồi dơng học sinh giỏi toán THCS k số có hai chữ số mà k2 có tËn cïng b»ng  k tËn cïng b»ng Tổng chữ số k số ph¬ng  k = 45  abcd = 2025 VËy số phải tìm là: 2025 Bài 6: Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết hiệu bình phơng số viết số bở hai chữ số số nhng theo thứ tự ngợc lại số phơng Gọi số tự nhiên có hai chữ sốphải tìm ab (a, b N,  a, b  9) Sè viÕt theo thø tự ngợc lại ba Ta có ab - ba = (10a + b)2 – (10b + a)2 = 99 (a2 – b2) 11  a2 – b2 11 Hay (a - b) (a + b) 11 V× < a – b  8,  a + b  18 nªn a + b 11  a + b = 11 Khi ®ã: ab - ba 2= 32 112 (a – b) §Ĩ ab - ba số phơng a b phải số phơng a – b = hc a –b=4 NÕu a – b = kÕt hỵp víi a + b = 11  a = 6, b = , ab = 65 Khi ®ã 652 – 562 = 1089 = 332 NÕu a – b = kÕt hỵp víi a + b = 11  a = 7,5 lo¹i Vậy số phải tìm 65 Bài 7: Cho số phơng có chữ số Nếu thêm vào chữ số ta đợc số phơng Tìm số phơng ban đầu (Kết quả: 1156) Bài 8: Tìm số có chữ số mà bình phơng số lập phơng tổng chữ số Gọi số phải tìm ab víi a, b  N,  a  9;  b  Theo gi¶ thiÕt ta cã: ab = (a + b)3  (10a +b)2 = (a + b)3 ab lập phơng a + b số phơng Đặt ab = t3 (t  N), a + b = 12 (1  N) V× 10  ab  99  ab = 27 hc ab = 64 NÕu ab = 27  a + b = lµ sè chÝnh ph¬ng NÕu ab = 64  a + b = 10 không số phơng loại Vậy số cần tìm ab = 27 Bài : Tìm số lẻ liên tiếp mà tổng bình phơng mét sè cã ch÷ sè gièng Gäi số lẻ liên tiếp 2n - ; 2n + ; 2n + (n  N) Ta cã : A = (2n – 1)2 + (2n + 1)2 + (2n +3)2 = 12n2 + 12n + 11 Theo đề ta đặt 12n2 + 12n + 11 = aaaa = 1111 a víi a lỴ vµ  a   12n(n + 1) = 11(101a – 1)  101a – 3  2a – 3 V×  a  nên 2a 17 2a lẻ nên 2a 3; 9;15 a 2; 5; Vì a lẻ  a =  n = 21 sè cần tìm là: 41; 43; 45 Bài 10 : Tìm sè cã ch÷ sè cho tÝch cđa sè với tổng chữ số tổng lập phơng chữ số số Thầy giáo giỏi Chuyên đề bồi dơng học sinh giỏi toán THCS (a + b) = a3 + b3  10a + b = a2 – ab + b2 = (a + b)2 – 3ab  3a (3 + b) = (a + b) (a + b – 1) a + b a + b nguyên tố a + b = 3a a + b – = 3a a+b–1=3+b a+b=3+b a = 4, b = hc a = 3, b =  VËy ab = 48 hc ab = 37 ab Chuyên đề 2: phơng trình nghiệm nguyên Tìm nghiệm nguyên Phơng trình hệ phơng trình bậc nhÊt hai Èn T tõng bµi thĨ mµ lµm cách khác VD1: Tìm nghiệm nguyên phơng trình: 2x + 3y = 11 (1) Cách 1: Phơng ph¸p tỉng qu¸t: Ta cã: 2x + 3y = 11 11  y y  x 5  y 2 Để phơng trình có nghiệm nguyên §Ỉt y t  Z   y1 nguyªn y = 2t + x = -3t + C¸ch : Dïng tÝnh chÊt chia hÕt Vì 11 lẻ 2x + 3y số lẻ mà 2x số chẵn 3y lẻ y lẻ Do : y = 2t + víi t  Z x = -3t + Cách : Ta nhân thấy phơng trình có cặp nghiệm nguyên đặc biệt x0 = ; y0 = ThËt vËy : + 3.1 = 11 (2) Trõ (1) cho (2) vÕ theo vÕ ta cã : 2(x - 4) + 3(y - 1) =  2(x -4) = -3(y -1) (3) Tõ (3)  3(y - 1) 2 mµ (2 ; 3) =  y - 2  y = 2t + víi t  Z Thay y = 2t + vµo (3) ta cã : x = -3t + Nhận xét : Với cách giải ta phải mò cặp nghiệm nguyên (x0, y0) phơng trình ax + by = c ; cách gặp khó khăn hệ số a, b, c lớn Các tập tơng tự : Tìm nghiệm nguyên phơng trình a) 3x + 5y = 10 b) 4x + 5y = 65 c) 5x + 7y = 112 VD2 : Hệ phơng trình Thầy giáo giỏi Chuyên đề bồi dơng học sinh giỏi toán THCS Tìm nghiệm nguyên dơng hệ phơng trình sau : 3x + y + z = 14 (1) 5x + 3y + z = 28 (2) Gi¶i : Tõ hƯ ®· cho ta cã : 2(x + y) = 14 vËy x = - y (*) Thay (*) vào (1) ta đợc z = 14 - y - 3x = 2y -7 Vì x > nên - y >  y < mµ z > nªn 2y - >  y > VËy < y < vµ yZ  y   4; 5; 6 Giải tiếp hệ đà cho có nghiệm (3; 4; 1); (2; 5; 3); (1; 6; 5) Bài tập tơng tự: a) Tìm nghiệm nguyên hệ 2x -5y = 2y - 3z = b) Trăm trâu ăn trăm bó cỏ trâu đứng ăn năm, trâu nằm ăn ba, trâu già bó Tìm số trâu loại c) Tìm số nguyên dơng nhỏ chia cho 1000 d vµ chia cho 761 d Tìm nghiệm nguyên phơng trình, hệ phơng trình bậc cao Phơng pháp : Dùng dấu hiệu chia hết để giải phơng trình VD1: a) Tìm cặp số nguyên (x ; y) thoả mÃn phơng trình 6x2 + 5y2 = 74 (1) C¸ch : Ta cã : (x2 - 4) = (10 - y2) (2) Tõ (2)  6(x2 - 4) 5 vµ (6 ; 5) =  x2 - 5  x2 = 5t + víi t  N Thay x2 - = 5t vµo (2) ta cã : y2 = 10 6t Vì x2 > y2 >  5t + > 10 - 6t >   t  víi tN  t = hc t = Víi t =  y2 = 10 (lo¹i) Víi t =  x =9  x = 3 y =4 y = 2 VËy c¸c cặp nghiệm nguyên : Cách : Tõ (1) ta cã x2 + 5 < x2  12  x2 = hc x2 = Víi x2 =  y2 = 10 (lo¹i) 2 Víi x =  y = (thoả mÃn) Vậy Cách : Ta cã : (1)  y2 ch½n < y2  14  y2 =  x2 = Vậy VD2 : Chứng minh phơng trình sau nghiệm nguyên Thầy giáo giỏi Chuyên đề bồi dơng học sinh giỏi toán THCS a) x5 + 29x = 10(3y + 1) b) 7x = 2y - 3z - Gi¶i : x5 - x + 30x = 10(3y+1) VP 30 cßn VT 30  phơng trình vô nghiệm Phơng pháp 2: Phân tích vế thành tích, vế thành số nguyên VD1: Tìm nghiệm nguyên phơng trình: a) xy + 3x - 5y = -3 b) 2x2 - 2xy + x - y + 15 = c) x2 + x = y2 - 19 Giải : a) Cách 1: x(y + 3) – 5(y + 3) = -18  (x – 5) (y + 3) = -18 C¸ch : x 5y  18 5  y 3 y 3 b) T¬ng tù c) 4x2 + 4x = 4y2 - 76  (2x + 1)2 - (2y)2 = -75 Phơng pháp : Sử dụng tính chẵn lẻ (đặc biệt chia hết) VD2 : Tìm nghiệm nguyên x3 - 2y3 - 4z3 = Giải :  x3 = 2(y3 + 2z3) VP 2  x3 x đặt x = 2k 8k3 = 2(y3 + 2z3)  4k3 = y3 + 2z3  y3 = 4k3 - 2z3 = 2(2k3 - z3)  y chẵn Đặt y = 2t ta có : 8t3 = 2(2k3 - z3)  4t3 = 2k3 - z3  z3 = 2k3 - 4t3  z ch½n  z = 2m  8m3 = 2(k3 - 2t3)  k chẵn Phơng pháp : Phơng pháp sử dụng tính chất số phơng VD1 : Tìm nghiƯm nguyªn cđa a) x2 - 4xy + 5y2 = 169 b) x2 - 6xy + 13y2 = 100 Gi¶i : a) (x - 2y)2 + y2 = 169 = + 169 = 25 + 144 b) (x – 3y)2 + (2y)2 = 100 = + 100 = 36 + 64 = Phơng pháp : Phơng pháp công thức nghiệm phơng trình bậc VD1 : Tìm nghiệm nguyên phơng trình a) 2x2 -2xy + x + y + 15 = b) 5(x2 + xy + y2) = 7(x+2y) (®Ị thi häc sinh giái tØnh 2009 – 2010) c) x(x + 1) = y (y + 1) (y2 + 2) Phơng pháp : Phơng pháp đặt ẩn phụ 2 VD: Tìm nghiệm nguyên phơng trình: x2 x  x  x   x  2x  x  2x  (1) Đặt y = x2 + 2x + (y Z) Thầy giáo giỏi 10 ... Bài 5: Chứng minh tổng bình phơng số tự nhiên liên tiếp số phơng Thầy giáo giỏi Chuyên đề bồi dơng học sinh giỏi toán THCS Gọi số tự nhiên liên tiếp n - 2, n - 1, n +1, n + ( n  N, n >2) Ta cã... cho d => 2N + không số phơng Bài 11: Cho a = 11 ; b = 100 05 Thầy giáo giỏi Chuyên đề bồi dơng học sinh giỏi toán THCS 2010 chữ số Giải: 2009 chữ số Chứng minh ab sè tù nhiªn b = 100 05... số phơng Víi n = th× 1! + 2! + 3! = + 1.2 + 1.2.3 = = 33 số phơng Thầy giáo giỏi Chuyên đề bồi dơng học sinh giỏi toán THCS Với n ta cã 1! + 2! + 3! + 4! = + 1.2 + 1.2.3 + 1.2.3.4 = 33 5!; 6!;