Đang tải... (xem toàn văn)
luận văn tốt nghiệp ĐHSP cấu trúc đa tạp RIEMANN của nửa không gian trên
ĐẠI HỌC HUẾTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠMKHOA TOÁN TÔN THỊ YẾN ANHCẤU TRÚC ĐA TẠP RIEMANNCỦA NỬA KHÔNG GIAN TRÊNCHUYÊN NGÀNH : HÌNH HỌCKHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆPGIẢNG VIÊN HƯỚNG DẪNPGS.TS. TRẦN ĐẠO DÕNGHUẾ, KHÓA HỌC 2007 - 2011i LỜI CẢM ƠNKhóa luận này được hoàn thành với sự hướng dẫn khoa học tận tình,chu đáo của Thầy Trần Đạo Dõng. Tôi xin phép gửi đến thầy lời cảm ơn chânthành, lòng biết ơn sâu sắc và mong muốn được thầy hướng dẫn, chỉ bảo tronglĩnh vực nghiên cứu Toán học sau này.Tôi cũng xin chân thành cảm ơn các Thầy cô giáo Khoa Toán - TrườngĐại học sư phạm Huế, những người đã giúp tôi có kiến thức, tài liệu,cũng nhưtạo điều kiện để tôi hoàn thành công việc học tập nghiên cứu của mình.Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn những người thân, bạn bè tronglớp toán 4A đã quan tâm, giúp đỡ, động viên tôi trong suốt thời gian học tậpvừa qua.Xin chân thành cảm ơn!Sinh viên thực hiệnTôn Thị Yến Anhii Mục LụcTrang phụ bìa iLời cảm ơn iiMỤC LỤC 1Mở đầu 11 ĐA TẠP RIEMANN 21.1 Trường véc tơ và trường mục tiêu . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Dạng vi phân và trường đối mục tiêu . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Đa tạp tôpô và đa tạp khả vi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4 Đa tạp Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.5 Phép biến đổi đẳng cự trên đa tap Riemann . . . . . . . . . . . 91.6 Dạng liên kết và phương trình cấu trúc . . . . . . . . . . . . . . 92 CẤU TRÚC RIEMANN CỦA NỬA PHẲNG POINCARÉ VÀNỬA KHÔNG GIAN TRÊN 152.1 Cấu trúc Riemann của nửa phẳng Poincaré và đĩa Poincaré . . . 152.2 Cấu trúc Riemann của nửa không gian trên . . . . . . . . . . . 27KẾT LUẬN 36TÀI LIỆU THAM KHẢO 371 MỞ ĐẦUTrong quá trình phát triển lý thuyết hình học vi phân, nhiều cấu trúcquan trọng đã được các nhà toán học trên thế giới khảo sát. Một trong nhữngcấu trúc quan trọng được khảo sát cảm sinh từ cấu trúc đa tạp đó là cấu trúcđa tạp Riemann, được biết như là một đa tạp khả vi sao cho với mỗi phần tửcủa đa tạp, không gian tiếp xúc tại điểm đó được trang bị một metric Riemann,tức là một tích vô hướng tương thích với cấu trúc khả vi của đa tạp đó. Vớimong muốn được tìm hiểu và nghiên cứu sâu hơn về cấu trúc này và được sựhướng dẫn tận tình của thầy Trần Đạo Dõng, tôi đã lựa chọn đề tài Cấu trúcđa tạp Riemann của nửa không gian trên để nghiên cứu.Nội dung nghiên cứu của đề tài là tìm hiểu các các khái niệm và tínhchất cơ bản của đa tạp Riemann và ứng dụng để khảo sát cấu trúc đa tạpRiemann của nửa mặt phẳng Poincaré, đĩa mở Poincaré và nửa không giantrên. Ngoài phần mở đầu, kết luận, và tài liệu tham khảo, khoá luận được chialàm hai chương.Chương 1 giới thiệu các kiến thức cơ bản về đa tạp khả vi và đa tạp Riemanncó liên quan đến việc nghiên cứu cấu trúc Riemann của nửa mặt phẳng trênvà nửa không gian trên của chương 2.Chương 2 tập trung khảo sát cấu trúc đa tạp Riemann 2-chiều của nửa mặtphẳng Poincaré, đĩa mở Poincaré thể hiện qua việc xác định metric Riemann,khảo sát các phép biến đổi đẳng cự, độ cong Gauss và mở rộng một số kếtquả cho trường hợp nửa không gian trên, được xét như một đa tạp Riemann3-chiều.1 Chương 1ĐA TẠP RIEMANNTrong chương này chúng tôi giới thiệu một số kiến thức cơ bản về đa tạp khảvi và đa tạp Rienmann như trường vector và dạng vi phân, phép biến đổi đẳngcự, dạng liên kết và phương trình cấu trúc, . liên quan đến chương sau. Cáckiến thức trình bày ở đây được trích dẫn trong tài liệu [2], [3], [5].1.1 Trường véc tơ và trường mục tiêuĐịnh nghĩa 1.1.1. Không gian Euclid Enlà một không gian afin liên kết vớikhông gian véc-tơ Euclid−→En. Mỗi phần tử αp= (p,−→α ) ∈ T En= En×−→Enđượcgọi là một véc-tơ tiếp xúc của Entại p.T Enđược gọi là không gian các véc-tơ tiếp xúc (hay phân thớ tiếp xúc)của En, mỗi phần tử của T Enđược kí hiệu là α.Với p ∈ En, kí hiệu TpEnlà tập các véc-tơ tiếp xúc của Entại p. Khi đóTpEnlà một không gian véc-tơ thực n- chiều và được gọi là không gian véc-tơtiếp xúc của Entại p.Cho U là một tập mở trong En. Khi đó T U = U ×−→Enđược gọi là khônggian các véc-tơ tiếp xúc (hay phân thớ tiếp xúc) của U. Với p ∈ U, kí hiệuTpU = TpEnvà gọi là không gian véc-tơ tiếp xúc của U tại p.Định nghĩa 1.1.2. Trường véc-tơ trên tập mở U ⊂ Enlà ánh xạX : U −→ T Up −→ X(p)sao cho với p ∈ U, ta có X(p) ∈ TpU.Từ định nghĩa ta thấy trường véc-tơ X : U −→ T U xác định một hàm2 véc-tơ−→X : U −→ En(và ngược lại X xác định bởi−→X), theo công thức X(p) =(p,−→X (p)).Trường véc-tơ X được gọi là khả vỉ (lớp Ck) nếu hàm véc-tơ−→X khả vỉ(lớp Ck). Khi−→X là ánh xạ hằng thì trường véc-tơ X được gọi là trường véc-tơsong song.Định nghĩa 1.1.3. Cho cung tham số ρ : J → En, t → ρ(t) Trường véc-tơ dọctheo ρ là ánh xạ X : J −→ Ensao cho t ∈ J, ta có X(t) ∈ Tρ(t)En.Khi đó X xác định hàm véc-tơ−→X : J → En, X(t) = (ρ(t),−→X (t)). Trường véc-tơX được gọi là khả vỉ (lớp Ck) nếu hàm số ρ và hàm véc-tơ−→X khả vi (lớp Ck).Ta có thể xét trường véc-tơ dọc theo ρ là t → X(t) = (ρ(t),−→X(t)) gọi là đạohàm của X dọc ρ trong En. Kí hiệuDdtX.Xét trường mục tiêu Z trên tập mở U ⊂ Envà véc-tơ α ∈ TpU. Lấy cungtham số ρ : J → U sao cho ρ(t0) = α, ta có t → Z(ρ(t)) là một trường véc-tơdọc theo ρ. Khi đó véc-tơD(Z◦ρ)dt(t0) không phụ thuộc vào ρ đã chọn. Ta địnhnghĩaD(Z◦ρ)dt(t0) là đạo hàm của trường véc-tơ Z theo véc-tơ tiếp xúc α. Kí hiệulà DαZ.Định nghĩa 1.1.4. Trường mục tiêu (khả vi) trên tập mở U ⊂ Enlà hệ ntrường véc-tơ (khả vi) {U1, U2, ., Un} trên U sao cho mỗi p ∈ U, hệ véc-tơ{U1(p), U2(p), ., Un(p)} là một cơ sở của TpU.Nếu với mỗi p ∈ U, Ui(p).Uj(p) = δjithì trường mục tiêu {Ui} được gọi làtrường mục tiêu trực chuẩn. Nếu có hai trường mục tiêu {Ui}, {Vi} trên tậpmở U thì ta có Vi=jiCjiUj, trong đó Cjilà một hàm trên U. Ma trận (Cji)n×nđược gọi là ma trận chuyển mục tiêu.1.2 Dạng vi phân và trường đối mục tiêu1.2.1. Dạng vi phân bậc một1. Cho U là một tập mở trong En. Dạng vi phân bậc một( hay 1-dạng viphân) θ trên U là việc đặt tương ứng mỗi p ∈ U, một ánh xạ R- tuyến tínhθp: TpU → R. Kí hiệu Ω1(U) là tập hợp các dạng vi phân bậc một trên U.2. Cho θ,θ là hai 1-dạng vi phân trên U, ϕ là một hàm số trên U. Ta3 định nghĩa θ +θ, ϕθ là các 1-dạng trên U xác định bởi(θ +θ)p= θp+θp, (ϕθ)p= ϕ(p)θp, ∀p ∈ U.3. Cho θ là 1-dạng vi phân và X là trường véc-tơ trên U. Ta có hàm sốθ(X) được xác định bởi θ(X)(p) = θp(X(p)), ∀p ∈ U.Khi đó nếu {U1, U2, ., Un} là một trường mục tiêu trên U thì mọi dạngvi phân bậc một θ trên U hoàn toàn xác định bởi các hàm số θ(Ui), i = 1, n.suy ra có các 1-dạng vi phân θitrên U xác định bởi:θi(Uj) = δij=1 nếu i = j0 nếu i = j (i, j = 1, n).Họ {θi}i=1,nđược gọi là trường đối mục tiêu của trường mục tiêu {Ui}i=1,n.1.2.2. Dạng vi phân bậc hai1. Cho U là một tập mở trong Rn. Một dạng vi phân bậc hai (hay 2-dạng viphân) ω trên U là việc đặt tương ứng mỗi p ∈ U một ánh xạ ωp: TpU×TpU → Rlà dạng song tuyến tính phản xứng trên TpU. Kí hiệu Ω2(U) là tập hợp các2-dạng vi phân trên U.2. Cho ω,ω là hai 2-dạng vi phân trên U, ϕ là một hàm số trên U. Ta cóω +ω, ϕω là các 2-dạng vi phân trên U xác định bởi(ω +ω)p= ωp+ωp, (ϕω)p= ϕ(p)ωp, ∀p ∈ U.3. Cho θ, γ ∈ Ω1(U), tích ngoài của θ và γ, kí hiệu θ ∧ γ, là dạng vi phânbậc hai trên U xác định bởi∀X, Y ∈ TpU, (θ ∧ γ)p(X, Y ) = θp(X)γp(Y ) − θp(Y )γp(X).1.2.3. Nhận xétCho {Ui}i=1,nlà trường mục tiêu trên U và {θi}i=1,nlà trường đối mụctiêu của {Ui}. Khi đó mọi ω ∈ Ω2(U) viết được duy nhất dưới dạng:ω =i<jϕi,jθi∧ θj, ϕi,j= ω(Ui, Uj).Đặc biệt, trong tọa độ afin (x1, x2, ., xn) trên tập mở U trong En, mỗiω ∈ Ω2(U) viết được duy nhất dưới dạng:ω =i<jϕi,jdxi∧ dxj, ϕi,j= ω(Ui, Uj).4 1.2.4. Vi phân ngoài của dạng vi phân bậc mộtCho U là một tập mở trong En, xét toạ độ afin (x1, x2, ., xn) của En. Khiđó mọi dạng vi phân bậc một θ được viết duy nhất dưới dạng θ =ni=1ϕidxi.Ta định nghĩa ánh xạ sau gọi là vi phân ngoài của vi phân bậc một:d : Ω1(U) −→ Ω2(U)θ =n1ϕidxi−→ d(θ) :=ni=1dϕi∧ dxi.Khi đó ta có các tính chất:1. d là R- tuyến tính;2. d(ϕθ) = dϕ ∧ θ + ϕdθ, với ϕ ∈ Ω0(U), θ ∈ Ω1(U).3. d(d(ϕ)) = 0, với ϕ ∈ Ω0(U).1.3 Đa tạp tôpô và đa tạp khả vi1.3.1. Đa tạp tôpôCho M là không gian tôpô Haudorff. Một bản đồ trên M là cặp (V, ϕ)trong đó V là một tập mở của M và ϕ : V → Vlà một đồng phôi từ V lênmột tập mở Vcủa Rn.Giả sử (V, ϕ) là một bản đồ trên M. Khi đó với mỗi x ∈ V , ϕ(x) ∈ Vđược hiển thị dưới dạng ϕ(x) = (x1, x2, ., xn) trong đó x1, x2, ., xn∈ R. Tagọi các số xilà các toạ độ địa phương của x.Một họ các bản đồ {(Vi, ϕi)}i∈Icủa M sao cho {Vi}i∈Ilà một phủ mở củaM được gọi là một atlas của M. Không gian tôpô M có một atlas được gọi làmột đa tạp tôpô .1.3.2. Đa tạp khả viCho M là không gian tô pô Hausdorff. Atlas {(Vi, ϕi)}i∈Icủa M đượcgọi là atlas khả vi của M nếu với hai bản đồ tùy ý (V1, ϕ1), (V2, ϕ2) của at-las sao cho V1∩ V2= ∅ và ϕ1: V1−→ V1, ϕ2: V2−→ V2, ta có ánh xạ:ϕ2◦ ϕ−11|ϕ1(V1∩V2): ϕ1(V1∩ V2) −→ V2là một ánh xạ khả vi.Trên tập các atlas khả vi của không gian tô pô M ta xét một quan hệ haingôi như sau:Cho A = {(Ui, ϕi)}i∈I,B = {(Vj, ψj)}j∈Jlà hai atlas của M. Khi đó A5 được gọi là tương đương với B, kí hiệu là A ∼ B, nếu {(Ui, ϕi), (Vj, ψj)}i∈I,j∈Jlà một atlas khả vi của M. Quan hệ hai ngôi ở trên là một quan hệ tươngđương và mỗi lớp tương đương được gọi là một cấu trúc khả vi trên M.Do mỗi lớp tương đương hoàn toàn được xác định bởi một đại diện củanó nên một atlas khả vi hoàn toàn xác định một cấu trúc khả vi.Không gian tô pô Hausdorff M cùng với một cấu trúc khả vi xác địnhbởi atlas {(Vi, ϕi)}i∈Ivới ϕi: Vi−→ Vi⊂ Rnđược gọi là một đa tạp khả vi nchiều, ký hiệu dim M = n.1.3.3. Ví dụ1. Rnlà đa tạp khả vi n- chiều với atlas {(Rn, id)}.2. Cho M là một đa tạp khả vi với atlas {(Vi, ϕi)}i∈Ivà N là một tậpcon mở của M. Khi đó N là một đa tạp khả vi với atlas {(N ∩ Vi, ϕi|N∩Vi)}i∈I.3. Xét siêu cầu n chiều trong Rn+1Sn= {x = (x1, x2, ., xn+1∈ Rn+1, (x1)2+ (x2)2+ . + (xn+1)2= 1}.Gọi N = (0, 0, ., 0, 1) ∈ Rn+1và S = (0, 0, ., 0,−1) ∈ Rn+1lần lượt làđiểm cực bắc và cực nam của Sn. Xét UN= Sn\{N}, US= Sn\{S} là các tậpmở của Sn. Ta có {UN, US} tạo thành một phủ mở của Sn.Xét phép chiếu nổi PNlên siêu phẳng xn+1= 0 sao cho với mỗi x ∈ UN,ảnh PN(x) là giao của đường thẳng nối điểm đó và điểm cực bắc đến siêu phẳngxn+1= 0. Phép chiếu nổi từ cực nam PSđược xác định tương tự.Khi đó Snlà đa tạp khả vi với atlas {(UN, PN), (US, PS)}.1.3.4. Ánh xạ khả viCho M và N là các đa tạp khả vi lần lượt có số chiều là m, n. Ánh xạf : M → N được gọi là ánh xạ khả vi nếu f là ánh xạ liên tục và với mọi bảnđồ (U, ϕ) của M, bản đồ (V, ψ) của N sao cho U ∩ f−1(V ) = ∅ ta có ánh xạϕ ◦ f ◦ ϕ−1từ tập con mở ϕ(U ∩ f−1(V )) của Rmvào Rnlà ánh xạ khả vi.Ánh xạ khả vi f : M → N có ánh xạ ngược f−1: N → M khả vi được gọi làvi phôi.1.3.5. Trường mục tiêu trên đa tạp khả vi1. Định nghĩaGiả sử M là một đa tạp khả vi, C∞(M) là tập các hàm khả vi trên M. khi đóánh xạ X : C∞(M) → R được gọi là một véc-tơ tiếp xúc tại p ∈ M nếu X nếu6 thoả mãn:i. X(f + g)(p) = X(f)(p) + X(g)(p),ii. X(fg)(g) = X(f)g(p) + f(p)X(g).Chúng ta có một kết quả về các vectơ tiếp xúc được thể hiện qua định lí sau:2. Định lí [3, Định lý 4.1.1]Tập hợp Tp(M) tất cả các véc-tơ tiếp xúc tại p là không gian véc-tơ hữu hạnchiều với số chiều bằng dimM.3. Định nghĩaa. Cho M là một đa tạp khả vi. Khi đó T (M) = ∪p∈MTp(M) được gọi là mộtphân thớ tiếp xúc trên M và không gian véc-tơ Tp(M) được gọi là thớ đi quap. Mỗi ánh xạ X : M → T M sao cho với mọi p ∈ M, X(p) ∈ Tp(M) đượcgọi là một trường véc-tơ trên M. b. Trường mục tiêu trên đa tạp n-chiều M làhọ n trường véc-tơ {X1, X2, ., Xn} trên M sao cho tại mọi p ∈ M, hệ véc-tơ{X1(p), X2(p), ., Xn(p)} là một cơ sở của không gian véc-tơ TpM.1.4 Đa tạp Riemann1.4.1. Cấu trúc RiemannCho M là một đa tạp khả vi. Một cấu trúc metric Riemann trên M làviệc đặt tương ứng với mỗi p ∈ M một tích vô hướng trên TpM sao cho với haitrường véc-tơ (tiếp xúc) khả vi X, Y trên M, hàm số p → X(p), Y (p) là hàmkhả vi.Đa tạp M cùng với một metric Riemann xác định trên M được gọi là mộtđa tạp Riemann. Kí hiệu (M,,M).1.4.2. Độ dài cungCho α : I → M là một đường cong lớp C1trên đa tạp Riemann (M,,M).Độ dài của α được xác định như sau:L(α) =I γ(t) dt =Iγ(t), γ(t)Mdt.1.4.3. Ví dụ1. Rnvới tích vô hướng chính tắc là một đa tạp Riemann.Chứng minhTheo ví dụ trên ta có Rnlà một đa tạp khả vi. Tại mỗi điểm p ∈ Rn,7 [...]... số khả vi trên H3 Do đó ds2 = |dz|2 t2 = 1 t2 dx2 +dy 2 +dt2 t2 xác định một cấu trúc Riemann trên H3 Vậy H3 cùng với metric xác định như trên là một đa tạp Riemann 3-chiều 2.2.2 Nhận xét Cấu trúc metric Riemann của nửa không gian trên H3 trong không gain 3-chiều R3 có thể xét như là mở rộng từ metric Riemann của nửa mặt phẳng Poincare H2 trong không gian 2-chiều R2 2.2.3 Biến đổi đẳng cự của H3 Để... −1 2.2 Cấu trúc Riemann của nửa không gian trên 2.2.1 Nửa không gian trên Tập hợp H3 := {(x, y, t) | x, y, t ∈ R; t > 0} là một tập con mở của R3 và được gọi là nửa không gian trên Xét H = {s + tj|s, t ∈ C} là đại số quaternion (chuẩn tắc) Khi đó ta có thể biểu thị H3 dưới dạng sau: H3 = {z = x + yi + tj ∈ H | x, y, t ∈ R; t > 0} = {z = s + tj ∈ H | s ∈ C; t ∈ R; t > 0} Mệnh đề H3 là một đa tạp khả... VÀ NỬA KHÔNG GIAN TRÊN Trong chương này chúng tôi tập trung khảo sát cấu trúc đa tạp Rienmann 2chiều của nữa phẳng Poincaré và đĩa mở Poincaré thể hiện qua việc xác định metric Rienmann, độ cong Gauss, các phép biến đổi đẳng cự, Từ đó mở rộng một số kết quả cho nửa không gian trên, được xét như một đa tạp Riemann 3-chiều Các khái niệm và kết quả được tham khao trong tài liệu [3], [6], [7] 2.1 Cấu trúc. .. = −ω1 của mặt S trong E3 đã nghiên cứu trước đây và dạng liên kết của đa tạp Riemann (S, can) đều thoả mãn các đẳng thức 1 2 dθ1 = −ω2 ∧ θ2 , dθ2 = −ω1 ∧ θ1 Do đó các dạng liên kết này trùng nhau 1 Ngoài ra, phương trình Gauss dω2 = Kθ1 × θ2 của mặt S đã nghiên cứu trước đây chứng tỏ độ cong Gauss K của mặt S trùng với độ cong Gauss của đa tạp Riemann (S, can) 14 Chương 2 CẤU TRÚC RIEMANN CỦA NỬA PHẲNG... đa tạp Riemann n-chiều Chứng minh Ta có Rn là một đa tạp khả vi Mặt khác ta có tích vô hướng tại điểm p ∈ Rn trên không gian tiếp xúc Rn được cảm sinh từ tích vô hướng chính tắc trên Rn Do đó tích vô hướng p như trên xác định một metric Riemann trên Rn Vậy (Rn , , M )) là một đa tạp Riemann n- chiều Bây giờ ta sẽ xét độ dài của một đường cong trên đa tạp Rienmann (Rn , , M ) Cho γ : R+ → Rn là đường... Cấu trúc Riemann của nửa phẳng Poincaré và đĩa Poincaré 2.1.1 Nửa phẳng Poincaré Xét đa tạp 2-chiều H2 = {(x, y) ∈ R2 /y > 0} trong R2 Kí hiệu can là cấu trúc Riemann chính tắc xác định bởi tích vô hướng thông thường trong R2 và ψ : H2 → R, (x, y) → ψ(x, y) = 1 y2 Ta có H2 := ψ.can xác định một metric Riemann 2-chiều trên H2 nên (H2 , H2 ) là một đa tạp Riemann 2-chiều được gọi là nửa mặt... Mệnh đề H3 là một đa tạp khả vi 3-chiều trong R3 với cấu trúc Riemann ds2 := Chứng minh dx2 + dy 2 + dt2 |dz|2 = t2 t2 Do H3 là tập con mở của R3 và R3 là một đa tạp khả vi 3-chiều với atlas {(Rn , id)} nên H3 là một đa tạp khả vi 3-chiều Ta có với mỗi p ∈ H3 , không gian tiếp xúc tại điểm đó là R3 ∼ R3 nên có thể cảm sinh lên không gian = p này metric Riemann chính tắc trong R3 xác định bởi |dz|2 = dx2.. .không gian tiếp xúc tại điểm đó chính là Rn ∼ Rn nên tích vô hướng trên không p = gian tiếp xúc tại điểm p được cảm sinh từ tích vô hướng chính tắc trên Rn Vậy Rn với tích vô hướng chính tắc là một đa tạp Riemann 2 Xét M = Rn và tại mỗi p ∈ M ta xác định một tích vô hướng : , M = 4 < Xp , Yp >, (1 + |p|2 )2 với là tích vô hướng chính tắc trên Rn Khi đó, (Rn , , M) là một đa tạp Riemann. .. phép biến đổi đẳng cự của (H2 , ) 2.1.4 Đĩa Poincaré Kí hiệu D là hình tròn mở, tâm O, bán kính 1 trong R2 D = {(x, y) ∈ R2 /x2 + y 2 < 1} = {z = x + iy ∈ C/|z| = x2 + y 2 < 1} Khi đó, tương tự như trường hợp nửa phẳng Poincaré, ta có D là một đa tạp Riemann 2-chiều với cấu trúc Riemann D = ψ.can, trong đó ψ(x, y) = 4 (1−(x2 +y 2 ))2 và can là cấu trúc Riemann chính tắc trên D cảm sinh từ tích... Ta sẽ có khái niệm độ cong Gauss trên đa tạp Riemann 2-chiều thông qua định lí sau 6 Định lí [3, Định lý 4.3.2] Cho (M, ) là đa tạp Riemann 2-chiều Khi đó có một và chỉ một hàm số K trơn trên M sao cho với trường đối mục tiêu {θ1 , θ2 } của trường mục tiêu trực chuẩn {U1 , U2 } tuỳ ý trên tập mở V của M ta có 1 dω2 = Kθ1 ∧ θ2 , 1 trong đó ω2 là dạng liên kết của (M, , ) Hàm K được gọi là hàm độ . POINCARÉ VÀNỬA KHÔNG GIAN TRÊN 152.1 Cấu trúc Riemann của nửa phẳng Poincaré và đĩa Poincaré . . . 152.2 Cấu trúc Riemann của nửa không gian trên . . .. thức cơ bản về đa tạp khả vi và đa tạp Riemanncó liên quan đến việc nghiên cứu cấu trúc Riemann của nửa mặt phẳng trênvà nửa không gian trên của chương 2.Chương