+ Bài toán về tiếp tuyến với đường cong: Cách 1: Dùng tọa độ tiếp điểm Phương trình tiếp tuyến có dạng: ( ) ( ) 0 0 0 ' .y f x x x y= − + 1. Lập phương trình tiếp tuyến với đường cong tại điểm ( ) 0 0 ;M x y thuộc đồ thò hàm số (tức là tiếp tuyến duy nhất nhận ( ) 0 0 ;M x y làm tiếp điểm). Phương trình tiếp tuyến với hàm số ( ) ( ) : C y f x= tại điểm ( ) ( ) 0 0 ;M x y C∈ ( hoặc tại 0 x x= ) có dạng: ( ) ( ) 0 0 0 ' .y f x x x y= − + 2. Lập phương trình tiếp tuyến ( ) d với đường cong đi qua điểm ( ) ; A A A x y cho trước, kể cả điểm thuộc đồ thò hàm số (tức là mọi tiếp tuyến đi qua điểm ( ) ; A A A x y ) Cho hàm số ( ) ( ) : C y f x= . Gỉa sử tiếp điểm là ( ) 0 0 ;M x y , khi đó phương trình tiếp tuyến có dạng: ( ) ( ) ( ) 0 0 0 ' . y f x x x y d= − + . Điểm ( ) ( ) ; A A A x y d∈ , ta được: ( ) ( ) 0 0 0 0 ' . A A y f x x x y x= − + ⇒ . Từ đó lập được phương trình tiếp tuyến ( ) d . 3. Lập phương trình tiếp tuyến ( ) d với đường cong biết hệ số góc k Cho hàm số ( ) ( ) : C y f x= . Gỉa sử tiếp điểm là ( ) 0 0 ;M x y , khi đó phương trình tiếp tuyến có dạng: ( ) ( ) ( ) 0 0 0 ' . y f x x x y d= − + . Hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến ( ) d là nghiệm của phương trình: ( ) 0 0 'f x k x= ⇒ , thay 0 x vào hàm số ta được ( ) 0 0 y f x= Ta lập được phương trình tiếp tuyến ( ) ( ) ( ) 0 0 0 ' . y f x x x y d= − + Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc Phương trình đường thẳng đi qua một điểm ( ) 0 0 ;M x y có hệ số góc k có dạng: ( ) ( ) ( ) 0 0 . y g x k x x y d= = − + Điều kiện để đường thẳng ( ) y g x= tiếp xúc với đồ thò hàm số ( ) y f x= là hệ phương trình sau có nghiệm: ( ) ( ) ( ) ( ) ' ' f x g x f x g x  =   =   . Từ đó lập được phương trình tiếp tuyến ( ) d . 6/ Cho hàm số ( ) 3 2 3 2 y x x C= − + . a/ Lập phương trình các tiếp tuyến kẻ đến đồ thò ( ) C , từ điểm 23 ; 2 9 M   −  ÷   . b/ Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thò ( ) C , biết rằng tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng ( ) : 3 5 4 0x y∆ − − = . Giải: a/ Gỉa sử tiếp điểm là ( ) 0 0 ;M x y , khi đó phương trình tiếp tuyến có dạng: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 0 0 0 0 0 0 0 0 : ' : 3 6 3 2 1d y y x x x y d y x x x x x x= − + ⇔ = − − + − + Điểm 23 ; 2 9 M   −  ÷   thuộc ( ) d , ta được: ( ) ( ) 2 3 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 23 20 1 2 3 6 3 2 2 2 2 0 2 3 9 3 3 x x x x x x x x x x x     − = − − + − + ⇔ − − + − = ⇔ = ∨ = ∨ =  ÷  ÷     Với 0 2x = thay vào ( ) 1 ta được tiếp tuyến ( ) 1 1 : 2d y = − Với 0 3x = thay vào ( ) 1 ta được tiếp tuyến ( ) 2 : 9 25d y x= − Với 0 1 3 x = thay vào ( ) 1 ta được tiếp tuyến ( ) 3 5 61 : 3 27 d y x= − + b/ Đường thẳng ( ) : 3 5 4 0x y∆ − − = có hệ số góc 3 5 . Từ giả thiết , ta có: ( ) 3 ' . 1 5 y x = − 2 2 1 2 5 1 5 3 6 9 18 5 0 3 3 3 x x x x x x⇔ − = − ⇔ − + = ⇔ = ∨ = . Hệ số góc tiếp tuyến là 5 3 k = − . Với 1 1 3 x = ta được tiếp tuyến ( ) ( ) 1 1 5 1 1 5 61 : : 3 3 3 3 27 d y x y d y x     = − − + ⇒ = − +  ÷  ÷     Với 2 5 3 x = ta được tiếp tuyến ( ) ( ) 2 2 5 5 5 5 29 : : 3 3 3 3 27 d y x y d y x     = − − + ⇒ = − +  ÷  ÷     7/ Cho hàm số ( ) 4 2 y x x C= − . Chứng tỏ rằng qua điểm ( ) 1;0A − có thể kẽ được ba tiếp tuyến đến ( ) C . Lập phương trình các tiếp tuyến đó. Giải: Gỉa sử tiếp điểm là ( ) 0 0 ;M x y . Khi đó phương trình tiếp tuyến có dạng: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 4 2 0 0 0 0 0 0 0 0 : ' . : 4 2 . 1d y f x x x y d y x x x x x x= − + ⇔ = − − + − Điểm ( ) 1;0A − thuộc ( ) d , ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 3 4 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 4 2 1 . 1 3 2 0 1 0 3 x x x x x x x x x x x x= − − − + − ⇔ + + − = ⇔ = − ∨ = ∨ = Với 0 1x = − thay vào ( ) 1 ta được tiếp tuyến ( ) 1 : 2 2d y x= − − Với 0 0x = thay vào ( ) 1 ta được tiếp tuyến ( ) 2 : 0d y = Với 0 2 3 x = thay vào ( ) 1 ta được tiếp tuyến ( ) 3 4 4 : 27 27 d y x= − − Chọn Lọc Các Bài Toán Thường Gặp Về Đồø Thò trong kỳ thi Tuyển Sinh Đại Học, Cao Đẳng các năm gần đây Bài 1 Cho hàm số ( ) 2 1 2 3 x y x + = + a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò hàm số ( ) 1 . b/ Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thò hàm số ( ) 1 , biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt , A B và tam giác OAB cân tại gốc tọa độ O . (Đại Học Khối A năm 2009) Đáp số: 2y x= − − . Bài 2 Cho hàm số ( ) 4 2 2 4 y x x C= − . a/ Khảo sát vẽ đồ thò ( ) C . b/ Với các giá trò nào của m , phương trình 2 2 2x x m− = có đúng 6 nghiệm phân biệt? (Đại Học Khối B năm 2009) Đáp số: ( ) 0; 1m∈ Bài 3 Cho hàm số ( ) ( ) 4 2 3 2 3 m y x m x m C= − + + , m là tham số. a/ Khảo sát vẽ đồ thò hàm số khi 0m = . b/ Tìm m để đường thẳng 1y = − cắt đồ thò ( ) m C tại 4 điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ hơn 2. (Đại Học Khối D năm 2009) Đáp số: 1 ; 1 ; 0 3 m m   ∈ − ≠  ÷   . Bài 4 Tìm các giá trò của tham số m để đường thẳng y x m = − + cắt đồ thò hàm số 2 1 x y x − = tại hai điểm phân biệt , A B sao cho 4AB = . (Đại Học Khối B năm 2009) Đáp số: 2 6; 2 6m m= = − Bài 5 Tìm các giá trò của tham số m để đường thẳng 2y x m= − + cắt đồ thò hàm số 2 1 x x y x + − = tại hai điểm phân biệt , A B sao cho trung điểm của đoạn thẳng AB thuộc trục tung. (Đại Học Khối D năm 2009) Đáp số: 1m = . Bài 6 Cho hàm số ( ) 3 2 4 6 +1 1y x x= − . a/ Khảo sát vẽ đồ thò hàm số ( ) 1 . b/ Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thò hàm số ( ) 1 , biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm ( ) 1; 9M − − . (Đại Học Khối B năm 2008) Đáp số: Các tiếp tuyến cần tìm là: 15 21 24 15; 4 4 y x y x= + = − Bài 7 Cho hàm số ( ) 3 2 3 +4 1y x x= − . a/ Khảo sát vẽ đồ thò hàm số ( ) 1 . b/ Chứng minh rằng mọi đường thẳng đi qua điểm ( ) 1; 2I với hệ số góc ( ) 3k k > − đều cắt đồ thò của hàm số ( ) 1 tại ba điểm phân biệt , , I A B đồng thời I là trung điểm của đoạn thẳng AB . (Đại Học Khối D năm 2008) Bài 8 Cho hàm số ( ) 2 1 x y C x = + a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò hàm số ( ) C . b/ Tìm tọa độ điểm M thuộc ( ) C , biết tiếp tuyến của ( ) C cắt 2 trục , Ox Oy tại , A B và tam giác OAB có diện tích bằng 1 4 . (Đại Học Khối D năm 2007) Đáp số: ( ) 1 2 1 ; -2 ; 1; 1 ; 2 M M   −  ÷   . Bài 9 Cho hàm số ( ) 3 2 2 9 12 4 y x x x C= − + − a/ Khảo sát vẽ đồ thò ( ) C . b/ Với các giá trò nào của m , phương trình sau có 6 nghiệm phân biệt: 3 2 2 9 12 4x x x m− + − = . (Đại Học Khối A năm 2006) Đáp số: ( ) 4; 5m∈ Bài 10 Cho hàm số ( ) 3 3 2 y x x C= − + a/ Khảo sát vẽ đồ thò ( ) C b/ Gọi ( ) d là đường thẳng đi qua điểm ( ) 3; 20A và có hệ số góc là m . Tìm m để đường thẳng ( ) d cắt đồ thò ( ) C tại 3 điểm phân biệt. (Đại Học, Cao Đẳng Khối D năm 2006) Đáp số: 15 4 24 m m  >    ≠  Bài 11 Cho hàm số ( ) 2 1 2 x x y C x + − = + Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thò ( ) C , biết tiếp tuyến đó vuông góc với tiệm cận xiên của ( ) C ? (Đại Học, Cao Đẳng Khối B năm 2006) Đáp số: Phương trình 2 tiếp tuyến cần tìm là: 2 2 5; 2 2 5.y x y x= − + − = − − − Bài 12 Cho hàm số ( ) 2 1 1 x x y C x + − = − Tìm các điểm trên đồ thò ( ) C mà tiếp tuyến tại mỗi điểm ấy với đồ thò ( ) C vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm cực đại, cực tiểu của ( ) C ? (Cao Đẳng Y Tế I năm 2006) Đáp số: 1 2 2 5 2 5 1 ;3 ; 1 ;3 3 3 6 6 M M     − − + +  ÷  ÷  ÷  ÷     Bài 13 Cho hàm số ( ) 1 2 2 y x C x = + + + Tìm các giá trò m để đường thẳng y m= cắt đồ thò ( ) C tại hai điểm sao cho khoảng cách giữa chúng bằng 12 ? (Cao Đẳng Sư Phạm Hải Dương năm 2006) Đáp số: 4; 4m m= = − Bài 14 Cho hàm số ( ) 3 2 2 3 1 y x x C= − − a/ Khảo sát vẽ đồ thò ( ) C b/ Tìm m để đường thẳng 1y mx= − , m là tham số cắt đồ thò ( ) C tại 3 điểm phân biệt, trong đó có hai điểm có hoành độ dương. (Cao Đẳng Sư Phạm Trà Vinh năm 2006) Đáp số: 9 ; 0 8 m   ∈ −  ÷   Bài 15 Cho hàm số ( ) 3 2 1 1 3 2 3 m m y x x C= − + a/ Khảo sát vẽ đồ thò khi 2m = . b/ Gọi M là điểm thuộc ( ) m C có hoành độ bằng 1− . Tìm m để tiếp tuyến của ( ) m C tại điểm M song song với đường thẳng 5 0x y− = . (Đại Học, Cao Đẳng Khối D năm 2005) Đáp số: 4m = Bài 16 Cho hàm số ( ) 3 2 x y C x + = + Chứng minh rằng đường thẳng 1 2 y x m= − luôn cắt ( ) C tại hai điểm phân biệt , A B . Xác đònh m sao cho độ dài AB là nhỏ nhất? (Cao Đẳng Kinh Tế Kỷ Thuật I năm 2005) Đáp số: 2m = − Bài 17 Cho hàm số ( ) 3 3 2 y x x C= − + + a/ Khảo sát vẽ đồ thò ( ) C b/ Tìm m để phương trình 3 3 2 6 0 m x x− + − = có 3 nghiệm phân biệt. (Cao Đẳng Tài Chính Kế Toán IV năm 2005) Đáp số: ( ) 2; 3m∈ Bài 18 Cho hàm số ( ) 1 1 x y C x + = − Xác đònh m để đường thẳng 2y x m= + luôn cắt ( ) C tại hai điểm phân biệt , A B sao cho các tiếp tuyến của ( ) C tại , A B song song nhau? (Cao Đẳng Sư Phạm TP. Hồ Chí Minh năm 2005) Đáp số: 1m = − Bài 19 Cho hàm số ( ) 2 2 2 1 x x y C x − + = − Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thò ( ) C , biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng 3 15 4 y x= + ? (Cao Đẳng Khối A-B năm 2005) Đáp số: Phương trình 2 tiếp tuyến cần tìm là: 3 4 7 0; 3 4 1 0x y x y− − = − + = Bài 20 Cho hàm số ( ) ( ) 2 3 3 1 2 1 x x y x − + − = − , m là tham số Tìm m để đường thẳng y m= cắt đồ thò hàm số ( ) 1 tại hai điểm phân biệt , A B sao cho 1AB = ? (Đại Học , Cao Đẳng Khối A năm 2004) Đáp số: 1 5 1 5 ; 2 2 m m + − = = . Bài 21 Cho hàm số ( ) 3 2 1 2 3 3 y x x x C= − + a/ Khảo sát vẽ đồ thò ( ) C b/ Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của ( ) C tại điểm uốn và chứng minh rằng ∆ là tiếp tuyến của ( ) C có hệ số góc nhỏ nhất. (Đại Học , Cao Đẳng Khối B năm 2004) Đáp số: Phương trình tiếp tuyến tại điểm uốn: 3 8 y x= − + Bài 22 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: 2 2 1 1 , , , sin 6 3 y y x x x cos x π π = = = = . (Học Viện Kỷ Thuật Quân Sự năm 2000) Đáp số: 2 4 1 3 S   = −  ÷   (đvdt) Bài 23 Cho hình phẳng ( ) D giới hạn bởi các đường ( ) 2 2 , 4y x y= − = . Tình thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng ( ) D khi nó quay quanh: a/ trục Ox ; b/ Trục Oy (Đại Học Hàng Hải năm 2000) Đáp số: a/ 256 5 V π = (đvtt) ; b/ 128 3 V π = (đvtt) Bài 24 a/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 2 2 2 2, 4 5, 1y x x y x x y= − + = + + = b/ Cho hình phẳng ( ) D giới hạn bởi các đường 2 2 4 , 2y x y x= − = + . Quay hình phẳng ( ) D quanh trục Ox , ta được vật thể tròn xoay. Tính thể tích vật thể đó. (Đại Học Thủy Sản năm 2000) Đáp số: a/ 21 4 S = (đvdt) ; b/ 16V π = (đvtt) . đường cong: Cách 1: Dùng tọa độ tiếp điểm Phương trình tiếp tuyến có dạng: ( ) ( ) 0 0 0 ' .y f x x x y= − + 1. Lập phương trình tiếp tuyến với đường cong. ) 3 2 2 9 12 4 y x x x C= − + − a/ Khảo sát vẽ đồ thò ( ) C . b/ Với các giá trò nào của m , phương trình sau có 6 nghiệm phân biệt: 3 2 2 9 12 4x x x