Bài tập về khảo sát hàm số và các dạng toán có liên quan đến hàm số Bài 1.Từ đồ thị hàm số y= f(x)= 1 2 2 + x xx suy ra đồ thị hàm số y= g(x)= 1 2 2 + x xx . HD: -Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y= f(x) -Chứng minh hàm số y= g(x) là hàm số chẵn nên đồ thị của nó đối xứng qua trục Oy. -Vẽ đồ thị hàm số y=g(x) nh sau: + với x 0 thì g(x) = f(x) . + với x<0 ta lấy đối xứng qua trục 0y. Bài 2. Từ đồ thị hàm số y=f(x)= 2 33 2 + ++ x xx suy ra đồ thị hàm số y=g(x)= 2 33 2 + ++ x xx . HD: -Vẽ đồ thị hàm số y=f(x). -Ta có: g(x)= ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0 f x khi f x f x f x khi f x = ( Khi f(x) 0 ứng với phần nằm trên trục hoành, khi f(x) 0 ứng với phần nằm bên dới trục hoành). Bài 3. Từ đồ thị hàm số y=f(x)= 2 32 2 + ++ x xx suy ra đồ thị hàm số y=g(x)= 2 32 2 + ++ x xx . HD: Ta có g(x)= < > 2)( 2)( xkhixf xkhixf Bài 4. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y= )1(2 342 2 x xx . 2. Tìm m để phơng trình 2x 2 -4x-3+2m 1 x =0 có hai nghiệm phân biệt. HD : - Biến đổi phơng trình về dạng 12 342 2 x xx =m -Vẽ đồ thị hàm số y= 12 342 2 x xx từ đồ thị hàm số y= )1(2 342 2 x xx . - Số nghiệm của phơng trình bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y= 12 342 2 x xx và đờng thẳng y=m. Bài 5. Cho hàm số y = - x 3 +3x (1) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàn số (1) 2. Viết phơng trình tiếp tuyến của (1) biết tiếp tuyến đó song song với đờng thẳng y = - 9x ĐS: y = -9x 16 Bài 6. Cho hàm số y= x mxx + 1 2 (1) (m là tham số) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m=0. 2. Tìm m để hàm số (1) có cực đại và cực tiêủ. Với giá trị nào của m thì khoảng các giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) bằng 10. HD: - Tính y suy ra điều kiện để hàm số có cực đại và cực tiểu. - Dùng ĐL Viet tìm quan hệ về toạ độ của các điểm cực trị và cho khoảng cách giữa hai điểm cực trị chúng bằng 10. Từ đó suy ra m. Bài 7. (ĐH-CĐ khối A năm 2004) Cho hàm số y= )1(2 33 2 + x xx (1) 1. Khảo sát hàm số (1). Nguyễn Thị Tuyết Hạnh - THPT Phú Xuyên A 2. Tìm m để đờng thẳng y=m cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm A, B sao cho AB=1. HD: - Lập phơng trình hoành độ giao điểm là : )1(2 33 2 + x xx =m. - Tìm điều kiện của m để có hai hoành độ giao điểm. - Dùng ĐL Viet để tính khoảng cách giữa hai giao điểm theo m, từ đó suy ra m. Bài 8. 1. Khảo sát sự biến thiên của hàm số y=x+1+ 1 1 x (C) 2. Tìm những điểm thuộc đồ thị (C) có hoành độ lớn hơn 1 sao cho tiếp tuyến tại đó tạo với hai đờng tiệm cận một tam giác có chu vi nhỏ nhất. HD: - Đặt toạ độ điểm thuộc (C) là M(a; 1 2 a a ) với a>1 Lập phơng trình tiếp tuyến tại M. - Xác định toạ độ giao điểm của tiếp tuyến với các đờng tiệm cận. - Tính chu vi tam giác , từ đó suy ra giá trị của a để chu vi tam giác nhỏ nhất. Bài 9. Cho hàm số y=mx 3 -3mx 2 +(2m+1)x+3-m 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m=4. 2. Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu . Chứng minh rằng khi đó đờng thẳng nối cực đại và cực tiểu luôn đi qua một điểm cố định. HD: - Tính y, từ đó suy ra điều kiện để hàm số có cực đại và cực tiểu. -Toạ độ cực trị thoả mãn hệ: = +++= 0' 3)12(3 23 y mmmxmxy . Từ hệ ta phân tích y theo y suy ra phơng trình đờng thẳng qua hai điểm cực trị. -Tìm điểm cố định mà đờng thẳng đi qua. Bài 10. Tìm m để đờng thẳng y=mx-1 (d) cắt đồ thị y= 1 1 2 + x xx (C) tại hai điểm phân biệt thuộc cùng một nhánh của (C). HD: - Lập phơng trình hoành độ giao điểm. - Tìm điều kiện để phơng trình có hai nghiệm phân biệt đều lớn hơn -1.(hàm số có tiệm cận đứng x=-1 nên một nhánh đồ thị có x>-1, nhánh kia có x<-1). Bài 11. Cho hàm số y= 1 1 2 + x xx (C) 1. Chứng minh rằng nếu tiếp tuyến của đờng cong (C) tại điểm M cắt hai đờng tiệm cận của đờng cong tại hai điểm A và B thì M là trung điểm của đoạn thẳng AB. 2. Gọi I là tâm đối xứng của đờng cong (C) . Chứng minh rằng tam giác IAB có diện tích không đổi khi điểm M di động trên đờng cong (C) . Có nhận xét gì về tích IA.IB ? 3. Tìm trên đờng cong (C) các cặp điểm đối xứng với nhau qua đờng thẳng y= x-1. HD:- Do M thuộc (C) nên có toạ độ dạng M(a; a+2+ 1 1 a ) Lập phơng trình tiếp tuyến tại tiếp điểm M, xác định toạ độ giao điểm với các tiệm cận .Từ đó kiểm tra điều kiện M là trung điểm của AB. -Tính diện tích của tam giác từ công thức S= 2 1 ha . Từ công thức S= 2 1 absinC suy ra tích IA.IB - Gọi cặp điểm đối xứng là M 1 và M 2 Khi đó phơng trình đờng thẳng qua M 1 M 2 có dạng y= -x +m Lập phơng trình hoành độ giao điểm. Sử dụng ĐL Viet tìm toạ độ trung điểm của hai giao điểm.Thay toạ độ trung điểm vào đờng thẳng y = x-1 tìm m. Thử lại kết quả với m tìm đợc. Bài 12. Gọi (C m ) là đồ thị của hàm số y = 2 3 2 x x m x + Nguyễn Thị Tuyết Hạnh - THPT Phú Xuyên A 1. Chứng minh rằng có một điểm I cố định là tâm đối xứng của đồ thị (C m ) với mọi m. 2. Tìm giá trị m sao cho đồ thị (C m ) tiếp xúc với đờng thẳng y = m HD:1. - Xác định các đờng tiệm cận - Tìm giao điểm của hai đờng tiệm cận 2. - Lập hệ phơng trình hoành độ tiếp điểm - Tìm điều kiện của m để hệ phơng trình hoành độ tiếp điểm có nghiệm ĐS: 1. I(2; 1) 2. m = 3 Bài 13. Cho hàm số y = 4x 3 - mx 2 - 3x 1. a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 0 b) Phơng trình 3 2 4 3 1x x x = có bao nhiêu nghiệm. 2. Chứng minh rằng với mọi m hàm số luôn có cực đại , cực tiểu đồng thời các điểm cực đại , cực tiểu của đồ thị hàm số luôn thuộc một đờng cong cố định khi m thay đổi. HD: 1.b) - Số nghiệm của phơng trình bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y = 3 4 3x x và đồ thị hàm số y = 2 1 x - Đồ thị hàm số y = 3 4 3x x suy ra từ đồ thị (C) . - Đồ thị 2 2 2 0 1 1 y y x x y = + = là nửa đờng tròn đơn vị ĐS: 1b). 2 2. y = -2x 3 - 3 2 x Bài 14. Cho hàm số y = x 3 - 3kx 2 + (k - 1) x + 2 (C k ) 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi k = 1 2. Biện luận theo tham số m số nghiệm của phơng trình : x 2 - 2x - 2 = 1 m x HD: 1. Khi k = 1 vẽ đồ thị (C 1 ) : y = x 3 - 3x 2 + 2 2. - Phơng trình x 2 - 2x - 2 = 1 m x - Số nghiệm của phơng trình bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y =f(x) = 3 2 3 3 2 1 ( 3 2) 1 x x m khi x x x m khi x + = > + = < và đờng thẳng y = m - Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) từ đồ thị (C 1 ) Bài 15. Cho hàm số y = 2 (2 1) 1 1 m x x x + + 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 0 2. Tìm m để đờng thẳng y = x cắt đồ thị hàm số tại A, B sao cho AB = 2 . HD: 2. - Lập phơng trình hoành độ giao điểm - Tìm điều kiện để có hai giao điểm - Xác dịnh toạ độ hai giao điểm A, B (Sử dụng ĐL Viet) - Từ AB = 2 suy ra m ĐS: m = 1 2 Bài 16. (ĐH- CĐ Khối A- 2008) Cho hàm số y = 2 2 (3 2) 2 3 mx m x x m + + (1) , m là tham số 1. Khảo sát và vẽ dồ thị của hàm số (1) khi m = 1 2. Tìm m để góc giữa hai đờng tiệm cận của hàm số (1) bằng 45 0 . Nguyễn Thị Tuyết Hạnh - THPT Phú Xuyên A HD: 2. - Biến đổi hàm số về y = mx - 2+ 6 2 3 m x m + - Tìm điều kiện để hàm số có hai đờng tiệm cận - Tìm giới hạn suy ra tiệm cận - Dùng công thức tính cosin góc giữa hai đờng tiệm cận suy ra m. ĐS: m = 1 Bài 17. (ĐH-CĐ Khối B-2003) Cho hàm số y = x 3 -3x 2 +m (1) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 2 2. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm đối xứng với nhau qua gốc toạ độ. HD: 2. - Hàm số (1) có hai điểm đối xứng nhau qua gốc toạ độ tồn tại x 0 0 sao cho y(-x 0 ) = -y(x 0 ) - Từ y(- x 0 ) = - y(x 0 ) suy ra 3x 0 2 = m ĐS: m> 0. Bài 18. Cho hàm số y = 2 1 1 x x (1) 1. Khảo sát sự biến thiên vàvẽ đồ thị (C) của hàm số (1). 2. Gọi I là giao điểm haiđờng tiệm cận của (C). Tìm điểm M thuộc đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M vuông góc với đờng thẳng IM. HD: 2. - Tìm toạ độ I - Đặt toạ độ M( x 0 ; y 0 ) suy ra hệ số góc tiếp tuyến tại M là k = y'(x 0 ). - Tìm hệ số góc của đờng thẳng IM là k' = 0 0 I I y y x x - Từ điều kiện k. k' = - 1 suy ra toạ độ M ĐS: M( 0; 1), M(2; 3). Bài 19. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = 2 1x x + 2. Biện luận theo m số nghiệm của phơng trình 2 1x x + = 2 1m m + ĐS: 2. * 0<m 1 hoặc -1 m< 0 : Pt có 2 nghiệm * m = 0 : Pt vô nghiệm * m = 1: Pt có một nghiệm Bài 20. Cho hàm số y = 2 3 1 x x + + (C) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2. Tìm tất cả những điểm thuộc đồ thị trên có toạ độ là những số nguyên. ĐS: 2. (0; 3). (-2; -7),(1; 2), ( -3;- 6), (3; 3), (- 5; -7). Bài 21. Cho hàm số y = 2 ( 2) 1 x m x m x + + + (1) 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m \= -1 2. Tìm m để đờnh thẳng (d): y = -x - 4 cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm đối xứng nhau qua đờng thẳng :y = x HD: 2. - Lập pt hoành độ giao điểm của (d) và (1). - Tìm đk để có hai nghiệm . Dùng ĐL Viet tìm liên hệ giữa toạ độ các giao điểm. - Để hai giao điểm đối xứng nhau qua thì trung điểm của hai giao điểm nằm trên ĐS: 2. m = 1 Nguyễn Thị Tuyết Hạnh - THPT Phú Xuyên A . tuyến của (1) biết tiếp tuyến đó song song với đờng thẳng y = - 9x ĐS: y = -9x 16 Bài 6. Cho hàm số y= x mxx + 1 2 (1) (m là tham số) 1. Khảo sát sự biến. 1) x + 2 (C k ) 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi k = 1 2. Biện luận theo tham số m số nghiệm của phơng trình : x 2 - 2x - 2 = 1 m x HD: 1. Khi k = 1