CHUYÊN ĐỀ 1: DẤU HIỆU CHIA HẾT – SỐ CÓ DƯ LÝ THUYẾT Tính chất phép chia hết: a Tính chất 1: Nếu tất số hạng tổng chia hết cho số tổng chia hết cho số A b Tính chất 2: Nếu có số hạng tổng không chia hết cho số, số hạng lại chia hết cho số tổng khơng chia hết cho số : Dấu hiệu chia hết : a Dấu hiệu chia hết cho 2: Các số có chữ số tận là: 0,2,4,6,8 b Dấu hiệu chia hết cho 5: Các số có chữ số tận là: 0,5 c Dấu hiệu chia hết cho 3: Tổng chữ số số phải chia hết cho d Dấu hiệu chia hết cho 9: Tổng chữ số số phải chia hết cho * Các dấu hiệu khác : a Dấu hiệu chia hết cho (Hoặc 25): Hai chữ số tận tạo thành số chia hết cho (hoặc 25) VD: , … b Dấu hiệu chia hết cho (Hoặc 125): Ba chữ số tận tạo thành số chia hết cho (hoặc 125) VD: , … c Dấu hiệu chia hết cho 11: Tổng chữ số hàng lẻ trừ tổng chữ số hàng chẵn chia hết cho 11 ngược lại VD: Số 253 có Ví dụ minh họa: Dạng 1: Chứng minh quan hệ chia hết Ví dụ 1: Xét xem tổng (hiệu) chia hết cho 400 – 144 80 +25 +48 32 + 47 + 33 a a) b) c) Giải a) Vì b Ví dụ 2: Chứng tỏ ba số tự nhiên liên tiếp có số chia hết cho Giải Gọi số tự nhiên liên tiếp là: a , a +1 , a + Ta có trường hợp sau: • • • Nếu ln Nếu thì: Nếu thì: V1ậy số tự liên tiếp ln có số chia hết cho Chứng tỏ dãy có n số tự nhiên có số chia hết cho n Dạng 2: Tìm số tự nhiên thỏa mãn điều kiện: a Ví dụ 1: Biết số tự nhiên n chia hết cho Tìm chữ số tận n Giải Vì nên chữ số tận n số chẵn Vì nên Do n có chữ số tận 0,5 có chữ số tận 1,6 Tức n có chữ số tận 0,1,5,6 Kết hợp hai điều kiện suy n có chữ số tận b Ví dụ 2: Tìm chữ số x, y biết rằng: b) a) B BÀI TẬP THỰC HÀNH DẠNG 1: CÁC BÀI TOÁN VỀ CHỨNG MINH Bài 1: Chứng minh rằng: a A = + + + + chia hết cho b B = + chia hết cho 33 c C = + + + + chia hết cho 30 d D = 45 + 99 + 180 chia hết cho e E = + + + + +chia hết cho 13 f F = + chia hết cho 72 g G = + chia hết cho 17 h H = + + + + chia hết cho 3, 7, 15 i I = E = + + ++ + chia cho 13 41 j J = + 18n – chia hết cho 27 k K = + 72n – chia hết cho 81 Bài 2: Chứng minh rằng: a chia hết cho 7, 11 13 b chia hết cho 23 29, biết = c chia hết cho a d Chứng minh số gồm 27 chữ số chia hết cho 27 e chia hết cho 29 a + 3b + 9c + 27d chia hết cho 29 f chia hết cho 21 a - 2b + 4c chia hết cho 21 Bài 3: Chứng minh rằng: a Chứng minh tổng ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho b Chứng minh ∀ n ∈ N 60n + 45 chia hết cho 15 không chia hết cho 30 c Chứng minh khơng có số tự nhiên mà chia cho 15 dư chia dư d Chứng minh rằng: (1005a + 2100b) chia hết cho 15, ∀ a, b ∈ N e Chứng minh rằng: A = + n + không chia hết cho 5, ∀ n ∈ N f Chứng minh rằng: ∀ n ∈ N tích (n + 3)(n + 6) chia hết cho DẠNG 2: TÌM SỐ TỰ NHIÊN THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN a Tìm chữ số a b cho a – b = chia hết cho b Cho n = + Biết a – b = n chia hết cho Tìm a b c Tìm hai số tự nhiên chia hết cho 9, biết rằng: Tổng chúng hiệu chúng d Tìm chữ số a, biết rằng: chia hết cho e Tìm số tự nhiên có hai chữ số, cho viết tiếp sau số 1999 ta số chia hết cho 37 f Tìm số tự nhiên chia cho dư 1, chia cho 25 dư g Tìm số tự nhiên có chữ số, biết số 45 lần tích chữ số h Tìm số , biết số chia hết cho tích số i chia hết cho 2,3,5,9 j Tìm tất số có chữ số dạng: mà chia hết cho 36 DẠNG 3: BÀI TOÁN ĐẾM SỐ TỰ NHIÊN THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN Từ đến 100 có số chia hết cho 2, số chia hết cho 5? Có số tự nhiên nhỏ 100 chia hết cho dư 3? Có số tự nhiên có ba chữ số chia hết cho 3? Trong số tự nhiên nhỏ 1000, có số chia hết cho không chia hết cho 5? ... hết cho 13 f F = + chia hết cho 72 g G = + chia hết cho 17 h H = + + + + chia hết cho 3, 7, 15 i I = E = + + ++ + chia cho 13 41 j J = + 18 n – chia hết cho 27 k K = + 72n – chia hết cho 81 Bài... điều kiện: a Ví dụ 1: Biết số tự nhiên n chia hết cho Tìm chữ số tận n Giải Vì nên chữ số tận n số chẵn Vì nên Do n có chữ số tận 0,5 có chữ số tận 1, 6 Tức n có chữ số tận 0 ,1, 5 ,6 Kết hợp hai điều... chia cho 15 dư chia dư d Chứng minh rằng: (10 05a + 210 0b) chia hết cho 15 , ∀ a, b ∈ N e Chứng minh rằng: A = + n + không chia hết cho 5, ∀ n ∈ N f Chứng minh rằng: ∀ n ∈ N tích (n + 3)(n + 6) chia