Phòng gD&ĐT Lâm Thao Đề thi khảo sát (lần 4) đội tuyểnthi tỉnh năm học 2009-2010 Môn Toán lớp 9 ( Thời gian làm bài 150 phút) . Cõu 1 (2,0 im) a) Chứng minh rằng số có dạng A=111111 .1122222 .225 ( n chữ số 1 ,n+1 chữ số 2;n * N ) là số chính phơng b)Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì B= 3n 4 -14n 3 +21n 2 -10n chia hết cho 24 Cõu 2 (2 im) Gii v bin lun phng trỡnh: 523 =++ xmx (m l tham s cú giỏ tr thc) Cõu 3 (2 im) Cho phng trỡnh x 4 + ax 3 + x 2 + ax + 1 = 0, a l tham s . a) Gii phng trỡnh vi a = 1. b) Trong trng hp phng trỡnh cú nghim, chng minh rng a 2 > 2. Cõu 4. (3.0 im) Cho hai ng trũn (O; R) v (O; r) ct nhau ti hai im A v B, (R > r). ng thng MN l tip tuyn chung ( gần A) ca hai ng trũn trờn ( ) ( ) ( ) ; , ';M O R N O r , ct ng thng OO ti im K v ct ng thng AB ti im I. Chng minh rng: a) 4KI 2 =4KM.KN+MN 2 b) KA l tip tuyn ca ng trũn ngoi tip AMN . Câu 5 (1,0 điểm) Có hay không 2010 điểm phân biệt trên mặt phẳng mà ba điểm bất kỳ nào trong chúng cũng tạo thành một tam giác có góc tù. Ht Cỏn b coi thi khụng gii thớch gỡ thờm H tờn thớ sinh SBD Phòng gD&ĐT Lâm Thao HD chấm thi khảo sát đội tuyểnthi tỉnh năm học 2009-2010 Môn Toán lớp 9 ( Thời gian làm bài 150 phút) Cõu (2,0 im). A=111111 .1122222 .25 =11111 1111.10 n+2 +2222 .2222.100+25 ( n chữ số 1,n chữ số 2) đặt 111 1 =a ( n chữ số 1) A=a(9a+1).1000+200a+25=900a 2 +300a+25=(30a+5) 2 = 33333 .335 ( n chữ số 3) B=n(n-1)(n-2)(3n-5)= 3n(n-1)(n-2)(n-3)+4n(n-1)(n-2) chia hết 24 với mọi số nguyên n Cõu 2 (2 im): Xột 3 trng hp: TH1. Nu 2 x thỡ PT tr thnh: ( 1) 2( 1)p x p+ = + (1) TH2. Nu 3 2x < thỡ PT tr thnh: (1 ) 2(1 )p x p = (2) TH3. Nu 3x < thỡ PT tr thnh: ( 1) 2( 4)p x p+ = (3) Nu 1p thỡ (1) cú nghim 2x = ; (2) vụ nghim; (3) cú nghim x nu tho món: 2( 4) 3 1 1 1 p x p p = < < < + . Nu 1p = thỡ (1) cho ta vụ s nghim tho món 2 x ; (2) vụ nghim; (3) vụ nghim. Nu 1p = thỡ (2) cho ta vụ s nghim tho món 3 2x < ; (1) cú nghim x=2; (3)VN Kt lun: + Nu -1 < p < 1 thỡ phng trỡnh cú 2 nghim: x = 2 v 2( 4) 1 p x p = + + Nu p = -1 thỡ phng trỡnh cú vụ s nghim 2 x Ă + Nu p = 1 thỡ phng trớnh cú vụ s nghim 3 2x + Nu 1 1 p p < > thỡ phng trỡnh cú nghim x = 2. Cõu 3 (2 im): Ta cú phng trỡnh : 4 3 2 x + ax +x +ax + 1 = 0 (1) Khi a =1 , (1) 4 3 2 x +x +x +x+1=0 (2) D thy x = 0 khụng phi l nghim. Chia 2 v ca (2) cho x 2 ta c: 2 2 1 1 x + +x + +1=0 x x (3). t 1 1 1 t = x+ t x+ x + 2 x x x = = v 2 2 2 1 x + t -2 x = . Phng trỡnh (3) vit li l : 2 t + t - 1 = 0 Gii (3) ta c hai nghim 1 1 5 t 2 + = v 2 1 5 t 2 = u khụng tha iu kin |t| 2.Vy vi a = 1, phng trỡnh ó cho vụ nghim. 0,25 Vỡ x = 0 khụng phi l nghim ca (1) nờn ta cng chia 2 v cho x 2 ta cú phng trỡnh : 0,5 2 2 2 1 1 x + +a x + +1=0 x x ữ . t 1 t = x + x , phng trỡnh s l : t 2 + at - 1 = 0 (4). Do phng trỡnh ó cho cú nghim nờn (4) cú nghim |t| 2. T (4) suy ra 2 1- t a t = . T ú : 2 2 2 2 (1 - t ) a >2 2 t > 2 2 t (t - 4) 1 0 (5) + > Vỡ |t| 2 nờn t 2 >0 v t 2 4 0 , do vy (5) ỳng, suy ra a 2 > 2. Cõu 4 (3,0 im): C I B A K N O O' M a)Ta có IMB đồng dạng với IAM (gg) nên IM 2 =IA.IB(1) Tơng tự INB đồng dạng với IAN (gg) nên IN 2 =IA.IB(2) Từ (1) và (2) ta có IM=IN Gọi giao của OO với AB là C ta có AB vuông góc với OO và BC=CA để chứng minh KA là tiếp tuyến của (AMN) ta chứng minh KA 2 =KM.KN Ta có KM.KN= (KI+IM)(KI-IN)=KI 2 -IN 2 suy ra đpcm b) KI 2 =KC 2 +IC 2 ; IN 2 =IA.IB =(IC+BC)(IC-AC) =IC 2 -AC 2 nên KM.KN=KC 2 +IC 2 -IC 2 +AC 2 = KC 2 +AC 2 =KA 2 (Pitago cho tam giác vuông KAC) Vậy KA 2 =KM.KN nên KA là tiếp tuyến của đờng tròn ngoại tiếp tam giác AMN Nếu đổi vị trí A cho B cm tơng tự ta cũng có KB là tiếp tuyến của đờng tròn ngoại tiếp tam giác BMN vì KA=KB Câu 5 (1.0 im) Có tồn tại 2010 điểm thoả mãn điều kiện bài toán Đây là 1 cách xác định các điểm đó: Dựng nửa đờng tròn đờng kính AB trên nửa đờng tròn lấy 2010 điểm phân biệt khác A và khác B nh vậy ba điểm bất kỳ trong chúng đều không thẳng hàng là ba đỉnh của một tam giác có 1 góc tù vì tam giác đó luôn có 1 góc nội tiếp chắn cung lớn hơn nửa đờng tròn đ- ờng kính AB 3 O A B C1 C2 Ci C3 Cj Cn C200 9 Một số lưu ý: -Trên đây chỉ trình tóm tắt một cách giải với những ý bắt buộc phải có. Trong quá trình chấm, nếu học sinh giải theo cách khác và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa. -Trong quá trình giải bài của học sinh nếu bước trên sai, các bước sau có sử dụng kết quả phần sai đó nếu có đúng thì vẫn không cho điểm. -Bài hình học, nếu học sinh không vẽ hình phần nào thì không cho điểm tương ứng với phần đó. -Những phần điểm từ 0,5 trở lên, tổ chấm có thể thống nhất chia tới 0,25 điểm. -Điểm toàn bài tính đến 0,25 điểm. —Hết— 4 . 3n 4 -14n 3 +21n 2 -10n chia hết cho 24 Cõu 2 (2 im) Gii v bin lun phng trỡnh: 523 =++ xmx (m l tham s cú giỏ tr thc) Cõu 3 (2 im) Cho phng trỡnh x 4 +. 1 = 0 (4) . Do phng trỡnh ó cho cú nghim nờn (4) cú nghim |t| 2. T (4) suy ra 2 1- t a t = . T ú : 2 2 2 2 (1 - t ) a >2 2 t > 2 2 t (t - 4) 1 0