Chuyên đề phương trình lượng giác Chương I: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC A. CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1. Cung liên kết a) Cung đối: ( ) ( ) cos cos ; sin sin ; x x x x− = − = − b) Cung bù: ( ) ( ) cos cos ; sin sin ; x x x x π π − = − − = c) Cung phụ: cos sin ; sin cos ; tan( ) cot ; cot tan 2 2 2 2 x x x x x x x x π π π π       − = − = − = − =  ÷  ÷  ÷       d) Cung hơn kém π : ( ) ( ) cos cos ; sin sin ; x x x x π π + = − + = − e) Cung hơn kém 2 π : cos sin ; sin cos ; 2 2 x x x x π π     + = − + =  ÷  ÷     2. Công thức lượng giác a) Công thức cộng: b) Công thức nhân đôi ( ) cos cos cos sin sin sin( ) sin cos cos sin tan tan tan( ) 1 tan tan cotacot 1 cot( ) cota cot a b a b a b a b a b a b a b a b a b b a b b + = − + = + + + = − − + = + 2 2 2 2 2 sin 2 2sin .cos cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin 2tan tan 2 1 tan a a a a a a a a a a a = = − = − = − = − c) Công thức nhân ba d) Công thức hạ bậc 3 3 sin3 3sin 4sin cos3 4cos 3cos a a a a a a = − = − 2 2 3 3 1 cos2 1 cos2 sin ; cos 2 2 3sin sin3 3cos cos3 sin ; cos 4 4 a a a a a a a a a a − + = = − + = = e) Công thức tích thành tổng f) Công thức tổng thành tích [ ] [ ] [ ] 1 cos cos cos( ) cos( ) 2 1 sin sin cos( ) cos( ) 2 1 sin cos sin( ) sin( ) 2 a b a b a b a b a b a b a b a b a b = + + − − = + − − = + + − cos cos 2cos cos 2 2 cos cos 2sin sin 2 2 sin sin 2sin cos 2 2 sin sin 2cos sin 2 2 a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b + − + = + − − = − + − + = + − − = 3. Hằng đẳng thức thường dùng ( ) 2 2 4 4 2 6 6 2 2 2 2 2 2 1 3 sin cos 1 sin cos 1 sin 2a sin cos 1 sin 2 2 4 1 1 1 tan 1+cot 1 sin 2 sin cos cos sin a a a a a a a a a a a a a a + = + = − + = − + = = ± = ± GV: Cao Văn Liêm – Tổ KHTN – THPT Trường Long Tây 1 Chuyên đề phương trình lượng giác 4. Phương trình lượng giác cơ bản khi 1 2 sin ( ) ; sin sin ( ) arcsin 2 2 khi 1 ( ) arcsin 2 VN m x k f x m x f x m k x k m f x m k α π α π π α π π π >  = +   = ⇔ = ⇔ = +    = − + ≤    = − +   khi 1 2 cos ( ) ; cos cos ( ) arccos 2 2 khi 1 ( ) arccos 2 VN m x k f x m x f x m k x k m f x m k α π α π α π π >  = +   = ⇔ = ⇔ = +    = − + ≤    = − +   tan ( ) ( ) arctan ; tan tanf x m f x m k x x k π α α π = ⇔ = + = ⇔ = + cot ( ) ( ) arccot ; cot cotf x m f x m k x x k π α α π = ⇔ = + = ⇔ = + 5. Phương trình thường gặp a. Phương trình bậc 2 2 2 2 2 2 2 2 2 .sin ( ) .cos ( ) 0 sin ( ) 1 cos ( ) .cos ( ) .sin ( ) 0 ( ) 1 sin ( ) cos2 ( ) cos ( ) 0 cos2 ( ) 2cos ( ) 1 cos2 ( ) sin ( ) 0 cos2 ( ) 1 2sin ( ) .t a f x b f x c Thay f x f x a f x b f x c Thay f x f x a f x b f x c Thay f x f x a f x b f x c Thay f x f x a + + = ⇒ = − + + = ⇒ = − + + = ⇒ = − + + = ⇒ = − cos 1 an ( ) cot ( ) 0 cot ( ) tan ( ) f x b f x c Thay f x f x + + = ⇒ = b. Phương trình dạng sin ( ) cos ( )a f x b f x c+ =  Điều kiện có nghiệm: 2 2 2 a b c+ ≥  Chia 2 vế cho 2 2 a b+ , dùng công thức cộng chuyển về dạng cơ bản theo sin hoặc cos. c. Phương trình đẳng cấp  Dạng 2 2 .sin .sin cos .cosa x b x x c x d+ + = Xét cosx = 0 có thỏa mãn phương trình hay không. Xét cosx ≠ 0, chia 2 vế cho cos 2 x để được phương trình bậc 2 theo tanx. Có thể thay vì xét cosx, ta có thể thay bằng việc xét sinx.  Dạng 3 2 2 3 .sin .sin cos .sin .cos .cos 0a x b x x c x x d x+ + + = Xét cosx = 0 có thỏa mãn phương trình hay không. Xét cosx ≠ 0, chia 2 vế cho cos 3 x để được phương trình bậc 3 theo tanx. Có thể thay vì xét cosx, ta có thể thay bằng việc xét sinx. d. Phương trình đối xứng loại 1: (sin cos ) .sin cosa x x b x x c± + = Đặt t = sinx ± cosx, điều kiện 2t ≤ Thay vào phương trình ta được phương trình bậc 2 theo t. e. Phương trình đối xứng loại 2 : ( ) tan cot ) (tan cot 0 n n a x x b x x + + ± = Đặt t = tanx - cotx thì t ∈ R ; Đặt t = tanx + cotx thì 2t ≥ . Chuyển về phương trình theo ẩn t. GV: Cao Văn Liêm – Tổ KHTN – THPT Trường Long Tây 2 Chuyên đề phương trình lượng giác f. Các phương pháp giải phương trình lượng giác tổng quát  Phương pháp biến đổi tương đương đưa về dạng cơ bản  Phương pháp biến đổi phương trình đã cho về dạng tích.  Phương pháp đặt ẩn phụ.  Phương pháp đối lập.  Phương pháp tổng bình phương. B./ BÀI TẬP RÈN LUYỆN I. Phương trình lượng giác cơ bản Bài 1. Giải các phương trình lượng giác sau: a. 2sin 3x 3 6 π   − =  ÷   b. ( ) ( ) 0 0 sin 2x 45 c x 60 0os− + + = c. tan3x cot 2x= d. ( ) x cot c 2 = − 0 ot 2x-30 e. 1 cosx.cos2x.cos4x.cos8x= 16 g. 4sinx+cosx = 2 sin x h. 2 cos( ) sinx x= Bài 2. Tìm nghiệm của các phương trình sau trên các khoảng đã cho: a. 0 tan(2x 15 ) 1− = , với ( ) 0 0 x 180 ;90∈ − b. s 3cinx = osx , với 2 x ; 3 π   ∈ − π ÷    II. Phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác. Bài 3. Giải các phương trình a. 3 tan 3x 3 0− = b. ( ) ( ) s 2c 0inx+1 os2x - 2 = c. 2 3 2 7 os2x - 3 = 0+sin x c d. 2 3 4 3 0− + =cot x cot x Bài 4. Giải các phương trình a. cos2x - sinx +2 =0 b. 2 2 2 3 + = tan x cot x c. 2 2 cos2x + sin x cosx +1 = 0+ d. 2 4 2 8 9 0 2 sin x cos x+ − = III. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx (asinx + bcosx = c) Bài 5. Giải các phương trình sau: a. 3cosx + 4sinx = -5 b. 5 2 6 13 2 sin x cos x− = c. 3cos2x - 2sinxcosx = 2sin7x d. sin8 cos6 3(sin 6 cos8 )x x x x− = + e. (3sin cos )(cos 2sin ) 1x x x x+ − = g. 2cos cos( ) 4sin 2 1 3 x x x π + + = Bài 6. Giải phương trình: a. 2 2 cos 2 3sin cos 3sin 1x x x x+ + = . b. 3 3 4sin cos3 4cos sin 3 3 3 cos4 3x x x x x+ + = . c. cos7 sin 5 3(cos5 sin 7 )x x x x− = − . d. 2 4sin ( ) sin 2 1 6 x x π + + = e. 2 2sin(2 ) 4sin 1 6 x x π + + = Bài 7. Tìm GTLN, GTNN của hàm số : a. 2 2 2sin ( ) 2cos cos2 6 y x x x π = + + + b. 2sin( )cos( ) sin 2 6 3 y x x x π π = + + + GV: Cao Văn Liêm – Tổ KHTN – THPT Trường Long Tây 3 Chuyên đề phương trình lượng giác c. 2sin(2 ) 4cos cos( ) 3 3 y x x x π π = + + + d. 6 6 sin cos sin 4y x x x= + + . Bai 8. Tìm GTLN và GTNN của hàm số : a. sin 2cos 1 sin cos 2 x x y x x + + = + + . b. sin cos 3 x y x = + c. 2 4sin 2 sin(2 ) 6 x y x π = + + . Bài 9. Tìm các giá trị của x để 1 sin 2 cos x y x + = + là số nguyên. IV. Phương trình bậc thuần nhất đối với sinx và cosx Bài 10. Giải các phương trình: a. 2 6 2 2 sin x s inxcosx - cos x+ = b. 2 2 2 3 2 2 2 sin x sin2xcos2x + cos x− = c. 2 3 6 2 cos x sinxcosx = 3 + 3+ d. 2 4 3 3 2 2 4 2 sin x sin x cos x+ − = e. ( ) ( ) 4 4 1 3 sinxcos x - sin x cosx + 2sin x cos x + 2 2 π π π π     + + − =  ÷  ÷     Bài 11. Giải các phương trình a. ( ) 2 3 8 9 0 2 sin x s inxcosx + 8 3 cos x+ − = b. 2 1 2 2 2 sin x s in2x - cos x+ = c. ( ) ( ) 2 2 3 3 1 1 2 sin x sinxcosx + 3 cos x+ + − = − d. 4sinx + 6cosx = 1 cosx Bài 12. Giải các phương trình a. 2 2 4 3 3 sin x cos x s inx+ = b. 2sin 3 x = cos3x c. 3 2 4 sin x sinx π   + =  ÷   d. 2sin 3 x = cosx Bài 13. Giải các phương trình a. 2 3 6 3 sin x sin x sin x cos x+ = b. 3 4 0sin x sin x cosx− + = c. 3 4 3 3 2 cos x sin x cosxsin x s inx=0− − + d. 3 2 sin 3cos 3sin cos 2sinx x x x x+ = + e. 3 cos2 sin cos cos sinx x x x x+ = + g. 3 sin 3 cos cos sinx x x x+ = + V. Phương trình đối xứng với sinx và cosx, đối xứng với tanx và cotx Bài 14. Gải các phương trình a. ( ) 3 2 2 3 0sinx+cosx sin x+ + = b. sinx - cosx + 4sinxcosx + 1 = 0 c. ( ) 2 12 12 0sin x sinx - cosx− + = d. 3 3 1sin x cos x+ = e. 1 + sin 3 2x + cos 3 2x = 3 4 2 sin x g. 3 4 3 sin x sin x cos x π   + = +  ÷   h. 1 t anx = 2 2 sinx+ i. sinx + 1 sinx + cosx + 1 cos x = 10 3 VI. Phương trình lượng giác khác Bài 15. Giải các phương trình a. cos5xcos3 = cosxcos7x b. sin2x - cos5x = cosx - sin6x c. cosx + cos11x = cos6x d. sinx + sin2x + sin3x = cosx + cos2x + cos3x e. tanx + tan2x = tan3x g. 2 sinx+sin3x+sin5x tan 3 osx+cos3x+cos5x x c = Bài 16. Giải các phương trình a. 2 2 2 5 2 3sin x sin x sin x+ = b. 3 3 4 5 2 2 2 2 cos x cos x cos x+ + = c. 8cos 4 x = 1 + cos4x d. sin 4 x + cos 4 x = cos4x GV: Cao Văn Liêm – Tổ KHTN – THPT Trường Long Tây 4 Chuyên đề phương trình lượng giác e. 3cos 2 2x - 3sin 2 x + cos 2 x g. sin 3 xcosx - sinxcos 3 x = 2 8 h. ( ) ( ) 1 tan 1 sin 2 1 tanx x x− + = + i. tanx + tan2x = sin3xcosx Bài 17.(B1.43 +44 SBT Tr 15) Giải các phương trình a. tanx = 1- cos2x b. tan(x - 15 0 )cot(x - 15 0 ) = 1 3 c. sin2x + 2cos2x = 1 + sinx - 4cosx d. 3sin 4 x + 5cos 4 x - 3 = 0 e. (2sinx - cosx)(1 + cosx) = sin 2 x g. 1 + sinxcos2x = sinx + cos2x h. sin 2 xtanx + cos 2 xcotx - sin2x = 1 + tanx + cotx i. sin 2 x + sinxcos4x + cos 2 4x = 3 4 . VII. Tổng hợp các phương pháp giải phương trình lượng giác 1. Đặt ẩn phụ Áp dụng cho các loại phương trình : • Phương trình bậc hai, bậc ba… với một hàm số lượng giác • Phương trình thuần nhất bậc hai, bậc ba đối với sinx và cosx (Đặt t = tanx) • Phương trình đối xứng với sinx, cosx (đặt t = sinx cosx ± ) ; đối xứng với tanx và cotx (đặt t = tanx cotx± ) • Một số phương trình khác……. Bài tập vận dụng : Bài 22. Giải các phương trình lượng giác sau 1. 1 3sin 2 2 tanx x+ = 2. ( ) ( ) 1 t anx 1 sin 2 1 t anxx− + = + 3. ( ) 2 2 t anx.sin 2sin 3 os2x+sinx.cosxx x c− = 4. 6 3cos 4sin 6 3cos 4sin 1 x x x x + + = + + 5. 2 4 tan 5 0 cos x x − + = 6. 2 2 4 2 2 cos cos 3 0 cos 3 cos x x x x   + − + − =  ÷   7. ( ) 2 2 2 4 4 tan 10 1 tan tan 0 cos x x x x + + + = 8. 2 cos cos cos sin 1x x x x+ + + = 9. 3 1 3 sin sin 10 2 2 10 2 x x π π     − = +  ÷  ÷     10. 2 cos9 2cos 6 2 0 3 x x π   + + + =  ÷   Bài tập vận dụng Bài 23 : Giải các phương trình 1. 3 3 3 cos 4 cos3 .cos sin sin 3x x x x x= + 2. 2 2 1 sin sin sin cos 2cos 2 2 4 2 x x x x x π   + − = −  ÷   3. 10 10 6 6 2 2 sin cos sin cos 4 4sin 2 cos 2 x x x x x x + + = + 4. cos cos3 2cos5 0x x x+ + = 5. sin 3 sin 5 3 5 x x = 6. ( ) ( ) 2 2sin 1 3cos 4 2sin 4 4cos 3x x x+ + − + = VIII. Phương trình lượng giác trong một số đề thi ĐH 1. 1 1 7 4sin 3 sin 4 sin 2 x x x π π   + = −  ÷     −  ÷   (ĐH A-2008) 2. 3 3 2 2 sin 3 cos sin cos 3 sin .cosx x x x x x− = − (DH B-2008) 3. ( ) 2sin 1 cos 2 sin 2 1 2cosx x x x+ + = + (ĐH D-2008) 4. ( ) ( ) 2 2 1 sin cos 1 cos sin 1 sin 2x x x x x+ + + = + (ĐHA07) 5. 2 2sin 2 sin 7 1 sinx x x+ − = (B07) GV: Cao Văn Liêm – Tổ KHTN – THPT Trường Long Tây 5 Chuyên đề phương trình lượng giác 6. 2 sin cos 3 cos 2 2 2 x x x   + + =  ÷   (ĐHB07 7. ( ) 6 6 2 cos sin sin cos 0 2 2sin x x x x + − = − (ĐHA_06) 8. cot sin 1 tan tan 4 2 x x x x   + + =  ÷   (ĐHB_06) 9. cos3 cos2 cos 1 0x x x+ − − = (ĐH D - 06) 10. 2 2 cos 3 cos 2 cos 0x x x− = (ĐH A-05)11. 1 sin cos sin 2 cos 2 0x x x x+ + + + = (ĐH B_ 05) 12. 4 4 3 cos sin cos sin 3 0 4 4 2 x x x x π π     + + − − − =  ÷  ÷     (ĐH D – 2005) 13. 4 4 sin cos 1 2sin 2 2 x x x+ = − 14. ( ) 2 5sin 2 3 1 sin tanx x x− = − (ĐH B - 2004) 15. ( ) ( ) 2cos 1 2sin cos sin 2 sinx x x x x− + = − (ĐH D - 2004) 16. 2 cos2 1 cot 1 sin sin 2 1 tan 2 x x x x x − = + − + (ĐH A - 2003) 17. 2 cot tan 4sin 2 sin 2 x x x x − + = (ĐH B - 2003) 18. 2 2 2 sin tan cos 0 2 4 2 x x x π   − − =  ÷   (ĐH D - 2003) 19. Tìm các nghiệm thuộc (0;2π) của pt: cos3 sin 3 5 sin cos 2 3 1 2sin 2 x x x x x +   + = +  ÷ +   (ĐH A - 2002) 20. 2 2 2 2 sin 3 cos 4 sin 5 cos 6x x x x− = − (ĐH B - 2002) 21. cos3 4cos2 3cos 4 0x x x − + − = (ĐH D - 2002) 22. 1 1 sin 2 sin 2cot 2 2sin sin 2 x x x x x + − − = 23. ( ) 2 2cos 2 3 sin cos 1 3 sin 3 cosx x x x x+ + = + 24. 5 3 sin cos 2 cos 2 4 2 4 2 x x x π π     − − − =  ÷  ÷     25. sin 2 cos2 tan cot cos sin x x x x x x + = − 26. 2 2 sin cos 1 12 x x π   − =  ÷   27. A10 (1 sinx os2 )sin 1 4 cos . 1 t anx 2 c x x x π   + + +  ÷   = + 28. B10: GPT (sin 2 os2 )cos 2cos2 sinx 0.x c x x x + + − = 29. D10: GPT sin 2 os2 3sin cos 1 0.x c x x x − + − − = 29. (A09)Gpt: ( ) ( ) ( ) 1 2sin cos 3 1 2sin 1 sin x x x x − = + − 30. (B09)Gpt: ( ) 3 sin cos .sin 2 3 cos3 2 cos4 sinx x x x x x+ + = + 31. (D09)Gpt: 3 cos5 2sin 3 .cos2 sin 0x x x x− − = 32. 2 1 sin 8cos x x = 33. ( ) 2 2 3 cos 2sin 2 4 1 2cos 1 x x x π   − − −  ÷   = − GV: Cao Văn Liêm – Tổ KHTN – THPT Trường Long Tây 6 . về phương trình theo ẩn t. GV: Cao Văn Liêm – Tổ KHTN – THPT Trường Long Tây 2 Chuyên đề phương trình lượng giác f. Các phương pháp giải phương trình lượng. Chuyên đề phương trình lượng giác Chương I: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC A. CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1. Cung liên kết a)