Đang tải... (xem toàn văn)
Bài giảng Toán tài chính - Chương 4: Tích phân và ứng dụng cung cấp cho người học các kiến thức: Định nghĩa nguyên hàm, tích phân bất định, công thức nguyên hàm cơ bản, tích phân hàm mũ, phương trình vi phân,... Mời các bạn cùng tham khảo.
TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG CHƯƠNG ĐỊNH NGHĨA NGUYÊN HÀM Định nghĩa: Cho hàm f(x) liên tục (a,b) Ta nói F(x) nguyên hàm f(x) (a,b) nếu: F ¢(x ) = f (x ), " x Ỵ (a , b ) Ví dụ · t a n x làmộ t nguyê n hà m củ a + t an2 x ìïï p üïï trê n R \ í (2n + 1) ý ïỵï ùỵù x x ã a laứmoọ t nguyeõ n hà m củ a a ln a trê n R ( ) TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH Tích phân bất định hàm f(x) ký hiệu: ò f (x )dx Được xác định sau: ò f (x )dx = F (x )+ C F(x) nguyên hàm f(x) C: số tùy ý TÍNH CHẤT ¢ é ù i ) ê ò f (x )dx ú = f (x ) ë û ii ) ò k f (x )dx = k ò f (x )dx iii ) ò éêf (x )+ g (x )ùúdx = ò f (x )dx + ë û ò g (x )dx CƠNG THỨC NGUN HÀM CƠ BẢN ò k dx = ò dx = b x ò a x dx = ò x a dx = ò dx = x ò e a x dx = VÍ DỤ Tính tích phân sau a ò 2x + dx x (x + 1) c.ò x + 3x - dx x ( ) b ò e x e x + - dx VÍ DỤ Tính tích phân sau ( ) a ò x cos x + dx c.ò + x x 5dx b ò 2x + 1dx VÍ DỤ Tính tích phân sau a) ò c)ò - x dx dx 1+ x b) ò d )ò x dx 1+ x dx x x2 - VÍ DỤ Tính tích phân sau a ) ò x ln xdx b ) ò (2x + 1)sin xdx c ) ò x cos xdx d ) ò x a rct a n xdx TÍCH PHÂN HÀM MŨ Cơng thức: (i ) x x e dx = e +C ò (ii ) (iii ) ax + b ò e dx = a e + C u u e du = e +C ò ax + b Ví dụ Tính tích phân sau: a) A = ò 4x 3e dx b) B = x4 e x dx ò I0 c)C = ò xe - x2 dx d ) D = a ò e - T x dx Dùng đường cung đo lường PS (a) Price = $600 Price of House Painting Supply $900 800 600 500 Grandma’ s producer surplus ($100) Quantity of Houses Painted • Diện tích phía mức giá đường cung thặng dư sản xuất Đo lường PS đường cung (b) Price = $800 Price of House Painting $900 Supply Total producer surplus ($500) 800 600 Georgia’s producer surplus ($200) 500 Grandma’s producer surplus ($300) Quantity of Houses Painted Tác dụng giá đến thặng dư sản xuất (a) Thặng dư sản xuất giá P1 Price Supply P1 B Producer surplus C A Q1 Quantity Tác dụng giá đến thặng dư sản xuất (b) Thặng dư sản xuất giá P2 Price Supply Additional producer surplus to initial producers P2 P1 D E F B Initial producer surplus C Producer surplus to new producers A Q1 Q2 Quantity Thặng dư sản xuất • Producer’s Surplus • Nếu ( ; ) điểm đường cung p=D(x) thặng dư sản xuất PS mức giá là: x PS = ò ép - S x ùdx ( )úû êë x • PS thể tổng tăng thêm nhà sản xuất sẵn sàng cung cấp sản phẩm mức giá thấp bán sản phẩm mức giá P S = x p - ò S (x )dx Q P S = Q P - ò S- (Q )dQ Thặng dư tiêu dùng sản xuất cân thị trường Price A D Supply Consumer surplus Equilibrium price E Producer surplus B Demand C Equilibrium quantity Quantity VÍ DỤ 35 Cho hàm cung hàm cầu: QS P ; QD 43 P Hãy tính thặng dư nhà sản xuất thặng dư người tiêu dùng VÍ DỤ 35 Sản lượng cân nghiệm pt: Q D (Q ) S (Q) P 18 Thặng dư nhà sản xuất: 1 1 PS 18.3 Q 1 dQ 27 Thặng dư người tiêu dùng: CS 43 Q dQ 18.3 VÍ DỤ 36 1) Tìm thặng dư tiêu dùng mức giá 8$ biết hàm cầu đảo có phương trình: PD 1 Q 20 0, 05Q 2) Tìm thặng dư sản xuất mức giá 20$ biết hàm cung đảo có phương trình: P S 1 Q 0,0002Q 3) Tìm mức giá cân tìm thặng dư tiêu dùng, thặng dư sản xuất mức giá tiêu dùng biết: D 1 Q 20 0,05Q; S 1 Q 0,0002Q DÒNG THU NHẬP LIÊN TỤC Continuous Income Stream Cho f(t) tốc độ dòng thu nhập liên tục, tổng thu nhập thu khoảng thời gian từ a đến b là: b Total Income f t dt a FV CỦA DỊNG THU NHẬP LIÊN TỤC Theo cơng thức lãi kép liên tục: A Pe rt Nếu dòng thu nhập liên tục đầu tư với mức lãi suất r, ghép lãi liên tục giá trị tương lai dòng thu nhập liên tục sau T năm là??? Chú ý Trong công thức lãi kép liên tục P cố định Chỉ tính cho khoản đầu tư P Làm tính tổng thu nhập cho dòng thu nhập liên tục LẬP TỔNG TÍCH PHÂN Chia khoảng thời gian T thành n phần, phần Δt Thu nhập khoảng thứ k (từ tk-1 đến tk) xấp xỉ với: f ck t Giá trị tương lai nó: Tổng thu nhập sau T năm: n FV lim f ck t.e n k 1 FVk f ck t.e r T t T r T ck f t e r T t dt FV CỦA DÒNG THU NHẬP LIÊN TỤC Nếu f(t) tốc độ dòng thu nhập liên tục Giả sử thu nhập đầu tư liên tục với mức lãi suất r, ghép lãi liên tục Khi này, giá trị tương lai dòng thu nhập sau T năm đầu tư là: T FV f t e T r T t dt e rT f t e rt dt VÍ DỤ 37 Tốc độ biến thiên lợi nhuận thu từ máy bán hàng tự động cho bởi: f t 5000e 0,04 t Trong t (năm) thời gian tính từ thời điểm lắp máy A) Tìm tổng lợi nhuận nhập máy sau năm tính từ lắp đặt B) Giả sử lợi nhuận máy đầu tư liên tục với lãi suất 12% Tính giá trị tương lai tổng lợi nhuận máy sau năm C) Tìm tổng lãi thu dòng lợi nhuận máy sau năm đầu tư ÔN TẬP THI CUỐI KỲ Giới hạn hàm số: VCB, L’Hospital Tính đạo hàm, vi phân hàm nhiều biến Cực trị hàm nhiều biến kinh tế Phân tích cận biên, hệ số co dãn Các mơ hình tăng trưởng, tích phân phần Thặng dư tiêu dùng thặng dư sản xuất ... k (M - y ) dt y (0 ) = TĂNG TRƯỞNG GIỚI HẠN Một cách tương tự ta có: dy dy = k (M - y ) Û = kdt dt M - y dy Û ò = ò kdt Û - ln M - y = kt + C M - y Û M - y = e - kt - C Û M - y = e - C e - kt... Tính tích phân sau a ò 2x + dx x (x + 1) c.ò x + 3x - dx x ( ) b ò e x e x + - dx VÍ DỤ Tính tích phân sau ( ) a ò x cos x + dx c.ò + x x 5dx b ò 2x + 1dx VÍ DỤ Tính tích phân sau a) ò c)ò - x... (x ) = 1, 5e - 0,01x + 3, 44 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Tăng trưởng giới hạn Tăng trưởng không giới hạn PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Khái niệm dy = 6x - x y ' = - 400e - 0,01x dx dy dy = ky y "- xy '+ x = =