phần I con lắc lò xo Bài 1: Một lò xo đợc treo thẳng đứng, đầu trên của lò xo đợc giữ chuyển động đầu dới theo vật nặng có khối lợng m = 100g, lò xo có độ cứng k = 25 N/m. Kéo vật rời khỏi VTCB theo phơng thẳng đứng hớng xuống một đoạn 2cm, truyền cho nó vận tốc 310 . (cm/s) theo phơng thẳng đứng hớng lên. Chọn góc tg là lúc thả vật, gốc toạ độ là VTCB, c dơng hớng xuống. a. Viết PTDĐ. b. Xác định thời điểm vật đi qua vị trí mà lò xo giãn 2 cm lần thứ nhất. Lời giải a) Tại VTCBO kl = mg l = 0,04 25 0,1.10 k mg == (m + = === 5105 1,0 25 m k (Rad/s) + m dao động điều hoá với phơng trình x = Asin (t + ) Tại thời điểm t = 0 x = 2 cm > 0 v = 10 3 (cm/s) <0 Ta có hệ 2 = ASin Sin >0 -10 3 = 5.Acos cos <0 Chia 2 vế tg = 3 1 = 6 5 (Rad) A = 4(cm) Vậy PTDĐ: x = 4sin (5t + 6 5 ) (cm) b) Tại VTCB lò xo dãn l = 4cm + ở thời điểm t = 0, lò xo bị dãn l = 4 + 2 = 6 (cm) + ở thời điểm t = 0 , vật đi lên v<0, tới vị trí lò xo bị dãn 2cm lần đầu tiên thì v<0. Vậy lúc đó x = -2 (cm) l l 0 0(VTCB) ) x - l Ta có: -2 = 4sin (5t + 6 5 ) sin (5t + 6 5 ) = 2 1 5t + 6 5 = 6 7 t = 15 1 (s) ( Có thể giải bằng mối liên hệ giữa dao động điều hoà và chuyển động tròn đều) Bài 2: Cho con lắc lò xo dđđh theo phơng thẳng đứng vật nặng có khối l- ợng m = 400g, lò xo có độ cứng K, co năng toàn phần E = 25mJ. Tại thời điểm t = 0, kéo m xuống dới VTCB để lò xo giãn 2,6cm đồng thời truyền cho m vận tốc 25cm/s hớng lên ngợc chiều dơng Ox (g = 10m/s 2 ) a. CM vật dđđh. b. Viết PTDĐ Lời giải a. Tại VTCB kl = mg kl = 0,4.10 = 4 l = k 4 (mét) Tại thời điểm t = 0, kéo m xuống dới VTCB, lò xo dãn 2,6 cm x = 2,6 - l = 0,026 - k 4 ( mét) Chiều dơng 0x hớng xuống x >0 Tại t = 0 x = 0,026 m/s > 0 v = -0,25 m/s <0 Cơ năng toàn phần E = 3 10.25 2 2 1 2 2 1 =+ mvkx (J) Ta có phơng trình: 322 25.10).0,4.(0,25 2 1 ) k 4 k(0,026 2 1 =+ k(2,6.10 -2 - 025,0) 4 2 = k 0,026 2 .k 2 - 0,233k + 16 = 0 k = 250 (N/m) TM k = 94,67 (N/m) loại Vậy k = 250 N/m = 25 4,0 250 == m k (Rad/s) => k > 153,8 N/m Tại t = 0 x = 1cm > 0 v = -25cm/s < 0 1 = Asin ; sin >0 = 4 3 Rađ -25 = 25Acos; cos<0 A = 2 cm Vậy phơng trình điều hoà là x = ) 4 3 t25sin(2 + (cm) Bài 3: Hai lò xo có độ cứng lần lợt là k 1 = 30 (N/m) và K 2 = 30 (N/m) đợc gắn nối tiếp với nhau và gắn vào vật M có khối lợng m = 120g nh hình vẽ. Kéo M dọc theo trục lò xo tới vị trí cách VTCB 10 cm rồi thả không vận tốc đầu trên mặt phẳng ngang. Bỏ qua ma sát. 1. CM vật DĐĐH, viết PTDĐ 2. Tính lực phục hồi cực đại tác dụng vào vật Lời giải 1. Chọn trục ox nằm ngang, chiều dơng từ trái qua phải, gốc 0 tại VTCB của vật. Khi vật ở VTCB, các lò xo không bị biến dạng. Khi vật ở li độ x thì x = x 1 + x 2 với x 1 ; x 2 là độ biến dạng của 2 lò xo (cùng dãn hoặc nén). + Lực đàn hồi ở 2 lò xo bằng nhau lên x 1 = 1 k F ; x 2 = 2 k F Vậy x = += 2121 11 kk F k F k F Mặt khác F = - kx kkk 111 21 =+ áp dụng định luật 2 N: F = m.a = mx '' mx '' = - k.x hay x '' = - x 2 với 2 = )( . 21 21 kkm kk m k + = Vật dao động điều hoà theo phơng trình L 1 L 2 M x = Asin (t + ) Vậy vật dao động điều hoà * Phơng trình dao động = 10 )2030(12,0 20.30 )( . 21 21 = + = + = kkm kk m k (Rad/s) Khi t = 0 x = 10cm>0 v = 0 cm/s Ta có hệ 10 = Asin ; sin >0 = 2 0 = Acos ; cos = 0 A = 10 (cm) Vậy phơng trình dao động là x = 10sin (10t + 2 ) (cm) 2. Ta coi con lắc đợc gắn vào 1 lò xo có độ cứng K Vậy lực phục hồi là F = - kx Lực phục hồi cực đại F max = +kA = 120,10 = 1,2N Bài 4: Dùng hai lò xo cùng chiều dài độ cứng k = 25N/m treo 1 quả cầu khối lợng m = 250 (g) theo phơng thẳng đứng kéo quả cầu xuống dới VTCB 3 cm rồi phóng với vận tốc đầu 0,4 2 cm/s theo phơng thẳng đứng lên trên. Bỏ qua ma sát (g = 10m/s 2 ; 2 = 10). 1. Chứng minh vật dao động điều hoà, viết PTDĐ? 2. Tính F max mà hệ lò xo tác dụng lên vật? Lời giải 1. Chọn trục 0x thẳng đứng hớng xuống gốc 0 tại VTCB + Khi vật ở VTCB lò xo không bị biến dạng. + Khi vật ở li độ x thì x là độ biến dạng của mỗi lò xo. + Lực đàn hồi ở hai lò xo bằng nhau (VT 2 lò xo cùng độ cứng và chiều dài và bằng 2 1 lực đàn hồi tổng cộng) k 0 F k 0 F P + m O F = 2F 0 -Kx = -2kx K = 2k + Tại VTCB: P + P2 = 0 Hay mg - 2kl o = 0 (1) + Tại li độ x; 2 lò xo cùng dãn l = x + l 0 Hợp lực: P + = FF2 dh mg - 2k(l 0 + x) = F (2) Từ (1) (2) F = -2kx Theo định luật II Niutơn : F = ma = mx '' x '' = x m k2 x = Asin (t + ) Vậy vật DĐĐH + PTDĐ: Tại t = 0 x = +3cm > 0 v = - 0,4 2 m/s = - 40 2 (cm/s) Ta có hệ 3 = A sin ; sin > 0 - 40 2 = 10 2 Acos ; cos < 0 Biên độ A = 5 200 2.40 3 2 2 =+ cm Ta có hệ 3 = 5sin sin = 0,6 -40 2 = 10 2 .5.cos cos = -0,8 2,5 Rad PTDĐ là x = 5sin (10 2 t + 2,5) (cm) e) Lực mà hệ số lò xo tác dụng vào vật Cả 2 lò xo coi nh một lò xo độ cứng K = 2k = 50 N/m l 0 = 05,0 50 10.25,0 == K mg m = 5 (cm) Khi vật ở vị trí thấp nhất, lực đàn hồi đạt cực đại F đhmax = K (A + l 0 ) = 50(0,05 + 0,05) = 5 (N) Bài 5: Một vật có khối lợng m = 100g chiều dài không đáng kể đợc nối 143,13 0 vào 2 giá chuyển động A, B qua 2 lò xo L 1 , L 2 có độ cứng k 1 = 60N/m, k 2 = 40 N/m. Ngời ta kéo vật đến vị trí sao cho L 1 bị dãn một đoạn l = 20 (cm) thì thấy L 2 không dãn, khi nén rồi thả nhẹ cho vật chuyển động không vận tốc ban đầu. Bỏ qua ma sát và khối lợng của lò xo. Chọn gốc toạ độ tại VTCB, chiều d- ơng hớng từ A B,chọn t = 0 là lúc thả vật. a) CM vật DĐĐH? b) Viết PTDĐ. Tính chu kì T và năng lợng toàn phần E. c) Vẽ và tính cờng độ các lực do các lò xo tác dụng lên gia cố định tại A, B ở thời điểm t= 2 T . Lời giải a) CM vật DĐĐH + Chọn trục toạ độ nh hình vẽ. + Khi vật ở VTCB lò xo L 1 dãn l 1 lò xo L 2 dãn l 2 Khi đó vật để L 1 dãn l = 2cm ; L 2 khi nén k dãn thì l chính là độ biến dạng tổng cộng của vật ở VTCB. l = l 1 + l 2 = 20 (cm) (1) + Tổng hợp lực bằng 0 : 00 02010201 =+=+++ FFFFNP Hay + K 1 l 1 - k 2 l 2 = 0 (2) + Khi vật có li độ x> 0 độ dãn của L 1 là (l 1 + x) cm, L2 là (l 2 - x) Tổng hợp lực =+++ amFFNP 21 Hay - k 1 (l 1 + x) + k 2 (l 2 - x) = mx'' - (k 1 + k 2 ) x = mx'' x'' = 2 21 . = + x m kk với 2 = m kk 21 + BA 01 F 02 F 0 + x G x Vậy x = Asin (t + ) (cm) vật DĐĐH b) = 10 1,0 4060 21 = + = + m kk (Rad/s) + Biên độ dao động A = l 2 (vì A = 2 2 2 2 0 lxx ==+ ) Giải (1), (2) l 1 + l 2 = 20 l 1 = 8cm 60l 1 + 400l 2 = 0 l 2 = 12cm -> A = 12cm t = 0 -> x 0 = Asin = A v 0 = Acos = 0 Vậy PTDĐ của vật x = 12 sin (10t + 2 ) (cm) Chu kì dao động T = 2,0 10 22 == (s) Năng lợng E = 72,0)012.(,100. 2 1 2 1 22 == KA (J) c) Vẽ và tính cờng độ các lực + Khi t = 1,0 2 = T (s) thì x = 12 sin (10.0,1 + 2 ) = -12 (cm) Vì vậy, tại t = 2 vật ở biên độ x = - A Tại vị trí này lò xo l 1 bị nén 1 đoạn A - l 1 = 12 - 8 = 4 (cm) Lò xo L 2 bị giãn một đoạn 2A = 24 (cm) + Lực tác dụng của lò xo L 1 và L 2 lên A, B lần lợt là 21 , FF F 1 = 60.0,04 = 2,4 (N) F 2 = 40.0,24 = 0,6 (N) ( 21 , FF cùng chiều dơng) Bài 6: Cho hai cơ hệ đợc bố trí nh các hình vẽ a,b lò xo có độ cứng k = 20N/m. Vật nặng = 2 a b P 0 F 0 (VB) + x 0 T có khối lợng m, m = 100g; bỏ qua ma sát khối lợng của r 2 và lò xo dây treo k dãn. Khối lợng k đáng kể. 1. Tính độ dãn lò xo trong mỗi hình khi vật ở VTCB. 2. Nâng vật lên cho lò xo không biến dạng rồi thả nhẹ, chứng tỏ vật dđđh. Tính chu kì và biên độ dao động của vật. Lời giải 1) Hình a + Chọn chiều dơng ox hớng xuống, gốc 0 tại VTCB + Phơng trình lực =+ 0 00 FT =+ 0 00 PT Chiều lên ox -T 0 + Kl = 0 -T 0 + mg = 0 T 0 = kl = mg = 0,1.10 = 1 T 0 = 1N l = 0,05 (m) = 5 (cm) * Hình b Chọn chiều dơng hớng xuống, O là VTCB Chiếu lên Ox -T 0 + mg = 0 -kl + 2T 0 = 0 T 0 = mg = 1 (N) l = 10 (cm) 2) Chứng minh vật DĐĐH Hình a: + Khi vật ở VTCB lò xo dãn l kl - mg = 0 + Khi vật ở li độ x lò xo dãn l + x F = mg - T P 0 F + x 0 T 0 T O T - k(l + x) = 0 F = mg - kl 0 - kx F = -kx áp dụng định luật II N - kx = mx '' = xx m k . 2 = Với = m k x = Asin (t + ) vật dao động điều hoà * Hình b: Khi vật ở VTCB lò xo dãn l 2 1 kl - mg = 0 Khi vật ở li độ x lò xo dãn l + 2 x mg - T = F 2T - k(l + 2 x ) = 0 F = mg - 2 1 kl - x k 4 F = x k 4 Hay x k 4 = mx '' x = x m k 4 = - 2 x với = m k 4 x = Asin (t + ) vật dao động điều hoà Bài 7: Một vật có khối lợng m = 400g đợc gắn trên một lò xo dựng thẳng đứng có độ cứng k = 50 (N/m) đặt m 1 có khối lợng 50 g lên trên m. Kích thích cho m dao động theo phơng thẳng đứng biên độ nhỏ, bỏ qua lực ma sát và lực cản. Tìm hiên độ dao động lớn nhất của m, để m 1 không với khối lợng m trong quá trình dao động (g = 10m/s 2 ) Lời giải Khi m 1 không rời khỏi m thì hai vật cùng dao động với gia tốc a = 2 x Giá trị lớn nhất của gia tốc (a max = 2 A) Nếu m 1 rời khỏi m thì nó chuyển động với gia tốc trọng trờng g Vậy điều kiện để m 1 không rời khỏi m m 1 m a max < g 2 A < g A< 2 g + = m k 2 = 125 4,0 50 = A < 125 10 = 0,08 (m) = 8cm A max = 8cm Bài 8: Cho 1 hệ dao động nh hình vẽ, khối lợng lò xo không đáng kể. k = 50N/m, M = 200g, có thể trợt không ma sát trên mặt phẳng ngang. 1) Kéo m ra khỏi VTCB 1 đoạn a = 4cm rồi buông nhẹ. Tính V TB của M sau khi nó đi qũang đờng 2cm . 2) Giả sử M đang dao động nh câu trên thì có 1 vật m 0 = 50g bắn vào M theo phơng ngang với vận tốc o v . Giả thiết va chạm là không đàn hồi và xảy ra tại thời điểm lò xo có độ dài lớn nhất. Tìm độ lớn o v , biết rằng sau khi va chạm m 0 gắn chặt vào M và cùng dao động điều hoà với A ' = 4 2 cm. Lời giải 1 - Tính vận tốc TB Một dđđh có thể coi là hình chiếu của chuyển động tròn đều của 1 chất điểm nh hình vẽ. Khoảng thời gian vật đi từ x = 4 đến x = 2 (cm) bằng khoảng thời gian vật chuyển động tròn đều theo cung M 1 M 2 t = 3 = a với = 2,0 50 = m k = 5 (Rad/s) -> t = 15 1 5 1 . 3 = (s) V TB = )(30 scm t S = 2 - Theo câu 1, M có li độ x 0 = a = 4 cm thì lúc đó lò xo có chiều dài lớn nhất M k o v m 0 M 1 + 2 4 M 2 [...]... 2 (cm/s) Bài 9: Một vật nặng hình trụ có khối lợng m = 0,4kg, chiều cao h = 10cm tiết diện s = 50cm 2 đợc treo vào một lò xo có độ cứng k = 150N/m Khi cân bằng một một nửa vật bị nhúng chìm trong chất lỏng có khối lợng riêng D = 103 (kg/m3) Kéo vật khỏi VTCB theo phơng thẳng đứng xuống dới 1 đoạn 4cm rồi thả nhẹ cho vật dao động, bỏ qua mọi ma sát và lực cản 1 XĐ độ biến dạng của lò xo khi vật cân bằng... 10 3.10 + 150 = 0,28 (s) 3 Cơ năng E Coi vật dao động vật đợc gắn vào lò xo có độ cứng k' = SDg+ K = 200 N/m Biên độ dao động A = 0,04 (cm) Cơ năng: E = 1 ' 2 1 k A = 200.(0,04) 2 = 0,16 2 2 (J) Bài 10: Gắn một vật có khối lợng m = 200g vào 1 lò xo có độ cứng k = 80 N/m Một đầu của lò xo đợc chuyển động kéo m khỏi VTCB 10cm dọc theo trục lò xo rồi thả nhẹ cho vật dao động Biết hệ số ma sát giữa m và... chiều dài quãng đờng mà vật đi đợc cho tới lúc dùng 2 CMR độ giảm biên độ dao động sau mỗi chu kì là không đổi 3 Tính thời gain dao động của vật Lời giải 1 - Chiều dài quãng đờng đo đợc khi có ma sát, vật dao động tắt dần cho đến lúc dừng lại ở đây cơ năng E = S= 1 KA 2 = Fms S = à.mg.S 2 1 KA 2 80.0 ,12 = = 2( m ) 2 M mg 2.0,1.,02.10 2 - Độ giảm biên độ Giả sử tại 1 thời điểm vật đang đứng ở VT biên... (N) + Lực căng dây cực tiểu khi = 0 , vật ở VT biên Tmin = mg (1 - 1 2 20) Thay số Tmin = 0,1.10 2 1 6 1 = 0,99 2 150 (N) Bài 13: Một con lắc đơn gồm sợi sây có chiều dài l treo vật nặng có khối lợng m Khi con lắc đơn đang ở VTCB, ngời ta truyền cho vật nặng vận tốc ban đầu v 0 lực cản coi dao động của con lắc là dao động nhỏ Lập bt tính vận tốc của vật nặng và lực căng của dây treo theo... 2360 21 = 79640 1= 48,6 Rad/s 1= 312 Rad/s 2= 312 Rad/s Vậy 2= 48,6 Rad/s Bài 25: Cho một mạch dao động có L = 2.10-6H, C = 8pF = 8.10 -12 1 Năng lợng của mạch E = 2,5.10-7J Viết bt dòng điện trong mạch và bt hđt giữa 2 bản tụ Biết rằng tại t = 0 cờng độ dao động là cực đại 2 Thay c bằng C1 và C=2(C1 >C2) Nếu mắc C1 và C2 nối tiếp thì tần số dao động của mạch bằng 12, 5 MHz Nếu mắc C1//C2 thì tần số... mắc C1 thì f1 = f2 = = 1 2 L (C 1 + C 2 1 2 LC 2 Khi mắc C2 thì ' 1 2 LC 2 Nhận thấy f21 + f22 = f2 = 12, 52 f12 f22 = (f')2= 62 2 2 f1 + f2 Giải ra f21= 100 f = 56,25 2 2 hoặc f1= 10 Rad/s f2 = 7,5 Rad/s f21 + f22 = 12, 52 f21.f22= 62 12, 52 f21= 56,25 f22 = 100 f2 = 10Rad/s hoặc f2 = 7,5 Rad/s Bài 26: Trong mạch dao động của vô tuyến điện, tụ điện biến thiên có thể biến đổi điện dung từ 56pF đến... Khi vật có li độ x thì lò xo dãn l0+ x Kéo vật xuống dới VTCB 4cm rồi thả nhẹ để vật dao động h xmax= 4(cm) < 2 luôn có F A tác dụng vào vật khi nó dao động F = P + F A + F dh F = mg - S(h0+ x) Dg - k(l0 + x) = mg - Sh0Dg- kl0- SDgx - kx F = - (SDg + k)x Theo định luật 2 N: F = ma = mx'' mx'' = - (SDg + k)x x'' = 2.x với 2 = SDg + K m x = Asin (t + ) vậy vật dao động điều hoà 2 + Chu kì dao động... vật cân bằng 2 CM vật dđđh, tính T 3 Tính cơ năng E Lời giải 1) Độ biến dạng của lò xo tại VTCB + Chọn trục ox nh hình vẽ ở VTCB phần vật bị nhúng chìm trong chất lỏng có chiều cao h0, lò xo bị dãn 1 F 0 dh F 0A 0 đoạn l0 Phơng trình lực : mg- F0A - kl0= 0 l0= mg F0 A k (1) P +x Với F0A = Sh0Dg l0 = 0,4.10 50.10 4.0,05.10 3.10 150 = 0,01 (m) = 1 (cm) 2) Chứng minh vật dđđh + Khi vật có li độ x thì... l2 = Từ (3) (4) ( T ' ) 2 g 4 2 = (0,9) 2 10 4 2 = 0,2025 l2 = 0,3 (m) = 3cm Bài 12: T1= 2 0,51 = 1,42 10 T2= 2 Thay vào (1) (2) 0,3 = 1,1 10 (s) (s) 4 2 g (2) (3) l1 l 2 g (m) = 20,25 cm l1= 0,51 (m) = 51cm 2 T2 (1) l1 + l 2 g (m) = 81 cm + Con lắc có chiều dài l1 - l2có chu kì T' = 2 2 T1 (4) Một con lắc có chiều dài l, vật nặng khối lợng m, kéo con lắc ra khỏi VTCB một góc 0 rồi thả không vận tốc... mg + mv 0 l + Lực căng dây cực tiểu khi = 0(con lắc ở VTCB) v0 = 0 Tmin= mg gl = 2 0 v2 0 gl v2 v2 3 v2 ( 0 + 1 0 ) = mg(1 0 ) gl 2 gl 2gl áp dụng Tmax = 0,1.10 + 0,1 .12 =1,1( N ) 1 Tmin = 0,1 10 12 ) 2.10.1 (1 = 0,95 (N) Bài 14: Một đồng hồ qủa lắc chạy đúng giờ ở Hà Nội Đồng hồ sẽ chạy nhanh chậm thế nào khi đa nó vào TPHCM Biết gia tốc rơi tự do ở Hà Nội và TPHCM lần lợt là 9,7926 m/s2 9,7867 . 1 = 8cm 60l 1 + 400l 2 = 0 l 2 = 12cm -> A = 12cm t = 0 -> x 0 = Asin = A v 0 = Acos = 0 Vậy PTDĐ của vật x = 12 sin (10t + 2 ) (cm) Chu kì dao. 72,0) 012. (,100. 2 1 2 1 22 == KA (J) c) Vẽ và tính cờng độ các lực + Khi t = 1,0 2 = T (s) thì x = 12 sin (10.0,1 + 2 ) = -12 (cm) Vì vậy, tại t = 2 vật