Dạng 1: Dùng định nghĩa để tính xác suất Bài 1(CĐSP Quảng Bình, 06) Cho một hộp đựng 12 viên bi, trong đó có 7 viên bi màu đỏ, 5 viên bi màu xanh. Lấy ngẫu nhiên mỗi lần 3 viên bi. Tính xác suất trong hai trường hợp sau: a) Lấy được 3 viên bi màu đỏ b) Lấy được ít nhất hai viên bi màu đỏ Bài 2: Gieo đồng thời hai con súc sắc. Tính xác suất để a) Tổng số chấm xuất hiện trên hai con là 9 b) Tổng số chấm xuất hiện trên hai con là 5 c) Số chấm xuất hiện trên hai con hơn kém nhau 3 Bài 3: Gieo đồng thời 3 con súc sắc. Tính xác suất để a) Tổng số chấm xuất hiện của ba con là 10 b) Tổng số chấm xuất hiện của 3 con là 7 Bài 4: Một đợt xổ số phát hành 20.000 vé trong đó có 1 giải nhất, 100 giải nhì, 200 giải ba, 1000 giải tư và 5000 giải khuyến khích. Tính xác suất để một người mua 3 vé trúng một giải nhì và hai giải khuyến khích. Bài 5: Trong 100 vé xổ số có 1 vé trúng 100.000đ, 5 vé trúng 50.000đ và 10 vé trúng 10.000. Một người mua ngẫu nhiên 3 vé.Tính xác suất để a) Người mua trúng thưởng đúng 30.000 b) Người mua trúng thưởng 20.000 Bài 6: Một khách sạn có 6 phòng đơn. Có 10 khách đến thuê phòng, trong đó có 6 nam và 4 nữ. Người quản lí chọn ngẫu nhiên 6 người. Tính xác suất để a) Có 6 khách là nam b) Có 4 khách nam, 2 khách nữ c) Có ít nhất 2 khách là nữ Bài 7: Có 9 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 9. Chọn ngẫu nhiên ra hai tấm thẻ. Tính xác suất để tích của hai số trên tấm thẻ là một số chẵn Bài 8: Một lô hàng gồm 100 sản phẩm , trong đó có 30 sản phẩm xấu. Lấy ngẩu nhiên 1 sản phẩm từ lô hàng. a) Tìm xác suất để sản phẩm lấy ra là sản phẩm tốt b) Lấy ra ngẫu nhiên (1 lần) 10 sản phẩm từ lô hàng. Tìm xác suất để 10 sản phẩm lấy ra có đúng 8 sản phẩm tốt Bài 9: Một hộp chứa 30 bi trắng, 7 bi đỏ và 15 bi xanh. Một hộp khác chứa 10 bi trắng , 6bi đỏ và 9 bi xanh. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp bi. Tìm xác suất để 2 bi lấy ra cùng màu. Bài 10: Gieo đồng thời 2 con xúc xắc cân đối đồng chất. Tìm xác suất sao cho : a) Tổng số chấm trên mặt hai con xúc xắc bằng 8. b) Hiệu số chấm trên mặt hai con xúc xắc có trị tuyệt đối bằng 2. c) Số chấm trên mặt hai con xúc xắc bằng nhau Bài 11: Bài 12: Bài 13: Bài 14: Một lô hàng có n sản phẩm trong đó có k sản phẩm xấu. Lấy ngẫu nhiên từ lô hàng k sản phẩm. Tìm xác suất để k sản phẩm lấy ra có đúng s sản phẩm xấu. 2. Chia 12 tặng phẩm cho 3 người . Tìm xác suất để : a) Người thứ nhất được 3 sản phẩm b) Mỗi người được 4 sản phẩm 3. 12 hành khách lên ngẩu nhiên 4 toa tàu. Tìm xác suất để : a) Mỗi toa có 3 hành khách b) Một toa có 6 hành khách, một toa có 4 hành khách các toa còn lại có 1 hành khách. 4. Lấy ngẫu nhiên lần lược 3 chữ số từ 5 chữ số {0,1,2,3,4} xếp thành hàng ngang từ trái sang phải. Tìm xác suất để nhận được số tự nhiên gồm 3 chữ số. 5. Một học sinh vào thi chỉ thuộc 18 câu trong 25 câu hỏi. Tìm xác suất để học sinh đó trả lời được 3 câu hỏi mà học sinh đó rút được 1 9. Trong đề cương môn học gồm 10 câu hỏi lý thuyết và 30 bài tập. Mỗi đề thi gồm có 1 câu hỏi lý thuyết và 3 bài tập được lấy ngẫu nhiên trong đề cương. Một học sinh A chỉ học 4 câu lý thuyết và 12 câu bài tập trong đề cương. Khi thi học sinh A chọn 1 đề thò một cách ngẫu nhiên. Với giả thiết học sinh A chỉ trả lời được câu lý thuyết và bài tập đã học. Tính xác suất để học sinh A : a/ không trả lời được lý thuyết. b/ chỉ trả lời được 2 câu bài tập. c/ đạt yêu cầu. Biết rằng muốn đạt yêu cầu thì phải trả lời được câu hỏi lý thuyết và ít nhất 2 bài tập. 10. Trong hộp có 8 bi đen và 5 bi trắng. Lấy hú họa lần lượt 3 lần,mỗi lấn 1 viên ko hồn lại. Tìm XS để viên bi lấy thứ 3 là trắng. 11. Một khách sạn có 6 phòng trọ phục vụ khách, nhưng có tất cả 10 khách đến xin nghỉ trọ, trong đó có 6 nam và 4 nữ. Khách sạn phục vụ theo nguyên tắc “ai đến trước phục vụ trước và mỗi phòng nhận 1 người”. a/ Tìm xác suất để cho cả 6 nam đều được nghỉ trọ. b/ Tìm xác suất để 4 nam và 2 nữ được nghỉ trọ. c/ Tìm xác suất sao cho ít nhất 2 trong số 4 nữ được nghỉ trọ. 12.Có 2 lô hàng : Lô 1 : Có 90 sản phẩm đạt tiêu chuẩn và 10 phế phẩm Lô 2 : Có 80 sản phẩm đạt tiêu chuẩn và 20 phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên mỗi lô hàng một sản phẩm. Tính xác suất : a/ Có một sản phẩm đạt tiêu chuẩn. b/ Có hai sản phẩm đạt tiêu chuẩn. c/ Có ít nhất một sản phẩm đạt tiêu chuẩn. 13.Giả sử có 10 khách hàng vào một cửa hàng có 3 quầy, mỗi người chỉ tối một quầy. Tìm các xác suất : a/ có 4 người đến quầy số 1; b/ có 4 người đến một quầy nào đó; c/ có 4 người đến quầy 1 và 3 người đến quầy 2. 14. Có 5 khách hàng không quen biết nhau và cùng vào mua hàng ở một cửa hàng có 4 quầy hàng. Biết sự lựa chọn quầy hàng của các khách hàng là độc lập và như nhau. Hãy tìm xác suất của các sự kiện sau: a. Cả 5 khách hàng vào cùng 1 quầy hàng b. Có 3 người vào cùng 1 quầy. c. Có 5 người vào 2 quầy tức là có đúng 2 quầy có khách. d. Mỗi quầy đều có người tới mua 15 .Một cơ quan ngoại giao có 25 nhân viên trong đó có 16 người biết nói tiếng Anh, 14 người biết nói tiếng Pháp, 10 người biết nói tiếng Nha, 10 người biết nói tiếng Anh và Pháp, 5 người biết nói tiếng Anh và Nga, 3 người biết tiếng Pháp và Nha, không có ai biết nói cả 3 thứ tiếng trên. Có 1 người trong cơ quan ấy đi công tác. Tính xác suất để người ấy : a/ biết nói tiếng Anh hay Pháp. b/ biết nói ít nhất 1 ngoại ngữ trong 3 ngoại ngữ trên. c/ chỉ biết nói 1 ngoại ngữ trong 3 ngoại ngữ trên. 16. Chọn ngẫu nhiên 5 con bài trong bộ bài tú – lơ – khơ : a. Tính xác suất sao cho trong 5 qn bài đó có đúng 3 qn bài đó thuộc 1 bộ ( ví dụ : có 3 con 4) b. Tính xác suất sao cho trong 5 qn bài đó có 4 qn bài thuộc một bộ 17. Gieo hai con xúc xắc cân đối đồng chất. Gọi A là biến cố “ tổng số chấm trên mặt của hai con xúc xắc bằng 4 “ a. Liệt kê các kết quả thuận lợi của biến cố A b. Tính xác suất của biến cố A 18. Một vé số có 5 chữ số. Khi quay số nếu vé của bạn mua có số trúng hồn tồn với kết quả thì bạn trúng giải nhất. Nếu vé bạn trúng 4 chữ số sau thì bạn trúng giải nhì. a. Tính xác suất để bạn trúng giải nhất. 2 b. Tính xác suất để bạn trúng giải nhì. 19. Xếp 5 người ngồi vào bàn tròn. Tính xác suất để A, B ngồi gần nhau. 5. Một lớp có 50 học sinh trong đó 20 em sinh vào ngày chẵn. Chọn ngẩu nhiên 3 học sinh. Tính xác suất để 3 học sinh được chọn có tổng các số ngày sinh là số chẵn. 20. Kết quả (b,c) của việc gieo hai con xúc xắc cân đối hai lần, được thay vào phương trình x 2 + bx+ c =0. Tính xác suất để : a. Phương trình vô nghiệm b. Phương trình có nghịêm kép c, Phương trình có hai nghiệm phân biệt 21. Gieo một con xúc xắc 2 lần . Tính xác suất để : a. Mặt 4 chấm xuất hiện ở lần đầu tiên b. Mặt 4 chấm xuất hiện ở ít nhất 1 lần 22. Trong một bình có 3 quả cầu đen khác nhau và 4 quả cầu đỏ khác nhau. Lấy ra 2 quả cầu. Tính xác suất để : a. Hai quả cầu lấy ra màu đen b. Hai quả cầu lấy ra cùng màu 23. Sắp xếp 5 người ngồi vào 5 ghế thẳng hàng. Tính xác suất để : a. A, B ngồi cạnh nhau b. A,B ngồi cách nhau một ghế. 24. Gieo 3 con đồng xu. Tính xác suất để a. Có đồng xu lật ngửa b. Không có đồng xu nào sấp 25. Gọi (x,y) là kết quả của việc gieo hai con xúc xắc khác nhau. Tính xác suất để : a. x lẻ , y chẳn b. x>y c. x+y <4 d. x chia hết cho y 26.Có 4 tấm bìa đỏ ghi 1,2,3,4 và 5 tấm bìa xanh ghi 6,7,8. Rút ngẩu nhiên 1 tấm. Tính xác suất để : a. Rút được tấm ghi số chẵn b. Rút tấm bìa đỏ 27: Một lớp có 28 sinh viên trong đó có 5 SV giỏi,13 SV khá,10SV trung bình.Lấy ngẫu nhiên 4 SV đi dự ĐH đoàn trường.Tính XS để có ít nhất 2 SV giỏi đc lấy. 28. Có 100 tấm bìa hình vuông được đánh số từ 1 đến 100.Ta lấy ngẫu nhiên 1 tấm bìa.Tìm xác suất để lấy được: a/Một tấm bìa có số không chứa chữ số 5 P a = 0,8 b/Một tấm bìa có số chia hết cho 2 hoặc 5 hoặc cả 2 và 5 P b = 0,6 29. Một hộp có chứa a quả cầu trắng và b quả cầu đen.Lấy ra lần lượt từ hộp từng quả cầu(một cách ngẫu nhiên).Tìm xác suất để a/Quả cầu thứ 2 là trắng b/ Quả cầu cuối cùng là trắng Đáp số : P a = P b = a/a+b 30. Gieo đồng thời 2 đồng xu.Tìm xác suất để có : a/Hai mặt cùng sấp xuất hiện (P=0,25) b/Một mặt sấp,một mặt ngửa (P=0,5 ) c/Có ít nhất 1 mặt sấp (P=0,75 ) 31 Gieo đồng thời 2 xúc xắc đối xứng và đồng chất.Tìm xác suất để được: a/Tổng số chấm xuất hiện bằng 7 (P=1/6) b/Tổng số chấm xuất hiện nhỏ hơn 8 (P=7/12) c/ Có ít nhất 1 mặt 6 chấm xuất hiện (P=11/36) 32.Thang máy của 1 toà nhà 7 tầng xuất phát từ tấng 1 với 3 khách.tìm xác suất để : 3 a/Tất cả cùng ra ở tầng 4 (P=1/216) b/Tất cả cùng ra ở một tầng (P=1/36) c/Mỗi người ra ở một tầng khác nhau (P=5/9) 33. Mỗi vé xổ số kí hiệu bởi 1 số có 5 chữ số.Tìm xác suất để 1 người mua 1 vé được:' a/Vé có 5 chữ số khác nhau (P=0,3024) b/Vé có 5 chữ số đều chẵn (P=0,03125) 34. 5 người A,B,C,D,E ngồi một cách ngẫu nhiên vào 1 chiếc ghế dài.Tìm xác suất để: a/Người C ngồi chính giữa (P=0,2) b/Hai người A,B ngồi ở 2 đầu (P=0,1) 35. Trong một chiếc hộp có n quả cầu được đánh số từ 1 đến n.Lấy ngẫu nhiên cùng lúc ra 2 quả cầu.Tính xác suất để người đó lấy được 1 quả có số hiệu lớn hơn k và một quả có số hiệu nhỏ hơn k (đáp số : 2( 1)( ) ( 1) k n k P n n − − = − ) 36* Có 10 người khách bước ngẫu nhiên vào một cửa hàng có 3 quầy.Hỏi xác suất để 3 người cùng đến quầy số 1 là bao nhiêu? HD: Mỗi khách có 3 khả năng như nhau để dến 3 quầy.Số biến cố đồng khả năng là: 3 10 .Còn số biến cố thuận lợi là: 3 7 10 .2C suy ra 3 7 10 10 .2 3 C P = 37. Có n người (trong đó có m người trùng tên) xếp ngẫu nhiên thành hàng ngang.Xác suất để m người trùng tên đó đứng cạnh nhau là bao nhiêu? Dạng 2: Dùng công thức để tính xác suất 1. Định nghĩa: Gọi A, B là hai biến cố của cùng một phép thử. Xác suất có điều kiện của biến cố B với điều kiện biến cố A đã xảy ra, kí hiệu là P(B/A) với P(A) > 0 là 4 2 P(B / A) 4 = P(B / A) P(B) P(AB) P(A)P(B) ⇔ = ⇔ = ( ) P AB P(B / A) P(A) = *Công thức cộng xác suất P(A B) P(A) P(B) P(AB)+ = + − *Công thức nhân xác suất P(AB) P(A)P(B / A) P(ABC) P(A)P(B / A)P(C / AB) = = Mở rộng cho tích n biến cố: 1 2 n 1 2 1 n 1 2 n 1 P(A A .A ) P(A )P(A / A ) .P(A / A A .A ) − = *Tính chất P(B / A) 1 P(B / A)= − A, B độc lập * Công thức Bernoulli: Định nghĩa: Dãy phép thử Bernoulli là dãy n phép thử thỏa mãn 3 điều kiện sau đây: + Các phép thử của dãy độc lập với nhau. Nghĩa là, kết quả của phép thử sau không phụ thuộc vào các phép thử trước đó; + Trong mỗi phép thử chỉ có hai biến cố A hoặc A xảy ra; + Xác suất để biến cố A xảy ra trong mọi phép thử của dãy là như nhau và P(A) = p với 0 p 1< < nên P(A) 1 p q= − = Công thức: Xác suất để trong n phép thử, biến cố A xảy ra k lần với xác suất mỗi lần A xảy ra là p. Được ký hiệu là k k n k n n P (k) C p q (k 0;n) − = = gọi là công thức Bernoulli 2. Các ví dụ: 2.1 Ví dụ 1: Một bình đựng 3 bi xanh và 2 bi trắng. Lấy ngẫu nhiên lần 1 một viên bi (không bỏ vào lại), rồi lần 2 một viên bi. Tính xác suất để lần 1 lấy một viên bi xanh, lần 2 lấy một viên bi trắng. Lời giải: Gọi A là biến cố lấy một bi xanh lần thứ nhất thì Gọi B là biến cố lấy một bi trắng lần thứ hai. Gọi C là biến cố lấy lần 1 một viên bi xanh, lần 2 một viên bi trắng Nếu A đã xảy ra thì trong bình chỉ còn 2 bi xanh, 2 bi trắng . Khi đó Mà C AB = . Do đó theo công thức nhân ta có: 3 1 3 P(C) P(AB) P(A)P(B / A) 5 2 10 = = = × = 2.2 Ví dụ 2: Trong một kì thi. Thí sinh được phép thi 3 lần. Xác suất lần đầu vượt qua kì thi là 0,9. Nếu trượt lần đầu thì xác suất vượt qua kì thi lần hai là 0,7. Nếu trượt cả hai lần thì xác suất vượt qua kì thi ở lần thứ ba là 0,3. Tính xác suất để thí sinh thi đậu. Lời giải Gọi A i là biến cố thí sinh thi đâu lần thứ i (i = 1;2;3) Gọi B là biến cố để thí sinh thi đậu. Ta có: 1 1 2 1 2 3 B A (A A ) (A A A )= ∪ ∪ Suy ra: 1 1 2 1 2 3 P(B) P(A ) P(A A ) P(A A A )= + + 5 3 P(A) 5 = 1 2 n n 1 2 n A A A .A P(A) P(A ).P(A ) .P(A ) 5 5 5 5 . 6 6 6 6 = => =   = × × × =  ÷   1 4 2 4 3 2 P(A) 20 ⇒ = Trong đó: 1 1 1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 3 3 P(A ) 0,9 P(A A ) P(A ).P(A / A ) 0,1.0,7 P(A A A ) P(A ).P(A / A ).P(A / A A ) 0,1.0,3.0,3 =   = =   = =  Vậy: P(B) 0,9 0,1.0,7 0,1.0,3.0,3 0,979= + + = 2.3 Ví dụ 3: Trong hộp có 20 nắp khoen bia Tiger, trong đó có 2 nắp ghi “Chúc mừng bạn đã trúng thưởng xe FORD”. Bạn được chọn lên rút thăm lần lượt hai nắp khoen, tính xác suất để cả hai nắp đều trúng thưởng. Lời giải : Gọi A là biến cố nắp khoen đầu trúng thưởng. B là biến cố nắp khoen thứ hai trúng thưởng. C là biến cố cả 2 nắp đều trúng thưởng. Khi bạn rút thăm lần đầu thì trong hộp có 20 nắp trong đó có 2 nắp trúng. Khi biến cố A đã xảy ra thì còn lại 19 nắp trong đó có 1 nắp trúng thưởng. Do đó: ( ) 1 P B / A 19 = Từ đó ta có: P(C) = P(A). P(B/A) = 2 1 1 0,0053 20 19 190 × = ≈ Vậy xác suất để cả hai nắp đều trúng thưởng là 0,0053. 2.4 Ví dụ 4: Phải gieo ít nhất bao nhiêu lần một con súc sắc để xác suất có ít nhất một lần xuất hiện mặt 6 lớn hơn hay bằng 0,9? Lời giải Giả sử số lần gieo là n Gọi A j là biến cố gieo một lần thứ j được mặt 6 (1 j n)≤ ≤ Gọi A là biến cố có ít nhất một lần gieo được mặt 6. Theo yêu cầu bài toán: P(A) 0,9≥ Ta có: Do đó: n 5 0,1 n 13 6   ≤ ⇒ ≥  ÷   Vậy ta phải gieo ít nhất 13 lần. 2.5 Ví dụ 5: Có hai hộp: (I) và (II). Hộp (I) có 4 bi đỏ và 5 bi vàng. Hộp (II) có 6 bi đỏ và 4 bi vàng. Chọn ngẫu nhiên một hộp và từ đó lấy ngẫu nhiên 1 bi. Tính xác suất để lấy được bi đỏ. Lời giải: Gọi A là biến cố chọn được hộp (I) B là biến cố chon được hộp (II) H là biến cố chọn được bi đỏ ở hộp (I) hoặc hộp (II) Cần tính: P(C) P((AH) (BH))= ∪ Suy ra: P(C) P(AH) P(BH) P(A).P(H / A) P(B).P(H / B)= + = + 6 n lần (vì 1 2 3 A ,A , .,A độc lập nhau) Trong đó: 1 1 P(A) ; P(B) 1 4 1 6 47 2 2 P(C) 4 6 2 9 2 10 90 P(H / A) ; P(H / B) 9 10  = =   ⇒ = × + × =   = =   Vậy xác suất cần tìm là 47 90 2.6 Ví dụ 6:Trong hộp có 3 bi trắng và 7 bi đỏ,lấy lần lượt mỗi lần một viên và không trả lại,hãy tính: a)Xác suất để viên bi lấy lần thứ hai là màu đỏ nếu biết rằng viên bi lấy lần thứ nhất là màu đỏ. b)Xác suất để viên bi lấy lần thứ hai là màu đỏ nếu biết rằng viên bi lấy lần thứ nhất là màu trắng. Lời giải. a)Nếu viên bi lấy lần thứ nhất là màu đỏ thì trong hộp còn lại 9 viên:trong đó có 3 bi trắng và 6 bi đỏ. Vậy xác suất cần tính là 6 2 9 3 = b)Nếu đã biết viên bi lấy lần thứ nhất màu trắng,thế thì trong hộp còn lại 9 viên,gồm hai viên bi trắng và 7 bi đỏ. Vậy xác suất cần tính là 7 9 Nhận xét:Trong bài toán nêu trên nếu ta gọi A là biến cố:viên bi lấy lần thứ nhất màu đỏ,B là biến cố:viên bi lấy lần thứ hai màu đỏ thì xác suất ở câu a là P(B / A) và xác suất ở câu b là P(B / A) 2.7 Ví dụ 7: Một bình đựng 5 bi xanh và 3 bi đỏ chỉ khác nhau về màu sắc,lấy ngẫu nhiên một bi,rồi lấy một bi nữa.Tính xác suất của biến cố “lấy lần thứ hai được một bi xanh”. Lời giải. Gọi A là biến cố “lấy lần thứ nhất được bi xanh” B là biến cố “lần thứ hai lấy được bi xanh” Vì B chỉ xảy ra cùng với A hoặc A ,nên C (BA) (BA)= ∪ . Cần tính: P(C) P((BA) (BA))= ∪ Áp dụng công thức xác suất có điều kiện, ta có: P( C)=P(A) P(B / A) +P( A ). P(B / A) Do P(A)= 3 8 ,P( A )= 5 8 , P(B / A) = 5 7 , P(B / A) = 4 7 Suy ra 3 5 5 4 5 P(C) 8 7 8 7 8 = × + × = 2.8 Ví dụ 8: Một con súc sắc cân đối, đồng chất được gieo 4 lần. Gọi X là số lần xuất hiện mặt 6 chấm. Hãy tính xác suất để có ít nhất hai lần xuất hiện mặt 6 chấm. Lời giải: Áp dụng công thức Bernoulli, ta có: 2 1 4 3 4 4 4 4 1 1 5 P(X 2) C 6 6 6 1 1 1 5 P(X 3) C 6 6 6 6 1 P(X 4) C 6   = = × ×  ÷   = = × × ×   = =  ÷   7 Vậy xác suất cần tính là: 2 4 1 3 4 4 4 4 1 1 5 1 1 1 5 1 19 C C C 6 6 6 6 6 6 6 6 144     × × + × × × + × =  ÷  ÷     III.Bài tập đề nghị 1)Trong một lô sản phẩm có 95% sản phẩm đạt tiêu chuẩn trong đó có 60% sản phẩm loại một.ta lấy ngẫu nhiên một sản phẩm từ lô sản phẩm này.Tính xác suất để lấy được sản phẩm loại một. 2) Một lô hàng gồm 5 sản phẩm trong đó có 1 sản phẩm giả. Người ta lấy lần lượt từng sản phẩm ra kiểm tra cho đến khi gặp phế phẩm thì dừng. Tính xác suất dừng lại ở lần kiểm tra thứ 1;2;3;4. 3) Có hai hộp bút: hộp I có 2 bút đỏ và 10 bút xanh; hộp II có 8 bút đỏ và 4 bút xanh. Chọn ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra một bút. Tính xác suất để có 1 bút xanh và 1 bút đỏ. 4) Biết xác suất để một học sinh thi đậu ở lần thi thứ nhất, thứ hai lần lượt là 0,9 và 0,6. Tính xác suất để học sinh ấy thi đậu trong kì thi, biết rằng mỗi học sinh được phép thi tối đa 2 lần. 5) Trong thùng có 30 bi: 20 bi trắng và 10 bi đen. Lấy liên tiếp 4 bi trong đó mỗi bi lấy ra đều hoàn lại trước khi lấy bi tiếp theo và các bi đều được trộn lại . Hỏi xác suất để trong 4 bi lấy ra có 2 bi trắng. 6) Xác suất xuất hiện biến cố A là 0,4. Hỏi xác suất để trong 10 phép thử biến cố xuất hiện không quá 3 lần. 7) Một bác sỹ có xác suất chữa khỏi bệnh cho bệnh nhân là 0,8. Có người nói rằng cứ 10 người đến chữa bệnh thì có chắc chắn 8 người khỏi bệnh. Điều đó có đúng không? 1: Kiểm tra theo thứ tự một lô hàn gồm n sản phẩm. các sản phẩm lấy ra đều thuộc một trong hai loại tốt hoặc xấu . Kí hiệu A k (k= 1,2,3 …N) là biến cố sản phẩm thứ k thuộc loại xấu. Viết các biến cố sau đây theo các biến cố A k . a. Cả N sản phẩm đều xấu b. Có ít nhất một sản phẩm xấu c. M sản phẩm đầu tốt , các sản phẩm còn lại xấu d. Các sản phẩm kiểm tra theo thứ tự chẵn là xấu còn lẻ là tốt Bài2: Ba người cùng bắn vào một mục tiêu.Gọi k A là biến cố người thứ ba bắn trúng mục tiêu (k=1,2,3).Các biến cố sau đây được viết bằng kí hiệu ra sao? a/Chỉ có người thứ nhất bắn trúng mục tiêu b/Chỉ có một người bắn trúng mục tiêu c/Chỉ có hai người bắn trúng mục tiêu d/Có ít nhất một người bắn trúng mục tiêu Bài3: Khi kiểm tra theo thứ tự một lô hàng có 10 sản phẩm(các sản phẩm đều thuộc 1 trong 2 loại tốt hoặc xấu).Gọi A k là biến cố "sản phẩm thứ k là loại xấu".Viết bằng kí hiệu các biến cố sau: a/Cả 10 sản phẩm đều xấu b/Có ít nhất 1 sản phẩm xấu c/Sáu sản phẩm đầu là tốt còn lại là xấu d/Các sản phẩm kiểm tra theo thứ tự chẵn là tốt,thứ tự lẻ là xấu Bài4: Có 2 hộp đựng bi:hộp 1 đựng 3 bi trắng,7 bi đỏ,15 bi xanh ; hộp 2 đựng 10 bi trắng,6 bi đỏ,9 bi xanh.Ta lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp 1 viên bi.Tìm xác suất để 2 viên bi lấy ra cùng màu (P= 207/625) Bài5: Hai người cùng bắn vào một mục tiêu.Xác suất bắn trúng của từng người là 0,8 và 0,9.Tìm xác suất của các biến cố sau a/Chỉ có một người bắn trúng mục tiêu (P=0,26) b/Có ít nhất một người bắn trúng mục tiêu (P=0,98) c/Cả hai người bắn trượt (P=0,02) Bài6: Bắn liên tiếp vào 1 mục tiêu đến khi viên đạn đầu tiên trúng mục tiêu thì dừng.Tính xác suất sao cho phải bắn đến viên đạn thứ 6.Biết rằng xác suất trúng mục tiêu của mỗi viên đạn là 0,2.Và các lần bắn độc lập với nhau (P=0,065536) Bài7: Gieo 2 con xúc xắc đối xứng và đồng chất.Gọi A là biến cố tổng số chấm xuất hiện là số lẻ.B là biến cố được ít nhất một mặt một chấm.Hãy tính a/ P( A B∪ ) (P=23/36) b/ P(AB) (P=1/6) 8 Bài8: Có 2 bóng điện với xác suất hỏng là 0,1 và 0,2 (Việc chúng hỏng là độc lập với nhau).Tính xác suất để mạch khơng có điện do bóng hỏng nếu a/Chúng được mắc song song P=0,02 b/Chúng được mắc nối tiếp P=0,28 Bài 9: Ba cậu bé chơi trò chơi gieo đồng xu liên tiếp. Ai giei được mặt sấp trước thì thắng cuộc. Tìm xác suất thắng cuộc của mỗi cậu bé. Bài 10 : Xác suất để 1 sản phẩm của nhà máy A bò hỏng là 0,05, khi kiểm tra một lô hàng gồm các sản phẩm của nhà máy A, người ta lấy ngẫu nhiên n sản phẩm trong lô hàng, lô hàng bò loại nếu có ít nhất k phế phẩm trong n sản phẩm lấy ra. Tính xác suất để lô hàng bò loại với : a/ n = 3 ;k = 1 b/ n = 5; k = 2 Bài 11 : Một mạng điện gồm một ngắt điện K và hai bóng điện Đ1, Đ2 được ghép nối tiếp. Mạng điện bò tắt nếu ít nhất một trong ba bộ phận trên bò hỏng. Tìm xác suất để cho mạng điện bò tắt, biết rằng xác suất bò hỏng tương ứng K, Đ1, Đ2, là 0,4 ; 0,5 ; 0,6 và các bộ phận đó hỏng hóc một cách độc lập với nhau. Bài 12: Một máy bay gồm có ba bộ phận có tầm quan trọng khác nhau. Muốn bắn rơi máy bay, thì chỉ cần có một viên đạn trúng bộ phận thứ nhất, hoặc hai viên đạn trúng bộ phận thứ hai, hoặc ba viên đạn trúng bộ phận thứ ba. Xác suất để một viên đạn trúng bộ phận thứ nhất, thứ hai, thứ ba với điều kiện viên đạn đó đã trúng máy bay tương ứng bằng 0,15 ; 0,30 và 0,55. Tìm xác suất để máy bay bò bắn rơi khi a/ có một viên đạn trúng máy bay ; b/ có hai viên đạn trúng máy bay; c/ có ba viên đạn trúng máy bay; d/ có bốn viên đạn trúng máy bay. Bài 13: Hai máy bay lần lượt ném bom vào một mục tiêu đã đònh. Mỗi máy bay có mang theo ba quả bom và mỗi lần lao xuống chỉ ném một quả. Xác suất trúng đích của một quả bom ở máy bay thứ nhất bằng 0,4 còn của máy bay thứ hai là 0,5. Mục tiêu bò phá hủy ngay sau khi qủa bom đầu tiên rơi trúng mục tiêu. Tìm xác suất mục tiêu bò phá hủy sao cho không sử dụng hết tất cả số bom ở hai máy. Bài 14: Một hộp có 10 viên bi trong đó có 7 bi đỏ và 3 bi xanh. a. Lấy lần lượt từng bi một không hoàn lại cho tới khi lấy được bi xanh thì thôi. Tìm xác suất để lấy được bi xanh không quá 2 lần lấy bi b. Lấy lần lượt từng bi một không hoàn lại cho tới khi lấy được 2 bi đỏ thì thôi. Tìm xác suất để lấy được 2 bi đỏ khi lấy ra không quá 3 bi. Bài 15: Hai cầu thủ bóng rổ, mỗi người ném bóng 2 lần, xác suất ném trúng đích của mỗi cầu thủ theo thứ tự là 0,6 và 0,7. Tính xác suất : a/ Số lần ném trúng rổ của cầu thủ thứ nhất nhiều hơn số lần ném trúng rổ của cầu thủ thứ hai. b/ Số lần ném trúng rổ của hai người như nhau. Bài 16 : Một căn phòng điều trò có 3 bệnh nhân bệnh nặng với xác suất cần cấp cứu trong vòng một giờ của các bệnh nhân tương ứng là 0,7 ; 0,8 và 0,9. Tìm các xác suất sao cho trong vòng một giờ : a/ có hai bệnh nhân cần cấp cứu. b/ có ít nhất một bệnh nhân không cần cấp cứu. Bài 17 : Một công ty đầu tư 2 dự án A và B. Xác suất thua lỗ dự án A là 10% và xác suất thua lỗ dự án B là 20%. Sự thua lỗ của 2 dự án là phụ thuộc với nhau và biết xác suất để công ty thua lỗ cả 2 dự án A và B là 5%. a/ Tìm xác suấ để cả 2 dự án A và B đều không bò thua lỗ. b/ Tìm xác suất để có đúng 1 dự án bò thua lỗ. 9 Bài 18: Một Công ty đấu thầu 2 dự án A và B, dự án A đấu thầu trước. Khả năng thắng thầu dự án A là 90%. Nếu dự án A thắng thầu thì khả năng thắng thầu dự án B là 80%. Nếu dự án A không thắng thầu thì khả năng thắng thầu dự án B là 50% a. Tìm xác suất Công ty thắng thầu ít nhất một dự án. b. Tìm xác suất Công ty chỉ thắng thầu một dự án c. Tìm xác suất Công ty chỉ thắng thầu dự án B. Bài 19 Một Công ty đấu thầu 2 dự án A và B, khả năng thắng thầu dự án A là 90%; khả năng thắng thầu dự án B là 77% và khả năng thắng thầu đồng thời cả 2 dự án là 72% a. Tìm xác suất Công ty chỉ thắng thầu 1 dự án b. Tìm xác suất Công ty có ít nhất 1 dự án không thắng thầu c. Tìm xác suất Công ty đều không thắng thầu cả 2 dự án . Bài 20 : Một sọt cam rất lớn được phân loại theo cách sau: Chọn ngẫu nhiên 20 quả cam làm mẫu đại diện. Nếu mẫu này không chứa quả cam hỏng nào thì sọt cam được xếp loại 1. Nếu mẫu cho một hoặc hai quả hỏng thì sọt cam xếp loại 2. Trong trường hợp còn lại (có từ 3 quả hỏng trở lên) sọt cam được xếp loại 3. Trên thực tế 3% số cam trong sọt bò hỏng. Tìm xác suất để sọt cam được xếp loại : a/ Loại 1 ; b/ Loại 2 ; c/ Loại 3. Bài 21 : Một bài thi trắc nghiệm (multiple-choice test) gồm 12 câu hỏi, mỗi câu hỏi cho 5 câu trả lời, trong đó chỉ có một câu đúng. Giả sử mỗi câu trả lời đúng được 4 điểm và mỗi câu trả lời sai bò trừ 1 điểm. Một học sinh kém làm bài bằng cách chọn hú họa một câu trả lời. Tìm xác suất để: a/ Anh ta được 13 điểm ; b/ Anh ta được điểm âm. Bài 22. Một hộp có 7 thành phẩm và 3 phế phẩm. Lẫy ngẫu nhiên lần lượt từng sản phẩm một không hoàn lại cho tới khi lấy được hai thành phẩm thì dừng lại. a. Tìm xác suất để chỉ lấy ra sản phẩm ở lần thứ tư thì dừng lại. b. Tìm xác suất để việc dừng lại khi không lấy quá 4 sản phẩm Bài 23 : Một chiếc máy bay có thể xuất hiện ở vò trí A với xác suất 3 2 và ở vò trí B với xác suất 3 1 . Có ba phương án bố trí 4 khẩu pháo bắn máy bay như sau : Phương án 1 : 3 khẩu đặt tại A, một khẩu đặt tại B. Phương án 2 : 2 khẩu đặt ở A, 2 khẩu đặt ở B. Phương án 3 : 1 khẩu đặt ở A và 3 khẩu đặt ở B. Biết rằng xác suất bắn trúng máy bay của mỗi khẩu pháo là 0,7 và các khẩu pháo hoạt động độc lập với nhau, hãy chọn phương án tốt nhất. Bài 24. Một thiết bò có 2 bộ phận hoạt động độc lập. Khả năng chỉ có một bộ phận bò hỏng là 0,38. Tìm xác suất để bộ phận thứ nhất bò hỏng, biết rằng khả năng để bộ phận thứ 2 bò hỏng là 0,8 Bài 25 : Một nhà máy sản xuất bóng đèn có tỉ lệ bóng đèn đạt tiêu chuẩn là 80%. Trước khi xuất ra thò trường, mỗi bóng đèn đều được qua kiểm tra chất lượng. Vì sự kiểm tra không thể tuyệt đối hoàn hảo nên một bóng đèn tốt có xác suất 0,9 được công nhận là tốt và một bóng đèn hỏng có xác suất 0,95 bò loại bỏ. Hãy tính tỉ lệ bóng đạt tiêu chuẩn sau khi qua khâu kiểm tra chất lượng. Bài 26 : Có 4 nhóm xạ thủ tập bắn. Nhóm thứ nhất có 5 người, nhóm thứ hai có 7 người, nhóm thứ ba có 4 người và nhóm thứ tư có 2 người. Xác suất bắn trúng đích của mỗi người trong nhóm thứ nhất, nhóm thứ hai, nhóm thứ ba và nhóm thứ tư theo thứ tự là 0,8 ; 0,7 ; 0,6 và 0,5. Chọn ngẫu nhiên một xạ thủ và xạ thủ này bắn trượt. Hãy xác đònh xem xạ thủ này có khả năng ở trong nhóm nào nhất. Bài 27 : Trong số bệnh nhân ở một bệnh viện có 50% điều trò bệnh A, 30% điều trò bệnh B và 20% điều trò bệnh C. Xác suất để chữa khỏi các bệnh A, B và C trong bệnh viện này tương ứng là 0,7 ; 0,8 và 0,9. Hãy tính tỉ lệ bệnh nhân được chữa khỏi bệnh A trong tổng số bệnh nhân đã được chữa khỏi bệnh. 10