HƯỚNG DẪN HỌC SINH 12 HỌC TỐT NỘI DUNG: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong giai đoạn phát triển khoa học công nghệ hiện nay, trình độ tri thức của con người từng bước được cải thiện và phát triển rõ rệt. Đáp ứng nhu cầu học tập của mọi người dân bằng mọi nguồn lực là phù hợp với nguyện vọng, với truyền thống hiếu học của dân tộc. Vì thế trong dạy học, giáo viên cần tạo điều kiện để học sinh phát triển năng lực trí tuệ, phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo trong học tập, biết nhận biết vấn đề ở từng góc độ khác nhau, tìm tòi những cái cái mới để từng bước hình thành kiến thức mới. Để phát huy tính tích cực của học sinh, giáo viên phải đặt học sinh vào những tình huống cụ thể, có vấn đề, tạo cho các em những thử thách trước những vấn đề mới. Việc hướng dẫn học sinh giải toán không phải chỉ dừng lại ở việc cung cấp cho học sinh những bài giải mẫu mà còn phải hướng dẫn cho học sinh suy nghĩ, nắm bắt được các mối quan hệ ràng buộc giữa giả thiết và kết luận của bài toán, từng bước giúp học sinh độc lập suy nghĩ để giải bài toán. Từ thực tế giảng dạy, tôi đã rút ra được một số kinh nghiệm về việc hướng dẫn học sinh lớp 12 tiếp thu và vận dụng nội dung: Ứng dụng của tích phân trong hình học, giúp các em cảm thấy thoải mái để chủ động giải quyết các bài toán tính diện tích hình phẳng và tính thể tích của vật thể tròn xoay. Tôi chọn chuyên đề này với mong muốn được chia sẻ cùng đồng nghiệp, đồng môn ; góp phần tìm ra biện pháp thiết thực, hiệu quả để nâng cao chất lượng dạy và học môn toán tại các trường vùng sâu, vùng xa như trường THPT Thanh Bình. II. THỰC TRẠNG TRƯỚC KHI THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI 1. Thuận lợi Diện tích của các hình quen thuộc như: diện tích tam giác , tứ giác , ngũ giác , lục giác,… gọi chung là đa giác ; học sinh đều đã biết công thức tính diện tích từ các lớp dưới . Cũng tương tự như vậy vấn đề tính thể tích các khối như: khối chóp , khối hộp chữ nhật , khối lập phương , khối lăng trụ , ….gọi chung là khối đa diện học sinh đều được học trong học kỳ I của năm 12 với các công thức tính thể tích khá cụ thể . Trong bài toán khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số thường có thêm yêu cầu tính diện tích hình phẳng, tính thể tích của vật thể tròn xoay. Nội dung ứng dụng của tích phân trong hình học không thể thiếu trong quá trình ôn tập thi tốt nghiệp và thi đại học, cao đẳng hàng năm. 2. Khó khăn Đây là một vấn đề rất thực tế nhưng để học tốt nó vốn không đơn giản, càng khó khăn hơn đối với các học sinh yếu về suy luận, về khả năng tư duy cụ thể hoá , trừu tượng hoá .Việc dạy và học các vấn đề này ở chương trình toán lớp dưới vốn đã gặp rất nhều khó khăn bởi nhiều nguyên nhân , trong đó yếu tố “trực quan và thực tế” mà trong các sách giáo khoa hiện hành đang còn thiếu . Do đó khi học về vấn đề mới : vấn đề diện tích của các hình phẳng , vấn đề thể tích của các vật thể tròn xoay ở chương trình giải tích 12 học sinh gặp rất nhiều khó khăn .Hầu hết các em học sinh thường có cảm giác “sợ” bài toán tính dạng này. Khi học vấn đề này nhìn chung các em thường vận dụng công thức một cách máy móc chưa có sự phân tích , thiếu tư duy thực tế và trực quan nên các em hay bị nhầm lẫn , thuộc công thức nhưng không giải được , đặc biệt là những bài toán cần phải có hình vẽ để “chia nhỏ” diện tích mới tính được. Thêm vào đó trong sách giáo khoa cũng như các sách tham khảo có rất ít ví dụ minh hoạ một cách chi tiết để giúp 1 học sinh học tập và khắc phục “những sai lầm đó”.Càng khó khăn hơn cho những học sinh có kỹ năng tính tích phân còn yếu và kỹ năng “đọc đồ thị” còn hạn chế. Nhằm giúp cho học sinh 12 rèn kỹ năng tính tích phân , đặc biệt là tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối , rèn kỹ năng đọc đồ thị của hàm số , từ đó khắc phục những khó khăn , sai lầm khi gặp bài toán tính diện tích hình phẳng cũng như tính thể tích của vật thể tròn xoay. Từ đó giúp học sinh phát huy tốt kiến thức về diện tích và thể tích mà học sinh đã học ở lớp dưới , thấy được tính thực tế và sự liên hệ nội tại của vấn đề này trong chương các lớp học , học sinh sẽ cảm thấy hứng thú , thiết thực và học tốt vấn đề ứng dụng của tích phân. Đây là một nội dung khó đối với học sinh lớp 12. Do chưa tìm ra được phương pháp thích hợp để giải toán nên sẽ xuât hiện nhiều vướng mắc, từ đó thiếu hứng thú trong học tập.Để giúp các em mau chóng tiếp cận được phương pháp giảng dạy mới, đòi hỏi sự nỗ lực và sự quyết tâm cao của cả thầy và trò. 3. Số liệu thống kê. Qua thống kê sơ bộ điểm môn toán của 2 lớp; 3 12A ; 8 12A năm học 2008 - 2009, lớp 11 12A ; 12 12A , năm học 2009 - 2010, cụ thể là kết qủa 2 bài kiểm tra như sau : + Bài kiểm tra một tiết (2008 - 2009 ), trong 90 bài kiểm tra có : • 7 bài diểm 8 tỷ lệ 7,8 % • 19 bài điểm 6, 7 tỷ lệ 21,1 % • 26 bài điểm 5 tỷ lệ 28,9 % • 38 bài điểm dưới 5 tỷ lệ 42,2 % + Bài kiểm tra một tiết (2009 - 2010 ), trong 92 bài kiểm tra có : • 5 bài diểm 8 tỷ lệ 5,4 % • 14 bài điểm 6, 7 tỷ lệ 15,2 % • 27 bài điểm 5 tỷ lệ 29,4 % • 46 bài điểm dưới 5 tỷ lệ 50,0 % Qua tìm hiểu, tôi cảm nhận được rằng trong số những em có học lực yếu cũng có những em có kỹ năng tính toán tương đối tốt nhưng khả năng vận dụng kiến thức đã học vào giải toán còn qúa hạn chế . III. NỘI DUNG ĐỀ TÀI 1. Cơ sở lý luận Vào năm 1637, nhà toán học kiêm triết học Pháp là Réné Descartes đã cho xuất bản cuốn “ La Géométrie ” với nội dung xây dựng hình học bằng phương pháp toạ độ đánh dấu một bước tiến mạnh mẽ của toán học. Descartes là nhà toán học thiên tài đã khai sinh ra phương pháp toạ độ. Phương pháp toạ độ ra đời đã giúp con người dùng ngôn ngữ đại số thay cho ngôn ngữ hình học, giúp con người đạt đến đạt đến đỉnh cao của sự khái quát hoá và trừu tượng hoá toán học trong nhiều lĩnh vực. Quy trình dạy học được hiểu là tổ hợp các thao tác của giáo viên và học sinh được tiến hành theo một trình tự nhất định trên một đối tượng nhận thức nào đó. Chẳng hạn, quy trình bốn bước của Polya để giải một bài toán gồm : • Bước 1 : Tìm hiểu nội dung bài toán • Bước 2 : Xây dựng thuật giải • Bước 3 : Thực hiện thuật giải 2 • Bước 4 : Kiểm tra, nghiên cứu lời giải Tuy nhiên qua thực tế , việc học và nắm vững các bước trên để vận dụng vào giải toán thật không hề đơn giản đối với học sinh, vì đây là một qúa trình trừu tượng hoá và khái quát hóa trong việc rèn luyện tư duy toán học. Do vậy, thông qua một số bài toán cụ thể để hướng dẫn các em làm quen dần với các bườc thực hiện của một bài toán tính diện tích, tính thể tích. 2. Nội dung, biện pháp thực hiện các giải pháp của đề tài Chuyên đề này gồm ba phần :  Phần một : Thực trạng và giải pháp chung giúp học sinh 12 học tốt nội dung ứng dụng của tích phân trong hình học . 1/ Những khó khăn và sai lầm mà học sinh thường mắc phải . 2/ Hướng khắc phục .  Phần hai Diện tích của hình phẳng I. Hình phẳng giới hạn bởi một đồ thị hàm số với trục hoành. 1/ Công thức tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số ( )y f x= và trục hoành . 2/ Một vài ví dụ minh họa cách tính tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối . 3/ Các bài toán minh họa và bài tập tương tự . 4/ Diện tích của hình tròn và hình elip. II . Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số . 1/ Cách tìm giao điểm của hai đồ thị. 2/ Một vài ví dụ về cách tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị hàm số . 3/ Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số .  Phân ba: Thể tích của vật thể tròn xoay. I. Công thức tính thể tích của vật thể tròn xoay . 1/ Vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay một hình phẳng quanh trục hoành. 2/ Vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay một vật thể quanh trục tung. II . Thể tích của khối cầu , khối nón tròn xoay . 1/ Thể tích khối cầu 2/ Thể tích khối nón tròn xoay PHẦN MỘT Thực trạng và giải pháp chung giúp học sinh 12 học tốt nội dung ứng dụng của tích phân trong hình học . 1/ Những khó khăn và sai lầm mà học sinh thường mắc phải Chủ đề ứng dụng của tích phân là một trong những kiến thức cơ bản ở chương trình toán giải tích lớp 12 . Việc dạy và học vấn đề này học sinh giúp học sinh hiểu rõ ý nghĩa hình học của tích phân , đặc biệt là tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số ,tính thể tích của vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay một hình phẳng quanh trục hoành hoặc trục tung. giúp làm sáng tỏ và chứng minh cho các công thức mà các em đã được học ở các lớp dưới. Đây cũng là một nội dung thường gặp trong các đề thi học kì II , , đề thi TN THPT , đề thi CĐ , ĐH . Nhìn chung khi học vấn đề này , đại đa số học sinh (kể cả học sinh khá giỏi ) thường gặp những khó khăn , sai lầm sau : Nếu không có hình vẽ thi học sinh thường không hình dung được hình phẳng (hay vật thể tròn xoay ) . 3 Do dó học sinh có cảm giác “xa lạ” hơn so với khi học về diện tích của hình phẳng đã học trước đây ( diện tích đa giác , thể tích các khối đa diện …).Học sinh không tận dụng được kiểu “tư duy liên hệ cũ với mới” vốn có của mình khi nghiên cứu vấn đề này . Hình vẽ minh họa ở các sách giáo khoa cũng như sách bài tập còn ít “chưa đủ” để giúp học sinh rèn luyện tư duy từ trực quan đến trừu tượng . Từ đó học sinh chưa thấy sự gần gũi và thấy tính thực tế của các hình phẳng , vật tròn xoay đang học . Học sinh chưa thực sự hứng thú và có cảm giác nhẹ nhàng khi học vấn đề này , trái lại học sinh có cảm giác nặng nề ,khó hiểu . Học sinh thường chỉ nhớ công thức tính diện tích hình phẳng ; thể tích vật thể tròn xoay một cách máy móc , khó phát huy tính linh hoạt sáng tạo ,đặc biệt là kỹ năng đọc đồ thị để xét dấu các biểu thức , kỹ năng “ chia nhỏ” hình phẳng để tính ; kỹ năng cộng , trừ diện tích ; cộng , trừ thể tích . Đây là một khó khăn rất lớn mà học sinh thường gặp phải . Học sinh thường bị sai lầm trong việc tính tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối . Chẳng hạn , thường áp dụng sai công thức : ∫∫ == b a b a dxxfdxxfI )()( Học sinh không biết rằng : công thức trên chỉ đúng trong trường hợp biểu thức ( )f x không đổi dấu trong khoảng (a ; b). Ví dụ : dxxxS ∫ +−= 3 0 2 23 Học sinh viết sai là : dxxxS ∫ +−= 3 0 2 )23( 2 / Hướng khắc phục - Giúp học thành thạo kỹ năng “ khử ” dấu giá trị tuyệt đối một cách linh hoạt tùy thuộc vào từng tình huống cụ thể bằng một trong các cách sau :  Hoặc bằng cách xét của biểu thức dưới dấu giá trị tuyệt đối .  Hoặc dựa vào hình vẽ (đồ thị ) để xét dấu của biểu thức dưới dấu giá trị tuyệt đối .  Hoặc dùng công thức sau : ∫∫ == b a b a dxxfdxxfI )()( Với điều kiện f(x) không đổi dấu trên khoảng (a ;b) . - Đưa ra nhiều bài tập minh họa có lời giải chi tiết để giảng dạy trong các giờ dạy phụ đạo và để học sinh tham khảo . Qua đây rèn luyện cho học sinh kỹ năng đọc đồ thị và vận dụng vào giải toán . Giúp học có hình ảnh trực quan về các hình phẳng .Từ đó học sinh có cảm giác nhẹ nhàng , gần gũi thực tế hơn , hứng thú hơn . - Đưa ra hệ thống bài tập tương tự có hình vẽ kèm theo hoặc không có hình vẽ để học sinh luyện tập từ dễ tới khó . Giáo viên chọn bài tập tiêu biểu để giảng giải , số còn lại để học sinh thảo luận làm ở nhà và nộp bài làm cho giáo viên. - Tạo điều kiện cho học sinh làm quen cới cấu đề thi tốt nghiệp THPT và cấu trúc đề tuyển sinh vào các trường đại học và cao đẳng hàng năm, qua đó để các em biết lượng sức và có kế hoạch phân bổ thời hợp lí nhất trong ôn luyện. 4 PHẦN HAI DIỆN TÍCH CỦA HÌNH PHẲNG A. HÌNH PHẲNG GIỚI HẠN BỞI MỘT ĐỒ THỊ HÀM SỐ VÀ TRỤC HOÀNH 1/ Công thức tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) , trục hoành và hai đường thẳng x = a , x = b Chú ý : Giả sử hàm số ( )y f x= liên tục trên đoạn [ ] b ; a . Khi đó hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số ( )y f x= , trục hoành và hai đường thẳng ; x a x b= = có diện tích là S và được tính theo công thức : ∫ = b a dxxfS )( (1) Để tính diện tích S ta phải tính tích phân (1) , muốn vậy ta phải “ khử ” dấu giá trị tuyệt đối . • Nếu [ ] b ; a x , 0)( ∈∀≥ xf thì ∫∫ == b a b a dxxfdxxfS )()( • Nếu [ ] b ; a x , 0)( ∈∀≤ xf thì ( ) ∫∫ −== b a b a dxxfdxxfS )()( Muốn “ khử ” dấu giá trị tuyệt đối ta phải xét dấu của biểu thức f(x) Thường có hai cách làm như sau : Cách 1: Dùng định lí “dấu của nhị thức bậc nhất” , định lí “dấu của tam thức bậc hai” để xét dấu các biểu thức ( )f x ; đôi khi phải giải các bất phương trình f(x) ≥ 0 , f(x) ≤ 0 trên đoạn [ ] b ; a Cách 2: Dựa vào đồ thị của hàm số ( )y f x= trên đoạn [ ] b ; a để suy ra dấu của f(x) trên đoạn đó . • Nếu trên đoạn [a ; b] đồ thị hàm số ( )y f x= nằm phía “trên” trục hoành thì [ ] b ; a x , 0)( ∈∀≥ xf • Nếu trên đoạn [a ; b] đồ thị hàm số ( )y f x= nằm phía “dưới” trục hoành thì [ ] b ; a x , 0)( ∈∀≤ xf Cách 3 Nếu ( )f x không đổi dấu trên [a ; b] thì ta có : ∫∫ == b a b a dxxfdxxfS )()( 2/ Một vài ví dụ minh hoạ cách tính tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối Ví dụ Nội dung để bài Cách giải 1 Tính 0 2 2 4 I x dx − = + ∫ Bảng xét dấu nhị thức. Suy ra [ ] 2;0-x , 042 ∈∀≥+ x ( ) ( ) 0 0 0 2 2 2 2 2 4 2 4 4 4I x dx x dx x x − − − = + = + = + = ∫ ∫ 5 2 4x + x 2 4x + −∞ 2− + +∞ 0 0 + − 0 2 4x + 2 Tính 2 2 0 3 2 J x x dx= − + ∫ Bảng xét dấu tam thức. [ ] ( ) 0; 0;1f x x≥ ∀ ∈ ; [ ] ( ) 0; 1;2f x x≤ ∀ ∈ ( ) ( ) 1 2 2 2 0 1 3 2 3 2J x x dx x x dx= − + − − + ∫ ∫ = 1 3 2 2 0 3 3 2 x x x   − +  ÷   2 3 2 2 1 3 5 1 1 3 2 6 6 x x x     − − + = − − =  ÷  ÷     Cách khác: (không xét dấu tam thức) [ ] 2 1 0;2 3 2 0 2 x x x x  = ∈ − + = ⇔  =  1 2 2 2 0 1 3 2 3 2J x x dx x x dx= − + + − + ∫ ∫ ( ) ( ) 1 2 2 2 0 1 3 2 3 2x x dx x x dx= − + + − + ∫ ∫ 1 2 3 2 3 2 2 2 0 1 3 3 3 2 3 2 x x x x x x     = − + + − −  ÷  ÷     5 1 1 6 6 = + − = 3/ Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi một đồ thị hàm số với trục hoành. Nội dung để bài Cách giải Bài toán 1. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 2 4y x= + , trục hoành , các đường thẳng 2; 0x x= − = Đồ thị: y x f x ( ) = 2 ⋅ x+4 4 -2 O 1 Nhận xét: [ ] 2 4 0 ; 2;0x x+ ≥ ∀ ∈ − Gọi S là diện tích cần tìm : ( ) 0 0 2 2 2 4 2 4S x dx x dx − − = + = + ∫ ∫ ( ) 0 2 2 4 4x x − = + = (đvdt) Cách khác: (không dựa vào đồ thị) Gọi S là diện tích cần tìm : ( ) 0 0 2 2 2 4 2 4S x dx x dx − − = + = + ∫ ∫ ( ) ( ) 0 2 2 4 4 8 4x x − = + = − − = (đvdt) Bài toán 2. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 2 4y x= − − , trục hoành , trục tung và Nhận xét: [ ] 2 4 0 ; 2;0x x− − ≤ ∀ ∈ − Gọi S là diện tích cần tìm : 6 x 2 3 2x x − + −∞ 2 + +∞ 0 0 + − 0 2 3 2x x− + 1 0 0 + 2 3 2x x − + 2 ( 3 2)x x − − + đường thẳng 2x = − Đồ thị: y x f x ( ) = -2 ⋅ x-4 4 -2 O 1 ( ) ( ) 0 0 0 2 2 2 2 4 2 4 2 4S x dx x dx x dx − − −   = − − = − − − = +  ∫ ∫ ∫ ( ) 0 2 2 4 4x x − = + = (đvdt) Cách khác: (không dựa vào đồ thị) Gọi S là diện tích cần tìm : ( ) 0 0 2 2 2 4 2 4S x dx x dx − − = − − = − − ∫ ∫ ( ) ( ) 0 2 2 4 4 8 4x x − = − − = − − + = (đvdt) Bài toán 3. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x= , trục hoành , và hai đường thẳng 0; 3x x= = Đồ thị: y x f x ( ) = x 3 4 -2 O 1 A B Nhận xét: [ ] 0 ; 0;3x x≥ ∀ ∈ Gọi S là diện tích cần tìm : 3 3 3 2 0 0 0 9 2 2 x S x dx xdx dx= = = = ∫ ∫ ∫ (đvdt) Cách khác: (không dựa vào đồ thị) Gọi S là diện tích cần tìm : 3 3 3 2 0 0 0 9 2 2 x S x dx xdx= = = = ∫ ∫ (đvdt) Bài toán 4. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 2 y x= , trục hoành , và hai đường thẳng 0; 2x x= = Đồ thị: y x f x ( ) = x 2 3 4 -2 O 1 A B Nhận xét: [ ] 2 0 ; 0;2x x≥ ∀ ∈ Gọi S là diện tích cần tìm : 2 2 2 3 2 2 0 0 0 8 3 3 x S x dx x dx dx= = = = ∫ ∫ ∫ (đvdt) Cách khác: (không dựa vào đồ thị) Gọi S là diện tích cần tìm : 2 2 2 3 2 2 0 0 0 8 3 3 x S x dx x dx= = = = ∫ ∫ (đvdt) Bài toán 5. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 2 y x= − Nhận xét: [ ] 2 0 ; 1;0x x− ≤ ∀ ∈ − ∪ [ ] 0;2 Gọi S là diện tích cần tìm : 7 , trục hoành , và hai đường thẳng 1; 2x x= − = Đồ thị: y x f x ( ) = -x 2 3 -4 -1 -2 O 1A B 0 2 0 2 2 2 2 2 1 0 1 0 S x dx x dx x dx x dx − − = − + − = + ∫ ∫ ∫ ∫ 0 2 3 3 1 0 1 8 3 3 3 3 3 x x −   = + = − − + =  ÷   (đvdt) Cách khác: (không dựa vào đồ thị) [ ] 2 0 0 1;2x x− = ⇔ = ∈ − Gọi S là diện tích cần tìm : ( ) ( ) 0 2 0 2 2 2 2 2 1 0 1 0 S x dx x dx x dx x dx − − = − + − = − + − ∫ ∫ ∫ ∫ 0 2 3 3 1 0 1 8 1 8 3 3 3 3 3 3 3 x x −   = − + − = − − + − − + =  ÷   Bài toán 6. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường 2y x= − − , trục hoành , và hai đường thẳng 0; 3x x= = Đồ thị: y x f x ( ) = -x-2 3 -4 2 -1-2 O 1 A B Nhận xét: [ ] 2 0 ; 0;3x x− − ≤ ∀ ∈ Gọi S là diện tích cần tìm : ( ) 3 3 3 2 0 0 0 2 2 2 2 x S x dx x dx x   = − − = + = +  ÷   ∫ ∫ 9 21 6 2 2 = + = (đvdt) Cách khác: (không dựa vào đồ thị) Gọi S là diện tích cần tìm : ( ) 3 3 3 2 0 0 0 2 2 x S x dx x dx x   = − − = − − = − −  ÷   ∫ ∫ 9 21 21 6 2 2 2 = − − = − = (đvdt) Bài toán 7. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 2 2 2y x x= − + − , trục hoành , và hai đường thẳng 0; 3x x= = Đồ thị: Nhận xét: [ ] 2 2 2 0 ; 0;3x x x− + − ≤ ∀ ∈ Gọi S là diện tích cần tìm : ( ) 3 3 2 2 0 0 2 2 2 2S x x dx x x dx   = − + − = − − − +   ∫ ∫ 3 3 2 0 27 2 9 6 6 3 3 x x x   = − + = − + =  ÷   (đvdt) Cách khác: (không dựa vào đồ thị) 8 (C) y x f x ( ) = -x 2 +2 ⋅ x ( ) -2 3 -4 2 -1-2 O 1 A B Gọi S là diện tích cần tìm : ( ) 3 3 2 2 0 0 2 2 2 2S x x dx x x dx= − + − = − + − ∫ ∫ 3 3 2 0 27 2 9 6 6 3 3 x x x   = − + − = − + − =  ÷   (đvdt) Bài toán 8. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 2 2 2y x x= + + , trục hoành , và hai đường thẳng 1; 1x x= − = Đồ thị: y x f x ( ) = x 2 +2 ⋅ x+2 3 6 2 -1 4 -2 O 1 A B Nhận xét: [ ] 2 2 2 0 ; 1;1x x x+ + ≥ ∀ ∈ − Gọi S là diện tích cần tìm : ( ) 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2S x x dx x x dx − − = + + = + + ∫ ∫ 1 3 2 1 1 1 2 1 2 1 2 3 3 3 x x x −       = + + = + + − − + −  ÷  ÷  ÷       2 14 4 3 3 = + = (đvdt) Cách khác: (không dựa vào đồ thị) Gọi S là diện tích cần tìm : ( ) 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2S x x dx x x dx − − = + + = + + ∫ ∫ 1 3 2 1 1 1 14 2 1 2 1 2 3 3 3 3 x x x −       = + + = + + − − + − =  ÷  ÷  ÷       Bài toán 9. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 3 2 2y x x= − + , trục hoành , và hai đường thẳng 1; 2x x= − = Đồ thị: y x f x ( ) = x 3 -x 2 ( ) +2 3 6 2 -1 4 -2 O 1 A B Nhận xét: [ ] 3 2 2 0 ; 1;2x x x− + ≥ ∀ ∈ − Gọi S là diện tích cần tìm : ( ) 2 2 3 2 3 1 1 2 2S x x dx x x dx − − = − + = − + ∫ ∫ 2 4 3 1 16 8 1 1 2 4 2 4 3 4 3 4 3 x x x −       = − + = − + − + −  ÷  ÷  ÷       8 1 1 27 4 4 2 3 4 3 4 = − + − − + = (đvdt) Cách khác: (không dựa vào đồ thị) Gọi S là diện tích cần tìm : ( ) 2 2 3 2 3 2 1 1 2 2S x x dx x x dx − − = − + = − + ∫ ∫ 2 4 3 1 8 1 1 27 2 4 2 2 4 3 3 4 3 4 x x x −       = − + = − + − + − =  ÷  ÷  ÷       9 Bài toán 10. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 2 1 x y x − − = − , trục hoành , và hai đường thẳng 1; 0x x= − = Đồ thị: y x f x ( ) = -x-2 x-1 3 -4 2 -1-2 O 1 A B Nhận xét: [ ] 2 0 ; 1;0 1 x x x − − ≥ ∀ ∈ − − Gọi S là diện tích cần tìm : 0 0 0 1 1 1 2 2 3 1 1 1 1 x x S dx dx dx x x x − − − − − − −     = = = − −  ÷  ÷ − − −     ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) 0 1 3ln 1 1 3ln 2 3ln 2 1x x − = − − − = − − = − (đvdt) Cách khác: (không dựa vào đồ thị) Gọi S là diện tích cần tìm : 0 0 0 1 1 1 2 2 3 1 1 1 1 x x S dx dx dx x x x − − − − − − −     = = = − −  ÷  ÷ − − −     ∫ ∫ ∫ ( ) 0 1 3ln 1 3ln 2 1x x − = − − − = − (đvdt) Bài toán 11. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 3 y x= , trục hoành , và hai đường thẳng 3 1; 2 x x= − = Đồ thị: y x f x ( ) = x 3 3/2 3 -1 4 -2 O 1 A B Nhận xét: [ ] 3 0 ; 1;0x x≤ ∀ ∈ − ; 3 3 0; 0; 2 x x   ≥ ∀ ∈     Gọi S là diện tích cần tìm : ( ) 3 3 0 0 2 2 3 3 3 3 1 0 1 0 S x dx x dx x dx x dx − − = + = − + ∫ ∫ ∫ ∫ 3 0 4 4 2 1 0 1 81 97 4 4 4 64 64 x x −       = − + = − − + =  ÷  ÷  ÷       (đvdt) Cách khác: (không dựa vào đồ thị) 3 3 0 0 1; 2 x x   = ⇔ = ∈ −     Gọi S là diện tích cần tìm : 3 3 0 0 2 2 3 3 3 3 1 0 1 0 S x dx x x dx x dx − − = + = = ∫ ∫ ∫ ∫ 3 0 4 4 2 0 1 1 81 97 4 4 4 64 64 x x −     = + = − + =  ÷  ÷     (đvdt) 10 [...]... với: x0 = 2 ⇒  Phương trình tiếp tuyến d : y = 9 x − 14 3 (C) 2 y 1 -3 -1 0 -2 -1 -5 -1 x O 1 2 3 4 x 5 b) Ta có : (C ) ∩ d = M ( 2; 4 ) Gọi S là diện tích cần tìm: 2 1 -2 -3 ( ) S = ∫ x 3 − 3x + 2 − ( 9 x − 14 ) dx 2 = ∫ x − 12 x + 16 dx = 3 -2 1 -5 2 ∫( x 3 ) − 12 x + 16 dx 1 2  x4  7 =  − 6 x 2 + 16 x ÷ = (đvdt)  4 1 4 -4 -6 Bài toán 23 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường : y =...  −1  3 18 x -5  Bài tập 5 10 -2 Bài tập áp dụng Nội dung đề bài y 4 Đồ thị 2 1 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường : y = − x 2 + 4 x và y = 0 x -5 5 10 -2 4 y 2 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các 2 1 2 1 2 đường : y = x và y = − x + 3x 4 2 x -6 -4 -2 2 4 -2 4 y 2 x 3 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường : y = x ( x + 1) ( x − 2 ) và y = 0 -6 -4 -2 2 -2 Tính diện tích... hình phẳng giới hạn bởi các đường: y = − x 2 + 4; y = x + 2 ; x = 2 và quay quanh trục Ox 2 1 -3 x -2 -1 -1 O 1 2 3 -2 -3 y 4 3 2 Thể tích của một vật thể tròn xoay được tạo bởi một hình phẳng giới hạn bởi các đường: 2 x − x +1 y = x ; ; x = 2; x = 3 và quay x −1 quanh trục Ox y= 1 2 x O -3 -2 -1 d 2 1 -1 3 -2 -3 (C) y 3 Cho hàm số : y = x 3 − 3x + 2 (C) a) Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị (C)... 1 -1 -2 = (C) f(x ) = - 0 1 (đvdt) 5 ⋅x+4 -4 4/ Diện tích hình tròn , hình elip : Nội dung để bài Cách giải a Diện tích hình tròn Phương trình đường tròn tâm O bán kính R: Tính diện tích hình tròn tâm O bán kính R (C ) : x 2 + y 2 = R 2 y (P) 4 Ta có : x 2 + y 2 = R 2 ⇔ y = ± R 2 − x 2 Với y ≥ 0 , ta có: y = R 2 − x 2 Gọi S là diện tích hình tròn: S = 2S1 2 -r x -2 -1 O 1 2 3 r R Với : S1 = ∫ −R -1 ... độ x0 = 2 b) Tính diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị (C), tiếp tuyến d và đường thẳng x = 1 c) Thể tích của một vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng (H) quanh trục hoành 3 (C) 2 1 -3 -2 -1 -1 O 1 -2 -3 -5 24 x 2 3 4 2/ Vật thể tròn xoay được tạo thành khi quanh một hình phẳng quanh trục tung Thể tích của một vật thể tròn xoay được tạo bởi một hình phẳng giới hạn bởi các đường: x = g ( y )... (Tổng chủ biên), Vũ Tuấn (Chủ biên) - NXB Giáo dục, 2008  Giải tích 12 ( sách giáo khoa ) - Ngô Thúc Lanh ( Chủ biên) - NXB Giáo dục, 2000  Giải tích 12 ( sách giáo khoa ) - Trần Văn Hạo,Phan Trương Dần, Nguyển Văn Dự, Cam Duy LễVũ Tuấn - NXB Giáo dục, 1996  Làm thế nào để học tốt môn Toán - Đào Văn Trung - NXB Đại học quốc gia Hà Nội, 2001 NGƯỜI THỰC HIỆN Nguyễn Thanh Lam 28 MỤC LỤC  Trang... ta có: y = a Gọi S là diện tích hình elip: S = 2S1 (E): x2 y 2 + = 1 với a > b > 0 a 2 b2 y 4 a a b 2b 2 2 2 2 Với : S1 = ∫ a − x dx = ∫ a − x dx a −a a 0 b (P) R x -a -2 -1 O 1 2 a r + Tính : ∫ a 2 − x 2 dx 0 -1 Đặt : x = a sin t với : − -b dx = a cos tdt x a ∫ Công thức diện tích hình elip S = π ab 0 0 t π π ≤t ≤ 2 2 0 a π 2 π 2 a 2 − x 2 dx = a 2 ∫ cos 2 tdt = 0 = π 2 2 a 2 ∫ ( 1 + cos 2t ) dt 0 π... bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường: y = 2 x − 4; y = 0; x = 0; x = 2 quay quanh trục Ox 2 -2 -1 Gọi V2 là thể tích vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường: y = x 2 − 4; y = 0; x = 0; x = 2 quay quanh trục Ox x 2 -1 2 3 -2 ) Gọi V là thể tích cần tìm: 256π 32π 32π -4 V = V2 − V1 = − = 3 5 (đvtt) 1 1 ( ) V1 = π ∫ ( x + 2 ) dx = π ∫ x 2 + 4 x + 4 dx 2 −2 −2 1  x3... 2; x = −2; x = 1 và quay quanh trục Ox -3 -2 )  x5 8x3  256π =π  − + 16 x ÷ = (đvtt) 3 15  5 0 -3 (C) ( 2 2 V2 = π ∫ x 2 − 4 dx = π ∫ x 4 − 8 x 2 + 16 dx 0 d ) 2 1 -3 ( 0  4 x3  32π =π  − 8 x 2 + 16 x ÷ = (đvtt) 3  3 0 2 1 2 0 (C) O 2 V1 = π ∫ ( 2 x − 4 ) dx = π ∫ 4 x 2 − 16 x + 16 dx 3 Gọi V là thể tích cần tìm: 53π 188π V = V2 + V1 = + 9π = (đvtt) 15 -2 22 15 Hoành độ giao điểm của hai đồ... 1;3] 3 S =∫ x O -1 ) Cách 1 ( Dựa vào đồ thị ) 1 -1 ( 3 S = ∫ x 2 − 3 x + 2 − ( x − 1) dx = ∫ x 2 − 4 x + 3 dx 2 -2 x = 1 x 2 − 3x + 2 = x − 1 ⇔ x 2 − 4 x + 3 = 0 ⇔  x = 3 Gọi S là diện tích cần tìm: 3 -3 Cách giải Hoành độ giao điểm của hai đồ thị là nghiệm của phương trình: 1 2 3 4 1 ( 3  x4  4 − x + 4 x − 3 dx =  − + 2 x 2 − 3x ÷ =  4 1 3 2 ) Cách 2 ( Không dựa vào đồ thị ) 3 -2 S = ∫ x − 4 . bởi đồ thị (C), tiếp tuyến d và đường thẳng 1x = Đồ thị. (C) x y -5 2 -2 -3 -1 3 1 -3 -2 -1 432O 1 3 3 2y x x= − + TXĐ: D = ¡ ( ) 2 2 ' 3 3 3 1y x x=. hạn bởi các đường : 2 3 2y x x= − + và 1y x= − Đồ thị: d (C) x y 4 -3 -2 -1 3 2 1 -3 -2 -1 4 3 2 O 1 Hoành độ giao điểm của hai đồ thị là nghiệm của phương