Chương 33 PHƯƠNG TRÌNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH § phương trình bậc ẩn  Giải và biện ḷn phương trình ax + b = ⇔ ax = −b Hệ sô Kết luận a≠ b (i ) có nghiệm nhất x = − × a a= b≠ (i ) vô nghiệm b= (i ) nghiệm đúng với mọi x (i ) Bài toán tìm tham số phương trình bậc nhất ax + b = (ii ) • Để phương trình (ii) có nghiệm nhất ⇔ a ≠ • Để phương trình (ii) có tập nghiệm là ¡ (vô số nghiệm) ⇔  • Để phương trình (ii) vơ nghiệm ⇔  • a≠  Để phương trình (ii) có nghiệm ⇔ có nghiệm nhất hoặc có tập nghiệm là ¡ ⇔  a = 0×  b ≠  a = × b = a = × b ≠  Lưu y: Có nghiệm là trường hợp ngược lại của vô nghiệm Do đó, tìm điều kiện để (ii) có nghiệm, thông thường ta tìm điều kiện để (ii ) vô nghiệm, rời lấy kết quả ngược lại § phương trình bậc hai ẩn  Giải và biện ḷn phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = (i ) Phương pháp: Bước Biến đổi phương trình về đúng dạng ax2 + bx + c = Bước Nếu hệ số a chứa tham số, ta xét trường hợp: • Trường hợp 1: a= 0, ta giải và biện luận ax + b = • Trường hợp 2: a≠ Ta lập ∆ = b2 − 4ac Khi đó: o Nếu ∆ > thì (i ) có nghiệm phân biệt x1,2 = −b± ∆ × 2a o Nếu ∆ = thì (i ) có nghiệm (kép): x = − b × 2a o Nếu ∆ < thì (i ) vô nghiệm Bước Kết luận Lưu y: Trang 1/11 a = a ì Phng trinh (i ) có nghiệm ⇔  hoặc  b ≠ ∆ ≥ a = a ≠ × • Phương trình (i ) có nghiệm nhất ⇔  hoặc  b ≠ ∆ = Câu Cho phương trình ax + b = Chọn mệnh đề đúng: A Nếu phương trình có nghiệm a khác B Nếu phương trình vơ nghiệm a = C Nếu phương trình vơ nghiệm b = D Nếu phương trình có nghiệm b khác Lời giải Chọn B b Nếu a ≠ phương trình có nghiệm x = − a Nếu a = b = phương trình có vô số nghiệm Nếu a = b ≠ phương trình có vơ nghiệm Bởi chọn B Câu Phương trình ax + bx + c = có nghiệm khi: a ≠ a = A a = B   ∆ = b ≠ a ≠ D  ∆ = Lời giải C a = b = Chọn B a ≠ Với a ≠ để phương trình có nghiệm  ∆ = b ≠ Với a = để phương trình có nghiệm  a = Bởi chọn B Câu Phương trình x − + x + = : ( ) A Có nghiệm trái dấu C Có nghiệm dương phân biệt B Có nghiệm âm phân biệt D Vô nghiệm Lời giải Chọn C x = 2 Ta có: x − + x + = ⇔  x = Bởi chọn C Câu Phương trình x + m = có nghiệm khi: A m > B m < C m ≤ Lời giải Chọn C x + m = ⇔ x = −m Phương trình có nghiệm m ≤ Bởi chọn C ( ) D m ≥ Trang 2/11 Câu Cho phương trình ax + bx + c = ( 1) Hãy chọn khẳng định sai khẳng định sau: A Nếu P < ( 1) có nghiệm trái dấu B Nếu P > S < ( 1) có nghiệm C Nếu P > S < ∆ > ( 1) có nghiệm âm D Nếu P > S < ∆ > ( 1) có nghiệm dương Lời giải Chọn B Ta xét phương trình x − x + = vô nghiệm với P = > , S = −1 < Bởi chọn B Câu Cho phương trình ax + bx + c = ( a ≠ ) Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt : A ∆ > P > C ∆ > P > S < B ∆ > P > S < D ∆ > S < Lời giải Chọn C ∆ >  Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt  S < P >  Bởi chọn C Câu Cho phương trình + x + − x + − = Hãy chọn khẳng định ( ) ( ) khẳng định sau: A Phương trình vơ nghiệm B Phương trình có nghiệm dương C Phương trình có nghiệm trái dấu D Phương trình có nghiệm âm Lời giải Chọn C Ta có: P = − < nên pt có nghiệm trái dấu Bởi chọn C Câu Hai số − + nghiệm phương trình: A x – x – = 0  Câu B x + x –1 = C x + x + = Lời giải Chọn A S = ⇒ pt : x − Sx + P = ⇒ x − x − = Ta có:   P = −1 Bởi chọn A hai nghiệm phương trình : ( +( ) 3) x + ( −( ) 3) x − D x – x + = A x − − x − = B x − 2+ x+ =0 C x 2+ D x 2− =0 Lời giải Chọn B  S = + ⇒ pt : x − Sx + P = ⇒ x − Ta có:   P = Bởi chọn B ( = ) + x+ = Trang 3/11 Câu 10 Phương trình ( m − m ) x + m − = phương trình bậc : A m ≠ B m ≠ C m ≠ m ≠ D m ≠ m ≠ Lời giải Chọn D Phương trình ( m − m ) x + m − = phương trình bậc m ≠ m2 − m ≠ ⇔  m ≠ Bởi chọn D Câu 11 Câu sau sai ? A Khi m = phương trình : ( m − ) x + m − 3m + = vô nghiệm B Khi m ≠ phương trình : ( m − 1) x + 3m + = có nghiệm x−m x−3 + = có nghiệm C Khi m = phương trình : x−2 x D Khi m ≠ m ≠ phương trình : ( m − 2m ) x + m + = 0  có nghiệm Lời giải Chọn A Xét đáp án A : Khi m = phương trình có dạng 0.x + = có nghiêm vơ số nghiệm Nên chọn A Câu 12 Khẳng định khẳng định sau : A Phương trình: x + = có nghiệm x = − B Phương trình: x − = vơ nghiệm C Phương trình : x + = có tập nghiệm ¡ D Cả a, b, c Lời giải Chọn D Phương trình: x + = có nghiệm x = − Phương trình: x − = vơ nghiệm Phương trình : x + = có tập nghiệm ¡ Nên chọn D Câu 13 Phương trình : ( a – 3) x + b = vô nghiệm với giá tri a, b : A a = , b tuỳ ý B a tuỳ ý, b = C a = , b = D a = , b ≠ Lời giải Chọn D Ta có: ( a – 3) x + b = ⇔ ( a – 3) x = − b a = Phương trình vơ nghiệm  b ≠ Bởi chọn D Câu 14 Cho phương trình : x + x – 260 = ( 1) Biết ( 1) có nghiệm x1 = 13 Hỏi x2 : A –27 B –20 C 20 Lời giải D Chọn B Ta có: x1 + x2 = −7 ⇒ x2 = −7 − x1 = −20 Bởi chọn B Trang 4/11 2 Câu 15 Phương trình ( m – 4m + 3) x = m – 3m + có nghiệm khi: A m ≠ B m ≠ C m ≠ m ≠ Lời giải D m = m = Chọn C Phương trình có nghiệm (m m ≠ – 4m + ) ≠ ⇔  m ≠ Bởi chọn C 2 Câu 16 Phương trình ( m – 2m ) x = m – 3m + có nghiệm khi: A m = B m = C m ≠ m ≠ Lời giải D m ≠ Chọn C m ≠ Phương trình có nghiệm m – 2m ≠ ⇔  m ≠ Bởi chọn C Câu 17 Tìm m để phương trình ( m – ) x = m ( m + ) có tập nghiệm ¡ : A m = B m = −2 C m = Lời giải D m ≠ −2 m ≠ Chọn B m − = ⇔ m = −2 Phương trình có vơ số nghiệm  m ( m + ) = Bởi chọn B 2 Câu 18 Phương trình ( m – 3m + ) x + m + 4m + = có tập nghiệm ¡ khi: A m = −2 m B m = −5 C m = D Không tồn Lời giải Chọn D m − 3m + =  Phương trình có vơ số nghiệm  ⇔ m∈∅   m + 4m + = Bởi chọn D 2 Câu 19 Phương trình ( m – 5m + ) x = m – 2m vô nghiệm khi: A m = B m = C m = Lời giải D m = Chọn D m − 5m + =  ⇔ m = Phương trình có vơ nghiệm    m − 2m ≠ Bởi chọn D Câu 20 Phương trình ( m + 1) x + = ( m – ) x + m vô nghiệm khi: A m = m = B m = C m = Lời giải D m = Chọn A 2 Ta có ( m + 1) x + = ( m – ) x + m ⇔ ( m − 5m + ) = m − Trang 5/11  m − 5m + = m = ⇔ Phương trình có vơ nghiệm  m = m − ≠ Bởi chọn A Câu 21 Điều kiện để phương trình m( x − m + 3) = m( x − 2) + vô nghiệm là: A m = m = B m ≠ m ≠ C m ≠ m = D m = m ≠ Lời giải Chọn B Ta có m ( x − m + 3) = m ( x − ) + ⇔ 0.x = m − 5m + m ≠ Phương trình vơ nghiệm m − 5m + ≠ ⇔  m ≠ Bởi chọn B Câu 22 Phương trình ( m –1) x +3 x – = Phương trình có nghiệm khi: A m ≥ − B m ≤ − C m = − Lời giải D m = Chọn A Với m = ta phương trình x − = ⇔ x = Với m ≠ Phương trình có nghiệm 32 + ( m − 1) ≥ ⇔ m ≥ − Bởi chọn A Câu 23 Cho phương trình x + ( m + ) x – 2m – = ( 1) Với giá trị m phương trình ( 1) có nghiệm: A m ≤ −5 m ≥ −1 C −5 ≤ m ≤ −1 B m < −5 m > −1 D m ≤ m ≥ Lời giải Chọn A Phương trình có nghiệm ( m + 2)  m ≥ −1 + 2m + ≥ ⇔ m + 6m + ≥ ⇔   m ≤ −5 Bởi chọn A Câu 24 Cho phương trình mx – ( m – ) x + m – = Khẳng định sau sai: A Nếu m > phương trình vơ nghiệm B x= Nếu 0≠m≤4 phương trình có nghiệm: x= m−2− 4−m , m m−2+ 4−m m C Nếu m = phương trình có nghiệm x = D Nếu m = phương trình có nghiệm kép x = Lời giải Chọn D Với m = ta phương trình x − = ⇔ x = Với m ≠ ta có ∆ = ( m − ) − m ( m − 3) = −m + Trang 6/11 Với m = phương trình có nghiệm kép x = Bởi chọn D Câu 25 Với giá trị m phương trình: mx + ( m − ) x + m − = có nghiệm phân biệt? A m ≤ B m < C m < m ≠ D m ≠ Lời giải Chọn C m ≠ m ≠ ⇔ Phương trình có nghiệm phân biệt  −m + > ( m − ) − m ( m − 3) > m ≠ ⇔ m < Bởi chọn C Câu 26 Cho phương trình ( x − 1) ( x − 4mx − ) = Phương trình có ba nghiệm phân biệt khi: A m ∈ ¡ C m ≠ B m ≠ D m ≠ − Lời giải Chọn D Phương trình có nghiệm phân biệt x − 4mx − = có nghiệm phân biệt khác  4m + > ⇔ ⇔m≠−  −4 m − ≠ Bởi chọn D Câu 27 Cho phương trình ( m + 1) x − ( m + 1) x + 2m + = ( 1) Với giá trị sau m phương trình ( 1) có nghiệm kép? A m = B m = C m = − Lời giải D m = −1 Chọn C m ≠ −1 Phương trình có nghiệm kép  9 ( m + 1) − ( 2m + 3) ( m + 1) =  m ≠ −1 ⇔ ⇔m=− ( m + 1) ( 7m + ) = Bởi chọn C Câu 28 Với giá trị m phương trình ( x − 1) = x ( mx + 1) có nghiệm nhất: 17 C m = A m = B m = m = 17 D m = Lời giải Chọn B 2 Ta có ( x − 1) = x ( mx + 1) ⇔ ( m − ) x + x + = Với m = phương trình có nghiệm x = −2 Trang 7/11  17 m ≠ ⇔m= Với m ≠ phương trình có nghiệm   1 − ( m − ) = Bởi chọn B Câu 29 Để hai đồ thị y = − x − x + y = x − m có hai điểm chung thì: A m = −3,5 B m < −3,5 C m > −3,5 D m ≥ −3,5 Lời giải Chọn D Xét phương trình − x − x + = x − m ⇔ x + x − m − = Hai đồ thị có hai điểm chung + 2m + > ⇔ m > − Bởi chọn D Câu 30 Nghiệm phương trình x – x + = xem hoành độ giao điểm hai đồ thị hàm số: A y = x y = −3x + B y = x y = −3x − C y = x y = x − D y = x y = x + Lời giải Chọn C Ta có: x – 3x + = ⇔ x = 3x − Bởi chọn C Câu 31 Tìm điều kiện m để phương trình x + 4mx + m =  có nghiệm âm phân biệt: A m < B m > C m ≥ D m ≠ Lời giải Chọn B  4m − m >  Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt −4m < m2 >  ⇔ m >0 Bởi chọn B 2 Câu 32 Gọi x1 , x2 nghiệm phương trình x – 3x –1 = Ta có tổng x1 + x2 bằng: A B C 10 Lời giải D 11 Chọn D Ta có: x1 + x2 = 3; x1 x2 = −1 ⇒ x12 + x22 = ( x1 + x2 ) − x1 x2 = 11 Bởi chọn D Câu 33 Gọi x1 , x2 nghiệm phương trình x – x – = Khi đó, giá trị T = x1 − x2 là: A B C D Lời giải Chọn C Ta có: x1 + x2 = , x1 x2 = − ⇒ x1 − x2 = ( x1 − x2 ) = ( x1 + x2 ) − x1 x2 = Bởi chọn C Câu 34 Nếu biết nghiệm phương trình: x  + px + q = lập phương nghiệm phương trình x + mx + n = Thế thì: Trang 8/11 A p + q = m3 B p = m3 + 3mn C p = m3 − 3mn D Một đáp số khác Lời giải Chọn C Gọi x1 , x2 nghiệm x  + px + q = Gọi x3 , x4 nghiệm x  + mx + n = Khi x1 + x2 = − p , x3 + x4 = −m , x3 x4 = n   x1 = x3 ⇒ x1 + x2 = x33 + x43 ⇔ x1 + x2 = ( x3 + x4 ) − x3 x4 ( x3 + x4 ) Theo yêu cầu ta có    x2 = x4 ⇒ − p = −m3 + 3mn ⇒ p = m3 − 3mn Bởi chọn C Câu 35 Phương trình : ( m + ) x + = x + ( m – 3) có nghiệm có nghiệm nhất, với giá trị m : 10 A m = B m = − C m ≠ D m ≠ 3 Lời giải Chọn C Ta có: ( m + ) x + = x + ( m – 3) ⇔ ( 3m + 10 ) x = 2m − Phương trình có nghiệm có nghiệm 3m + 10 ≠ ⇔ m ≠ − 10 Bởi chọn C Câu 36 Tìm m để phương trình : ( m – ) ( x + 1) = x + vô nghiệm với giá trị m : A m = B m = ±1 C m = ±2 Lời giải D m = ± Chọn D 2 Ta có: ( m – ) ( x + 1) = x + ⇔ ( m − 3) x = − m m = m − = ⇔  Phương trình vơ nghiêm  4 − m ≠  m = − Bởi chọn D Câu 37 Để phương trình m ( x –1) = x + 5m + có nghiệm âm, giá trị thích hợp cho tham số m : A m < –4 hay m > –2 B – < m < –2 hay – 1< m < C m < –2 hay m >  2 D m < –4 hay m > –1 Lời giải Chọn B 2 Ta có: m ( x –1) = x + 5m + ⇔ ( m − ) x = m + 5m + m − ≠  ⇔ m ∈ ( −4; −2 ) ∪ ( −1; ) Phương trình có nghiệm âm  m + 5m + <   m2 − Bởi chọn B Câu 38 Điều kiện cho tham số m để phương trình ( m − 1) x = m − có nghiệm âm : A m < B m = C < m < Lời giải D m > Chọn C Trang 9/11 Phương trình có nghiệm âm m−2 < ⇔ 1< m < m −1 Bởi chọn C Câu 39 Cho phương trình : m3 x = mx + m – m Để phương trình có vơ số nghiệm, giá trị tham số m : A m = hay m = B m = hay m = −1 C m = −1 hay m = D Khơng có giá trị m Lời giải Chọn A Ta có: m3 x = mx + m – m ⇔ ( m − m ) x = m − m m = m − m = ⇔ phương trình có vơ số nghiệm  m − m = m = Bởi chọn A 2 Câu 40 Cho phương trình bậc hai : x – ( m + ) x + m  = Với giá trị m phương trình có nghiệm kép tìm nghiệm kép ? A m = –3 , x1 = x2 = B m = –3 , x1 = x2 = –3 C m = , x1 = x2 = D m = , x1 = x2 = –3 Lời giải Chọn A Ta có: ∆ ' = ( m + ) − m = 12m + 36 = ⇔ m = −3 ⇒ x1 = x2 = Bởi chọn A Câu 41 Cho phương trình bậc hai: ( m –1) x – ( m –1) x + 2m – = Với giá trị m phương trình có nghiệm kép ? A m = B m = − C m = D m = –1 Lời giải Chọn C m ≠ phương trình có nghiệm kép  ∆ ' = ( m − 1) − ( m − 1) ( 2m − ) = ⇔ m − = 9m − ⇔ m = Bởi chọn C Câu 42 Để phương trình m x + ( m – 3) x + m – = vô nghiệm, với giá trị m A m > B m ≥ C m < Lời giải D m < m ≠ Chọn A Với m = phương trình thu −6 x − = suy phương trình có nghiệm Với m ≠ phương trình vơ nghiệm ( m − 3) − m ( m − ) < ⇔ − m + < ⇔ m > Bởi chọn A Câu 43 Giả sử x1 x2 hai nghiệm phương trình : x + 3x –10 = Giá trị tổng 1 + : x1 x2 Trang 10/11 A 10 B – 10 C 10 D – 10 Lời giải Chọn C 1 x1 + x2 −3 + = = = Ta có: x1 x2 x1 x2 −10 10 Bởi chọn C Câu 44 Cho phương trình : x – 2a ( x –1) –1 = Khi tổng nghiệm tổng bình phương nghiệm phương trình giá trị tham số a : 1 A a = hay a = B a = – hay a = –1 2 3 C a = hay a = D a = – hay a = –2 2 Lời giải Chọn A x =1 Ta có: x – 2a ( x –1) –1 = ⇔   x = 2a − Yêu cầu toán x1 + x2 = x12 + x2 ⇒ x1 + x2 = ( x1 + x2 ) − x1 x2 a = ⇒ 2a = 4a − 4a +2 ⇒  a =  Bởi chọn A Câu 45 Khi hai phương trình: x + ax + 1 = x + x + a  = có nghiệm chung, giá trị thích hợp tham số a là: A a = B a = –2 C a = D a = –1 Lời giải Chọn B   x + ax + 1 = a = x =  ( a − 1) x = a − ⇔ ⇔ ∩ x + x + a  = ⇔  Xét hệ :    x =  a = −2  x + x + a  =  x + x + a  = Bởi chọn B Câu 46 Có giá trị a để hai phương trình: x + ax + = x – x – a = có nghiệm chung? A B vô số C D Chọn D   x + ax + =  a = −1  x = −1 ( a + 1) x + a + = ⇔ ⇔ ∩ x2 − x − a = ⇔  Ta có:   x – x – a =   x = −1 a = x − x − a = Bởi chọn D Câu 47 Nếu a, b, c, d số khác , biết c d nghiệm phương trình x + ax + b = a, b nghiệm phương trình x + cx + d = Thế a + b + c + d bằng: A −2 B C −1 + D Lời giải Chọn A Trang 11/11 c + d = −a ( 1) c d nghiệm phương trình x + ax + b = ⇒  ( 2) cd = b a + b = −c ( 3) a, b nghiệm phương trình x + cx + d = ⇒  ( 4) ab = d ( 3) ; ( ) ; ( 1) ⇒ −a − b + ab = −a ⇒ −b + ab = ⇒ a = ( 3) ; ( ) ; ( ) ⇒ ( a + b ) ab = −b ⇒ ( a + b ) a = −1 ⇒ b = −2 ⇒ c = , d = −2 ⇒ a + b + c + d = −2 Bởi chọn A Câu 48 Cho phương trình x  + px + q = , p > , q > Nếu hiệu nghiệm phương trình Thế p bằng: A 4q + B 4q − C − 4q + D Một đáp số khác Lời giải Chọn A  x1 + x2 = − p Gọi x1 , x2 nghiệm x  + px + q =   x1 x2 = q Ta có x1 − x2 = ( x1 + x2 ) − x1 x2 = p − 4q = ⇒ p = q + Bởi chọn A Câu 49 Cho hai phương trình: x – 2mx + = 0  x – x + m = Có hai giá trị m để phương trình có nghiệm nghịch đảo nghiệm phương trình kiA Tổng hai giá trị gần với hai số đây? A −0, B C 0, D Một đáp số khác Lời giải Chọn B Gọi x1 ; x2 nghiệm phương trình x – 2mx + = 0   x1 + x2 = 2m Gọi x3 ; x4 nghiệm phương trình x – x + m =  x3 + x4 =   x1 = x x +x 1 m =  ⇒ x1 + x2 = + ⇒ x1 + x2 = ⇒ 2m = ⇒  Ta có:  x3 x4 x3 x4 m  m = −1 x =  x4 Bởi chọn B Câu 50 Số nguyên k nhỏ cho phương trình : x ( kx – ) – x + = vô nghiệm : A k = –1 B k = C k = Lời giải D k = Chọn C 2 Ta có: x ( kx – ) – x + = ⇔ ( 2k − 1) x − x + = Trang 12/11   2k − ≠ phương trình : x ( kx – ) – x + = vô nghiệm   16 − ( 2k − 1) <  k≠   k ≠  ⇔ ⇔ −12k + 22 < k > 11  Bởi chọn C Trang 13/11 ... Bởi chọn A Câu 49 Cho hai phương trình: x – 2mx + = 0  x – x + m = Có hai giá trị m để phương trình có nghiệm nghịch đảo nghiệm phương trình kiA Tổng hai giá trị gần với hai số đây? A −0, B C... trình − x − x + = x − m ⇔ x + x − m − = Hai đồ thị có hai điểm chung + 2m + > ⇔ m > − Bởi chọn D Câu 30 Nghiệm phương trình x – x + = xem hoành độ giao điểm hai đồ thị hàm số: A y = x y = −3x +... phương trình có nghiệm x = −2 Trang 7/11  17 m ≠ ⇔m= Với m ≠ phương trình có nghiệm   1 − ( m − ) = Bởi chọn B Câu 29 Để hai đồ thị y = − x − x + y = x − m có hai điểm chung thì: A m = −3,5