Chương 33 PHƯƠNG TRÌNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH § đại cương phương trình  KIẾN THỨC CƠ BẢN  Khái niệm phương trình một ẩn — Cho hai hàm số y  f (x) y  g(x) có tập xác định lần lượt D f Dg Đặt D  D f �D g Mệnh đề chứa biến " f (x)  g(x)" được gọi phương trình mợt ẩn, x gọi ẩn D gọi tập xác định của phương trình — Sớ xo �D gọi nghiệm của phương trình f (x)  g(x) nếu " f (xo)  g(xo )" mệnh đề đúng  Phương trình tương đương — Hai phương trình gọi tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm Nếu phương f1(x)  g1(x) f2(x)  g2(x) trình tương đương với phương trình viết f1(x)  g1(x) � f2 (x)  g2 (x) — Định lý 1: Cho phương trình f (x)  g(x) có tập xác định D y  h(x) một hàm số xác định D Khi đó miền D , phương trình đã cho tương đương với mỡi phương trình sau: (1) : f (x)  h(x)  g(x)  h(x) (2) : f (x).h(x)  g(x).h(x) với h(x) �0, x �D  Phương trình hệ qua — Phương trình f1(x)  g1(x) có tập nghiệm S1 được gọi phương trình hệ quả của phương trình f2(x)  g2(x) có tập nghiệm S2 nếu S1 �S2 Khi đó viết: f1(x)  g1(x) � f2(x)  g2(x) — Định lý 2: Khi bình phương hai vế của mợt phương trình, ta được phương trình hệ 2 quả của phương trình đã cho: f (x)  g(x) � � � � g(x)� � �f (x)� � Lưu y: � Nếu hai vế của phương trình cùng dấu thì bình phương vế của nó, ta được một phương trình tương đương � Nếu phép biến đổi tương đương dẫn đến phương trình hệ quả, ta phải thử lại các nghiệm tìm được vào phương trình đã cho để phát hiện và loại bỏ nghiệm ngoại lai 2x 5  là: x 1 x 1 1 B D  �\  1 C D  �\  � Câu 1: Tập xác định của phương trình A D  �\  1 D D  � Lời giải Chọn D Điều kiện xác định: x  �0 (luôn đúng) Vậy TXĐ: D  �   Câu 2: Tậpxác định của phương trình là: x2 x2 x 4 A  2; � B �\  2;2 C  2;� Lời giải D � Chọn B �x  �0 �x �2 �� Điều kiện xác định: � �x  �0 �x �2 Trang 1/11 Vậy TXĐ: �\  2; 2 Câu 3: Tậpxác định của phương trình A �\  2;0;2 x2   là: x  x x( x  2) B  2; � C  2; � Lời giải D �\  2;0 Chọn A �x  �0 �x �2 � � Điều kiện xác định: �x  �0 ۹ �x �x �0 �x �0 � � Vậy TXĐ: �\  2;0;2 Câu 4: Tậpxác định của phương trình A �\  2;2;1 x  x 1 2x    là: x  x  x 1 B  2; � C  2; � Lời giải 2; 1 D �\  � Chọn A �x  �0 �x �2 � � Điều kiện xác định: �x  �0 ۹ �x �x  �0 �x �1 � � Vậy TXĐ: �\  2;2;1 Câu 5: Tậpxác định của phương trình A  4;� 4x  5x 9x 1   là: x  x  x  x  x  x  12 B �\  2;3;4 C � Lời giải D �\  4 Chọn B �x  x  �0 �x �2 �2 � Điều kiện xác định: �x  x  �0 ۹ �x �x  x  12 �0 �x �4 � � Vậy TXĐ: �\  2;3;4 Câu 6: Tậpxác định của phương trình x  A �\  4 B  4; � C  4; � Lời giải Chọn A Điều kiện xác định: x  �0 ۹ x Vậy TXĐ: �\  4 Câu 7: Tậpxác định của phương trình A  3;� 5  12  là: x4 x4 D � 2x  5x   là:  x x  3x  B  3;� �1 �2 2� C �\ � ;3; � �1 �2 3� D �\ � ;3; � Lời giải Chọn C Trang 2/11 � �x �3  x �0 � � � � x  �0 ۹ �x Điều kiện xác định: � � � x  �0 � � x� � � �1 �2 2� Vậy TXĐ: �\ � ;3; � Câu 8: Điều kiện xác định của phương trình A x �0 C x   x   là: x B x  x  �0 D x �0 x   Lời giải Chọn B �x  �0 Điều kiện xác định: � �x  Câu 9: Điều kiện xác định của phương trình x   x  là: A  3; � B  2; � C  1; � Lời giải D  3; � Chọn B Điều kiệnxác định của phương trình 3x    x  là: Điều kiện xác định: x  �0 ۳ x Câu 10: �4 �3 � � A � ; �� �2 � �3 � �2 � �3 4� � D � ; � 3� � C �\ � ; � B � ; � Lời giải Chọn D � x� � x  � � 4� � � �� � x �� ; � Điều kiện xác định: �  x �0 3� � � �x �4 � 2x 1  x   x  là: Câu 11: Tập xác định của phương trình  5x �4 � �5 A D  �\ � � � 4� � 4� �; � B D  � C D  ��; � � 5� � 5� Lời giải �4 � D D  � ; �� �5 � Chọn C Điều kiện xác định:  x  � x  (luôn đúng) � 4� �; � Vậy TXĐ: D  � � 5� Câu 12: Điều kiện xác định của phương trình x   x   A  3;� B  2; � C  1; � Lời giải x  là: D  3; � Chọn B Trang 3/11 �x  �0 �x �1 � � Điều kiện xác định: �x  �0 ۳ �x ۳ x �x  �0 �x �3 � � Câu 13: Hai phương trình được gọi tương đương khi: A Có cùng dạng phương trình B Có cùng tập xác định C.Có cùng tập hợp nghiệm D Cả A, B, C đều đúng Lời giải Chọn C Câu 14: Trong các khẳng định sau, khẳng định đúng? A x  x   x � x  x  x  B x   x � x   x C x  x   x  x  � 3x  x D Cả A, B, C đều sai Lời giải Chọn A Câu 15: Cho các phương trình f1  x   g1  x   1 f2  x   g2  x    2 f1  x   f  x   g1  x   g  x   3 Trong các khẳng định sau, khẳng định đúng? A  3 tương đương với  1 hoặc   C   hệ quả của  3 B  3 hệ quả của  1 D Cả A, B, C đều sai Lời giải Chọn D Câu 16: Chỉ khẳng định sai? x   3   x � x   x( x  2)  � x  C x2 A B x3  � x 3 D x  � x  Lời giải Chọn D Vì : x  � x  �2 Câu 17: Chỉ khẳng định sai? B x  x    x  � x  x 1  1 x � x 1  C x  � x  � A 2 D x   x  �  x     x  1 Lời giải Chọn B Vì : x  � x  �2 Câu 18: Chỉ khẳng định sai? x   3   x � x   C x   x  �  x    (2 x  1) A B x3  � x3 D x  � x  �1 Lời giải Chọn C Vì : x  x    Câu 19:  �x  hệ vô nghiệm �x  �0 x2 � �  Phương trình x   x – 1  x  1  tương đương với phương trình: A x   C x   B x   D  x  1  x  1  Trang 4/11 Lời giải Chọn D Vì hai phương trình có cùng tập nghiệm T   �1 x  16  Câu 20: Phương trình tương đương với phương trình: x5 x 5 3x  16 3x  16 3 3  2 x   2 x A B x5 x5 x5 x5 3x  16 3x  16  2 x   2 x � 2x  � 2x C D x5 x 5 x 5 x 5 Lời giải Chọn A Vì hai phương trình có cùng tập nghiệm T   5 Cho hai phương trình x  x    1 Câu 21:  x  x     Khẳng định đúng các khẳng định sau : A  1   tương đương B Phương trình   phương trình hệ quả của phương trình  1 C.Phương trình  1 phương trình hệ quả của phương trình   D Cả A, B, C đều đúng Lời giải Chọn D Câu 22: Phương trình x   x  tương đương với phương trình: A  x    x  B 3x   x  C  3x     x   D 3x   x  2 Lời giải Chọn A � 3x    x  �  3x   x  � � 3x  �0 � � x  43x  55  � x  43x  55  � vô nghiệm �� �� x  � x � � � � Ta có  x    x  � x  43 x  55  vơ nghiệm Câu 23: Phương trình  x    x  phương trình hệ quả của phương trình sau A x   x  B D C x   x  x2  x4 x4  x2 Lời giải Chọn B Ta có x   x  �  x    x  Câu 24: Tập xác định của phương trình � 7� � � 2; �\  3 A D  � x2 7x   x là: x  4x   2x � 7� � � 7� � 2� 1;3; � C D  � 2; � B D  �\ � � 7� � 2� 2; �\  3 D D  � Lời giải Trang 5/11 Chọn D �x �3 �x �1 �x  x  �0 � � � � 7� � �x �2 � x �� 2; �\  3 Điều kiện xác định: �x  �0 � 2� � �  2x  � �x  � � 7� 2; �\  3 Vậy TXĐ: D  � � 2� Câu 25: Điều kiện xác định của phương trình A  2; � x2  B  7;� C  2;7  Lời giải x2   là: 7x D  2;7  Chọn C 7x 0 � �x  ��  ۣ Điều kiện xác định: � �x  �0 �x �2 Câu 26:  x  là: x 1 1 C  1;� B  3; � \  � D  3; � \  �1 Điều kiện xác định của phương trình A  3; � x 7 Lời giải Chọn D �x  �0 �x ��1 �� Điều kiện xác định: � �x �3 �x  �0 Câu 27:  2x  là: x2 x 1 B x  x �2 C �x � D Điều kiện xác định của phương trình A x �1 x �2 x �2 1 x � Lời giải Chọn D � �x  x   � � � Điều kiện xác định: �x  �0 ۹ �x � � �  x �0 � �x � � Câu 28: � 1 x � � � � �x �2 Tậpnghiệm của phương trình x  x  x  x là: A T   0 C T   ; 2 B T  � D T   2 Lời giải Chọn D x0 � �x  x �0 Điều kiện xác định: � � x2  x  � � x2 x  x �0 � � Thay x  x  vào phương trình thỏa mãn.Vậy tập nghiệm: T   ; 2 Câu 29: Tậpnghiệm của phương trình A T   0 B T  � x   x là: x C T   1 D T   1 Trang 6/11 Lời giải Chọn D �x �0 �  x �0 hệ vô nghiệm Điều kiện xác định: � �x �0 � Vậy tập nghiệm: T  � Câu 30: Cho phương trình x  x   1 Trong các phương trình sau đây, phương trình khơng phải hệ quả của phương trình  1 ? A x   x 0 1 x C x  x  B x3  x   D x  x   Lời giải Chọn D Ta có: * x  x  � 2x2  x  1 x � � x0 � x0 � �� x * x3  x  � � � 4x 1  � � � x � x0 � � * 2x  x  � 2x2  x  � � x � 2 * x  2x   � x  Phương trình x  x tương đương với phương trình:  Câu 31:  1  3x  x3 x 3 A x  x   3x  x  B x  C x x   3x x  D x  x   x  x  Lời giải Chọn D Vì hai phương trình có cùng tập nghiệm T   0;3 Câu 32: Khẳng định sau sai? A x   � x   B C 3x   x  � x  x   D Lời giải Chọn B Vì phương trình x  x  1 1 � x 1  x  1 x    x � 3x  12  x  x  1  có điều kiện xác định x �1  x  1 3x   x   1 , ta tiến hành theo các bước sau: Bước : Bình phương hai vế của phương trình  1 ta được: Câu 33: Khi giải phương trình Trang 7/11 x    x  1    Bước : Khai triển rút gọn   ta được: x  x  0 � x  hay x  –4 Bước : Khi x  , ta có x   Khi x  4 , ta có x   Vậy tập nghiệm của phương trình là:  0; –4 Cách giải đúng hay sai? Nếu sai sai bước nào? A Đúng B Sai bước C Sai bước D Sai bước Lời giải Chọn D Vì phương trình   phương trình hệ quả nên ta cần thay nghiệm x  ; x  4 vào phương trình  1 để thử lại Khi giải phương trình x    x  1 , một học sinh tiến hành theo các bước sau: Câu 34: Bước : Bình phương hai vế của phương trình  1 ta được: x   (2  x)    Bước : Khai triển rút gọn   ta được: x  Bước :   � x  Vậy phương trình có mợt nghiệm là: x  Cách giải đúng hay sai? Nếu sai sai bước nào? A Đúng B Sai bước C Sai bước D Sai bước Lời giải Chọn D Vì phương trình   phương trình hệ quả nên ta cần thay nghiệm x  vào phương trình  1 để thử lại Câu 35: Khi giải phương trình x   x   1 , một học sinh tiến hành theo các bước sau: Bước : Bình phương hai vế của phương trình  1 ta được: x  x   x  12 x     Bước : Khai triển rút gọn   ta được: x  x   Bước :   � x  �x  Bước :Vậy phương trình có nghiệm là: x  x  Cách giải sai từ bước nào? A Sai bước B Sai bước C Sai bước D Sai bước Lời giải Chọn D Trang 8/11 Vì phương trình  2 phương trình hệ quả nên ta cần thay nghiệm vào phương trình  1 để thử lại Câu 36: Khi giải phương trình bước sau: Bước :  1 �  x  3 x 2  x  3  x   x 2   1 , một học sinh tiến hành theo các  x        x  3  �x   x 2 Bước : � x  �x  Bước : � Bước :Vậy phương trình có tập nghiệm là: T   3; 4 Cách giải sai từ bước nào? A Sai bước B Sai bước C Sai bước D Sai bước Lời giải Chọn B Vì biến đổi tương đương mà chưa đặt điều kiên  x  5  x      , một học sinh tiến hành theo các Câu 37: Khi giải phương trình x 3 bước sau: Bước :  1 �  x  5 x 3  x        x  5  �x   x 3 Bước : � x  �x  Bước : � Bước :Vậy phương trình có tập nghiệm là: T   5; 4 Cách giải sai từ bước nào? A Sai bước B Sai bước C Sai bước D Sai bước Lời giải Chọn B Vì biến đổi tương đương mà chưa đặt điều kiên 2x    1 , một học sinh tiến hành theo Câu 38: Khi giải phương trình x  x2 x2 các bước sau: Bước : đk: x �2 Bước :với điều kiện  1 � x  x       x  3   Bước :   � x  x   � x  2 Bước :Vậy phương trình có tập nghiệm là: T   2 Cách giải sai từ bước nào? A Sai bước B Sai bước C Sai bước D Sai bước Lời giải Chọn D Vì khơng kiểm tra với điều kiện Trang 9/11 Cho phương trình: x – x   1 Trong các phương trình sau, phương Câu 39: trình khơng phải hệ quả của phương trình  1 ? A x   x 0 1 x C x  x  B x3 – x  +  x  5  D x  x   Lời giải Chọn D x0 � � Vì * x – x  � � x � 2 * x  2x   � x  Câu 40: Phương trìnhsau có nghiệm A B Lời giải C Chọn B Ta có: x   x � x  Câu 41: Phương trình sau có nghiệm A B Lời giải x  x x  x C Chọn D Ta có: x   x ۣ x Câu 42: Phương trình sau có nghiệm A B B Lời giải Chọn D Ta có: x    x � x  �0 ۣ x D vô số x2  2 x C Lời giải Chọn B Ta có: x    x � x  Câu 43: Phương trình sau có nghiệm A D vô số D vô số x2  2 x C D vơ sớ Câu 44: Phương trình  x  10 x  25  A vô nghiệm B vô số nghiệm C mọi x đều nghiệm D.có nghiệm Lời giải Chọn D Ta có:  x  10 x  25  �  x  10 x  25  �  x    � x  Phương trình x   2 x  có nghiệm : 5 A x  B x   2 Câu 45: Trang 10/11 C x   D x  Lời giải Chọn B Ta có: Câu 46: 2 x   2 x  � x   � x   Tập nghiệm của phương trình x  x    x  B S   3 C S   3; � Lời giải A S  � Chọn B Ta có: x  x    x  � x  Câu 47: Tập nghiệm của phương trình x  x  x  B S   1 C S   0 Lời giải A S  � D S  � D S  � Chọn A Ta có: x  x  Câu 48: �x �0 phương trình vơ nghiệm �x  1 x 1 � �   Tập nghiệm của phương trình x  x  x   B S   1 C S   2 Lời giải A S  � D S   1;2 Chọn C �x  x2 � � x  �x  �� � x  x 1 � �x  x   Câu 49: Cho phương trình x  1( x  2)   1 x  x    x    Khẳng định đúng các khẳng định sau là: A  1   tương đương B   phương trình hệ quả của  1 Ta có: x  2( x  3x  2)  � x  �� C  1 phương trình hệ quả của   D Cả A, B, C đều đúng Lời giải Chọn C x2 �  2 � x  x  � Ta có:  1 � � Vậy  1 phương trình hệ quả của   Câu 50: Cho phương trình x  x 1  1 x  x     x 1 Khẳng định đúng các khẳng định sau là: A  1   tương đương B   phương trình hệ quả của  1 C  1 phương trình hệ quả của   D Cả A, B, C đều đúng Lời giải Chọn B Ta có:  1 � x    � x  1 �x  Vậy   phương trình hệ quả của  1 Trang 11/11