Đang tải... (xem toàn văn)
Tài liệu tuyển sinh 10 hình học gồm các bài toán gốc. Hướng dẫn giải các bài hình tuyển sinh 10 thành phố hồ chí minh. Tài liệu là tổng hợp các bài hình học giúp học sinh lớp 9 hệ thống hóa chương trình hình học bao gồm các bài toán từ dễ đến khó. Đổng thời nêu ra một số bài toán gốc hay gặp.
Chuyên đề đường tròn Thầy Phan Huy Bằng CHUYÊN ĐỀ ĐƯỜNG TRÒN VẤN ĐỀ 1: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ ĐƯỜNG TRỊN 1.1 Sự xác định đường tròn 1.1.1 Nhắc lại đường tròn Đường tròn tâm O bán kính R (R > 0) hình gồm điểm cách điểm O khoảng R kí hiệu (O;R) M nằm đường tròn (O; R) OM=R, M nằm bên ngồi đường tròn OM > R, M nằm bên đường tròn OM < R 1.1.2 Cách xác định đường tròn Ta biết: Một đường tròn xác định biết tâm bán kính đường tròn đó, biết đoạn thẳng đường kính đường tròn Qua điểm không thẳng hàng, ta vẽ đường tròn Chú ý: Khơng vẽ đường tròn qua ba điểm thẳng hàng Đường tròn qua đỉnh tâm giác gọi đường tròn ngoại tiếp tam giác, tâm đường tròn ngoại tiếp giao đường trung trực A O B C 1.1.3 Tâm đối xứng Đường tròn hình có tâm đối xứng Tâm đường tròn tâm đối xứng đường tròn File word liên hệ zalo: 0975.826870 Chuyên đề đường tròn Thầy Phan Huy Bằng A O B 1.1.4 Trục đối xứng Đường tròn hình có trục đối xứng, tất đường kính trục đối xứng đường tròn A O B I D C 1.1.5 Bài tập Bài Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác vng có tâm trung điểm cạnh huyền Bài Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 10, BC = Chứng minh điểm A, B, C, D thuộc đường tròn tính bán kính đường tròn Bài Cho hình thoi ABCD có góc A = 600, gọi E, F, G, H trung điểm AB, BC, CD, DA Chứng minh E, F, G, H, B, D thuộc đường tròn 1.1.6 Bài tập nâng cao Bài Cho đường tròn tâm (O) đường kính AB Vẽ đường tròn tâm (I) đường kính OA, bán kính OC (O) cắt (I) D Vẽ CH vng góc AB Chứng minh ACHD hình thang cân Bài 2: Cho đường tròn tâm (O) đường kính AB H, K hình chiếu vng góc A, B lên dây CD Chứng minh rằng: CH = DK Bài 3: Cho tam giác cân ABC (AB = AC), đường cao BE CF cắt H Gọi D trung điểm BC File word liên hệ zalo: 0975.826870 Thầy Phan Huy Bằng Chuyên đề đường tròn a) Chứng minh bốn điểm B, F, E, C nằm đường tròn b) Chứng minh bốn điểm D, H, E, C nằm đường tròn c) Tìm tâm đường tròn qua bốn điểm A, F, D, C Bài 4: Trên cạnh AB, BC, CD DA hình vuông ABCD ta lấy điểm E, F, G, H cho AE = BF = CG = DH Các đường chéo AC BD cắt O a) Chứng minh ba điểm F, O, H thẳng hàng b) Chứng minh điểm O cách bốn điểm E, F, G, H c) Biết góc BEC = 600, BC = cm, tính BE File word liên hệ zalo: 0975.826870 Chuyên đề đường tròn Thầy Phan Huy Bằng Đường kính dây cung 2.1 So sánh độ dài đường kính Định lý 1: Trong đường tròn đường kính dây lớn Định lý 2: Trong đường tròn: a) Hai dây cách tâm b) Hai dây cách tâm B H A O C D K Định lý 3: Trong đường tròn a) Dây lớn dây gần tâm b) Dây gần tâm lớn 2.2 Quan hệ vng góc đường kính dây Định lý 4: Trong đường tròn đường kính vng góc với dây cung qua trung điểm dây cung A O C I B File word liên hệ zalo: 0975.826870 D Thầy Phan Huy Bằng Chuyên đề đường tròn 2.3 Bài tập Bài 1: Cho tam giác nhọn ABC, kẻ hai đường cao BD CE a) Chứng minh điểm B, E, D, C thuộc đường tròn b) Chứng minh DE < BC Bài 2: Cho đường tròn tâm O đường kính AB Vẽ dây AD BC song song với Chứng minh: a) AD = BC b) CD đường kính (O) Bài 3: Cho đường tròn (O;R) điểm A nằm bên đường tròn (A khơng trùng O) Chứng minh tất dây qua A dây vng góc với OA A dây ngắn 2.4 Bài tập nâng cao Bài 1: Cho (O; R) đường kính AB, H trung điểm OB Vẽ dây CD vng góc với AB H, K trung điểm AC I điểm đối xứng A qua H a) Chứng minh C, H, O, K thuộc đường tròn b) Chứng minh ADIC hình thoi Tính diện tích hình thoi theo R Bài 2: Cho tam giác ABC (AB < AC) Hai đường cao BD CE cắt H a) Chứng minh : B, D, C, E nằm đường tròn Xác định tâm I đường tròn b) Chứng minh : AB AE = AC.AD c) Gọi K điểm đối xứng H qua I chứng minh : BHCK hình bình hành d) Xác định tâm I đường tròn qua A, B, K, C e) Chứng minh : OI vng góc với AH Bài 3: Cho điểm A nằm đường tròn (O) có CB đường kính (AB < AC) Vẽ dây AD vng góc BC H a) Chứng minh : tam giác ABC vuông A b) H trung điểm AD; AC = CD; BC tia phân giác ABD c) Chứng minh: ABC ADC File word liên hệ zalo: 0975.826870 Chuyên đề đường tròn Thầy Phan Huy Bằng Vị trí tương đối đường tròn đường thẳng 3.1 Ba vị trí tương đối đường thẳng đường tròn Cho (O; R), OH khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng (d) a) Nếu OH < R (d) cắt (O) hai điểm A, B b) Nếu OH > R (d) khơng cắt (O) c) Nếu OH = R (d) tiếp xúc với (O) điểm C - (d) gọi tiếp tuyến (O) - C gọi tiếp điểm O O O H d d C d OH < R H OH = R OH > R Định lý: Đường thẳng tiếp tuyến đường tròn vng góc với bán kính qua tiếp điểm 3.2 Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến đường tròn Định lý: Nếu đường thẳng qua điểm thuộc đường tròn vng góc với bán kính qua điểm đường thẳng tiếp tuyến đường tròn M thuộc (O) (d) vng góc với OM (d) tiếp tuyến (O) O d M File word liên hệ zalo: 0975.826870 Chuyên đề đường tròn Thầy Phan Huy Bằng Định lý: Hai tiếp tuyến A B đường tròn cắt M ta có: - Điểm cách tiếp điểm MA = MB MO phân giác góc AMB H giao điểm MO AB H trung điểm AB, MO vng góc AB A O H M B 3.2 Bài tập Bài 1: Cho tam giác ABC có AB = 3, AC = 4, BC = Vẽ đường tròn (B; BA) Chứng minh AC tiếp tuyến (B) Bài 2: Cho đường tròn (O), dây AB khác đường kính Qua O kẻ đường thẳng vng góc với AB cắt tiếp tuyến A (O) C a) Chứng minh CB tiếp tuyến (O) b) Cho bán kính đường tròn 15 cm, AB = 24 cm Tính OC Bài 3: Cho đường tròn (O), điểm A ngồi đường tròn Kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C tiếp điểm) a) Chứng minh OA vng góc với BC b) Vẽ đường kính CD Chứng minh BD//OA c) Tính độ dài cạnh tam giác ABC biết OB = cm, OA = cm 3.3 Bài tập nâng cao Bài 1: Cho tam giác ABC có góc nhọn, kẻ hai đường cao BD CE cắt H a) Chứng minh bốn điểm A, E, H, D thuộc đường tròn xác định tâm I đường tròn b) Chứng minh AH vng góc BC c) Cho góc A = 600, AB = 6cm tính BD d) Gọi O trung điểm BC Chứng minh OD tiếp tuyến đường tròn (I) Bài 2: Cho đường tròn (O;R), đường kính AB Lấy điểm C tùy ý cung AB cho AB < AC File word liên hệ zalo: 0975.826870 Thầy Phan Huy Bằng Chuyên đề đường tròn a) Chứng minh tam giác ABC vuông b) Qua A vẽ tiếp tuyến (d) với đường tròn (O), BC cắt (d) F Qua C vẽ tiếp tuyến (d’) với đường tròn (O), (d’) cắt (d) D Chứng minh : DA =DF c) Hạ CH vng góc AB (H thuộc AB), BD cắt CH K Chứng minh K trung điểm CH d) Tia AK cắt DC E Chứng minh EB tiếp tuyến (O) , suy OE // CA Bài 3: Cho đường tròn (O;R) điểm A nằm ngồi đường tròn cho OA = 2R Vẻ tiếp tuyến AB ; AC với (O) ( B ; C tiếp điểm ) a) Chứng minh: Tam giác ABC b) Từ O kẻ đường vuông góc với OB cắt AC S Chứng minh : SO = SA c) Gọi I trung điểm OA.Chứng minh SI tiếp tuyến (O) d) Tính độ dài SI theo R Bài 4: Cho đường tròn (O;R) đường kính AB H trung điểm OB Qua H vẽ dây CD vng góc vơi AB a) Chứng minh tam giác OCB b) Tính dài AC CH theo R c) Tiếp tuyến C D cắt I Chứng tỏ điểm O, B, I thẳng hàng 4HB.HI = 3R2 d) Đường vng góc với AD kẻ từ H cắt CB E.OE cắt CI K.Chứng minh KB tiếp tuyến (O) B tâm đường tròn nội tiếp tam giác ICD Bài 5: Từ điểm A (O; R), kẻ tiếp tuyến AB với (O) (B tiếp điểm) Đường thẳng qua B vuông góc với AO H cắt (O) C Vẽ đường kính BD (O) a) Chứng minh ΔBCD vng b) Chứng minh AC tiếp tuyến (O) c) Chứng minh DC AO = 2R2 d) Biết OA = 2R Tính diện tích ΔBCK theo R Bài 6: Từ điểm M ngồi đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến MA MB (A B hai tiếp điểm), OM cắt AB H a) Chứng minh H trung điểm AB File word liên hệ zalo: 0975.826870 Thầy Phan Huy Bằng Chuyên đề đường tròn b) Trên đường thẳng AB lấy điểm N (với A nằm B N) Từ M kẻ đường thẳng vng góc với ON K cắt AB I Chứng minh điểm O, K, A, M, B nằm đường tròn c) Chứng minh : NA.NB = NI.NH d) Tia MK cắt đường tròn (O) C D (với C nằm M D) Chứng minh NC ND hai tiếp tuyến đường tròn (O) File word liên hệ zalo: 0975.826870 Chuyên đề đường tròn Thầy Phan Huy Bằng 1.4 Vị trí tương đối hai đường tròn 1.4.1 Vị trí tương đối hai đường tròn Cho hai đường tròn (O; R) (O’; R’) ta có: - Nếu hai đường tròn cắt thì: |R – R’| < OO’ < |R + R’| A R R' O' O B - Nếu hai đường tròn tiếp xúc thì: + Tiếp xúc trong: OO’ = |R – R’| + Tiếp xúc ngoài: OO’ = |R – R’| O - R' R M O' M R' R O O' Nếu hai đường tròn khơng giao thì: + Hai đường tròn nhau: OO’ > R + R’ + Hai đường tròn chứa nhau: OO’ < |R – R’| 1.4.2 Định lý - Nếu hai đường tròn cắt đường nối tâm trung trực dây cung chung - Nếu hai đường tròn tiếp xúc tiếp điểm nằm đường nối tâm 1.4.3 Đường tròn nội tiếp tam giác Đường tròn tiếp xúc với ba cạnh tam giác gọi đường tròn nội tiếp tam giác Tâm đường tròn nội tiếp giao phân giác File word liên hệ zalo: 0975.826870 Chuyên đề đường tròn Thầy Phan Huy Bằng b) Gọi E điểm đối xứng với H qua BC Chứng minh E thuộc đường tròn (O) c) Gọi I giao điểm đường thẳng MN BC , AI cắt (O) K Chứng minh tứ giác IKMC nội tiếp GIẢI A M K N H O I C B E a) Học sinh tự giải b) Do E đối xứng với H qua BC nên ta có: BCE BCH mà BCH BAE (cùng phụ với góc ABC) suy ra: BCE BAE tứ giác ACEB nội tiếp (do A C nhìn BE hai góc nhau) Hay E thuộc (O) c) Ta có tứ giác BNMC nội tiếp (cmt) nên: IN.IM = IB.IC Tứ giác AKBC nội tiếp nên ta có: IK.IA = IB.IC Từ suy ra: IK.IA = IN.IM đó: AKNM nội tiếp suy ra: AKM ANM (cùng chắn cung AM) Mặt khác ta có: ANM BCM Vậy: AKM ICM đó: IKMC nội tiếp Bài 1.2 (TPHCM - 2012): Cho đường tròn (O) có tâm O M nằm ngồi đường tròn Đường thẳng MO cắt (O) E F (ME < MF) Vẽ cát tuyến MAB tiếp tuyến MC (O) (C tiếp điểm, A nằm M B, A C nằm khác phía MO) a) Chứng minh MA.MB = ME.MF b) Gọi H hình chiếu vng góc C lên MO Chứng minh tứ giác AHOB nội tiếp c) Trên nửa mặt phẳng bờ OM có chứa A, vẽ nửa đường tròn đường kính MF; nửa đường tròn cắt tiếp tuyến E (O) K Gọi S giao điểm CO KF Chứng minh đường thẳng MS vng góc với KC File word liên hệ zalo: 0975.826870 Chuyên đề đường tròn Thầy Phan Huy Bằng d) Gọi P Q tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác EFS ABS T trung điểm KS Chứng minh P, Q, T thẳng hàng GIẢI a) HS tự giải b) Ta có: Theo hệ thức lượng tam giác vng ta có: MC MH MO Mặt khác ta có: MC MA.MB Từ suy ra: MH MO MA.MB nên tứ giác AHOB nội tiếp c) Theo hệ thức lượng ta có: MK ME.MF MC nên MK = MC mà tứ giác MKSC nội tiếp đường tròn đường kính MS nên MS trung trực KC hay MS vng góc với KC d) Theo hệ thức lượng ta có: MK MV MS MA.MB nên tứ giác AVSB nội tiếp hay đường tròn tâm Q qua SV Tương tự: EVSF nội tiếp nên đường tròn tâm P qua SV Từ ta thấy PQ vng góc với dây cung SV PQ qua trung điểm SV mà PQ song song với KV nên PQ qua trung điểm KS Hay P, Q, T thẳng hàng Bài 1.3: Từ A ngồi đường tròn (O), kẻ tiếp tuyến AB, AC với đường tròn Gọi BD dây đường tròn song song với AC, E giao AD với (O), I giao BE AC Chứng minh I trung điểm AC File word liên hệ zalo: 0975.826870 Chuyên đề đường tròn Thầy Phan Huy Bằng Bài 1.4: Qua A đường tròn (O), kẻ cát tuyến ABC với đường tròn Các tiếp tuyến với đường tròn B, C cắt K Qua K kẻ đường thẳng vng góc với OA cắt (O) E, F (E nằm K F) Gọi M giao OK BC Chứng minh: a) EMOF tứ giác nội tiếp b) AE, AF tiếp tuyến (O) Bài toán 2: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), gọi E, F chân đường cao kẻ từ B, C tam giác Chứng minh: OA EF GIẢI x A E F O B C Kẻ tiếp tuyến Ax (O) Ta có: OA Ax , ta chứng minh Ax//EF Ta có: xAC sd AC ABC (góc tiếp tuyến dây cung) Do tứ giác BFEC nội tiếp nên ta có: ABC AEF AEF xAC suy ra: Ax//EF Vậy: OA EF (đpcm) Mở rộng: Gọi I, J trung điểm BC, EF Chứng minh: OA//IJ Bài 2.1 (TPHCM - 2014): Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm O (AB < AC) Các đường cao AD CF tam giác ABC cắt H a) Chứng minh BFHD nội tiếp Tính góc AHC theo góc B b) Gọi M điểm cung nhỏ BC (O) (M khác B C) N đối xứng M qua AC Chứng minh tứ giác AHCN nội tiếp c) Gọi I giao điểm AM HC; J giao AC HN Chứng minh: AJI ANC d) Chứng minh OA vng góc với IJ File word liên hệ zalo: 0975.826870 Chuyên đề đường tròn Thầy Phan Huy Bằng e) Chứng minh: CI.CH + AI.AM = AC2 (Mở rộng) GIẢI a) HS tự giải b) Ta có: ANC AMC (do N đối xứng M qua AC) ABC AMC (cùng chắn cung AC) Tứ giác BFHE nội tiếp nên ABC AHC 1800 Hay ANC AHC 1800 nên tứ giác AHCN nội tiếp c) Ta có: IAJ CAN (do tính đối xứng) CHN CAN (cùng chắn cung CN) Vậy tứ giác AHIJ nội tiếp Do đó: AJI AHC 1800 nên AJI ANC d) Ta có: AJI ANC AMC AMC CAy (cùng chắn cung AC) Từ ta có: AJI CAy nên xy//IJ Mà OA vng góc xy nên OA vng góc với IJ (có thể mở rộng chứng minh IJ song song với DE) e) Chứng minh tứ giác AJIH nội tiếp ta có: CI.CH = CJ.AC Chứng minh tứ giác IJCM nội tiếp ta có: AI.AM = AJ.AC suy đpcm Bài 2.2 (PTNK – 2018): Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (T) tâm O bán kính R; CAD 450 , AC vng góc với BD cắt BD I, AD > BC Dựng CK vuông góc với AD (K thuộc AD), CK cắt BD H cắt (T) E (E khác C) a) Tính số đo góc COD Chứng minh điểm C, I, K, D thuộc đường tròn File word liên hệ zalo: 0975.826870 Chuyên đề đường tròn Thầy Phan Huy Bằng AC = BD b) Chứng minh A tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BHE Tính IK theo R c) IK cắt AB F Chứng minh O trực tâm tam giác AIK CK.CB = CF.CD GIẢI E D K A P H O M Q I C B F a) Tam giác AID có góc IAD = 450 nên góc ADB = 450 Hai tam giác AOC BOD nên AC = BD C, I, K, D thuộc đường tròn đường kính CD b) H trực tâm ACD nên B E đối xứng với H qua AC, AD nên AB = AH = AE R Tam giác ILK vng cân L có: IL = OL = KL = nên IK = R c) OA vng góc với IK (chứng minh trên) Góc AKO = góc OCD = 450 nên OK vng góc với AI O trực tâm tam giác AIK Góc FBC = góc CDA = góc FIC nên FBIC tứ giác nội tiếp nên góc CFB = 900 Hai tam giác FBC KDC đồng dạng nên CK.CB = CF.CD Bài 2.3 (Q3 – 2019): Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O) có đường cao AD Vẽ DE AC E DF AB F a) Chứng minh AFE ADE tứ giác BCEF nội tiếp b) Tia EF cắt tia CB M, đoạn thẳng AM cắt đường tròn (O) N (khác A) Chứng minh AF AB = AE AC MN MA = MF ME File word liên hệ zalo: 0975.826870 Thầy Phan Huy Bằng Chuyên đề đường tròn c) Tia ND cắt đường tròn (O) I Chứng minh OI EF Bài 2.4 (TP – 2019): Cho ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O), đường cao BE CF cắt H a) Chứng minh tứ giác AEHF BCEF nội tiếp b) Hai đường thẳng EF BC cắt I Vẽ tiếp tuyến ID với (O) (D tiếp điểm, D thuộc cung nhỏ BC) Chứng minh ID2 = IB IC c) DE, DF cắt đường tròn (O) P Q Chứng minh PQ // EF d) Chứng minh: OA vng góc với PQ Bài 2.5: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp (O; R), đường cao AD, BE CF Gọi r bán kính đường tròn nội tiếp tam giác DEF a) Chứng minh OA vng góc EF b) Tính tỉ số diện tích tam giác DEF ABC theo R r Bài 2.6: Cho đường tròn tâm O, dây AB M di chuyển cung lớn AB Các đường cao AE, BF tam giác ABM cắt H a) Chứng minh: OM vng góc EF b) Đường tròn tâm H bán kính HM cắt MA, MB thứ tự C, D Chứng minh đường thẳng kẻ từ M vng góc CD ln qua điểm cố định c) Chứng minh đường thẳng kẻ từ H vng góc với CD qua điểm cố định Bài 2.7: Cho tam giác ABC nội tiếp (O) Một đường tròn tâm I tùy ý qua B, C cắt AB AC theo thứ tự M N Đường tròn ngoại tiếp tâm K ANM cắt (O) điểm thứ hai D Chứng minh rằng: a) AKIO hình bình hành b) ADI 900 Bài 2.8: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O), vẽ đường tròn (I) đường kính BC cắt AB, AC E, F BE CF cắt H a) Chứng minh AEHF tứ giác nội tiếp b) Tia CF, BE cắt (O) N, M Chứng minh: EF//MN c) Vẽ đường tròn ngoại tiếp tam giác AME cắt MN K Chứng minh A, K, O thẳng hàng File word liên hệ zalo: 0975.826870 Chun đề đường tròn Thầy Phan Huy Bằng Bài tốn 3: Cho tam giác ABC có góc A 600 nội tiếp đường tròn tâm (O; R) Tính độ dài cạnh BC, AH theo R GIẢI A E O H B D M C K Ta có: BOC 2.A 1200 BOM 600 Do đó: BC 2.BM 2.R.sin 600 R AH 2.O M 2.R.cos600 R Ngoài ta chứng minh tứ giác BHOC tứ giác nội tiếp ( BOC BHC 1200 ) Bài 3.1 Cho ∆ABC (AB < AC) có góc nhọn nội tiếp (O;R) Vẽ đường cao AD tam giác ABC đường kính AK (O) a) Chứng minh: AB.AC = AD.AK b) Tia AD cắt (O) M Gọi H điểm đối xứng M qua D Chứng minh H trực tâm ∆ABC c) Tính độ dài BC, AH theo R biết tứ giác BHOC nội tiếp Bài 3.2 (TP – 2019): Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O ( AB < AC) Hai đường cao AD, CE cắt H a Giả sử góc A = 600 Tính độ dài cung nhỏ BC diện tích viên phân giới hạn dây BC cung nhỏ BC theo R File word liên hệ zalo: 0975.826870 Chuyên đề đường tròn Thầy Phan Huy Bằng b Kẻ đường kính AK cắt CE M, CK cắt AD F Chứng minh: Tứ giác BEHD nội tiếp AH.AF = AM.AK c Gọi I trung điểm BC; EI cắt AK N Chứng minh tứ giác EDNC hình thang cân Bài 3.3: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) Gọi H trực tâm, I tâm đường tròn nội tiếp tam giác a) Chứng minh AI phân giác OAH b) Cho góc A 600, chứng minh OI = IH VẤN ĐỀ 6: BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài (TPHCM - 2013): Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC), nội tiếp đường tròn (O, R), (B, C cố định, A di chuyển cung lớn BC) Các tiếp tuyến B, C cắt M Từ M kẻ đường thẳng song song với AB, đường thẳng cắt (O) D, E (D thuộc cung nhỏ BC), cắt BC F, cắt AC I a) Chứng minh MBC BAC Từ suy ra: MBIC nội tiếp b) Chứng minh: FI.FM = FD.FE c) Đường thẳng OI cắt (O) P Q (P thuộc cung nhỏ AB) Đường thẳng QF cắt (O) T (T khác Q) Chứng minh P, T, M thẳng hàng d) Tìm A BC cho diện tích tam giác IBC lớn GIẢI File word liên hệ zalo: 0975.826870 Chuyên đề đường tròn Thầy Phan Huy Bằng a) MBC BAC (cùng chắn cung BC) MIC BAC (do MI//AB hai góc đồng vị) Vậy MIBC nội tiếp b) Tứ giác BDCE nội tiếp nên: FE.FD = FB.FC Tứ giác BMCI nội tiếp nên: FI.FM = FB.FC Từ ta có: FI.FM = FE.FD c) Do MBOC nội tiếp nên điểm M, B, O, I, C nội tiếp nên FIQ 900 Mặt khác ta có: FT.FQ = FB.FC = FI.FM nên QITM nội tiếp hay QT MT Do PQ đường kính nên QT PT nên P, T, M thẳng hàng d) Do BC cố định nên diện tích tam giác IBC lớn khoảng cách từ I đến BC lớn Khoảng cách lớn I trùng O hay CA đường kính (O, R) Bài (TPHCM - 2015): Cho tam giác ABC (AB < AC) có ba góc nhọn Đường tròn tâm O đường kính BC cắt AC, AB E, F Gọi H giao BE CF, D giao AH BC a) b) c) d) Chứng minh AD BC AH.AD = AE.AC Chứng minh: EFDO tứ giác nội tiếp Trên tia đối tia DE lấy L cho DL = DF Tính góc BLC Gọi R, S hình chiếu B, C lên EF Chứng minh: DE + DF = RS GIẢI File word liên hệ zalo: 0975.826870 Chuyên đề đường tròn Thầy Phan Huy Bằng a) HS tự giải FOD 2. HCD b) Ta có: FED 2.HCD FOD FED Nên EFDO tứ giác nội tiếp c) DH phân giác góc EDF mà BD vng góc với DH nên DB phân giác FDL mà DL = DE nên L đối xứng với F qua BC mà F thuộc (O) nên L thuộc (O) Do đó: BLC 900 d) BISR hình chữ nhật nên RS = BI Do E, F đối xứng qua BC nên BL BF mà EI BF đó: EI BL nên tứ giác BEIL hình thang cân BI LE RS = BI = LE = LD + DE = DE + DF (đpcm) Bài (TPHCM - 2016): Cho tam giác ABC (AB < AC) có ba góc nhọn Đường tròn tâm O đường kính BC cắt cạnh AC, Ab D, E Gọi H giao điểm BD CE, F giao AH BC a) Chứng minh: AF BC AFD ACE b) Gọi M trung điểm AH Chứng minh: MD OD điểm M, D, O, F, E thuộc đường tròn c) Gọi K giao AH DE Chứng minh: MD2 MK MF K trực tâm MBC 1 d) Chứng minh: FK FH FA GIẢI a) HS tự giải b) điểm thuộc đường tròn đường kính OM File word liên hệ zalo: 0975.826870 Thầy Phan Huy Bằng Chun đề đường tròn c) Ta có: MDK EOD (chắn cung ED) Dễ thấy FH phân giác góc EFD nên ta có: MDF EFD Mà EFD EOD (cùng chắn cung ED) Vậy: MDK đồng dạng với MFD nên MD2 MK MF Ta có: MD2 MI MC Vậy tứ giác KICF nội tiếp hay KI IC Do BI IC nên I, K, B thẳng hàng hay K trực tâm MBC d) Ta có: FH.FA = FB.FC FK.FM = FB.FC Nên: FK.FM = FH.FA 2FA.FH = 2FK.FM = FK.(FA - MA + MH + FH) = FK.(FA + FH) ( MA = 1 MH) nên FK FH FA Bài (TPHCM - 2017): Cho tam giác ABC vuông A Đường tròn tâm O đường kính AB cắt đoạn BC OC D I Gọi H hình chiếu A lên OC; AH cắt BC M a) Chứng minh: Tứ giác ACDH nội tiếp CHD ABC b) Chứng minh: Hai tam giác OHB OBC đồng dạng với HM tia phân giác BHD c) Gọi K trung điểm BD Chứng minh: MD.BC = MB.CD MB.MD = MK.MC d) Gọi E giao AM OK; J giao điểm IM (O) (J khác I) Chứng minh: Hai đường thẳng OC EJ cắt điểm nằm (O) GIẢI a) Ta có: CH//BL nên ta có: DCH DBL (so le trong) Mà: DAH DBL (cùng chắn cung BL) Nên tứ giác ACDH nội tiếp CHD ABC (vì góc CAD ) b) Theo hệ thức lượng ta có: OH.OC = OA2 = OB2 nên OHB OBC (c g c) OHB OBC CHD DHM MHB hay HM phân giác góc DHB c) Do HM phân giác góc DHB mà HC HM nên HC phân giác góc ngồi DHB nên ta có: MD HD CD MD.BC MB.CD MB HB CB File word liên hệ zalo: 0975.826870 Thầy Phan Huy Bằng Chuyên đề đường tròn Dễ thấy điểm C, A, O, K, L nội tiếp nên ta có: MK.MC = MA.ML = MD.MB d) Ta thấy IN đường kính nên: JI JN MC.MK = MD.MB =MJ.MI nên CIKJ nội tiếp nên MCI MJK Mà MEK MCI (cùng phụ với góc COE) tứ giác MEJK nội tiếp hay MJ JE Từ ta có E, J, N thẳng hàng Định hướng: CO cắt (O) N Ta chứng minh E, J, N thẳng hàng Mà JI JN nên ta phải chứng minh MJ JE ta phải chứng minh MKJE nội tiếp Bài (TPHCM - 2019): Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O) Hai đường cao BD CE tam giác ABC cắt H Đường thẳng AH cắt BC (O) F K (K khác A) Gọi L hình chiếu D lên AB a) Chứng minh tứ giác BEDC nội tiếp BD2 = BL.BA b) Gọi J giao điểm KD (O), (J khác K) Chứng minh BJK BDE File word liên hệ zalo: 0975.826870 Chuyên đề đường tròn Thầy Phan Huy Bằng c) Gọi I giao BJ ED Chứng minh tứ giác ALIJ nội tiếp I trung điểm ED GIẢI Câu a, b học sinh tự giải c) Theo câu b ta có: tam giác BID đồng dạng với tam giác BDJ nên ta có: BI.BJ = BD2 = BL.BA nên ALIJ nội tiếp ELI BJA BCA LEI IE IL ILD LDI (ILD ILE LDI IEL 900 ) IL ID Vậy I trung điểm ED Nhận xét: Trong năm gần toán tam giác nhọn nội tiếp đường tròn nhiều chủ yếu khai thác yếu tố quen thuộc sau phát triển thêm để tăng độ khó tốn câu c, d Hy vọng bạn lớp phân tích nhận xét yếu tố quen thuộc để làm câu khó File word liên hệ zalo: 0975.826870 Thầy Phan Huy Bằng Chuyên đề đường tròn Bài 6: Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R Từ A B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By Qua điểm M thuộc nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt tiếp tuyến Ax , By C D Các đường thẳng AD BC cắt N a Chứng minh AC + BD = CD b Chứng minh góc COD = 900 c Chứng minh AC BD = R2 d Chứng minh: OC // BM e Chứng minh AB tiếp tuyến đường tròn đường kính CD f Chứng minh MN vng góc AB Bài 7: Cho đường tròn (O; R), từ điểm A (O) kẻ tiếp tuyến d với (O) Trên đường thẳng d lấy điểm M ( M khác A) kẻ cát tuyến MNP gọi K trung điểm NP, kẻ tiếp tuyến MB (B tiếp điểm) Kẻ AC MB, BD MA, gọi H giao điểm AC BD, I giao điểm OM AB a Chứng minh tứ giác AMBO nội tiếp b Chứng minh năm điểm O, K, A, M, B nằm đường tròn c Chứng minh OI.OM = R2; OI IM = IA2 d Chứng minh OAHB hình thoi e Chứng minh ba điểm O, H, M thẳng hàng Bài 8: Cho đường tròn (O; R) đường kính AB Kẻ tiếp tuyến Ax lấy tiếp tuyến điểm P cho AP > R, từ P kẻ tiếp tuyến tiếp xúc với (O) M a Chứng minh tứ giác APMO nội tiếp đường tròn b Chứng minh BM // OP c Đường thẳng vng góc với AB O cắt tia BM N Chứng minh tứ giác OBNP hình bình hành d Biết AN cắt OP K, PM cắt ON I; PN OM kéo dài cắt J Chứng minh I, J, K thẳng hàng Bài 9: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB điểm M nửa đường tròn (M khác A,B) Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến Ax Tia BM cắt Ax I; tia phân giác góc IAM cắt nửa đường tròn E; cắt tia BM F tia BE cắt Ax H, cắt AM K File word liên hệ zalo: 0975.826870 Thầy Phan Huy Bằng Chuyên đề đường tròn a Chứng minh rằng: EFMK tứ giác nội tiếp b Chứng minh rằng: AI2 = IM IB c Chứng minh BAF tam giác cân d Chứng minh : Tứ giác AKFH hình thoi Bài 10: Cho đường tròn (O) điểm A ngồi đường tròn Các tiếp tuyến với đường tròn (O) kẻ từ A tiếp xúc với đường tròn (O) B C Gọi M điểm tuỳ ý đường tròn ( M khác B, C), từ M kẻ MH vng góc BC, MK vng góc CA, MI vng góc AB Chứng minh : a Tứ giác ABOC nội tiếp b BAO BCO c MIH MHK d MI.MK = MH2 File word liên hệ zalo: 0975.826870 ... sánh độ dài đường kính Định lý 1: Trong đường tròn đường kính dây lớn Định lý 2: Trong đường tròn: a) Hai dây cách tâm b) Hai dây cách tâm B H A O C D K Định lý 3: Trong đường tròn a) Dây lớn dây... B C Góc ACB góc nội tiếp chắn cung AB Định lý 3: Trong đường tròn số đo góc nội tiếp nửa số đo cung bị chắn 1 ACB AOB sd AB 2 Hệ quả: Trong đường tròn: - Các góc nội tiếp chắn cung - Các... cắt I cắt (O) D E DE cắt AB AC H K Tia AI cắt (O) M a Chứng minh sd EA sd EB , sd DA sd DC sd MB sd MC b Chứng minh tam giác DAI cân D, tam giác EAI cân E c Đường thẳng DE đoạn thẳng AH