TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI II KHOA TOÁN =============== BÀI TẬP NGHIÊN CỨU KHOA HỌC DẠY HỌC DỰ ĐOÁN TRONG GIẢI TOÁN TÌM TẬP HỢP Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG Người thực hiện: Nguyễn Xuân Nam Lớp: Toán K4 – Bắc Giang Giáo viên hướng dẫn: Th.S NGUYỄN VĂN HÀ PHẦN I: CƠ SỞ LÝ LUẬN I) Vai trò, ý nghĩa của dạng toán tìm tập hợp ở trường phổ thông Củng cố các kiến thức cơ bản trong hình học cho học sinh: - Toán tìm tập hợp là một dạng toán tổng hợp, có nội dung phong phú chứa đựng nhiều nội dung kiến thức cơ bản của hình học. Khi giải dạng toán này đòi hỏi học sinh phải nắm rất vững các kiến thức cơ bản có liên quan đến bài toán và phải biết cách vận dụng chúng một cách linh hoạt, sáng tạo. Vì vậy qua việc giải các bài toán tìm tập hợp sẽ củng cố nhiều kiến thức cơ bản toán học cho học sinh. - Ví dụ: Xét bài toán: ‘‘ Cho một đường tròn (O, R) và một số l > 0. Tìm tập hợp các trung điểm M của các dây cung AB có độ dài bằng l của đường tròn’’ Khi giải bài toán trên đòi hỏi học sinh phải nắm vững các kiến thức cơ bản sau đây: + Khái niệm về đường tròn, đường kính và dây cung + Tính chất về mối quan hệ giữa đường kính và dây cung của một đường tròn + Định lý Pi-ta-go về tam giác vuông Rèn luyện và phát triển tư duy cho học sinh: - Qua những bài toán tìm tập hợp giúp học sinh nắm vững các loại mệnh đề thuận, mệnh đề đảo, mệnh đề phản và mệnh đề phản đảo. Đối với những bài toán có mệnh đề thuận phức tạp đòi hỏi học sinh phải hiểu được cấu trúc lôgic của mệnh đề này mới có thể thành lập được mệnh đề đảo của nó. Đồng thời khi chứng minh mệnh đề thuận hoặc mệnh đề đảo của bài toán tìm tập hợp đòi hỏi học sinh phải biết cách sử dụng các thao tác tư duy như phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hóa, … vào việc tìm đường lối chứng minh toán học. Do vậy qua dạng toán tìm tập hợp rèn luyện và phát triển tư duy lôgic cho học sinh. - Toán tìm tập hợp là dạng toán tìm kiếm, trong đó yêu cầu phải chứng minh không thể hiện ở trong kết luận của đề toán. Để giải dạng toán này học sinh phải có khả năng độc lập, sáng tạo: Học sinh cần phải biết vận dụng các phép suy luận nghe có lý như đặc biệt hóa, khái quát hóa, tương tự, …. vào việc dự đoán tập hợp cần tìm hoặc mở rộng bài toán từ phẳng ra không gian. Rèn luyện và phát triển kĩ năng vận dụng cho học sinh: Toán tìm tập hợp là dạng toán tổng hợp, trong đó bao gồm cả toán tính toán, toán dựng hình và toán chứng minh. Trong toán tìm tập hợp luôn phải chứng minh hai mệnh đề thuận, đảo hoặc cặp mệnh đề khác tương đương; đồng thời phải biết xác định được hình dạng của tập hợp cần tìm, tức là dựng được nó. Do vậy qua toán tìm tập hợp các dạng toán điển hình trong hình học của học sinh được rèn luyện, củng cố và phát triển Bồi dưỡng quan điểm duy vật biện chứng cho học sinh: Qua dạng toán tìm tập hợp bồi dưỡng cho học sinh quan điểm động, nhờ đó học sinh có “ con mắt hình học’’ khi quan sát, nghiên cứu các hiện tượng trong đời sống hàng ngày. Họ sẽ nhận thức được rằng mọi sự vật, hiện tượng trong thực tiễn đều biến đổi theo một quy luật nào đó. Họ sẽ nhìn nhận và suy nghĩ các vấn đề một cách sinh động, phù hợp với điều kiện từng nơi, từng lúc. Toán tìm tập hợp là dạng toán khó trong hình học. Qua việc giải dạng toán này sẽ rèn luyện cho học sinh nhiều phẩm chất, đức tính cần thiết của người lao động mới II) Nội dung của toán tìm tập hợp ở trường phổ thông Triển khai nội dung về các bài toán tìm tập hợp cơ bản: (Các qũy tích cơ bản) Lớp 7: - Qũy tích đường phân giác của một góc: Tập hợp những điểm cách đều hai cạnh của một góc - Qũy tích đường đường trung trực của một đoạn thẳng: Tập hợp những điểm cách đều hai đầu của một đoạn thẳng Lớp 8: - Qũy tích đường thẳng song song cách đều: Tập hợp những điểm cách đều một đường thẳng cố định cho trước một khoảng cho trước Lớp 9: - Qũy tích đường tròn: Tập hợp những điểm cách đều một điểm cố định cho trước một khoảng cho trước, hoặc tập hợp những điểm luôn nhìn hai đầu của một đoạn thẳng cố định cho trước dưới một góc vuông - Quỹ tích cung chứa góc: Tập hợp những điểm luôn nhìn hai đầu của một đoạn thẳng cố định cho trước dưới một góc không đổi. Lớp 10: - Qũy tích tổng, hiệu bình phương: MA 2  MB 2 = k 2 - Một số bài tập liên quan đến quỹ tích trục đẳng phương của hai đường tròn, liên quan đến hệ thức lượng trong tam giác, hoặc liên quan đến hệ thức lượng trong đường tròn Lớp 11: - Bao gồm một số qũy tích cơ bản: Mặt phẳng trung trực của một đoạn thẳng; Mặt phẳng phân giác của một nhị diện; Mặt cầu - Một số bài tập tìm tập hợp liên quan đến các phép biến hình trong hình học phẳng Nhận xét: - Toán tìm tập hợp là dạng toán quan trọng trong chương trình toán phổ thông. Tuy nhiên, đây là dạng toán khó đối với đa số học sinh, do đó trong chương trình còn chưa chú ý nhiều: + Trong hình học phẳng: Bao gồm những bài toán tìm tập hợp cơ bản nhất và một số rất ít các bài toán vận dụng các bài toán cơ bản này. Khi giải các bài toán tìm tập hợp không có yêu cầu chứng minh phần đảo + Trong hình học không gian: Không có điều kiện để nghiên cứu sâu dạng toán quỹ tích như trong hình học phẳng, mà chỉ giới thiệu một vài bài toán quỹ tích cơ bản nhất mở rộng tương tự với hình học phẳng - Những khó khăn đặt ra trước học sinh khi giải các bài toán dạng này: + Trước đây học sinh chỉ quen với các yếu tố cố định, yếu tố không đổi và chưa quen nghiên cứu các bài toán hình học có yếu tố thay đổi, biến thiên + Học sinh thường có tư tưởng sợ loại toán này: Không biết cách dự đoán tập hợp càn tìm, không biết thành lập mệnh đề đảo của bài toán quỹ tích có mệnh đề thuận phức tạp III) Dạy cho học sinh dự đoán tập hợp cần tìm: Ý nghĩa, vai trò của việc dự đoán tập hợp cần tìm: Việc dự đoán tập hợp cần tìm không yêu cầu phải có trong lời giải của bài toán tìm tập hợp, nhưng nó lại đóng vai trò rất quan trọng trong việc tiếp cận để tìm ra lời giải của nó. Muốn giải được bài toán tìm tập hợp thì yêu cầu cơ bản trước tiên là học sinh phải đề ra được dự kiến chứng minh tập hợp H là tập hợp cần tìm, tức là dự đoán tập hợp cần tìm. Do vậy học sinh cần phải có kinh nghiệm trong việc dự đoán và biết cách dự đoán một cách nhanh chóng, chính xác được tập hợp cần tìm thì từ đó có thể tiếp tục bước tiếp theo là chứng minh thuận đảo và kết luận tập cần tìm là hình H Một số phương pháp dự đoán tập hợp cần tìm: a) Dự đoán dựa vào thực nghiệm: + Ta theo dõi các phần tử chuyển động sinh ra tập hợp cần tìm. Thông thường ta chú ý đến các vị trí đặc biệt của phần tử chuyển động trong bài toán tìm tập hợp. Các vị trí đặc biệt ở đây thường là các vị trí biên của hình gốc, các vị trí xác định trên hình gốc (Hình gốc là hình tạo bởi các yếu tố cố định trong bài toán tìm tập hợp) + Trong dự đoán bằng thực nghiệm cần chú ý tìm ra ba điểm thuộc tập hợp cần tìm: Nếu ba điểm tìm được đó thẳng hàng thì dự đoán tập hợp cần tìm là thuộc loại thẳng có thể là đường thẳng hoặc đoạn thẳng Nếu ba điểm tìm được đó không thẳng hàng thì dự đoán tập hợp cần tìm là thuộc loại tròn có thể là đường tròn hoặc cung tròn Ví dụ: ‘‘Cho đường tròn tâm O bán kính R và một điểm P cố định ở ngoài đường tròn. Một cát tuyến quay quanh P cắt đường tròn ở hai điểm A, B. Tìm tập hợp trung điểm I của dây cung AB.” Ví dụ: ‘‘Cho góc µ xOy cố định. Tìm tập hợp những điểm M nằm trong góc µ xOy sao cho tổng khoảng cách từ điểm M tới hai cạnh của góc là một số k > 0 không đổi.” b) Dự đoán dựa vào điểm vô tận: + Nếu khoảng cách từ điểm cần tìm tập hợp đến một điểm cố định nào đó trong hình gốc có thể tăng lên một cách vô cùng lớn thì ta nói điểm vô tận thuộc tập hợp cần tìm. Khi tập hợp cần tìm chứa điểm vô tận thì có thể dự đoán tập hợp cần tìm thuộc loại thẳng + Nếu khoảng cách từ điểm cần tìm tập hợp đến một điểm cố định nào đó trong hình gốc không thể tăng lên một cách vô cùng lớn thì ta nói điểm vô tận không thuộc tập hợp cần tìm. Khi tập hợp cần tìm không chứa điểm vô tận thì có thể dự đoán tập hợp cần tìm thuộc loại tròn Ví dụ: ‘‘Cho hai điểm A, B cố định và một số k > 0 không đổi cho trước. Tìm tập hợp những điểm M trong mặt phẳng sao cho: MA 2 + MB 2 = k 2 ’’ Hd: Dễ thấy với mọi M hai khoảng cách MA, MB  k 2 . Do đó điểm vô tận không thuộc tập hợp cần tìm, nên dự đoán tập hợp cần tìm là loại tròn c) Dự đoán dựa vào tính đối xứng của hình gốc: Từ một điểm nào đó thuộc tập cần tìm và dựa vào tính đối xứng của hình gốc ta có thể suy ra những điểm khác thuộc tập hợp cần tìm. Nhờ đó giúp học sinh củng cố niềm tin vào việc dự đoán đúng tập hợp cần tìm Ví dụ: Hd: Cát tuyến đi qua tâm O: Tâm O thuộc tập cần tìm Cát tuyến ở vị trí tiếp tuyến: Tiếp điểm T, T’ thuộc tập cần tìm Dễ thấy ba điểm T, O, T’ không thẳng hàng nên có thể dự đoán tập cần tìm là cung tròn đường kính PO Hd: M Ox: M  A  Ox sao cho khoảng cách từ A tới Oy là k. M Oy: M  B  Oy sao cho khoảng cách từ B tới Ox là k. Dễ thấy ba điểm A, M, B thẳng hàng nên có thể dự đoán tập cần tìm là đoạn thẳng AB O y A B x M P Q T’ P A B T I O ‘‘Cho hai điểm A, B cố định và một số k > 0 không đổi cho trước. Tìm tập hợp những điểm M trong mặt phẳng sao cho: MA 2 + MB 2 = k 2 ’’ d) Dự đoán dựa vào phép suy luận nghe có lý: Để có dự đoán đúng, nhiều khi ta sử dụng các phép suy luận nghe có lý để đưa bài toán tìm tập hợp đã cho về bài toán đặc biệt hoặc bài toán tương tự đơn giản hơn đã biết cách giải. Từ kết quả của bài toán có liên quan ta có thể nhanh chóng đưa ra dự đoán về tập hợp cần tìm của bài toán đã cho. Ví dụ: ‘‘Cho hai điểm A, B cố định và một số k > 0 không đổi cho trước. Tìm tập hợp những điểm M trong mặt phẳng sao cho: MA 2 + MB 2 = k 2 ’’ Hd: Đặc biệt hóa khi k 2 = AB 2 thì ta có ngay kết quả quen thuộc tập hợp này là đường tròn đường kính AB Do đó có thể dự đoán bài toán đã cho có tập hợp cần tìm là đường tròn tâm nằm trên AB và tâm là trung điểm của AB. Lưu ý sư phạm: Trong dự đoán tập hợp cần tìm của bài toán tìm tập hợp, chúng ta cần chú ý kết hợp nhiều phương pháp dự đoán khác nhau để có thể có kết quả dự đoán nhanh chóng và chính xác tập hợp cần tìm. IV) Dạy cho học sinh nắm được bản chất của dạng toán tìm tập hợp: Bài toán:‘‘Tìm tập hợp các phần tử M có tinh chất  nào đó - M(  )” - Làm cho học sinh thấy được tính chất đa dạng phong phú của các phần tử chuyển động hoặc tập hợp cần tìm trong các bài toán tìm tập hợp: + Phần tử chuyển động có thể là điểm chuyển động, đoạn thẳng chuyển động, đường thẳng chuyển động, cung tròn hoặc đường tròn chuyển động Ví dụ: ‘‘Cho đường tròn tâm O bán kính R và một điểm P cố định ở ngoài đường tròn. Một cát tuyến quay quanh P cắt đường tròn ở hai điểm A, B. Tìm tập hợp trung điểm I của dây cung AB” + Tập hợp cần tìm có thể là tập rỗng, có thể là tập hữu hạn các phần tử, có thể là tập vô hạn các phần tử, có thể là một đường liên tục hoặc một đường rời rạc Ví dụ: O P A B N M Q Hd: Gọi điểm O là trung điểm của đoạn thẳng AB, ta thấy điểm O cũng cố định Dễ thấy nếu M thuộc tập cần tìm thì suy ra: N đối xứng của M qua trung trực của AB; P đối xứng của M qua O; Q đối xứng của M qua AB cũng thuộc tập hợp cần tìm Ta thấy M, N, P, Q không thẳng hàng nên có thể dự đoán tập cần tìm là loại tròn có tâm là trung điểm của đoạn thẳng AB ‘‘Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp những điểm trong mặt phẳng cách đều ba đỉnh của tam giác”- Ta có tập hợp cần tìm là 4 điểm rời rạc ‘‘Tìm tập hợp những điểm trong mặt phẳng cách đều ba điểm thẳng hàng cho trước”- Ta có tập hợp cần tìm là tập rỗng - Học sinh cần phải hiểu đúng thực chất của việc giải bài toán tìm tập hợp là tại sao phải chứng minh hai phần thuận, đảo rồi mới được kết luận tập hợp cần tìm là hình gì? + Nếu gọi H 0 là tập hợp các cần tìm các phần tử M có tính chất , tức là ta có: H 0 = { Tập các phần tử M có tính chất : M()}. Bài toán tìm tập hợp bắt đi tìm tập hợp H 0 ? Nếu gọi H là tập hợp mà ta có dự định chứng minh đó chính là tập hợp cần tìm các phần tử M có tính chất . Vậy ta phải chứng minh rằng: H  H 0 . Do đó ta phải chứng minh một cặp hai mệnh đề thuận, mệnh đề đảo sau: . Mệnh đề thuận: H 0  H :  M  H 0  M  H   M: M()  M  H . Mệnh đề đảo: H  H 0 :  M  H  M  H 0   M  H  M: M() + Trong chứng minh của bài toán tìm tập hợp ta phải dùng cặp mệnh đề thuận-đảo, nhưng ta cũng có thể dùng cặp mệnh đề khác tương đương: Nếu gọi A là mệnh đề: M có tính chất  và B là mệnh đề: M  H . Ta có mối quan hệ giữa các loại mệnh đề thuận, đảo, phản, phản đảo như sau: Như vậy ta thấy có bốn khả năng dùng các cặp mệnh đề tương đương trong chứng minh của bài toán tìm tập hợp: . Sử dụng cặp mệnh đề thuận và mệnh đề đảo . Sử dụng cặp mệnh đề thuận và mệnh đề phản thuận . Sử dụng cặp mệnh đề đảo và mệnh đề phản đảo . Sử dụng cặp mệnh đề phản thuận và mệnh đề phản đảo Lưu ý sư phạm: Vấn đề đặt ra trong từng bài toán của dạng toán tìm tập hợp cụ thể ta nên lựa chọn cặp mệnh đề nào cho thích hợp. Trong khi giải bài toán tìm tập hợp cần lưu ý rằng chỉ sau khi chứng minh xong cả hai phần thuận, phần đảo hoặc cặp mệnh đề khác tương đương thì mới A  B (Thuận) B  A (Đảo) (Phản) (Phản đảo) 1 2 3 4 được kết luận rằng: Tập hợp các phần tử M có tính chất  là hình H Ví dụ: ‘‘Cho góc µ xOy cố định. Tìm tập hợp những điểm M nằm trong góc µ xOy sao cho tổng khoảng cách từ điểm M tới hai cạnh của góc là một số k > 0 không đổi.” Hd: Trong phần dự đoán ở trên ta đã dự đoán tập cần tìm là đoạn thẳng AB Mệnh đề đảo: Với M  AB, MP  Ox và MQ  Oy. Chứng minh rằng MP + MQ = k (Ta có thể dễ dàng chứng minh được bằng phương pháp diện tích mệnh đề đảo này) Mệnh đề phản đảo: Với M  AB, MP  Ox và MQ  Oy. Chứng minh rằng MP + MQ  k (Kéo dài OM cắt AB tại M’, hạ M’P’  Ox và M’Q’  Oy. Theo phần đảo ở trên có: M’P’ + M’Q’ = k. Theo Ta-let có: MP MQ OM = = < 1 M'P' M'Q' OM' Theo tính chất của dãy tỷ số bằng nhau có MP + MQ OM = < 1 M'P' + M'Q' OM'  MP + MQ < M’P’ + M’Q’ = k) Trong khi chứng minh tập cần tìm là hình H có thể dùng thuận và giới hạn do tính chất liên tục của tập hợp cần tìm Ta cũng có thể dùng phép biến đổi tương đưa bài toán tìm tập hợp đã cho về các tập hợp cần tìm cơ bản đã biết Ví dụ: ‘‘Cho hai điểm A, B cố định và một số k > 0 không đổi cho trước. Tìm tập hợp những điểm M trong mặt phẳng sao cho: MA 2 + MB 2 = k 2 ’’ Hd: Gọi I là trung điểm của AB, dễ thấy I cố định và ta có biến đổi tương đương như sau: MA 2 + MB 2 = k 2  2 2 2 AB 2.MI + = k 2  2 2 2 2.k AB MI = 4 − - Không đổi Vì điểm I cố định nên suy ra tập hợp những điểm M là đường tròn tâm I, với bán kính 2 2 1 R = . 2.k - AB 2 V) Dạy học chứng minh phần đảo của bài toán tìm tập hợp O y A B x M’ P’ Q’ P M Q Học sinh cần nhận thức rằng mệnh đề đảo của bài toán tìm tập hợp là mệnh đề đảo toàn bộ: + Nếu mệnh đề thuận đơn giản phần tử cần tìm tập hợp chỉ gồm một tính chất nào đó: Dạng mệnh đề thuận: A B thì mệnh đề đảo là B A. + Nếu mệnh đề thuận bao gồm một vài tính chất nào đó: Dạng mệnh đề thuận: 1 2 n A A . A B (1)∧ ∧ ∧ ⇒ thì mệnh đề đảo toàn bộ của nó là: 1 2 n B A A . A (2)⇒ ∧ ∧ ∧ Trong thực tế lời giải của bài toán tìm tập hợp ta thường thành lập mệnh đề đảo toàn bộ như sau: 1 2 n 1 n (B A ) (B A ) . (B A ) (B A ) (3) − ⇒ ∧ ⇒ ∧ ∧ ⇒ ∧ ⇒ 1 2 n 1 1 n-1 n (B A ) (B A ) . (B A ) (B A . A A ) (4) − ⇒ ∧ ⇒ ∧ ∧ ⇒ ∧ ∧ ∧ ∧ ⇒ Ta sẽ chứng tỏ mệnh đề (3) ở trên chính là mệnh đề đảo toàn bộ của mệnh đề thuận (1), tức là ta chứng minh rằng (3)  (2): (3)  1 2 n 1 n (B A ) (B A ) . (B A ) (B A ) − ∨ ∧ ∨ ∧ ∧ ∨ ∧ ∨  1 2 n 1 n B (A A . A A ) − ∨ ∧ ∧ ∧ ∧  1 2 n 1 n B (A A . A A ) − ⇒ ∧ ∧ ∧ ∧ Ta sẽ chứng tỏ mệnh đề (4) ở trên chính là mệnh đề đảo toàn bộ của mệnh đề thuận (1), tức là ta chứng minh rằng (4)  (2): (4)  1 2 n 1 1 n-1 n (B A ) (B A ) . (B A ) (B A . A A ) − ∨ ∧ ∨ ∧ ∧ ∨ ∧ ∧ ∧ ∧ ∨  1 2 n 1 1 n-1 n (B A ) (B A ) . (B A ) ((B A . A ) A ) − ∨ ∧ ∨ ∧ ∧ ∨ ∧ ∨ ∧ ∧ ∨  1 2 n 1 1 n-1 n (B (A A . A )) (B (A . A ) A ) − ∨ ∧ ∧ ∧ ∧ ∨ ∧ ∧ ∨  1 2 n 1 1 n-1 n B ((A A . A ) ((A . A ) A )) − ∨ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∨  1 2 n 1 1 n-1 1 2 n 1 n B (A A . A A . A ) (A A . A A )) − − ∨ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∨ ∧ ∧ ∧ ∧  1 2 n 1 n B (A A . A A ) − ∨ ∧ ∧ ∧ ∧  1 2 n 1 n B (A A . A A ) − ⇒ ∧ ∧ ∧ ∧ Cần phải hình thành cho học sinh kĩ năng thành lập mệnh đề đảo của bài toán có mệnh đề thuận thỏa mãn một vài tính chất: Ví dụ: ‘‘Cho đường tròn tâm O bán kính R và một điểm P cố định không trùng tâm O ở trong đường tròn. Một góc vuông $ xPy quay quanh P cắt đường tròn ở hai điểm A, B. Tìm tập hợp trung điểm I của dây cung AB.” Hd: + Mệnh đề thuận: Góc vuông µ APB và I là trung điểm của dây cung AB. Ta có: 2 2 2 AB IO R 4 = − và AB IP 2 = Suy ra: 2 2 2 2 2 AB IO IP R + IO 4 + = − 2 2 2 2 2 2 AB AB IO IP R + = R 4 4 + = − Mà P, O cố định nên theo quỹ tích cơ bản tập hợp I thuộc đường tròn O I A B P + Mệnh đề đảo: Lấy I bất kì thuộc đường tròn IP 2 + IO 2 = R 2 . Qua I dựng đường thẳng vuông góc với OI cắt đường tròn tại A, B. Ta chứng minh rằng $ o APB = 90 Dễ thấy 2 2 2 AB IO R 4 = − và thay vào biểu thức IP 2 + IO 2 = R 2 ta có: 2 2 2 2 2 2 AB AB AB IO R = R IO = IO = 4 4 2 + − ⇒ ⇒ Vậy ta suy ra ΔAPB là tam giác vuông tại P Ví dụ: ‘‘Cho trước một góc nhọn $ xPy . Hai điểm M, N chuyển động lần lượt trên hai cạnh Px, Py sao cho MP + NP = k 2 > 0 không đổi. Tìm tập hợp trung điểm I của MN .” Cho µ xPy hai điểm M  Px, N  Py sao cho MP + NP = k 2 và A  Px, B  Py: 2 k PA = PB = 2 . Nối hai điểm M, N cắt AB tại điểm I. Chứng minh rằng IM = IN. + Mệnh đề đảo: Lấy điểm I bất kì tại đoạn thẳng AB. Kẻ IJ // Px cắt Py tại J. Lấy điểm N  Py sao cho JP = JN. Nối N, I cắt Px tại điểm M. C.m.r MP + NP = k 2 Ví dụ: Trong mặt phẳng cho ABC (AB < AC). Hai điểm M, N chuyển động trên hai cạnh AB, AC sao cho BM = CN. Tìm tập hợp trung điểm I của đoạn thẳng MN. P B A E M N I J x y F C Hd: + Mệnh đề thuận: Cho góc µ xPy hai điểm M  Px, N  Py sao cho MP + NP = k 2 và A  Px, B  Py: PA = PB = 2 k 2 . Gọi I trung điểm của MN và chứng minh rằng I thuộc đoạn thẳng AB B A C D E F I K M N J x Hd: M ≡ B: N ≡ C, I ≡ E - điểm giữa của BC. M ≡ A: N ≡ D  AC sao cho CD = AB, I ≡ F - điểm giữa của AD. Dự đoán tập cần tìm là EF C.m.r EF // Ax - Phân giác của góc A (Gọi J là điểm giữa của MC và chứng minh rằng ∆AKF, ∆JIE cân và đồng dạng) ) [...]... suy ra tập hợp điểm E nằm trên đường song song với PQ cách PQ một khoảng R - Ta có trực tâm H là giao của 2 đường QA và đường vuông góc hạ từ C tới PQ Dễ thấy tứ giác ABCH là hình bình hành nên suy ra CH = BA = 2.R Vậy tập hợp C là đường tròn nên suy ra trực tâm H là đường tròn TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI II KHOA TOÁN ================= BÀI TẬP NGHIÊN CỨU KHOA HỌC PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC TOÁN TÌM TẬP HỢP... 1) (Sử dụng định lý Ta-let) NB Bài 2: Cho ABC cố định Tìm tập hợp những điểm M trong mặt phẳng sao cho chân ba đường vuông góc hạ từ M tới ba đường thẳng chứa cạnh của tam giác thẳng hàng Hd: - Dự đoán: Dễ thấy ba điểm A, B, C thuộc tập hợp cần tìm (Vì chân 3 đường vuông góc hạ từ 3 đỉnh tam giác xuống các cạnh có 2 chân trùng với chính đỉnh đó) Do vậy ta có thể dự đoán tập hợp các điểm M cần tìm là... 90o , nên suy ra DNA = 90o Vậy tập đường tròn Mà theo trên µ µ hợp điểm N nằm trên đường tròn qua A, B với đường kính AD  AMB = 2.ANB » Mà điểm M nằm trên cung lớn AB C , tức là M nằm trên cung chứa góc vẽ trên đoạn AB với 1 góc không đổi α N Vậy tập hợp N nằm trên cung chứa M góc vẽ trên đoạn AB với 1 góc không α đổi là 2 A B Bài 4: Cho hình vuông ABCD cố định Tìm tập hợp những điểm M trong mặt... P cắt đường tròn ở hai điểm B, C Tìm tập hợp tâm của đường tròn ngoại tiếp qua ba điểm A, B, C? Hd: A - Dự đoán: Xét khi cát tuyến PBC ở 2 vị trí tiếp I tuyến qua P của đường tròn thì 2 tiếp điểm thuộc tập hợp cần tìm O Khi cát tuyến PBC ở vị trí qua tâm O của đường tròn thì ta thấy tâm tậpthuộctâm I nằm trên đường vuông góc với AP Bằng thực nghiệm dự đoán O hợp tập hợp cần tìm P C - Chứng minh: B J... TRONG DẠY HỌC Ở PHỔ THÔNG µ Bài 1: Cho góc xOy cố định Hạ hai đường MA  Ox và MB  Oy Tìm tập hợp những điểm M trong mặt phẳng sao cho Hd: MA = k (k ≠ 1) MB y B 1 M k O µ - Xác định điểm M trong góc xOy : A x Dựng đường thẳng t1 song song với Oy cách Oy một khoảng là 1 Dựng đường thẳng t2 song song với Ox cách Ox một khoảng là k Lấy M giao của t1 và t2 Nối O, M thì tia OM trừ điểm O là tập hợp cần... AD, BC thuộc tập hợp cần tìm M Do đó dự đoán tập hợp cần tìm là đường thẳng d đi qua tâm hình vuông và song song cách đều 2 cạnh AB và CD - Chứng minh: C D + Mệnh đề thuận: Cho hình vuông ABCD, với M ta có MA + MB = MC + MD chứng minh rằng M  d + Mện đề đảo: Cho hình vuông ABCD, với M  d ta chứng minh rằng MA + MB = MC + MD (Ta có ∆ABM = ∆DCM là cơ sở chứng minh cả thuận và đảo ở trên) Bài 5: Trong... OJ2 – R2 = OP2 - R2 Đại lượng này không đổi nên đưa về tập hợp cơ bản tổng bình phương Bài 9: Cho đường tròn tâm A với đường kính AB cố định Đường thẳng (∆) tiếp O xúc với đường tròn tại điểm B Đường kính CD thay đổi và nối AC, AD cắt (∆) lần lượt tại P, Q C a) Gọi I là trung điểm của PQ C.m.r tứ giác CPQD là nội tiếp và trung O tuyến AI  CD b) Tìm tập hợp tâm ngoại tiếp E của ∆CPD và trực tâm H của... đoán: Khi M ≡ A: N ≡ C (C đối xứng của B qua A) Khi M ≡ B: N ≡ A Vậy dự đoán tập hợp N là đường tròn tâm O’ với đường kính AC (O’ là điểm đối xứng của O qua A) - Chứng minh: Ta có tứ giác ABMN là hình bình hành suy ra tứ giác OMNO’ là hình bình hành Suy ra O’N = OM Ta suy ra được tập hợp cần tìm là đường tròn tâm O’ bán kính R Bài 6: Trong mặt phẳng cho đoạn thẳng AB cố định và một điểm M di động trên... thẳng hàng Mà hai điểm A, B cố định nên tập điểm N chạy trên nửa đường tròn đường ∧ kính AB (Vì góc ANB = 900 ) b) ∧ ∧ ∧ Dễ thấy ANM = 450, MNB = 450, suy ra NM là phân giác của góc ANB và ∧ điểm N chạy trên nửa đường tròn đường kính AB (Vì góc ANB = 900) Do đó suy ra MN sẽ đi qua điểm cố định là điểm giữa của nửa đường tròn đối xứng với nửa đường tròn trên qua AB Bài 8: Cho đường tròn tâm O và hai điểm... ngoại tiếp ∆ABC (Tứ giác ABCM là nội tiếp) Hãy chứng minh rằng 3 chân đường vuông góc hạ từ M tới 3 cạnh tam giác là P, Q, R sẽ thẳng hàng A P M Q B C R Bài 3: Cho cung tròn AmB cố định và điểm M di động trên cung đó Kéo dài AM về phía M và đặt MN = BN Tìm tập hợp những điểm N? Hd: » - Lấy C điểm chính giữa của cung lớn AB Kéo dài dây AC về phía C và lấy D sao cho CD = CB µ µ µ Do đó ∆CBD cân tại D  ACB . TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI II KHOA TOÁN =============== BÀI TẬP NGHIÊN CỨU KHOA HỌC DẠY HỌC DỰ ĐOÁN TRONG GIẢI TOÁN TÌM TẬP HỢP Ở TRƯỜNG PHỔ. Vậy tập hợp C là đường tròn nên suy ra trực tâm H là đường tròn. TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI II KHOA TOÁN ================= BÀI TẬP NGHIÊN CỨU KHOA HỌC