Một số phơng pháp giải bài toán mạch cầu điện trở 1 - Khái quát về mạch cầu điện trở, mạch cầu cân bằng và mạch cầu không cân bằng: - Mạch cầu là mạch dùng phổ biến trong các phép đo chính xác ở phòng thí nghiệm điện. - Mạch cầu đợc vẽ nh (H - 0.a) và (H - 0.b) R 1 R 2 R 5 R 3 R 4 (H-0.a) (H.0.b) - Các điện trở R 1 , R 2 , R 3 , R 4 gọi là các cạnh của mạch cầu điện trở R 5 có vai trò khác biệt gọi là đờng chéo của mạch cầu (ngời ta không tính thêm đờng chéo nối giữa A - B. vì nếu có thì ta coi đờng chéo đó mắc song song với mạch cầu). Mạch cầu có thể phân làm hai loại: * Mạch cầu cân bằng (Dùng trong phép đo lờng điện). I 5 = 0 ; U 5 = 0 * Mạch cầu không cân bằng Trong đó mạch cầu không cân bằng đợc phân làm 2 loại: - Loại có một trong 5 điện trở bằng không (ví dụ một trong 5 điện trở đó bị nối tắt, hoặc thay vào đó là một ampe kế có điện trở ằng không ). Khi gặp loại bài tập này ta có thể chuyển mạch về dạng quen thuộc, rồi áp dụng định luật ôm để giải. - Loại mạch cần tổng quát không cân bằng có đủ cả 5 điện trở, thì không thể giải đợc nếu ta chỉ áp dụng định luật Ôm, loại bài tập này đợc giải bằng phơng pháp đặc biệt (đợc trình bày ở mục 2.3) R 1 R 2 - Vậy điều kiện để cân bằng là gì? R 5 Cho mạch cầu điện trở nh (H - 1.1) R 3 R 4 1 - Nếu qua R 5 có dòng I 5 = 0 và U 5 = 0 thì các điện trở nhánh lập A B thành tỷ lệ thức : (H : 1-1) 4 2 3 1 R R R R = = n = const 2 - Ngợc lại nếu có tỷ lệ thức trên 1 thì I 5 = 0 và U 5 = 0, ta có mạch cầu cân bằng. Tóm lại: Cần ghi nhớ + Nếu mạch cầu điện trở có dòng I 5 = 0 và U 5 = 0 thì bốn điện trở nhánh của mạch cầu lập thành tỷ lệ thức: n R R R R == 4 2 3 1 (n là hằng số) (*) (Với bất kỳ giá trị nào của R 5 .). Khi đó nếu biết ba trong bốn điện trở nhánh ta sẽ xác định đợc điện trở còn lại. * Ngợc lại: Nếu các điện trở nhánh của mạch cầu lập thành tỷ lệ thức tên, ta có mạch cầu cân bằng và do đó I 5 = 0 và U 5 = 0. + Khi mạch cầu cân bằng thì điện trở tơng đơng của mạch luôn đợc xác định và không phụ thuộc vào giá trị của điện trở R 5 . Đồng thời các đại lợng hiệu điện thế và không phụ thuộc vào điện trở R 5 . Lúc đó có thể coi mạch điện không có điện trở R 5 và bài toán đợc giải bình thờng theo định luật ôm. + Biểu thức (*) chính là điều kiện để mạch cầu cân bằng. 2 - Ph ơng pháp tính điện trở t ơng đ ơng của mạch cầu: - Tính điện trở tơng đơng của một mạch điện là một việc làm cơ bản và rất quan trọng, cho dù đầu bài có yêu cầu hay không yêu cầu, thì trong quá trình giải các bài tập điện ta vẫn thờng phải tiến hành công việc này. Với các mạch điện thông thờng, thì đều có thể tính điện trở tơng đơng bằng một trong hai cách sau. + Nếu biết trớc các giá trị điện trở trong mạch và phân tích đợc sơ đồ mạch điện (thành các đoạn mắc nối tiếp, các đoạn mắc song song) thì áp dụng công thức tính điện trở của các đoạn mắc nối tiếp hay các đoạn mắc song song. + Nếu cha biết hết các giá trị của điện trở trong mạch, nhng biết đợc Hiệu điện thế ở 2 đầu đoạn mạch và cờng độ dòng điện qua đoạn mạch đó, thì có thể tính điện trở tơng đơng của mạch bằng công thức định luật Ôm. ( ) U U I R R I = => = - Tuy nhiên với các mạch điện phức tạp nh mạch cầu, thì việc phân tích đoạn mạch này về dạng các đoạn mạch mới nối tiếp và song song là không thể đợc. Điều đó cũng có nghĩa là 2 không thể tính điện trở tơng đơng của mạch cầu bằng cách áp dụng, các công thức tính điện trở của đoạn mạch mắc nối tiếp hay đoạn mạch mắc song song. Vậy ta phải tính điện trở tơng đơng của mạch cầu bằng cách nào? * Với mạch cầu cân bằng thì ta bỏ qua điện trở R 5 để tính điện trở tơng đơng của mạch cầu. * Với loại mạch cầu có một trong 5 điện trở bằng 0, ta luôn đa đợc về dạng mạch điện có các đoạn mắc nối tiếp, mắc song song để giải. * Loại mạch cầu tổng quát không cân bằng thì điện trở tơng đơng đợc tính bằng các phơng pháp sau: a - Phơng pháp chuyển mạch: Thực chất là chuyển mạch cầu tổng quát về mạch điện tơng đơng (điện trở tơng đơng của mạch không thay đổi). Mà với mạch điện mới này ta có thể áp dụng các công thức tính điện trở của đoạn mạch nối tiếp, đoạn mạch song song để tính điện trở tơng đơng. - Muốn sử dụng phơng pháp này trớc hết ta phải nắm đợc công thức chuyển mạch (chuyển từ mạch sao thành mạch tam giác và ngợc lại từ mạch tam giác thành mạch sao) Công thức chuyển mạch - Định lý Kennơli. + Cho hai sơ đồ mạch điện, mỗi mạch điện đợc tạo thành từ ba điện trở (H21-a mạch tam giác ()) A (H.21b - Mạch sao (Y) A R 3 R 1 R 2 R 2 R 1 B C B C (H - 2.1a) (H- 2.1b) Với các giá trị thích hợp của điện trở có thể thay thế mạch này bằng mạch kia, khi đó hai mạch tơng đơng nhau. Công thức tính điện trở của mạch này theo mạch kia khi chúng tơng đ- ơng nhau nh sau: * Biến đổi từ mạch tam giác R 1 , R 2 , R 3 thành mạch sao R 1 , R 2 , R 3 3 321 32 1 . ' RRR RR R ++ = (1) 321 31 2 . ' RRR RR R ++ = (2) 321 21 3 . ' RRR RR R ++ = (3) (ở đây R 1 , R 2 , R 3 lần lợt ở vị trí đối diện với R 1 ,R 2 , R 3 ) * Biến đổi từ mạch sao R 1 , R 2 , R 3 thành mạch tam giác R 1 , R 2 , R 3 1 313221 1 ' . R RRRRRR R + + = (4) 2 313221 2 ' . R RRRRRR R + + = (5) 3 313221 3 ' . R RRRRRR R + + = (6) - áp dụng vào bài toán tính điện trở tơng đơng của mạch cầu ta có hai cách chuyển mạch nh sau: R 2 * Cách 1: Từ sơ đồ mạch cầu tổng quát ' 3 R ta chuyểnmạch tam giác R 1 , R 3 , R 5 A ' 5 R thành mạch sao :R 1 ; R 3 ; R 5 (H- 22a) B Trong đó các điện trở R 13 , R 15 , R 35 ' 1 R đợc xác định theo công thức: (1); (2) và (3) R 4 từ sơ đồ mạch điện mới (H - 22a) ta có thể áp (H: 2.2a) dụng công thức tính điện trở của đoạn mạch mắc nối tiếp, đoạn mạch mắc song song để tính điện trở tơng đơng của mạch AB, kết quả là: ' 5 R )'()'( )')('( ' 4123 4123 5 RRRR RRRR RR AB +++ ++ += * Cách 2: Từ sơ đồ mạch cầu tổng quát ta A B chuyển mạch sao R 1 , R 2 , R 5 thành mạch tam giác R 1 , R 2 , R 3 (H - 2.2b) R 3 R 4 Trong đó các điện trở R 1 , R 2 , R 3 đợc xác định theo công thức (4), (5) và (6) (H:2.2b) Từ sơ đồ mạch điện mới (H - 2.2b) 4 áp dụng công thức tính điện trở tơng đơng ta cũng đợc kết quả: 41 41 23 23 5 41 41 23 23 5 ' .' ' '. (' ' .' ' '. (' RR RR RR RR R RR RR RR RR R R AB + + + + + + + = b - Phơng pháp dùng công thức định luật Ôm: Từ biểu thức: R U I = suy ra I U R = (*) Trong đó: U là hiệu điện thế ở hai đầu đoạn mạch. I là cờng độ dòng điện qua mạch chính. Vậy theo công thức (*) nếu muốn tính điện trở tơng đơng (R) của mạch thì trớc hết ta phải tính I theo U, rồi sau đó thay vào công thức (*) sẽ đợc kết quả. (có nhiều phơng pháp tính I theo U sẽ đợc trình bày chi tiết ở mục sau). *Xét ví dụ cụ thể: R 1 R 2 Cho mạch điện nh hình vẽ: (H . 2.3a) .Biết R 1 = R 3 = R 5 = 3 A R 5 B R 2 = 2 ; R 4 = 5 R 3 R 4 a- Tính điện trở tơng đơng của đoạn mạch AB (H. 2.3a) b- Đặt vào hai đầu đoạn AB một hiệu điện thế không đổi U = 3 (V). Hãy tính cờng độ dòng điện qua các điện trở và hiệu điện thế ở hai đầu mỗi điện trở. Lời giải a- Tính R AB = ? * Ph ơng pháp 1 : Chuyển mạch. + Cách 1: Chuyển mạch tam giác R 1 ; R 3 ; R 5 thành mạch sao R 1 ; R 3 ; R 5 (H. 2.3b) R 1 R 2 Ta có: )(1 333 3.3. 321 3.1 ' 5 = ++ = ++ = RRR RR R ' 3 R )(1 . 531 51 ' 3 = ++ = RRR RR R ' 5 R ' 1 R R 5 )(1 . 531 53 ' 1 = ++ = RRR RR R R 3 R 4 Suy ra điện trở tơng đơng của đoạn mạch AB là : (H . 2.3b) )51()21( )51)(21( 1 )()( ))(( 4 ' 12 ' 1 4 ' 12 ' 3 ' 5 +++ ++ += +++ ++ += RRRR RRRR RR AB 5 R AB = 3 + Cách 2: Chuyển mạch sao R 1 ; R 2 ; R 5 thành mạch tam giác ' 3 ' 2 ' 1 ;; RRR (H . 2.3c) ' 5 R Ta có: 1 5.15221 ' 1 . R RRRRRR R ++ = ' 2 R ' 1 R = ++ = 7 3 3.33.22.3 )(5,10 . 2 51521 ' 2 = ++ = R RRRRRR R R 3 (H. 2.3c) R 4 )(7 . 5 51521 ' 5 = ++ = R RRRRRR R Suy ra: * Ph ơng pháp 2: )(3 ) .3. ( 4 ' 1 4 ' 1 3 ' 2 3 ' 2 ' 5 4 ' 1 4 ' 1 3 ' 2 ' 2 ' 5 = + + + + + + + = RR RR RR RR R RR RR RR RR R R AB Dùng công thức định luật Ôm. Từ công thức: AB AB AB AB AB I U R R U I ==>= (*) - Gọi U là hiệu điện thế ở hai đầu đoạn mạch AB I là cờng độ dòng điện qua đoạn mạch AB Biểu diễn I theo U Đặt I 1 là ẩn số, giả sử dòng điện trong mạch có chiều nh hình vẽ (H. 2.3d) Ta lần lợt có: U 1 = R 1 I 1 = 3 I 1 (1) U 2 = U - U 1 = U - 3 I 1 (2) 2 3 1 2 2 2 IU R U I == (3) 2 5 1 215 UI III == (4) 2 315 . 1 55 UI RIU == (5) 2 321 1 513 UI UUU =+= (6) 6 6 321 1 3 3 UI R U I == (7) 2 215 1 34 IU UUU == (8) 10 215 1 4 4 4 IU R U I == (9) Tại nút D, ta có: I 4 = I 3 + I 5 => 2 5 6 321 10 215 111 UIUIIU + = (10) => I 1 = 27 5U (11) Thay (11) vào (7) -> I 3 = U 27 4 Suy ra cờng độ dòng điện mạch chính. U UU III 3 1 27 4 27 5 31 =+=+= (12) Thay (12) vào (*) ta đợc kết quả: R AB = 3 () b- Thay U = 3 V vào phơng trình (11) ta đợc : )( 9 5 1 AI = Thay U = 3(V) và I 1 = )( 9 5 A vào các phơng trình từ (1) đến (9) ta đợc kết quả: I 2 = )( 3 2 A ; )( 9 4 3 AI = ; )( 3 1 4 AI = ; )( 9 1 5 AI = ( 9 1 5 = I có chiều từ C đến D) )( 3 5 1 VU = ; )( 3 4 2 VU = ; )( 3 4 3 VU = ; )( 3 5 4 VU = ; )( 3 1 5 VUU x == * L u ý: + Cả hai phơng trình giải trên đều có thể áp dụng để tính điện trở tơng đơng của bất kỳ mạch cầu điện trở nào. Mỗi phơng trình giải đều có những u điểm và nhợc điểm của nó. Tuỳ từng bài tập cụ thể ta lựa chọn phơng pháp giải cho hợp lý. + Nếu bài toán chỉ yêu cầu tính điện trở tơng đơng của mạch cầu (chỉ câu hỏi a) thì áp dụng phơng pháp chuyển mạch để giải, bài toán sẽ ngắn gọn hơn. + Nếu bài toán yêu cầu tính cả các giá trị dòng điện và hiệu điện thế (hỏi thêm câu b) thì áp dụng phuơng pháp thứ hai để giải bài toán, bao giờ cũng ngắn gọn, dễ hiểu và lô gic hơn. + Trong phơng pháp thứ 2, việc biểu diễn I theo U liên quan trực tiếp đến việc tính toán các đại lợng cờng độ dòng điện và hiệu điện thế trong mạch cầu. Đây là một bài toán không hề 7 đơn giản mà ta rất hay gặp trong khi giải các đề thi học sinh giỏi, thi tuyển sinh. Vậy có những phơng pháp nào để giải bài toán tính cờng độ dòng điện và hiệu điện thế trong mạch cầu. 2.3/ Ph ơng phápgiải bài toán tính c ờng độ dòng điện và hiệu điện thế trong mạch cầu. a- Với mạch cầu cân bằng hoặc mạch cầu không cân bằng mà có 1 trong 5 điện trở bằng 0 (hoặc lớn vô cùng) thì đều có thể chuyển mạch cầu đó về mạch điện quen thuộc (gồm các đoạn mắc nối tiếp và mắc song song). Khi đó ta áp dụng định luật Ôm để giải bài toán này một cách đơn giản. Ví dụ: Cho các sơ đồ các mạch điện nh hình vẽ: (H.3.1a); (H. 3.1b); (H3.1c); (H3.1d) biết các vôn kế và các am pe kế là lý tởng. A R 1 R 2 R 1 R 2 A R 3 R 4 R 3 R 4 (H. 3.1a) (H. 3.1b) R 1 R 2 R 1 R 2 R 4 R 3 R 3 R 4 (H.3.1c) (H.3.1d) Ta có thể chuyển các sơ đồ mạch điện trên thành các sơ đồ mạch điện tơng đơng, tơng ứng với các hình (H.3.1a); (H.3.1b); (H.3.1c); (H.3.1d). R 1 R 2 (H.3.1a) (H.3.1b) 8 A A (H.3.1c) (H.3.1d) Từ các sơ đồ mạch điện mới, ta có thể áp dụng định luật Ôm để tìm các đại lợng mà bài toán yêu cầu: * L u ý: Các bài loại này có nhiều tài liệu đã trình bày, nên trong đề tài này không đi sâu vào việc phân tích các bài toán đó tuy nhiên trớc khi giảng dạy bài toán về mạch cầu tổng quát, nên rèn cho học sinh kỹ năng giải các bài tập loại này thật thành thạo. b- Với mạch cầu tổng quát không cân bằng có đủ cả 5 điện trở, ta không thể đa về dạng mạch điện gồm các đoạn mắc nối tiếp và mắc song song.Do đó các bài tập loại này phải có phơng pháp giải đặc biệt - Sau đây là một số phơng pháp giải cụ thể: Bài toán 3: Cho mạch điệnn h hình vẽ (H3.2a) Biết U = 45V R 1 = 20, R 2 = 24 R 3 = 50 ; R 4 = 45 R 5 là một biến trở 1 - Tính cờng độ dòng điện và hiệu điện thế của mỗi điện trở và tính điện trở tơng đơng của mạch khi R 5 = 30 (H- 3.2b) 2 - Khi R 5 thay đổi trong khoảng từ 0 đến vô cùng, thì đienẹ trở tơng đơng của mạch điện thay đổi nh thế nào? Ph ơng pháp giải: 1 - Tính I 1 ; I 2 ; I 3 ; I 4 ; I 5 U 1 ; U 2 ; U 3 ; U 4 ; U 5 Và tính R AB = ? Ph ơng pháp 1: Lập hệ phơng trình có ẩn số là dòng điện (Chẳng hạn chọn I 1 làm ẩn số) (H - 3.2b) Bớc 1: Chọn chiều dòng điện trên sơ đồ Bớc 2: áp dụng định luật ôm, định luật về nút, để biễu diễn các đạilợng cònl lại theo ẩn số (I 1 ) đã chọn (ta đợc các phơng trình với ẩn số I 1 ). Bớc 3: Giải hệ các phơng trình vừa lập để tìm các đại lợng của đầu bài yêu cầu. 9 Bớc 4: Từ các kết quả vừa tìm đợc, kiểm tra lại chiều dòng điện đã chọn ở bớc 1 + Nếu tìm đợc I >0, giữ nguyên chiều đã chọn. + Nếu tìm đợc I< 0, đảo ngợc chiều đã chọn. Lời giải: - Giả sử dòng điện mạch có chiều nh hình vẽ (H - 3.2b) - Chọn I 1 làm ẩn sóo ta lần lợt có: U 1 =R 1 . I 1 = 20I 1 (1) U 2 =U - U 1 = 45 - 20I 1 (2) 24 2045 1 2 2 2 I R U I == (3) 24 4544 1 15 == I III (4) 4 22520 . 1 555 == I IRU (5) 4 225300 1 513 =+= I UUU (6) 8 912 1 3 3 3 == I R U I (7) 4 300405 1 34 I UUU == (8) 12 2027 1 4 4 4 I R U I == (9) - Tại nút D cho biết: I 4 = I 3 + I 5 24 4844 8 912 12 2027 111 + = => III (10) Suy ra I 1 = 1,05 (A) - Thay biểu thức (10) các biểu thức từ (1) đến (9) ta đợc các kết quả: I 1 = 1(A) I 3 = 0,45 (A) I 4 = 0,5 (A) I 5 = 0,05 (A) Vậy chiều dòng điện đã chọn là đúng. + Hiệu điện thế U 1 = 21(V) U 2 = 24 (V) U 3 = 22,5 (V) U 4 = 22,5 (V) U 5 = 1,5 (V) + Điện trở tơng đơng 10 [...]... (50 + 45) - Vậy khi R5 nằm trong khoảng (0, ) thì điện trở tơng đơng nằm trong khoảng (Ro, R) 15 -Nếu mạch cầu cân bằng thì với mọi giá trị R5 đều có Rtđ=R0=R * Nhận xét chung: Trên đây là 5 phơng pháp để giải bài toán mạch cầu tổng quát Mỗi bài tập về mạch cầu đều có thể sử dụng một trong 5 phơng pháp này để giải Tuy nhiên với học sinh lớp 9 nên sử dụng phơng pháp lập hệ phơng trình với ẩn số là dòng... 24I2= 45 (3) 2I1+ 3I5=5I3 (4) 45I4+30I5= 24I2 (5) -Giải hệ 5 phơng trình trên ta tìm đợc 5 giá trị dòng điện: I1 = 1,05(A); I2 = 1(A); I3 = 0,45(A); I4 = 0,5(A) và I5 = 0,05(A) - Các kết quả dòng điện đều dơng do đó chiều dòng điện đã chọn là đúng - Từ các kết quả trên ta dễ dàng tìm đợc các giá trị hiệu điện thế U1, U2, U3, U4, U5 và RAB (Giống nh các kết quả đã tìm ra ở phơng pháp 1) 2- Sự phụ thuộc... cầu dây nh thế nào? 16 2.4.1 - Phơng pháp đo điện trở của vật dẫn bằng mạch cầu dây: Bài toán 4: Để đo giá trị của điện trở Rx ngời ta dùng một điện trở mẫu Ro, một biến trở ACB có điện A trở phân bố đều theo chiều dài, và một điện kế nhạy G, mắc vào mạch nh hình vẽ (H - 4.2) Di chuyển con chạy C của biến trở đến khi điện kế G chỉ số 0 đo l1 ; l2 ta đợc kết quả: (H-4.2) l Rx = R0 2 hãy giải thích phép... I1 lần lợt là dòng điện qua R0 và R4) + Tơng tự: UAB = UCB => Rx I0 = R2 I2 R I x 1 Hay R = I 2 0 (2) R0 Rx R0 R2 + Từ (1) và (2) R = R => Rx = R (3) 1 2 1 - Vì đoạn dây AB là đồng chất, có tiết diện đều nên điện trở từng phàn đợc tính theo công thức R1 = l1 S và R2 R2 = l2 l2 S Do đó: R = l 1 1 - Thay (4) vào (3) ta đợc kết quả: Rx = R0 (4) l2 l1 17 Chú ý: Đo điện trở của vật dẫn bằng phơng pháp... IA = I1 - I2 18 * Bài tập áp dụng: Cho mạch điện nh hình vẽ (H - 4.4) Biết U = 7V không đổi R1 = 3, R2= 6 Biến trở ACB là một dây dẫn Có điện trở suất là = 4.106 ( m) Chiều dài l = AB = 1,5m Tiết diện đều: S = 1mm2 a - Tính điện trở toàn phần của biến trở b- Xác định vị trí con chạy C để số chỉ của ampe kế bằng 0 c- Con chạy C ở vị trí mà AC = 2CB, hỏi lúc đó ampe kế chỉ bao nhiêu? d - Xác định vị trí . hai phơng trình giải trên đều có thể áp dụng để tính điện trở tơng đơng của bất kỳ mạch cầu điện trở nào. Mỗi phơng trình giải đều có những u điểm và nhợc. mọi giá trị R 5 đều có R tđ =R 0 =R * Nhận xét chung: Trên đây là 5 phơng pháp để giải bài toán mạch cầu tổng quát. Mỗi bài tập về mạch cầu đều có thể sử