Moon.vn ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA ĐỀ MINH HỌA SỐ 12 NĂM HỌC: 2019 – 2020 MƠN: Tốn Thời gian làm bài: 90 phút; không kể thời gian phát đề Câu Cho 10 điểm phân biệt khơng có điểm thẳng hàng Hỏi có tam giác mà ba đỉnh chọn từ 10 điểm ? A C10 C C10 − 10 B A10 D 103 Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A ( 1; −1; ) mặt phẳng ( P ) : x − y + z + = Mặt phẳng ( Q ) qua điểm A song song với ( P ) Phương trình mặt phẳng ( Q ) A x − y + z − = B x − y + z = C x + y + z − = D x + y − z + = Câu Số nghiệm nguyên bất phương trình log ( x − 3) ≥ log A B C D Câu Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a , cạnh bên 2a Độ lớn góc đường thẳng SA mặt phẳng đáy A 45° B 75° C 30° D 60° Câu Trong hình vẽ bên điểm M biểu diễn số phức z1 , điểm N biểu diễn số phức z2 Hỏi trung điểm đoạn MN điểm biểu diễn hình học số phức sau A z = + i B z = + 2i C z = + 4i D z = − 2i Câu Trong không gian tọa độ Oxyz , hình chiếu vng góc điểm M ( 4;5; −1) mặt phẳng ( Oyz ) A ( 4;5;0 ) B ( 4;0;0 ) C ( 4;0; −1) D ( 0;5; −1) Câu Cho cấp số cộng ( un ) thỏa mãn u1 = −5 u2 = −2 Tổng 50 số hạng đầu cấp số cộng A 3425 B 6850 C 2345 D 3500 x Câu Gọi F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) = x + e thỏa mãn F ( ) = 2019 Tính F ( 1) A e + 2019 B e − 2018 C e + 2018 D e − 2019 Câu Đường cong hình bên đồ thị bốn hàm số liệt kê bốn phương án A, B, C, D Hỏi hàm số hàm số nào? Trang A y = − x − 3x + B y = x − x + C y = x − x + D y = x − 3x + Câu 10 Cho hàm số f ( x ) xác định ¡ có bảng xét dấu đạo hàm sau −∞ x f ′( x) −1 − 0 +∞ + + − Hàm số cho đồng biến khoảng sau A ( −2;0 ) B ( −1;1) C ( −∞; −1) D ( 2; +∞ ) Câu 11 Trong không gian Oxyz , mặt phẳng ( P ) qua điểm A ( 1;0; ) vng góc với đường thẳng d: x y −1 z + = = có phương trình −1 A x + y − z + = B x − y + z − = C x − y + z + = D x + y − z − = Câu 12 Với a, b số thực dương tùy ý Khi ln ( a b ) A ln a ln b + B 3ln a + ln b C ln a ln b + D ln a + 3ln b Câu 13 Cho hình trụ có diện tích tồn phần 6π có thiết diện cắt mặt phẳng qua trục hình vng Thể tích khối trụ cho A 4π B 8π C 6π D 2π Câu 14 Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên hình vẽ sau x −∞ y′ −2 − + y +∞ + +∞ −∞ −5 Nhận xét sau hàm số y = f ( x ) A Hàm số đạt giá trị lớn B Hàm số có điểm cực trị C Hàm số khơng có điểm cực đại D Hàm số đồng biến khoảng ( −5; +∞ ) Câu 15 Cho hàm số f ( x ) liên tục ¡ A 30 B 20 0 ∫ f ( x ) dx = 10 ∫ f ( x ) dx C 10 D Trang Câu 16 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho M , N , P điểm biểu diễn số phức + 3i , − 2i −3 + i Tọa độ điểm Q cho tứ giác MNPQ hình bình hành A Q ( 0; ) B Q ( 6;0 ) C Q ( −2;6 ) D Q ( −4; −4 ) Câu 17 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB = 2a, AD = a Tam giác SAB nằm mặt phẳng vng góc với đáy Thể tích V hình chóp S ABCD A V = 2a 3 B V = 2a C V = 3a D V = a3 Câu 18 Trong hệ trục Oxyz cho mặt cầu có phương trình x + y + z − x + y + z − = Xác định tâm bán kính mặt cầu A I ( 1; −2; −3) , R = 15 B I ( 1; 2;3) , R = 15 C I ( −1; 2;3) , R = 15 D I ( 1; −2; −3) , R = x = 1− t  Câu 19 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d :  y = + 2t mặt phẳng z = + t  ( P ) : x − y + = Tính số đo góc đường thẳng A 60° B 30° d mặt phẳng ( P ) C 120° D 45° Câu 20 Gọi z1 , z2 hai nghiệm phức phương trình z − z + = ( z ∈ £ ) Tính giá trị biểu thức P = z1 + z2 + z1 − z2 A P = 2 + B P = + C P = D P = Câu 21 Kí hiệu a, A giá trị nhỏ giá trị lớn hàm số y = [ 0; 2] Giá trị a + A A 19 x2 + x + đoạn x +1 B 22 C D 12 Câu 22 Trên bàn có cốc nước hình trụ chứa đầy nước, có chiều cao lần đường kính đáy, viên bi khối nón thủy tinh Biết viên bi khối cầu có đường kính đường kính đáy cốc nước Người ta từ từ thả vào cốc nước viên bi khối nón (như hình vẽ ) thấy nước cốc tràn ngồi Tính tỉ số thể tích lượng nước lại cốc lượng nước ban đầu (bỏ qua bề dày lớp vỏ thủy tinh) A B Trang C D Câu 23 Tìm tất đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số y = A x = −3 B x = −1 x = 3x − − x + x2 + x − C x = x = −3 D x = Câu 24 Cho đồ thị hàm số y = f ( x ) hình vẽ bên Diện tích phần hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f ( x ) với trục Ox nằm phía phía trục Ox Khi ∫ f ( x ) dx −2 B −2 A Câu 25 Cho hàm số f ( x ) = A C ln ( x + 1) x D thỏa mãn f ′ ( 1) = a ln + b với a, b ∈ ¢ Giá trị a + b B D −1 C Câu 26 Cho hình lập phương ABCD A′B′C ′D′ có diện tích tam giác ACD′ a Tính thể tích V khối lập phương A V = 8a B V = 2a Câu 27 Cho phương trình log ( x ) − log A ( 0;1) D V = a C V = 2a ( x ) = Nghiệm nhỏ phương trình thuộc khoảng B ( 3;5 ) C ( 5;9 ) D ( 1;3) Câu 28 Cho a > 0, a ≠ log a x = −1, log a y = Tính P = log a ( x y ) A P = 18 B P = D P = 10 C P = 14 Câu 29 Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên hình vẽ sau x −∞ y′ y − +∞ − + +∞ −1 −∞ −2 Số nghiệm phương trình f ( x ) + = A B C Câu 30 Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) = ( x + 1) A B 2 D ( x + ) ( x − 3) Tìm số điểm cực trị f ( x ) C D Câu 31 Cho số phức z thỏa mãn ( + 3i ) z − ( + 2i ) z = − i Tìm mơđun z A z = B z = C z = D z = Trang Câu 32 Cho hàm số y = f ( x ) dương thỏa mãn f ′( x) f ( x) = x + Biết f ( ) = Tính giá trị f ( 1) A f ( 1) = B f ( 1) = 16 C f ( 1) = D f ( 1) = Câu 33 Phương trình đường thẳng song song với đường thẳng d : thẳng d1 : x −1 y + z = = cắt hai đường 1 −1 x +1 y +1 z − x −1 y − z − = = = = d : −1 −1 A x +1 y +1 z − = = −1 −1 B x −1 y z −1 = = 1 −1 C x −1 y − z − = = 1 −1 D x −1 y z −1 = = −1 2 Câu 34 Cho hàm số y = f ( x ) liên tục ¡ có đạo hàm f ′ ( x ) = x ( x − ) ( x − x + m ) với x ∈ ¡ Có số nguyên m thuộc đoạn [ −2019; 2019] để hàm số g ( x ) = f ( − x ) nghịch biến khoảng ( −∞; −1) ? A 2012 B 2011 C 2009 D 2010 Câu 35 Họ nguyên hàm hàm số f ( x ) = x cos x A x sin x cos x − +C C x sin x + B x sin x − cos x +C D cos x +C x sin x cos x + +C 2 Câu 36 Tìm m để phương trình log x − log x + = m có nghiệm x ∈ [ 1;8] A ≤ m ≤ B ≤ m ≤ C ≤ m ≤ D ≤ m ≤ Câu 37 Cho hàm số y = f ( x ) liên tục ¡ Hàm số y = f ′ ( x ) có đồ thị hình vẽ Bất phương trình f ( x ) ≤ x − x + m với x ∈ ( −1;3) A m ≥ f ( 3) B m > f ( 3) C m ≥ f ( −1) + D m > f ( −1) + Câu 38 Có thẻ đánh số từ đến Chọn ngẫu nhiên thẻ Tính xác suất để tích hai số thẻ lấy số chẵn Trang A 13 18 B C D 18 Câu 39 Cho hình lăng trụ đứng ABC A′B ′C ′ có đáy ABC tam giác vng A , AB = a , BC = 2a , đường thẳng AC ′ tạo với mặt phẳng ( BCC ′B′ ) góc 30° Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ cho A 3πa B 6πa C 4πa D 24πa Câu 40 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật biết AB = a, BC = 2a , tam giác SAB nằm mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng ( ABCD ) Khoảng cách hai đường thẳng SC BD A d = 2a 17 17 B d = 2a 57 19 C d = a 108 199 D d = 2a 11 11 Câu 41 Cho đồ thị biểu diễn vận tốc hai xe X Y khởi hành lúc, bên cạnh đường Biết đồ thị biểu diễn vận tốc xe X đường gấp khúc OABD đồ thị biểu diễn vận tốc xe Y gồm phần, hai giây đồ thị phần đường parabol qua điểm O, C D, khoảng thời gian lại đồ thị đoạn thẳng song song với trục hoành Hỏi sau giây khoảng cách hai xe mét A 293 ( m) 12 B ( m ) C ( m ) D 43 ( m) Câu 42 Cho hàm số y = f ( x ) liên tục ¡ có đồ thị hình vẽ Phương trình f  − f ( x )  = có tất nghiệm thực phân biệt? A B C D Trang Câu 43 Trong không gian ( S ) : ( x − 1) Oxyz , cho đường thẳng d: x −1 y +1 z − m = = 1 mặt cầu + ( y − 1) + ( z − ) = Đường thẳng d cắt mặt cầu ( S ) hai điểm phân biệt E ; F 2 cho độ dài đoạn thẳng EF lớn m = m0 Hỏi m0 thuộc khoảng đây? A ( −1;1) 1  B  ;1÷ 2  1  C  −1; − ÷ 2  D ( 0; ) Câu 44 Cho khối cầu ( S ) tâm I , bán kính R khơng đổi khối trụ thay đổi có chiều cao h bán kính r nội tiếp khối cầu Tính chiều cao h theo R cho thể tích khối trụ lớn A h = 2R B h = C h = R D h = R Câu 45 Cho hàm số y = R x −1 ( C ) điểm C , D thuộc đường thẳng d : y = x − Gọi điểm A, B x+2 hai điểm phân biệt nằm ( C ) cho tứ giác ABCD hình chữ nhật có đường chéo Độ dài AB thỏa mãn A AB < B < AB < C < AB < 2 D AB > Câu 46 Cho hàm số y = f ( x ) thỏa mãn 2020 f ( x ) = x + x + 2020 ( ∀x ∈ ¡ ) Có số nguyên m thỏa mãn f ( log m ) A 66 B 65 C 63 D 64 Câu 47 Trong không gian Oxyz cho mặt cầu ( S ) : ( x − 1) + ( y + ) + ( z − 3) = 27 Gọi ( α ) mặt 2 phẳng qua hai điểm A ( 0;0; −4 ) , B ( 2;0;0 ) cắt ( S ) theo giao tuyến đường tròn ( C ) cho khối nón có đỉnh tâm ( S ) , đáy hình tròn ( C ) tích lớn Biết mặt phẳng ( α ) có phương trình dạng ax + by − z + c = Khi a − b + c bằng: A B Câu 48 Cho hàm số y = f ( x ) ( C) C D −4 xác định ¡ thỏa mãn f ( − x ) + f ( − x ) = x + ( ∀x ∈ ¡ ) Phương trình tiếp tuyến ( C ) tạo giao điểm ( C ) với trục tung có dạng y = ax + b Giá trị biểu thức T = 5a + 2b A B C D Trang Câu 49 Có số phức z thỏa mãn điều kiện ( z + 2i ) z = 21 ? A B C Câu 50 Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục ¡ Biết f ( ) = D ∫ xf ( x + ) dx = −2 ∫  x f ′ ( x ) + f ( x )  dx A −6 B C −10 D Trang Đáp án 1-A 11-B 21-C 31-D 41-D 2-A 12-D 22-C 32-A 42-D 3-D 13-D 23-A 33-B 43-A 4-D 14-B 24-A 34-B 44-A 5-B 15-D 25-B 35-D 45-D 6-D 16-C 26-B 36-C 46-D 7-A 17-B 27-A 37-A 47-D 8-A 18-A 28-D 38-A 48-C 9-C 19-A 29-B 39-B 49-B 10-B 20-C 30-B 40-A 50-D LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 1: Đáp án A Chọn điểm từ 10 điểm phân biệt khơng có điểm thẳng hàng ta tam giác suy có C10 tam giác tạo thành Câu 2: Đáp án A Do ( Q ) song song với ( P ) nên phương trình ( Q ) có dạng x − y + z + a = với a ≠ Do ( Q ) qua điểm A nên 2.1 + + + a = ⇔ a = −5 Vậy phương trình ( Q ) : x − y + z − = Câu 3: Đáp án D x − > x∈¢ ⇔ < x ≤   → x ∈ { 4;5;6;7} Do có giá trị nguyên thỏa mãn Ta có: bpt ⇔  x − ≤  Câu 4: Đáp án D Gọi O tâm hình vng Suy AO hình chiếu vng góc SA lên mặt phẳng ( ABCD ) · Vậy góc đường thẳng SA mặt phẳng ( ABCD ) SAO Tam giác SAO vuông O có a AO · · cos SAO = = = ⇒ SAO = 60° SA a 2 Câu 5: Đáp án B Điểm M ( 1;3) , N ( 3;1) nên trung điểm MN I ( 2; ) Vậy z = + 2i Câu 6: Đáp án D Hình chiếu vng góc điểm M ( 4;5; −1) mặt phẳng ( Oyz ) ( 0;5; −1) Câu 7: Đáp án A Công sai: d = u2 − u1 = ⇒ S50 = [ 2u1 + 49d ] 50 = 3425 Trang Câu 8: Đáp án A x x Ta có: F ( x ) = ∫ ( x + e ) dx = x + e + C Mà F ( ) = 2019 ⇔ + e + C = 2019 ⇔ C = 2018 x Suy F ( x ) = x + e + 2018 Khi F ( 1) = + e + 2018 = e + 2019 Vậy F ( 1) = e + 2019 Câu 9: Đáp án C Đồ thị hàm số có hình dạng hàm bậc nên loại đáp án B, D Đồ thị hàm số có hệ số a > nên chọn đáp án C Câu 10: Đáp án B Hàm số cho xác định khoảng ( −1; ) có đạo hàm dương khoảng ( −1; ) Do hàm số đồng biến khoảng ( −1; ) Câu 11: Đáp án B uur uu r Mặt phẳng ( P ) qua điểm A ( 1;0; ) có vec tơ pháp tuyến: nP = ud = ( 2; −1;3) có phương trình ( x − 1) − ( y − ) + ( z − ) = ⇔ x − y + z − = Câu 12: Đáp án D 3 Ta có: ln ( a b ) = ln a + ln b = ln a + 3ln b Câu 13: Đáp án D Kí hiệu h, r chiều cao bán kính đáy hình trụ 6π = 2πrh + 2πr 6 = r + r h = ⇒ ⇒ Theo giả thiết ta có:   r =  h = 2r  h = 2r Mặt khác, V = πr h = π.2.12 = 2π Câu 14: Đáp án B Hàm số cho có điểm cực trị đạt điểm x = −2; x = Câu 15: Đáp án D Đặt t = x ⇒ dt = 2dx Đổi cận x = ⇒ t = 0, x = ⇒ t = ∫ 6 1 f ( x ) dx = ∫ f ( t ) dt = ∫ f ( x ) dx = 10 = 20 20 Câu 16: Đáp án C Ta có M ( 2;3) , N ( 1; −2 ) , P ( −3;1) uuuu r uuur 1 − = −3 − xQ  xQ = −2 ⇔ ⇒ Q ( −2;6 ) Tứ giác MNPQ hình bình hành ⇔ MN = QP ⇔   −2 − = − yQ  yQ = Trang 10 Câu 17: Đáp án B ( SAB ) ⊥ ( ABCD )  Do ( SAB ) ∩ ( ABCD ) = AB ⇒ SH ⊥ ( ABCD )  SH ⊥ AB  Mà ∆SAB ⇒ SH = 2a = a Vậy thể tích hình chóp S ABCD : 1 V = SH S ABCD = a 3.2a.a = a 3 Câu 18: Đáp án A Ta có: I ( 1; −2;3) ; bán kính R = + + + = 15 Câu 19: Đáp án A r r Đường thẳng d có VTCP u = ( −1; 2;1) Mặt phẳng ( P ) có VTPT n = ( 1; −1;0 ) rr u.n ⇒ ϕ = 60° Gọi ϕ góc đường thẳng d mặt phẳng ( P ) : sin ϕ = r r = u n Vậy góc đường thẳng d mặt phẳng ( P ) 60° Câu 20: Đáp án C  z1 + z2 = z + z =  z = + i  z1 = + i PT ⇔  ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ P =6  z = − i  z2 = − i  z1 − z2 = 2i  z1 − z2 = Câu 21: Đáp án C + ( x + 1) ( x + 1) − ( x + x + ) y′ = ( x + 1) = x2 + 2x − ( x + 1)  x = 1∈ ( 0; ) + y′ = ⇔ x + x − = ⇔   x = −3 ∉ ( 0; ) + y ( ) = 4; y ( ) = 10 ; y ( 1) = 3 y = 3, A = max y = Vậy a + A = Khi đó, a = [ 0;2] [ 0;2] Câu 22: Đáp án C Gọi R bán kính đáy hình trụ ⇒ Chiều cao hình trụ h = R Suy thể tích khối trụ ban đầu V = πR h = 6πR Theo ra, khối cầu hình tích V1 = πR Khối nón hình có bán kính đáy r = R ; chiều cao h0 = h − R = R Trang 11 ⇒ V2 = πr h0 = πR 3 Do thể tích nước tràn ngồi cốc V0 = V1 + V2 = πR Vậy tỉ số cần tìm V − V0   =  6πR − πR ÷: 6πR = V   Câu 23: Đáp án A Hàm số có tập xác định D = ( −3; +∞ ) \ { 1} ( 3x − 1) − ( x + 3) 3x − − x + 9x2 − x − y = = = Khi x2 + x − ( x + x − 3) x − + x + ( x + x − ) x − + x + ( ⇔ y= 9x + ( x + 3) ( 3x − + x+3 ) ( ) ) y = ∞ nên đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = −3 Khi x →lim ( −3) + Câu 24: Đáp án A Theo giả thiết ta có: ∫ −2 Do đó: ∫ f ( x ) dx = −2 ∫ −2 f ( x ) dx = ∫ − f ( x ) dx = ⇒ −2 ∫ f ( x ) dx = −1; −2 ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx = 3 f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = −1 + = Câu 25: Đáp án B 2x x − x.ln ( x + 1) x − x ( x + 1) ln ( x + 1) x + Ta có: f ′ ( x ) = = x2 x ( x + 1) Từ ta suy f ′ ( 1) = − ln = − ln + ⇒ a = −1, b = ⇒ a + b = Câu 26: Đáp án B Gọi hình lập phương có độ dài cạnh x Ta có: AC = BD = x ; D′O = DD′2 + OD = DD′2 + BD 2 x2 x = x2 + = 4 Theo giả thiết ta có: S ACD′ = a ⇔ 1 x AC.OD′ = a 3 ⇔ x = a2 ⇔ x = a 2 Vậy VABCD A′B ′C ′D′ = x = 2a Câu 27: Đáp án A Trang 12 ( log + log x ) − log ( x ) = ⇒ ( + log x ) − ( + log x ) = t = −1  log x = −3 1  + log x = t ⇒ t − 2t = ⇒  ⇒ ⇒ x ∈  ; 2 8  t =  log x = Câu 28: Đáp án D 3 Ta có: log a ( x y ) = log a x + log a y = log a x + 3log a y = ( −1) + 3.4 = 10 Câu 29: Đáp án B Phương trình cho tương đương f ( x ) = − Dựa vào BBT suy phương trình cho có nghiệm phân biệt Câu 30: Đáp án B   x = −1  + f ′ ( x ) = ( x + 1) ( x + ) ( x − 3) = ⇔  x = −2  x =  + Ta có bảng xét dấu f ′ ( x ) sau: x −∞ −1 −2 f ′( x) + − 0 − +∞ + Vậy số điểm cực trị f ( x ) Câu 31: Đáp án D Giả sử z = a + bi ( a, b ∈ ¡ ) ⇒ z = a − bi Ta có ( + 3i ) z − ( + 2i ) z = − i a − 5b = a = ⇔ ( + 3i ) ( a + bi ) − ( + 2i ) ( a − bi ) = − i ⇔ a − 5b + ( a + 3b ) i = − i ⇒  ⇔ a + 3b = −1 b = −1 Khi ta có z = − i ⇒ z = 22 + 12 = Câu 32: Đáp án A Ta có: f ( x + 1) dx = ∫ f ′( x) f ( x) dx = ∫ f ( x) d ( f ( x ) ) ⇒ x3 + x + C = f ( x )  x3 + x +  f ( 0) = ⇒ C = ⇒ f ( x ) =  ÷ ⇒ f ( 1) =   Câu 33: Đáp án B Gọi A ( −1 + 2t ; −1 + t ; − t ) ∈ d1 ; B ( − u; + u;3 + 3u ) ∈ d uuur Khi đó: AB = ( − u − 2t ;3 + u − t ;1 + 3u + t ) Trang 13 Do AB //d ⇒ t = − u − 2t + u − t + 3u + t x −1 y z −1 = = ⇔ ⇒ A ( 1;0;1) ⇒ ( ∆ ) : = = 1 −1 1 −1 u = −1 Câu 34: Đáp án B Để g ( x ) nghịch biến ( −∞; −1) g ′ ( x ) ≤ 0, ∀x ∈ ( −∞; −1) ⇔ f ′ ( − x ) ( − x ) ′ ≤ 0, ∀x ∈ ( −∞; −1) ⇔ − ( − x ) ( −1 − x ) ( x + x + m − ) ≤ 0, ∀x ∈ ( −∞; −1) ⇔ ( x + 1) ( x + x + m − ) ≤ 0, ∀x ∈ ( −∞; −1) ⇔ ( x + x + m − ) ≥ 0, ∀x ∈ ( −∞; −1) ⇔ m ≥ − x − x + 5, ∀x ∈ ( −∞; −1) ⇔ m ≥ max ( − x − x + ) , ∀x ∈ ( −∞; −1) ⇔m≥9 Do m thuộc đoạn [ −2019; 2019] m nhận giá trị nguyên nên có 2011 giá trị Câu 35: Đáp án D  du = dx u = x x sin x x sin x cos x  ⇒ ⇒ ∫ ( x cos x ) dx = − ∫ sin xdx = + +C Đặt  2  dv = cos xdx v = sin x  Câu 36: Đáp án C 2 Ta có: log x − log x + = m ⇔ log x − log x + = m Đặt t = log x , với x ∈ [ 1;8] ⇒ t ∈ [ 0;3] Bài tốn trở thành tìm m để phương trình t − 2t + = m có nghiệm với t ∈ [ 0;3] Xét hàm số f ( t ) = t − 2t + 3, t ∈ [ 0;3] có đạo hàm f ′ ( t ) = 2t − = ⇔ t = t f ′( t ) f ( t) − + Quan sát bảng biến thiên ta có để phương trình có nghiệm ≤ m ≤ Câu 37: Đáp án A 3 f ( x ) − x3 + x  ( *) BPT ⇔ m ≥ f ( x ) − x + 3x với x ∈ ( −1;3) ⇔ m ≥ max [ −1;3]  Xét g ( x ) = f ( x ) − x + x với x ∈ ( −1;3) 2 Ta có: g ′ ( x ) = f ′ ( x ) − x + x =  f ′ ( x ) − ( x − x )  Trang 14 Đồ thị hàm số y = x − x Parabol có đỉnh I ( 1; −1) qua điểm ( 1; −3) ( 3;3) Vẽ Parabol hệ trục với đồ thị y = f ′ ( x ) ta thấy f ′ ( x ) < x − x ( ∀x ∈ ( −1;3) ) Do g ′ ( x ) < 0, ∀x ∈ ( −1;3) nên g ( x ) đồng biến khoảng ( −1;3) Suy ( *) ⇔ m ≥ g ( 3) = f ( 3) Câu 38: Đáp án A Gọi Ω số cách lấy thẻ số ta có: Ω = C9 = 36 Gọi A biến cố “tích số thẻ số chẵn” ta xét trường hợp TH1: Có thẻ mang số chẵn Vì có số thẻ mang số chẵn nên có C4 = 1 TH2: Có thẻ mang sẵn số chẵn thẻ mang số lẻ có: C4C5 = 20 Vậy xác suất cần tính là: P ( A ) = Ω A + 20 13 = = Ω 36 18 Câu 39: Đáp án B Ta có: AC = BC − AB = a Gọi M , M ′ trung điểm cạnh BC , B′C ′ O trung điểm MM ′ tâm đường tròn ngoại tiếp đáy hình lăng trụ ABC A′B′C ′ nên O tâm mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ ABC A′B′C ′ Gọi H hình chiếu vng góc vủa A lên cạnh BC ( ·AC′, ( BCC′B′) ) = ·AC′H = 30° Ta có: AH = AC ′.sin 30° = AB AC a AC ′ ⇒ AC ′ = HA mà AH = = BC Suy AC ′ = a C ′A2 = C ′C + AC ⇒ C ′C = C ′A2 − AC = a Từ suy bán kính mặt cầu ngoại tiếp cần tìm R = a Vậy diện tích cần tìm S = 2πa Ta có: S = 6πa Câu 40: Đáp án A Ta có: c = d ( C ; BD ) = CH 2a a = ; h = SH = ;k= CI Trang 15 Do 1 k2 2a 17 = + ⇒d = d c h 17 Câu 41: Đáp án D Quãng đường xe X diện tích hình phẳng giới hạn đường gấp khúc OABD trục hoành 4+5 27 = ( m ) nên S X = ( 2.3) + 2.3 + 2 Phương trình Parabol có dạng y = ax + bx (vì Parabok qua gốc tọa độ)  a=−   4a + 2b =  ⇔ Parabol qua điểm ( 2;5 ) ( 5;5 ) nên ta có:   25a + 5b = b =  2 62   Quãng đường xe Y SY = ∫  − x + x ÷dx + 3.5 = 2  0 Suy khoảng cách xe sau giây d = S X − SY = 43 ( m) Câu 42: Đáp án D Đặt t = − f ( x ) phương trình cho ⇔ f ( t ) =  t = a < −1  Dựa vào đồ thị hàm số ta có ⇔ f ( t ) = ⇔ t = b ∈ ( 0;1) t = c ∈ 1;3 ( )  2 − f ( x ) = a  f ( x) = − a >   Khi  − f ( x ) = b ⇔  f ( x ) = − b ∈ ( 1; ) 2 − f x = c  f x = − c ∈ −3;1 ( ) ( )   ( ) ( 1) ( 2) ( 3) Dựa vào đồ thị hàm số suy phương trình (1) có nghiệm, phương trình (2) có nghiệm, phương trình (3) có nghiệm phương trình cho có nghiệm Câu 43: Đáp án A x = 1+ t  Ta có: d :  y = −1 + t mặt cầu ( S ) có tâm I ( 1;1; ) ; R =  z = m + 2t  Phương trình hoành độ giao điểm d ( S ) là: ( + t − 1) + ( −1 + t − 1) + ( m + 2t − ) = ⇔ 6t + t ( 4m − 12 ) + m − 4m − = ( 1) 2 Trang 16 Để đường thẳng d cắt mặt cầu ( S ) hai điểm phân biệt E , F phương trình (1) có nghiệm phân biệt ⇔ ∆ > ⇔ ( 4m − 12 ) − 24 ( m − 4m − 1) > Gọi t1 ; t2 hoành độ điểm E , F nên t1 ; t2 nghiệm phương trình (1)  − ( 4m − 12 ) t1 + t2 = Theo định lí Viet ta có:  t t = m − 4m −  uuur Ta có: E ( + t1 ; −1 + t1 ; m + 2t1 ) , F ( + t2 ; −1 + t2 ; m + 2t2 ) ⇒ EF = ( t − t1 ; t2 − t1 ; 2t2 − 2t1 ) EF = ( t2 − t1 ) = ( t2 + t1 ) − 24t1t 2 2 ( 4m − 12 ) = − ( m − 4m − 1) = −4 m + 28 Kết luận EFmin ⇔ EFmin ⇔ m = Câu 44: Đáp án A Gọi r ; h bán kính đáy chiều cao khối trụ 2 h h Vì khối trụ nội tiếp khối cầu ⇒ R = r +  ÷ ⇔ r = R − 2  h2  π 2 Thể tích khối trụ V = πr h = πh  R − ÷ = h ( R − h ) 4   2 Xét hàm số f ( h ) = R h − h với h ∈ ( 0; R ) , có f ′ ( h ) = R − 3h = ⇔ h = 2R 2R Lập bảng biến thiên, ta f ( h ) đạt GTLN h = Câu 45: Đáp án D Do AB //CD nên phương trình đường thẳng AB : y = x + m ( m ≠ ) PT hoành độ giao điểm AB ( C ) là:  x ≠ −2 x −1 = x+m ⇔  x+2  g ( x ) = x + ( m + 1) x + 2m + =  g ( −2 ) ≠ 3 ≠ ⇔ ⇔ ∆ >  m − 6m − >  x1 + x2 = −m − + Khi gọi A ( x1 ; x1 + m ) , B ( x2 ; x2 + m ) ta có:   x1 x2 = 2m + 2 2 + Ta có: AB = ( x1 − x2 ) = ( x1 + x2 ) − x1 x2  = ( m − 6m − 3) AD = d ( AB; CD ) = m+4 Trang 17 m + 8m + 16 2 AB + CD = AC = ( x1 − x2 ) = ( x1 + x2 ) − x1 x2  = ( m − 6m − 3) +    m = −1 25 = m − 8m + = ⇔  m = 21 ( loaïi ) 2   x1 = ⇒ A ( 1;0 ) , B ( −1; −2 ) + Với m = −1 ⇒   x1 = −1 ⇒ A ( −1; −2 ) , B ( 1;0 ) Kết luận: Vậy điểm thỏa mãn ycbt ( 1;0 ) , ( −1; −2 ) ⇒ AB = 2 Câu 46: Đáp án D ( f ( x) = x + x + 2020 ( ∀x ∈ ¡ ) ⇒ f ( x ) = log 2020 x + x + 2020 Ta có: 2020 Mặt khác f ′( x) = 1+ x x + 2020 = x + x + 2020 x + 2020 > ( ∀x ∈ ¡ ) ) nên hàm số f ( x ) đồng biến ¡ f ( log m ) < f ( log m 2020 ) ⇔ log m < log m 2020 ⇔ log m < log m 10.log 2020 Đặt t = log m ta t < t < − log 2020 log 2020 t − log 2020 ⇔ ( ∀x ∈ ¡ ) ) nên hàm số f ( x ) đồng biến ¡ f ( log m ) < f ( log m 2020. .. Gọi Ω số cách lấy thẻ số ta có: Ω = C9 = 36 Gọi A biến cố “tích số thẻ số chẵn” ta xét trường hợp TH1: Có thẻ mang số chẵn Vì có số thẻ mang số chẵn nên có C4 = 1 TH2: Có thẻ mang sẵn số chẵn... m 2020 ⇔ log m < log m 10.log 2020 Đặt t = log m ta t < t < − log 2020 log 2020 t − log 2020 ⇔