GV soạn và giảng : NGUYỄN THẾ TƯỞNG THCS Lê Quí Đôn – TP Rạch Giá CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI LỚP 9 PHẦN HÌNH HỌC PHẦN I: DIỆN TÍCH ĐA GIÁC Bài 1: Giả sử M,N,P,Q lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC,CD,EA của ngũ giác lồi ABCDE. Gọi I,K là trung điểm MP,NQ. Chứng minh IK = 1 4 ED. HƯỚNG DẪN Lấy M đối xứng M qua K , chứng minh MNLQ là hình bình hành. Áp dụng t/c đường trung bình => đpcm Bài 2: Cho hai đa giác đều n – cạnh và m – cạnh có tỉ số hai góc trong của chúng là 5 7 . Tìm số cạnh hai đa giác đều trên. HƯỚNG DẪN Áp dụng công thức: số đo một góc trong đa giác đều n cạnh : 0 ( 2)180n n − . Chú ý m ≥ 3 (ĐS: n = 6; m = 30) Bài 3: Cho hình thang ABCD và O là giao điểm hai đường chéo AC, BD. Chứng minh rằng: a) S(AOD) = S(BOC) b) S(AOB) . S(COD) = [ S(BOC)] 2 HƯỚNG DẪN a ) Kẽ đường cao AH, BH ’ b) Kẻ đường cao BK của tam giác ABC; tính tỉ số : ( ) ( ) S AOB S BOC . Tương tự kẻ đường cao DL của tam giác ADC; tính tỉ số : ( ) ( ) S AOD S DOC . Bài 4: Cho tam giác ABC cân tại A. Các đường thẳng đi qua điểm B và C và trung điểm O của đường cao AH cắt AB , AC ở M và N. Cho diện tích ∆ ABC = S. Hãy tính diện tích tứ gác AMON. ( ĐS: 1/6S). MỘT SÓ BÀI TOÁN ÁP DỤNG TỈ SỐ DIỆN TÍCH Bài 1: Chứng minh công thức tính diện tích tam giác : S = p.r. Với p là nửa chu vi; r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác. HƯỚNG DẪN Tâm I đường tròn nội tiếp tam giác cách đều ba cạnh tam giác . Bài 2: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, các đường cao AA’ , BB ’ , CC ’ và trực tâm H. Tính tổng: , , , , , , HA HB HC AA BB CC + + HƯỚNG DẪN ĐS : , , , , , , HA HB HC AA BB CC + + = 1. Bài 3: Chứng minh tổng khoảng cách từ một điểm tùy ý thuộc miền trong tam giác đều đến ba cạnh của nó không phụ thuộc vào vị trí của điểm đó. Trang: 1 GV soạn và giảng : NGUYỄN THẾ TƯỞNG THCS Lê Quí Đôn – TP Rạch Giá HƯỚNG DẪN Chứng minh tổng diện tích ba tam giác MBC, MAC, MAB bằng diện tích tam giác ABC => MD + ME + MF = AH ( E, D, F là hình chiếu của điểm M trong tam giác ABC). Bài 4 : Cho góc xOy và một điểm nằm trong góc đó. Hãy dựng qua M một đường thẳng cắt hai cạnh của góc xOy ở A và B sao cho tổng : 1 1 MA MB + lớn nhất . HƯỚNG DẪN Kẻ MP // Oy; AH ⊥ OM; BK ⊥ OM. Tính ( ) ( ) S MOA OA S MPO OP = VÀ ( ) ( ) S OBA AB S OBM BM = => ( ) 1 ( ). ( ) ( ) S OBA S OMA S OMB S MPO = .Chứng minh : 1 1 AH BK + không đổi mà MA ≥ AH; MB ≥ BK. Vậy vị trí của AB cần tìm là AB ⊥ OM. TÍNH DIỆN TÍCH TAM GIÁC BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẠI SỐ Cách làm: • Đặt các diện tích cần tìm bằng cá ẩn số rồi đưa về phương trình hoặc hệ phương trình với các ẩn số đó. • Giài các phương trình hoặc hệ phương trình để tìm nghiệm. Bài 1: Cho tam giác ABC có diện tích bằng 1. Trên cạnh AB lấy điểm M, trên cạnh AC lấy điểm N asao cho: AM = 3BM ; AN = 4CN. Đoạn BN cắt doạn CM ở O. Tính diện tích tam giác AOB và AOC. HƯỚNG DẪN Đặt S(AOB) = x; S(AOC) = y (x,y > O) => S(OAM) = 3 4 x và S(OAN) = 4 5 y . Ta có : S(BAN) S(BAO) + S(OAN) = x + 4 5 y ; mà S(BAN) = 4 5 S(ABC) = 4 5 => X + 4 5 y = 4 5 (1). Tương tự : y + 3 4 x = 3 4 (2) . Từ (1) và (2) giải hệ => x = 1 2 ; y = 3 8 Vậy S(AOB) = 1 2 : S(AOC) = 3 8 . Bài 2: Giả sử MNPQ là hình vuông nội tiếp tam giác ABC với M thuộc AB, N thuộc AC, và P,Q thuộc BC. Ính cạnh hình vuông biết BC = a; đường cao AH = h. Áp dụng: Trên tia phân giác góc vuông xOy ta lấy điểm P tùy ý ( P không trùng O). Một đường thẳng qua P cắt Ox tại I, cắt Oy tại J. Chứng minh tổng: 1 1 OI OJ + có giá trị không đổi khi đường tẳng qua P thay đổi. HƯỚNG DẪN ĐS: x = ah a h+ ( x là cạnh hình vuông) Trang: 2 BAI 1 O H E D B C A K N M BAI 3 H D B C A GV soạn và giảng : NGUYỄN THẾ TƯỞNG THCS Lê Quí Đôn – TP Rạch Giá CÁC BÀI TẬP TỰ GIẢI VỀ DIỆN TÍCH ĐA GIÁC Bài 1 : Ch hình bình hành ABCD. Qua A dựng đường thẳng xy không cắt hình bình hành. Gọi E, H lần lượt là hình chiếu của D, B trên xy. Xác định vị trí xy để BE + DH nhỏ nhất. Bài 2 : Cho đoạn thẳng AB có O là trung điểm. Gọi H là điểm nằm giữa A và B . Cho đường thẳng xy ⊥ AB ở H. Cho điểm C thuộc xy và C ≠ H . Cho C và D lần lượt Là trung điểm AC và BC a) Chứng minh tứ giác CDOE là hình bình hành. b) Chứng minh tứ giác DHOE là hình thang cân. c) Khi điểm C di động trên đường thẳng xy, chứng minh trung điểm K của đoạn DE di động trên một đường cố định. Bài 3 : Cho tứ giác ABCD có diện tích S. Gọi M, N lần lượt là trung điểm AB, CD sao cho AM CN m BM DN = = ( m là hằng số , m > 0 ). Nối DM, DN. Tính S DMBN theo m và S. Bài 4: Cho tứ giác ABCD có E,F lần lượt thuộc AB sao cho AE = EF = FB. G, H trên cạnh CD sao cho DH = HG = GC. Chứng minh : S EFGH = 1 3 S ABCD . Trang: 3 y x BAI 2 O H E D B C A F G BAI 4 H E D B C A BAI 5 h a h b b a C B A GV soạn và giảng : NGUYỄN THẾ TƯỞNG THCS Lê Quí Đôn – TP Rạch Giá Bài 5: Trong một tam giác , gọi h a là đường cao ứng với cạnh a, gọi h b là đường cao ứng với cạnh b cho biết a > b . Chứng minh: 1 a b h h a b − ≥ − − . Dấu đẳng thức xẩy ra khi nào? Bài 6: a) Hai đường cao tam giác bằng 32cm, 8cm. Chứng minh đường cao thứ ba nhỏ hơn 11cm. c) Có tồn tại hay không một tam giác có hai đường cao của nó lớn hơn 1m còn diện tích thì nhỏ hơn 2005cm 2 . Bài 7: Tính diện tích một tam giác biết dộ dài ba đường trung tuyến là 9cm, 12cm và 13cm. Trang: 4 . Lê Quí Đôn – TP Rạch Giá CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI LỚP 9 PHẦN HÌNH HỌC PHẦN I: DIỆN TÍCH ĐA GIÁC Bài 1: Giả sử M,N,P,Q lần lượt là trung điểm. = 4 5 (1) . Tương tự : y + 3 4 x = 3 4 (2) . Từ (1) và (2) giải hệ => x = 1 2 ; y = 3 8 Vậy S(AOB) = 1 2 : S(AOC) = 3 8 . Bài 2: Giả sử MNPQ là hình vuông