Trường THPT Tân Hồng Bài tập Giải tích 12 chương I BÀI TẬP CHƯƠNG I I. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Bài 1: Xét chiều biến thiên của các hàm số: a) y = 3 2 2x + 3x - 1 b) y = 3 2 -x + 2x - x + 1 c) y = 3 2 x - 3x + 9x + 1 d) y = 3 2 -x + 2x - 5x + 2 Bài 2: Xét chiều biến thiên của các hàm số: a) y = 4 2 x - 2x + 5 b) y = 2 2 x (2 - x ) c) y = 4 2 x + x - 3 4 d) y = 4 2 -x - x + 1 Bài 3: Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số: a) y = x + 1 x b) y = 3x + 1 1 - x c) y = 2 x - 2x 1 - x d) y = 2 -x - 2x + 3 x + 2 e) y = 2 2 x - x + 1 x + x + 1 f) y = 2 2x x 9− g) y = x + 1 x g) y = x - 1 x Bài 4: CMR: a) y = 2 2x - x đồng biến trên khoảng (0;1) và nghịch biến trên khoảng (1;2). b) y = 3 x + x - cosx - 4 đồng biến trên ¡ c) y = cos2x – 2x + 3 nghịch biến trên ¡ d) y = -x + 2 x 8+ nghịch biến trên ¡ Bài 5: Xét chiều biến thiên của các hàm số: a) y = 2 x - 2x + 3 b) y = x + 1 x - 1 c) y = 2 x - 4 d) y = 2 x 1 - x Bài 6: Tìm tham số m để: a) y = mx – x 3 nghịch biến trên ¡ b) y = 3 2 1 x + mx + 4x - 3 3 đồng biến trên ¡ c) y = 2 x - m + 4x x + 3 đồng biến trên từng khoảng xác định. d) y = x + 2 + m x - 1 đồng biến trên từng khoảng xác định. Bài 7: Chứng minh các bất đẳng thức: a) tanx > x (0 < x < 2 π ) b) tanx > x + 3 x 3 (0 < x < 2 π ) c) sinx < x (x > 0) d) sinx > x (x <0) e) cosx > 2 x 1 2 − (x ≠ 0) f) sinx > x - 3 x 6 (x > 0) g) sinx < x - 3 x 6 (x < 0) h) sinx + tanx > 2x (0 < x < 2 π ) i) tanx 4x π ≤ (0 ≤ x ≤ 4 π ) Bài 8: Cho hàm số: y = 2 2x x - 2 a) CMR: Hàm số đồng biến trên nửa khoảng [2; + ∞ ) b) CMR: Phương trình 2 2x x - 2 11= có một nghiệm duy nhất. Nguyễn Tấn Sĩ 1 Trường THPT Tân Hồng Bài tập Giải tích 12 chương I II. CỰC TRỊ HÀM SỐ Bài 1: Tìm cực trị của các hàm số: a) y = 3 2 1 x + 2x + 3x 3 b) y = 3 2 1 x - x + 2x - 1 3 c) y = 4 2 1 1 x + 2x + 4 4 − d) y = 3 5 1 x x - + 2 5 3 e) y = 4 2 x + 2x - 3 f) y = 3 2 x (1 - x) Bài 2: Tìm cực trị các hàm số: a) y = 1 x + x b) y = 2 x - 3x + 3 x - 1 c) y = 4x - 1 x + 2 b) y = 2 x - 4x + 3 2 x− e) y = |x|(x - 2) f) y = 2 x - 2x + 3 Bài 3: Tìm cực trị các hàm số: a) y = 2 x 4 - x b) y = 2 x + 4 - x c) y = 2 8 - x d) y = 2 x + 2x 1+ e) y = 2 x + 1 9 + x f) y = 3 2 x x 6− Bài 4: Dùng dấu hiệu 2, tìm cực trị các hàm số: a) y = x 4 – 2x 2 + 1 b) y = sin2x – x c) y = sinx + cosx d) y = 3 – 2cosx – cos2x e) y = x 5 – x 3 – 2x + 1 f) y = cosx + 1 2 cos2x Bài 5: Tìm m để hàm số: a) y = x 3 – 3mx 2 + 3(m 2 – 1)x + m đạt cực tiểu tại x = 2 b) y = 2 x mx + 1 x + m + đạt cực đại tại x = 2 c) y = mx 3 + 3mx 2 – (m – 1)x – 1 không có cực trị. d) y = 2 2 -x + mx - m x - m có cực đại và cực tiểu. Bài 6*: Tìm a, b, c, d sao cho hàm số: f(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d đạt cực tiểu tại x = 0, f(0) = 0 và đạt cực đại tại x = 1, f(1) = 1 Bài 7*: a) CMR với mọi m hàm số: y = 2x 3 – 3(2m + 1)x 2 + 6m(m + 1)x + 1 luôn đạt cực trị tại x 1 , x 2 với x 1 – x 2 không phụ thuộc m. b) Tìm m để đồ thị hàm số: y = 2 x + 2mx + 2 x + 1 có điểm cực đại, điểm cực tiểu cách đều đường thẳng x + y + 2 = 0 c) CMR với m bất kỳ, đồ thị hàm số: y = 2 x + (m + 1)x + m + 1 x + 1 luôn có điểm cực đại, điểm cực tiểu và khoảng cách giữa hai điểm đó bằng 20 d) Tìm m để hàm số: y = 2 2 x + 2(m + 1)x + m + 4m x + 2 có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị cùng với gốc toạ độ O tạo thành một tam giác vuông tại O. III. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ Bài 1: Tính giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: a) y = x 3 + 3x 2 – 9x – 7 trên [-4;3] và [0;2]. Nguyễn Tấn Sĩ 2 Trường THPT Tân Hồng Bài tập Giải tích 12 chương I b) y = x 4 – 3x 2 + 1 trên [0;3] và [-4;1]. c) y = 3 - x 2 - x trên [-2;-1] và [ 5 7 ; 2 2 ]. d) y = 2 x - 4x + 4 1 x− trên [-3; 1 2 ] và [2;4]. e) y = 2 x + 5x + 4 x + 2 trên [0;1]. Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: a) y = x – 2 + 1 x - 1 trên (1;+ ∞ ). b) y = x – 1 x trên (0;2]. c) y = 2 2 x - x + 1 x + x + 1 d) y = 2 x x + 4 *e) y = |x 2 – 3x + 2| trên [-10;10]. Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: a) y = 2 5 - x b) y = 7 - x trên [-2;3]. *c) y = x + 2 4 - x *d) y = x 2 9 - x *e) y = 2 x + 1 x + 1 trên [-1;2]. *f) y = (x + 1) 2 1 x− Bài 4: Tìm GTLN và GTNN của hàm số: a) y = 2 cos2x + 4sinx; trên [0; 2 π ]. b) y = 2sinx - 4 3 sin 3 x; trên [0; π ]. c) y = cos 3 x – 6cos 2 x + 9cosx + 5 d) y = sin 3 x – cos2x + sinx + 2 e) y = sin2x – x; trên [ ; 2 2 π π − ]. f) y = cos 2 2x – sinxcosx. Bài 5: a) Trong các tam giác vuông có cạnh huyền là 12cm. Hãy xác định tam giác có diện tích lớn nhất. b) Trong tất cả các hình chữ nhật có diện tích 24m 2 . Hãy xác định hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất IV. ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ Bài 1: Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số: a) y = 4x 3 - x b) y = 2 3x + 1 c) y = 3 2 x + 1 − + d) y = 2 2x - 1 x - 1 e) y = 2 2 x - x + 1 2 - x - x f) y = x 2 2x 1 + − Bài 2*: Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số: a) y = x + 3 + 2 2x - 1 x b) y = 3 2 x x +2x+1 c) y = 3 2 x + x - 1 x 4− d) y = 2 2 x - x + 2 -3x x +2− Bài 3*: Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số: a) y = 2 x - 2x b) y = x + 2 x - 4 Nguyễn Tấn Sĩ 3 Trường THPT Tân Hồng Bài tập Giải tích 12 chương I c) y = 2x + 2 x + 9 d) y = 2 x + 2x + 5 Bài 4*: Cho hàm số: y = 2 x - x + 1 1 - x có đồ thị (C). a) Tìm các tiệm cận của (C). b) Tìm M ∈ (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến các tiệm cận của (C) nhỏ nhất. Bài 5*: Cho hàm số: y = 2 2 mx (3m - 2)x - 2 x + 3m + (1). Tìm các giá trị của m để góc giữa hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số (1) bằng 45 0 . (A – 2008). V. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA MỘT SỐ HÀM ĐA THỨC Bài 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: a) y = 2 + 3x – x 3 b) y = x 3 + 4x 2 + 4x c) y = x 3 + x 2 + 9x d) y = -2x 3 + 3 e) y = 1 3 x 3 – x 2 – 3x – 5 3 f) y = -x 3 + 3x 2 – 3x + 2 g) y = x(x – 2) 2 h) y = (x + 1)(x – 1) 2 Bài 2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: a) y = x 4 – 3x 2 + 1 b) y = -x 4 + 2x 2 – 1 c) y = x 4 + 2x 2 – 1 d) y = 4 x 4 − - x 2 + 3 4 e) y = 1 4 x 4 – 2x 2 + 3 4 f) y = -x 4 – 2x 2 + 3 Bài 3: Cho hàm số: y = x 3 + 3x 2 – 4 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số. b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm uốn. c) CMR tiếp tuyến trên có hệ số góc nhỏ nhất trong các tiếp tuyến của đồ thị. Bài 4: Cho hàm số: y = -x 3 + 3x 2 – 1 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số. b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại giao điểm với trục Oy. c) Tuỳ theo giá trị của m, hãy biện luận số nghiệm của phương trình: x 3 – 3x 2 + m = 0 Bài 5: Cho hàm số: y = x 4 – (m + 2)x 2 + m + 1 (1) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1 b) Tuỳ theo k, biện luận số nghiệm của phương trình: x 4 – 3x 2 + 2 + k = 0 c) CMR: Đồ thị hàm số (1) luôn đi qua hai điểm cố định A, B với mọi giá trị của m. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) tại A và B. Bài 6: Cho hàm số: y = -x 4 + 2mx 2 + 2m. a) Tìm các giá trị của m để hàm số có 3 điểm cực trị. b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m= 1 2 . Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại hai điểm uốn. VI. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA MỘT SỐ HÀM PHÂN THỨC HỮU TỈ Bài 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: a) y = x + 2 x + 1 b) y = 1 - 2x 2x - 4 c) y = 2x + 1 1 - 3x Nguyễn Tấn Sĩ 4 Trường THPT Tân Hồng Bài tập Giải tích 12 chương I d) y = 2 2x - 1 e) y = 3 1 + x + 1 − f) y = 1 2 2 - x − Bài 2*: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: a) y = 2 x - 3x + 6 x - 1 b) y = 2 2x - x + 1 1 - x c) y = 2 2x + 3x - 3 x + 2 d) y = 1 x + 2 + x - 1 − e) y = 2 x + 3 x - 1 f) y = 2 x - 4x + 4 1 - x Bài 3: Cho hàm số: y = x + 1 x - 2 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) và trục hoành Ox. c) Vẽ đồ thị (C’): y = x + 1 | | x - 2 Bài 4: Cho hàm số: y = mx + 1 2x + m a) Tìm m để hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định. b) Tìm m để tiệm cận đứng đi qua A(2; 5 ). c) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 2 Bài 5*: Cho hàm số: y = 2 x - 2x + 1 x - 2 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) và trục tung. c) Vẽ (C’): y = 2 x - 2x + 1 |x - 2| d) Dựa vào (C) biện luận theo m số nghiệm phương trình: 2 x - 2x + 1 m x - 2 = Bài 6*: Cho hàm số: y = 2 x + 4x + 3 x + 2 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng d: y = 2x + 3 c) Chứng minh giao điểm I của hai tiệm cận của (C) là tâm đối xứng của (C) VII. MỘT SỐ BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP VỀ ĐỒ THỊ Bài 1: Cho (C): y = x 3 – 3x 2 + 4x + 1 và (P): y = x 2 + 5x – 3 a) Tìm giao điểm của (C) và (P). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) và (P) tại các giao điểm trên. b) Xác định các khoảng trên đó (C) nằm phía trên hoặc phía dưới (P). Bài 2: Cho hàm số: y = x + 3 x + 1 có đồ thị (C). a) CMR: đường thẳng y = 2x + m luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt M, N. b) Xác định các giá trị m để độ dài đoạn MN là nhỏ nhất. Bài 3: Cho hàm số: y = 2x - 1 x + 1 có đồ thị (C). Với giá trị nào của m đường thẳng (d m ) đi qua điểm A(-2;2) và có hệ số góc m. a) Cắt (C) tại hai điểm phân biệt. b) Cắt (C) tại hai điểm phân biệt thuộc hai nhánh của đồ thị. c) Tiếp xúc với (C). Nguyễn Tấn Sĩ 5 Trường THPT Tân Hồng Bài tập Giải tích 12 chương I Bài 4*: Cho hàm số: y = 2 2x - x + 1 x - 1 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Với giá trị nào của m, đường thẳng y = m – x cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B. c) Tìm tập hợp các trung điểm M của đoạn thẳng AB. Bài 5: Cho (C): y = x – 1 + 2 x + 1 và (P): y = x 2 + 3x – 3 a) CMR: (C) và (P) tiếp xúc nhau. b) Viết phương trình tiếp tuyến chung của (C) và (P). Bài 6: Tìm m để đồ thị của hàm số: a) y = 3 1 x 3 - 3x + m tiếp xúc với (P): y = x 2 b) y = mx - 1 x tiếp xúc với (P): y = 4x 2 + 1 c) y = 2 (2m - 1)x - m x - 1 tiếp xúc với đường thẳng (d): y = x. Bài 7: Cho hàm số: y = 3 1 x 3 - 2x 2 + 3x – 1 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) a) Tại giao điểm của (C) với trục tung. b) Vuông góc với đường thẳng ∆ : y = x + 3y – 1 = 0 c) Có hệ số góc k = 8 d) Đi qua điểm A(0;-1). Bài 8: Cho hàm số: y = x 4 – 2x 2 – 3 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Dựa vào (C) biện luận theo m số nghiệm phương trình: x 4 – 2x 2 + m = 0 c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) có hệ số góc k =24 Bài 9: Cho hàm số: y = 4 2 1 1 x + x m 4 2 + a) Với giá trị nào của m, đồ thị của hàm số đi qua điểm A(-1;1). b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1. c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ bằng 7 4 Bài 10*: Cho hàm số: y = 2 x + bx + c x + 1 a) Tìm b, c biết đồ thị của hàm số đi qua điểm A(2; 2 3 ) và tiếp tuyến của đồ thị tại giao điểm với trục tung có hệ số góc k = 2 b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với b, c tìm được. Nguyễn Tấn Sĩ 6 . Trường THPT Tân Hồng B i tập Gi i tích 12 chương I B I TẬP CHƯƠNG I I. TÍNH ĐƠN I U CỦA HÀM SỐ B i 1: Xét chiều biến thiên của các hàm số: a) y =. (C) t i hai i m phân biệt. b) Cắt (C) t i hai i m phân biệt thuộc hai nhánh của đồ thị. c) Tiếp xúc v i (C). Nguyễn Tấn Sĩ 5 Trường THPT Tân Hồng B i tập