Đang tải... (xem toàn văn)
Tài liệu là kho tàng phong phú đặc biệt tại địa chỉ 123.doc các bạn có thể tự chọn cho mình sao cho phù hợp với nhu cầu phục vụ . Trong những năm tháng học tập ở hà nội may mắn được các anh chị đã từng đi làm chia sẻ một một chút tài liệu tôi xin đươc chia sẻ với các bạn . trong quá trình upload vẫn còn chưa chỉnh sửa hết nhưng khi các bạn tải về vẫn có thể chỉnh sửa lại theo ý muốn của mình tùy theo mục đích và yêu cầu sử dụng. Xin được chia sẻ lên trang 123.doc và các bạn thường xuyên chọn 123.doc là địa chỉ tin cậy trong việc tải cũng như sử dụng tài liệu tại đây.
1 Website:tailieumontoan.com CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC VÀ ỨNG DỤNG CỦA HỆ THỨC VIÉT LỜI NÓI ĐẦU Nhằm đáp ứng nhu cầu giáo viên toán THCS học sinh chuyên đề toán THCS, website tailieumontoan.com giới thiệu đến thầy cô em chuyên đề phương trình bậc hai hệ thức vi-et Chúng tơi kham khảo qua nhiều tài liệu để viết chuyên đề nhằm đáp ứng nhu cầu tài liệu hay cập nhật dạng toán hệ phương trình thường kì thi gần Chuyên đề gồm phần: �Chủ đề 1: Phương trình bậc hai �Chủ đề 2: Ứng dụng hệ thức Vi-et Các vị phụ huynh thầy dạy tốn dùng chun đề để giúp em học tập Hy vọng chuyên đề phương trình bậc ứng dụng hệ thức vi et giúp ích nhiều cho học sinh phát huy nội lực giải tốn nói riêng học tốn nói chung Mặc dù có đầu tư lớn thời gian, trí tuệ song khơng thể tránh khỏi hạn chế, sai sót Mong góp ý thầy, giáo em học! Chúc thầy, cô giáo em học sinh thu kết cao từ chuyên đề này! Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Mục Lục Lời nói đầu Chủ đề Phương trình bậc hai ẩn Kiến thức cần nhớ Bài tập vận dụng Dạng Giải phương trình bậc hai ẩn Dạng Tìm điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm Dạng Nghiệm nguyên, nghiệm hữu tỷ phương trình bậc hai Dạng Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm chung Dạng Chứng minh hệ phương trình bậc có phương trình có nghiệm Dạng Ứng dụng phương trình bậc hai chứng minh bất đẳng thức tìm GTNN GTLN Chủ đề Khai thác ứng dụng định lý Vi-ét A Kiến thức cần nhớ B Các ứng dụng định lý vi-et Dạng 1: Giải phương trình bậc cách tính nhẩm nghiệm Dạng 2: Tính giá trị biểu thức nghiệm phương trình Dạng Tìm hia số biết tổng tích Dạng Phân tích tam thức tam thức bậc hai thành nhân tử Dạng Tìm tham số để phương trình bậc hai có nghiệm x = x Tìm nghiệm thứ hai Dạng Xác định tham số để phương trình có nghiệm thỏa mãn hệ điều kiện cho trước Dạng Lập phương trình bậc hai biết hai nghiệm hai nghiệm liên quan đến hai nghiệm phương trình cho Dạng Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm phương trình bậc hai, không phụ thuộc vào tham số Dạng Chứng minh hệ thức liên hệ nghiệm phương trình bậc hai, hai nghiệm phương trình bậc Dạng 10 Xét dấu nghiệm phương trình bậc hai, so sách nghiệm phương trình bậc hai với số cho trước Dạng 11 Nghiệm chung hai hay nhiều phương trình, hai phương trình tương đương Dạng 12 Ứng dụng hệ thức vi-et toán số học Dạng 13 Ứng dụng hệ thức vi-et giải phương trình, hệ phương trình Dạng 14 Ứng dụng hệ thức vi-ét chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức, tìm GTLN GTNN Dạng 15 Vận dụng định lý vi-et vào toán hàm số Dạng 16 Ứng dụng địng lý Vi-ét tốn hình học Bài tập rèn luyện tổng hợp Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp Trang 4 5 10 13 17 17 17 17 18 22 24 25 26 30 32 34 37 41 44 46 51 54 57 60 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Hướng dẫn giải Bài tập không lời giải 68 98 CHỦ ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN A/ KIẾN THỨC VÀ KỸ NĂNG CẦN NHỚ 1/ Định nghĩa: Phương trình bậc ẩn phương trình có dạng: ax bx c x ẩn, a, b, c hệ số cho trước a ≠ 2/ Giải phương trình bậc 2.1 Phương trình bậc khuyết: - Với c = phương trình có dạng: Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com �x ax bx � x ax c � � c � x a (a ≠ 0) � - Với b = phương trình có dạng: ax c � x c a * Điều kiện để phương trình có nghiệm là: �c c �0 � � ac (a c trái dấu) a � * � x � Với điều kiện ta có: c a 2.2 Giải phương trình bậc hai ẩn đầy đủ công thức nghiệm Phương trình bậc ẩn: ax bx c a �0 1 Xét biệt số: b 4ac +) Nếu phương trình (1) vơ nghiệm +) Nếu phương trình (1) có nghiệm kép: x1 x2 +) Nếu phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt b 2a x1 b b ; x2 2a 2a Trường hợp: b 2b ' ta có: ' b ' ac Khi đó: +) Nếu ' phương trình (1) vơ nghiệm +) Nếu ' phương trình (1) có nghiệm kép: x1 x2 +) Nếu phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt b' a x1 b ' ' b ' ' ; x2 a a 2.3 Trường hợp đặc biệt nhẩm nhanh nghiệm: Phương trình bậc ẩn: ax bx c a �0 x1 1; x2 c a - Nếu a + b + c = phương trình có nghiệm c x1 1; x2 a - Nếu a - b + c = phương trình có nghiệm Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com B/ BÀI TẬP VẬN DỤNG Giải phương trình bậc hai ẩn mx 2(m 3) x m Thí dụ Giải phương trình: (m tham số) (1) a) Giải phương trình với m = b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt c) Tìm m để tập nghiệm phương trình có phần tử Hướng dẫn giải a) Với m = ta có: x x Ta có: ' 22 3 x1 2 2 ; x2 2 2 Do đó: Khi m = phương trình có nghiệm là: x1 2 ; x2 2 b) Điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt là: m �0 � �a �0 � ��۹ � � ' � m 3 m m � � m �0 � �2m 0 m Vậy điều kiện để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt là: �m c) Để phương trình (1) có phần tử (1) có nghiệp kép phương trình bậc Với m = phương trình có dạng: 6x � x Với m ≠ (1) phương trình bậc 2, có nghiệm kép khi: ' � m 3 m m � 2 m � m Vậy m = m (thỏa mãn m ≠ 0) tập nghiệm phương trình (1) có phần tử Tìm điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Điều kiện có nghiệm phương trình bậc hai ≥ mà ta lại có: = b2 – 4ac nên ac < > Do với nhiều trường hợp phức tạp ta cần xét ac < để chứng minh phương trình ln có nghiệm Thí dụ Chứng minh phương trình sau có nghiệm với a, b: a 1 x a b x b 1 1 (Nâng cao phát triển Vũ Hữu Bình – tập 2) Hướng dẫn giải - Với a = -1 phương trình (1) trở thành: 2 b 1 x b 1 � b 1 x b 1 +) Nếu b ≠ phương trình (1) có nghiệm: x = 0,5 +) Nếu b = phương trình có vơ số nghiệm - Với a ≠ -1 phương trình (1) phương trình bậc có: ' a b a 1 b 1 a 2ab b ab a b a ab b a b 2 a b a b a b 1 4 a b � a b 1� � ��0 � � Do với a ≠ -1 phương trình (1) ln có nghiệm Vậy phương trình (1) có nghiệm với a, b Thí dụ Chứng minh phương trình sau có nghiệm với m: x 3m 5m x m 4m 1 (Nâng cao phát triển Vũ Hữu Bình – tập 2) Hướng dẫn giải ac m 4m m 4m m Ta có: Do phương trình ln có nghiệm Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Nhận xét: - Nếu ac ≤ a ≠ ≥ kết luận phương trình ax bx c có nghiệm nghiệm - Nếu ac ≤ chưa thể kết luận phương trình có nghiệm, chẳng hạn với phương trình m x mx có ac = - m2 ≤ với m = phương trình có dạng 0x = (vô nghiệm) Nghiệm nguyên, nghiệm hữu tỷ phương trình bậc hai Thí dụ Cho phương trình x 2mx m Tìm m ngun để phương trình có hai nghiệm ngun (Trích đề thi HSG tỉnh Quảng Bình năm học 2012-2013) Hướng dẫn giải ' m2 m m2 m Ta có: Để phương trình có nghiệm ngun ' phải số phương Do đó: m m k k �Z � 4m 4m 16 4k � 2m 1 4k 15 � 2m 2k 2m 2k 15 Do k2 lớn nên không ảnh hưởng tới giá trị cần tìm m ta giả sử k ≥ 0, ta có: (2m – + 2k) ≥ (2m – – 2k) Vì ta có trường hợp sau: �2m 2k 1 �m ) � �� �2m 2k 15 �k �2m 2k 3 �m ) � �� �2m k �k �2m 2k 5 �m ) � �� �2m 2k �k �2m 2k 15 �m 3 ) � �� � 2m k �k Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Thử lại giá trị m = -3, m = 0, m = 1, m = vào phương trình ta thấy thỏa điều kiện toán Vậy m = -3, m = 0, m = 1, m = phương trình có nghiệm nguyên Cách khác: ta vận dụng lý vi-ét sau: Gọi Ta có: Suy x1 , x2 (x1 x2 ) hai nghiệm nguyên phương trình x1 x2 2m; x1 x2 m x1 x2 x1 x2 � 2( x1 x2 ) x1 x2 15 � (2 x1 1)(2 x2 1) 15 TH1: x1 1 �x1 � �� �m4 � x 15 x � �2 TH2: x1 5 �x1 2 � �� �m0 � x2 � �x2 TH3: x1 15 �x1 7 � �� � m 3 � x2 � �x2 TH4: �2 x1 3 �x1 1 �� � m 1 � �2 x2 �x2 Thử lại m = 0, m = 1, m = -3,m = thỏa mãn điều kiện tốn Thí dụ Tìm số ngun n để phương trình sau có nghiệm số nguyên: x n x 2n 1 (Nâng cao phát triển Vũ Hữu Bình – tập 2) Hướng dẫn giải n 4.2n 16 8n n 8n n 16 Ta có: Để phương trình có nghiệm ngun phải số phương Do đó: n2 16 k k �Z � n k 16 � n k n k 16 Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Ta thấy (n + k) – (n – k) = 2k nên (n + k) (n – k) phải chẵn lẻ Do tích 16 nên chẵn Mặt khác (n + k) ≥ (n – k) đó: n+k n–k -2 -4 -8 n -3 Thử lại cá giá trị n = - 3, 0, ta thấy thỏa điều kiện phương trình có nghiệm ngun Vậy n = - 3, 0, giá trị cần tìm Thí dụ Cho phương trình a(a + 3)x - 2x - (a + 1)(a + 2) = số, nguyên) (a tham a) Chứng minh phương trình ln có nghiệm hữu tỷ b) Xác định a để phương trình có nghiệm ngun (Trích đề Chuyên Phú Yên năm 2011-2012) Hướng dẫn giải a) Chứng minh phương trình ln có nghiệm hữu tỷ: - Với a(a+3) = hay a = a = -3: Phương trình trở thành: -2x -2 = có nghiệm x = -1 - Với a(a+3) hay a a -3 phương trình cho phương trình bậc hai a (a 3) x x (a 1)(a 2) � a 3a x x 1 a 3a � a 3a x 1 x 1 x 1 � x 1 � a 3a x 1 2� � � Nên phương trình cho có nghiệm: x1 1 x2 (a 1)(a 2) 1 a (a 3) a( a 3) Vì a ngun nên suy phương trình cho ln có nghiệm hữu tỷ Cách khác: Nếu thí sinh tính Vì a ngun nên ' ( a 3a 1) 0, a ' a 3a số ngun Vậy phương trình cho ln có nghiệm hữu tỷ Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com b) Xác định a để nghiệm phương trình nghiệm nguyên: - Nếu a = a = -3: phương trình có nghiệm nguyên x = -1 - Nếu a 0, a -3 phương trình cho phương trình bậc 2, ta có: a (a 3) x x (a 1)(a 2) � a 3a x x 1 a 3a � a 3a x 1 x 1 x 1 � x 1 � a2 3a x 1 2� � � Nên phương trình cho có nghiệm: x1 1 x2 (a 1)(a 2) 1 a (a 3) a( a 3) Phương trình có nghiệm x1 = -1 ngun nên để phương trình có nghiệm ngun x2 phải nghiệm nguyên Nghĩa là: phải chia hết cho a(a 3) Khi ta có khả xảy : � a 3a a (a 3) 2 � �2 � a ( a 3) a 3a � �� � � a (a 3) a 3a � � a (a 3) � � a 3a � Vì a ngun nên có phương trình a 3a có hai nghiệm nguyên a = -1 a = -2 Vậy: a � 3; 2; 1;0 phương trình cho có nghiệm ngun Tìm giá trị tham số để hai phương trình có nghiệm chung Bài tốn với Hai phương trình bậc hai a1 , a2 , b1 , b2 , c1 , c a1 x b1 x c1 * a2 x b2 x c2 ** tham số, xác định giá trị tham số để phương trình có nghiệm chung Phương pháp giải Bước Giả sử x0 nghiệm cung hai phương trình đó: �a1 x0 b1 x0 c1 � � �a2 x b2 x c2 Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp 1 2 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com + Phương trình x + 2x + 2m = có hai nghiệm phân biệt D = - 8m > � m < Kết hợp hai kết ta hai phương trình có hai nghiệm phân biệt + Gọi x0 m