NGUYỄN ĐỨC THẮNG – DU HIỀN VINH ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC TRONG GIẢI TOÁN LỚP 11 TOÁN - TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN NGỌC HIỂN ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC TRONG GIẢI TOÁN Vật lý Lời mở đầu Với chất môn học tự nhiên, tương quan Toán học Vật lý học nằm nhiều mặt Tuy nhiên, bản, chất môn học đào sâu, sâu vào ứng dụng tích hợp kiến thức mơn học Từ làm sở tảng để hình thành phương pháp giải tập cách áp dụng kiến thức môn học vào mơn học mà Tốn học vào Vật lý Ở ta xét ứng dụng thường thấy, việc áp dụng Bất đẳng thức Toán học vào giải toán Vật lý Phương pháp giúp ta giải số câu hỏi đề thi tuyển sinh đại học mơn vật lý (tìm giá trị cực đại, cực tiểu…) Cà Mau, ngày 20 tháng 11 năm 2016 Nguyễn Đức Thắng - Du Hiền Vinh sưu tầm trình bày Page ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC TRONG GIẢI TOÁN Vật lý Ứng dụng bất đẳng thức AM – GM Ví dụ 1: Cho mạch điện hình vẽ: Biết E  20 ; r  4W R biến trở Tìm R để cơng suất mạch đạt cực đại Lời giải: Áp dụng Định luật Ohm toàn mạch, ta cường độ dòng điện I E 20  Rr R4 400 R 400  20   Công suất mạch P  I R    R R  8R  16 R  16   R4 R Để công suất mạch đạt cực đại (hay P đạt giá trị lớn nhất) R  dụng bất đẳng thức AM  GM cho số thực dương R R Từ dễ dàng suy P  16  đạt giá trị nhỏ Áp R 16 ta có R 16 16   R   16 R R 400 400   25 16 16 R  8 R Dấu đẳng thức xảy R  16 hay R  R Từ ví dụ ta tổng qt tốn lên sau: Cho mạch điện hình vẽ: Biết giá trị E r Tìm R để cơng suất mạch ngồi đạt cực đại Nguyễn Đức Thắng - Du Hiền Vinh sưu tầm trình bày Page ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC TRONG GIẢI TOÁN Vật lý Lời giải: Áp dụng Định luật Ohm tồn mạch, ta cường độ dòng điện I E Rr E2R E2  E  Cơng suất mạch ngồi P  I R   R    r2 R  2Rr  r  Rr  R   2r R Để cơng suất mạch ngồi đạt cực đại (hay P đạt giá trị lớn nhất) R  dụng bất đẳng thức AM  GM cho số thực dương R R Từ dễ dàng suy P  r2  2r đạt giá trị nhỏ Áp R r2 ta có R r2 r2  2r  R  2r  4r R R E2 E2  r2 4r R   2r R Dấu đẳng thức xảy R  r hay R  r R Ví dụ 2: Dòng điện chay qua vòng dây dân hai điểm A, B Dây dẫn tạo nên vòng dây đồng chất, tiết diện có điện trở R  25 Góc AOB   Tìm  để điện trở tương đương vòng dây lớn Lời giải: Đặt điện trở đoạn vòng dây AMB R1 với R1   360 R Đặt điện trở đoạn vòng dây lại R2 với R2  R  R1  R  Từ suy điện trở tương đương vòng dây Rtd   360 R 360   R 360  360    R 3602 Đến áp dụng bất đẳng thức AM  GM cho hai số thực dương 360    ta có Nguyễn Đức Thắng - Du Hiền Vinh sưu tầm trình bày Page ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC TRONG GIẢI TOÁN Vật lý  360       3602   360      4 Suy Rtd  Vậy  Rtd max   360    R  R 3602 R đạt 360     hay   180o Vậy, A, B hai điểm xun tâm đối vòng dây điện trở tương đương vòng dây lớn Ví dụ 3: Hai điện tích q1  q2  q  đặt A, B khơng khí (hay   ) Cho biết AB  2a Điểm M nằm đường trung trực đoạn thẳng AB cách AB khoảng cách h Xác định h để EM đạt cực đại Tính giá trị cực đại Lời giải: Ta có EM  E1  E2 E1 E2 có hướng AM BM có độ lớn cho E1  k q q q  k  k 2 AM BM a  h2 Vậy EM có hướng OM có độ lớn xác định EM  E1.cos   2k q h a h a  h2 Hay Nguyễn Đức Thắng - Du Hiền Vinh sưu tầm trình bày Page ỨNG DỤNG CỦA BẤT EM  ĐẲNG THỨC TRONG GIẢI TOÁN Vật 2kqh a  h2  Trong biểu thức EM ta áp dụng bất đẳng thức AM  GM cho ba số thực dương a2 a2 a 4h2 a h   h 3 2 lý a2 a2 , h để có 2 (1) Tương đương a  h2   3 ah Từ ta suy Vậy,  EM max  a2 a 4kq h  hay h  2 3a Nhận xét: Việc tách a  a2 a2 a2 a2  để áp dụng bất đẳng thức AM  GM cho ba số thực dương , h làm 2 2 sau: Để đảm bảo dấu xảy ra, ta tách a thành n số hạng Áp dụng bất đẳng thức AM  GM cho m  n số thực dương n a2 h2 h thành m số hạng (với m, n  m n * ) a2 h2 , ta có m n a2 h2  m   m  n  mn a n h m   m  n  a n h m n m   m n Suy EM  2kqh  a  h2  2kqh   m  n   a h  3 n m m n   m  n2 kq a 3n m n 1 h 3m m n Để EM khơng phụ thuộc vào h bậc biến h Cụ thể  n  2m Lấy m  n  Từ ta tách a  h  3m  tương đương mn a2 a2   h để mang lại lời giải gọn đẹp 2 Ví dụ 4: Một tơ chuyển động từ A đến B dài 800m Khởi hành từ A, ô tơ chuyển động nhanh dần đều, sau tơ chuyển động chậm dần dừng lại B Biết độ lớn gia tốc xe không vượt 2m / s Hãy tính thời gian ngắn mà ô tô chạy từ A đến B Nguyễn Đức Thắng - Du Hiền Vinh sưu tầm trình bày Page ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC TRONG GIẢI TOÁN Vật lý Lời giải: Gọi a1 , a độ lớn ô tô hai giai đoạn Áp dụng vt  2as t  vt a  2a1s1  2a2 s2 Ta có vmax Suy s1 a2 a2 800a2  hay s1   s1  s2   s2 a1 a1  a2 a1  a2 Thay vào ta vmax  40 a1a2 a1  a2 Ta có t  t1  t2  vmax vmax 40   a1 a2 a1  a2 Áp dụng bất đẳng thức AM  GM cho số thực dương a1 a2 a1 a  2 a2 a1  a1 a   2  a1   a2 a2 ta có a1 a1a2 2 a1a2 Cùng với ý a1  a2  Để suy t  40 a1  a2  a1 a     40  a1   a2 Vậy, t đạt cực tiểu 40 giây a1  a2  2m / s Từ ví dụ ta tổng qt tốn lên sau: Một ô tô chuyển động từ A đến B với khoảng cách l m Khởi hành từ A, ô tô chuyển động nhanh dần đều, sau tơ chuyển động chậm dần dừng lại B Biết độ lớn gia tốc xe không vượt a m / s Hãy tính thời gian ngắn mà ô tô chạy từ A đến B Lời giải: Làm tương tự bước lời giải ví dụ để s1  a2 al  s1  s2   a1  a2 a1  a2 Và Nguyễn Đức Thắng - Du Hiền Vinh sưu tầm trình bày Page ỨNG DỤNG CỦA BẤT vmax  ĐẲNG THỨC TRONG GIẢI TOÁN Vật lý 2a1a2l a1  a2 Ta có t  t1  t2  vmax vmax 2l   a1 a2 a1  a2 Áp dụng bất đẳng thức AM  GM cho số thực dương a1 a2 a1 a  2 a2 a1  a1 a   2  a1   a2 a2 ta có a1 a1a2 2 a1a2 Cùng với ý a1  a2  2a0 Để suy t  2l a1  a2  a1 a  l  2   a1  a0  a2 Vậy, t đạt cực tiểu l a1  a2  a0 a0 Ví dụ 5: Cần phải ném đá góc  phương ngang với vận tốc ban đầu tối thiểu ( v0 ) để đạt tới độ cao h ? Thời gian t để đá lên tới độ cao bao nhiêu? Lời giải: Đặt gốc O trục tọa độ Oy thẳng đứng điểm ném Khi phương trình chuyển động đá theo phương thẳng đứng y  v0t sin   gt 2 Tại thời điểm đá độ cao h , ta có v0t sin   gt h Hay v0  gt h  2sin  t sin  Áp dụng bất đẳng thức AM  GM cho số thực dương gt h ta có 2sin  t sin  gh gt h gt h  2  2sin  t sin  2sin  t sin  sin  Nguyễn Đức Thắng - Du Hiền Vinh sưu tầm trình bày Page ỨNG DỤNG CỦA BẤT Suy v0  ĐẲNG THỨC TRONG GIẢI TOÁN Vật lý gh sin  Đẳng thức xảy gt h 2h  hay t  2sin  t sin  g Vậy, vận tốc cực tiểu đá v0  gh thời gian cần tìm t  sin  2h g Ví dụ 6: Một cầu nhỏ rơi tự từ điểm A đến chắn đặt nghiêng góc   450 so với mặt phẳng ngang Sau va chạm đàn hồi chắn, cầu rơi xuống mặt đất điểm C cách đường thẳng đứng AB đoạn s ( AB  H ) Hỏi phải đặt chắn độ cao h mà khơng thay đổi hướng để s đạt cực đại Khi s bao nhiêu? Bỏ qua sức cản khơng khí Lời giải: Áp dụng định luật bảo toàn năng, ta xác định vận tốc cầu trước chạm vào chắn mv  mg  H  h  Và v  2g  H  h Sau va chạm đàn hồi, vận tốc không thay đổi độ lớn, hướng thay đổi Theo phương ngang cầu bay khoảng s  vt , với t thời gian cầu bay từ lúc va chạm chắn đến chạm đất, theo phương thẳng đứng h  gt Khi s  2g  H  h 2h  h  H  h g Áp dụng bất đẳng thức AM  GM cho số thực dương h H  h ta có H  h   H  h  h  H  h Nguyễn Đức Thắng - Du Hiền Vinh sưu tầm trình bày Page ỨNG DỤNG CỦA BẤT Vậy, smax  H h  H  h hay h  ĐẲNG THỨC TRONG GIẢI TỐN Vật lý H Ví dụ 7: Một người trượt băng trượt khoảng cách l  500m , ban đầu với vận tốc v không đổi sau hãm lại với gia tốc a  0, 05m / s Hỏi với vận tốc v thời gian người chuyển động dừng lại bé nhất? Lời giải: Hiển nhiên thời gian chuyển động bao gồm thời gian chuyển động với vận tốc không đổi thời gian chuyển dộng chậm dần dừng hẳn lại t l v  v a Áp dụng bất đẳng thức AM  GM cho số thực dương v l ta có v a l v l v l  2 2 v a va a Vậy tmin  l l v  200 s đạt  hay v  la  5m / s a v a Ví dụ 8: Từ hai bến A B bờ sơng có hai canơ khởi hành Khi nước chảy sức đẩy động cơ, ca nô từ A chạy song song với bờ theo chiều từ A đến B với vận tốc 24km / h , ca nơ từ B chạy vng góc với bờ có vận tốc 18km / h Biết AB  1km Hỏi khoảng cách nhỏ hai ca nơ q trình chuyển động nước chảy từ A đến B với vận tốc 6km / h Biết sức đẩy động không thay đổi Lời giải: Ở ta chọn hệ quy chiếu gắn với bờ sông Vận tốc canô bờ sông vAO  vA  vO  24   30  km / h  vBO  vo2  vB2  182  62  10  km / h  Suy sin   vB 18 10   vBO 10 10 cos   vO 10   vBO 10 10 Nguyễn Đức Thắng - Du Hiền Vinh sưu tầm trình bày Page 10 ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC TRONG GIẢI TOÁN Vật lý Độ dài quãng đường hai canô quãng thời gian t AC  v AO t  30t BD  vBO t  10t BH  BD.cos   6t DH  BD.sin   18t Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vng CHD ta có CD2  CH  HD2  1  24t   18t   900t  48t  2 Áp dụng bất đẳng thức AM  GM cho số thực dương 900t 900t  16 ta có 25 16 16  900 .t  48t 25 25 Hay CD2  0,36  km Vậy CDmin  0,6  km đạt t  s 75 Ví dụ 9: Một mạch điện chứa n pin Mỗi pin có suất điện động E điện trở r Các phin mắc thành k nhóm nối tiếp, nhóm có n pin mắc song song Xác định k để cường độ dòng điện chạy qua k điện trở mạch đạt cực đại Nguyễn Đức Thắng - Du Hiền Vinh sưu tầm trình bày Page 11 ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC TRONG GIẢI TOÁN Vật lý Lời giải: Áp dụng định luật Ohm cho toàn mạch, cường độ dòng điện mạch I kE nkE  k r k r  nR R n Dễ thấy cường độ dòng điện đạt cực đại phân số kr  nR k đạt cực đại, hay kr  Áp dụng bất đẳng thức AM  GM cho số thực dương kr kr  nR đạt cực tiểu k nR ta có k nR nR nR  kr 2 k k r Suy I max  Giá trị cực đại đạt kr  nE E n  rnR rR nR r nR hay k  k Ngoài để ý thêm dấu xảy rb  rk nR r R n nr Ví dụ 10: Cho mạch điện R  L  C nội tiếp có điện trở R  30 C  103 (F) Đặt vào hai đầu 4 đoạn mạch điện áp U AB  100 cos100 t (V) thay đổi L để U L đạt giá trị cực đại Lời giải: Nguyễn Đức Thắng - Du Hiền Vinh sưu tầm trình bày Page 12 ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC TRONG GIẢI TOÁN Vật lý Ta có U L  I Z L  ZL U Z L  Z R   Z L  ZC  Hay UL  U  R  ZC  ZC     1  ZL  ZL   ZL  2  R  ZC  ZC     1  phải đạt giá trị cực tiểu ZL  ZL   ZL  Để U L đạt giá trị cực đại  R  Z Z   x y      C   C  Đặt ZL ZL  ZL   ZL  Ta có 2  R  Z  Z y      C   C   R  Z L2 x  2Z C x  ZL  ZL   ZL    Z C2 Áp dụng bất đẳng thức AM  GM cho số thực dương  R  Z  x ta có R  Z C2   R2  ZC2 x  C ZC2  2Z C x R2  ZC2 Hay   y  R  ZC2 x  2ZC x    ZC2 R2  R  ZC2 R2  ZC2 Suy U Lmax    Giá trị U L cực đại đạt R  ZC2 x  U R  Z C2 U  ymin R ZC2 R  ZC2 ZC2   R  ZC2 Z L2 R  ZC2 R  ZC2 Vậy U L lớn Z L   62,5 ZC Ứng dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz Ví dụ 1: Cho mạch điện hình vẽ: Nguyễn Đức Thắng - Du Hiền Vinh sưu tầm trình bày Page 13 ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC TRONG GIẢI TOÁN Vật lý Biết tổng giá trị R1 R2 không lớn 2 hiệu điện đầu nguồn 12V Tìm giá trị cực đại cường độ dòng điện qua mạch Lời giải: Theo giả thiết suy R1  R2  Ta tính công thức R12  U 12 1  I AB  AB  R12 R12 R1 R2 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy  Schwarz , ta có R12  Suy I AB  1 4    2 R1 R2 R1  R2 12 6 R12 Vậy giá trị cực đại cường độ dòng điện qua mạch 6A Dấu đẳng thức xảy R1  R2  1 Từ ví dụ ta tổng quát toán lên sau: Cho mạch điện với n điện trở mắc song song với nguồn cho tổng giá trị chúng không lớn  Ω hiệu điện đầu nguồn  V Tìm giá trị cực đại cường độ dòng điện qua mạch Lời giải: Theo giả thiết suy R1  R2   Rn   Ta tính cơng thức R12 n  U 1     I AB  AB  R1 R2 R12 n R12 n Rn Áp dụng bất đẳng thức Cauchy  Schwarz dạng cộng mẫu số, ta có R12 n  Suy I AB   R12 n  1 n2 n2      R1 R2 Rn R1  R2   Rn   n2 Nguyễn Đức Thắng - Du Hiền Vinh sưu tầm trình bày Page 14 ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC TRONG GIẢI TOÁN Vật Vậy giá trị cực đại cường độ dòng điện qua mạch R1  R2   Rn   n lý  6A Dấu đẳng thức xảy n2  Ví dụ 2: Một vật có khối lượng m , kéo với vận tốc khổng đổi lực F mặt phẳng nghiêng góc  với mặt ngang Hệ số ma sát vật mặt phẳng nghiêng k Xác định góc  lực F với mặt phẳng nghiêng lực F nhỏ Khi lực F có độ lớn bao nhiêu? Lời giải: Vật trượt đểu nên P  F  Fms  N  mg.cos   F sin   N  Và  mg.sin   F cos   k.N  Suy F  sin   k cos   mg cos   k sin  Để F đạt giá trị cự tiểu cos   k.sin  phải đạt cự đại Đặt y  cos   k.sin  áp dụng bất đẳng thức Cauchy  Schwarz ta có y  1.cos   k sin   1  k  cos 2   sin     k Vậy ymax   k Dấu đẳng thức xảy cos   k.sin    k hay   arctan k Từ suy Fmin   sin   k.cos   mg 1 k Ví dụ 3: Hệ hình vẽ Hệ số ma sát hai vật m M k1 , M sàn ngang k Tác dụng vào M lực F hợp với phương ngang góc  Khi  thay đổi ( 0o    90o ) Tìm F nhỏ để M trượt khỏi vật m Nguyễn Đức Thắng - Du Hiền Vinh sưu tầm trình bày Page 15 ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC TRONG GIẢI TOÁN Vật lý Lời giải: Vật m có ma1  k1mg  a1  k1 g   Ma2  F cos   k1 N1  k2 N Vật M có    N   m  M  g  F sin  Suy a2  F cos   k2 F sin   k1mg  k2  m  M  g M Để M khỏi m a2  a1 hay F  k1  k2  m  M  g cos   k2 sin  Vậy F đạt cự tiểu cos   k2 sin  đạt cực đại Đặt y  cos   k.sin  áp dụng bất đẳng thức Cauchy  Schwarz ta có y  1.cos   k2 sin   1  k  cos 2   sin     k22 Vậy ymax   k22 Dấu đẳng thức xảy cos   k2 sin    k22 hay   arctan k2 Từ suy Fmin  Từ suy Fmin   sin   k.cos   mg  mg.sin      1 k  k1  k2  m  M  g  k22 Nguyễn Đức Thắng - Du Hiền Vinh sưu tầm trình bày Page 16 ... mơn vật lý (tìm giá trị cực đại, cực tiểu…) Cà Mau, ngày 20 tháng 11 năm 2016 Nguyễn Đức Thắng - Du Hiền Vinh sưu tầm trình bày Page ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC TRONG GIẢI TOÁN Vật lý Ứng dụng bất. .. 3602 Đến áp dụng bất đẳng thức AM  GM cho hai số thực dương 360    ta có Nguyễn Đức Thắng - Du Hiền Vinh sưu tầm trình bày Page ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC TRONG GIẢI TOÁN Vật lý  360   ... a  h2 Hay Nguyễn Đức Thắng - Du Hiền Vinh sưu tầm trình bày Page ỨNG DỤNG CỦA BẤT EM  ĐẲNG THỨC TRONG GIẢI TOÁN Vật 2kqh a  h2  Trong biểu thức EM ta áp dụng bất đẳng thức AM  GM cho ba