ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - - Đỗ Thị Thư TÁN XẠ ĐÀN HỒI CỦA CÁC HẠT HADRON TÍCH ĐIỆN VÀ GIAO THOA COULOMB - HADRON LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Mã số: 60440103 Hà Nội – 2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - - Đỗ Thị Thư TÁN XẠ ĐÀN HỒI CỦA CÁC HẠT HADRON TÍCH ĐIỆN VÀ GIAO THOA COULOMB - HADRON Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết vật lý toán LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS TS Nguyễn Xuân Hãn Hà Nội - 2015 LỜI CẢM ƠN Trước hết, em xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo Khoa Vật Lý dạy dỗ, trang bị cho em kiến thức làm tảng, sở cho việc hoàn thành luận văn tốt nghiệp Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS.TSKH Nguyễn Xuân Hãn người thầy tận tình hướng dẫn, giảng giúp đỡ em nhiều trình thực luận văn tốt nghiệp Em xin gửi lời cảm ơn tới thầy cô giáo cán nhân viên, anh chị em bạn hữu mơn Vật Lý lý thuyết khích lệ, giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho em hoàn thành luận văn tốt nghiệp Cuối cùng, em xin cảm ơn bố mẹ, người thân bạn bè sát cánh động viên em cố gắng suốt trình học tập trường Một lần nữa, em xin trân trọng cảm ơn Hà Nội, 15 tháng 12 năm 2015 Học viên Đỗ Thị Thư MỤC LỤC MỞ ĐẦU Chƣơng 1: PHƢƠNG TRÌNH SCHROEDINGER VÀ PHƢƠNG PHÁP SĨNG RIÊNGPHẦN 1.1 Tiệm cận hàm sóng trường ngồi xa vơ cực 1.2 Pha tán xạ 1.3 Biên độ tán xạ theo phương pháp sóng riêng phần .8 CHƢƠNG 2- TÁN XẠ TRÊN TỔNG HAI TRƢỜNG THẾ NGOÀI 12 2.1 Biên độ tán xạ 12 2.2 Pha tán xạ Coulomb 13 2.3 Pha tán xạ hạt nhân .18 CHƢƠNG 3- GIAO THOA COULOMB- HADRON 27 3.1 Tán xạ hạt nhân trường Gauss .27 3.2 Giao thoa Gauss- Coulomb 35 3.2.a Giao thoa Coulomb- hadron khơng có kì dị r  36 3.2.b Giao thoa Coulomb- hadron khơng có kì dị r  r   .41 3.3 Giao thoa Yukawa- Coulomb .45 KẾT LUẬN 50 TÀI LIỆU THAM KHẢO 51 PHỤ LỤC 53 Phụ lục A: Biên độ tán xạ trường Coulomb 53 Phụ lục B: Hàm Bessel 60 Phương trình hàm Bessel 60 Các biểu diễn tích phân hàm Bessel 63 3.Các tiệm cận hàm Bessel 64 MỞ ĐẦU Trong nhiều toán lý thuyết tán xạ, tương tác chia thành hai số hạng /2/: tương tác điện từ- tương tác Coulomb tầm xa tương tác mạnh- tương tác hạt nhân tầm ngắn ,ví dụ tương tác hạt nhân hạt mang điện, tương tác hạt nhân U h n  r  phải xét thêm tương tác Coulomb U c  r  hạt va chạm Bài toán tán xạ hạt tổng hai trường (bao gồm trường tương tác mạnh trường Coulomb) Bethe /3/ nghiên cứu phương pháp gần chuẩn cổ điển khuôn khổ học lượng tử phi tương đối tính, tốn tương tự cho trường hợp lý thuyết tương đối tính Soloviov /9/ xem xét phương pháp Yennie, Frautschi va Suura (YES) phát triển để loại bỏ phân kỳ hồng ngoại Điện động lực học lượng tử /10/ Những kết mà Bethe tìm ra, sử dụng rộng rãi để phân tích số liệu thực nghiệm vùng lượng cao tương tác hạt nhân, hay kiểm tra lý thuyết hệ thức tán sắc cho tán xạ pion-nucleon   N Mục tiêu Luận văn Thạc sỹ khoa học nghiên tốn tán xạ đàn hồi hadron tích điện giao thoa Coulomb – hadron phương pháp sóng riêng phần /2/.Để tiện lợi cho việc theo dõi, luận văn tốt nghiệp từ tổng quát đến cụ thể, xét chung vào phần riêng.Khi tham gia vào trình tán xạ, hạt lúc tham gia hai loại tương tác khác nhau: tương tác mạnh- tương tác hạt nhân tầm ngắn tương tác Coulomb tầm xa, mà hai loại tương tác mơ tả Coulomb tương tác hạt nhân, biên độ tán xạ toàn phần tổng biên độ Coulomb biên độ hạt nhân, chúng có độ lệch pha với nhau, mục đích chúng tơi khảo sát tán xạ tổng hai Coulomb- hạt nhân, đưa công thức chung cho biên độ, pha tán xạ trường riêng rẽ sau tính tốn độ lệch pha hay gọi giao thoa hai biên độ so sánh với kết khác, kết tổng quát trình bày chương chương 2, chương cụ thể hóa luận điểm chương chương việc xét tán xạ tổng hai trường dạng trường cho cách tường minh, luận điểm khảo sát toán tán xạ tổng hai tương tác Gauss- Coulomb Yakawa- Coulomb giao thoa chúng Theo định hướng đó, chúng tơi chia luận văn thành mục đích sau Chƣơng 1: phƣơng trình Schrodinger phƣơng pháp sóng riêng phần Bài tốn tán xạ hạt nhân nhanh quy việc giải phương trình Schrodinger dừng trường cho trước trình bày mục $1.1, hàm sóng hạt tán xạ trường ngồi xa vơ cực nghiên cứu đây.Mục $1.2 dành cho việc tìm pha tán xạ việc giải phương trình Schrodinger cho hàm xuyên tâm Phương pháp sóng riêng phần áp dụng cho phương trình Schrodinger trường ngồi để tìm biên độ tán xạ hạt Chƣơng 2: Tán xạ tổng hai trƣờng ngồi Các hạt hadron tích điện tham gia lúc hai loại tương tác: tương tác Coulomb tương tác tầm xa, tương tác hadron- tương tác mạnh tương tác tầm gần Sử dụng biểu thức giải tích cho biên độ tán xạ hạt trường thu chương tổng qt hóa cho tốn tán xạ hai mục $2.1.Ta thu biểu thức giải tích cho biên độ tán xạ Cuolomb, biên độ tán xạ hạt nhân biên độ tán xạ hoàn toàn hạt nhân tương tác Coulomb loại bỏ.Pha tán xạ Coulomb tìm mục $2.2, pha tán xạ hạt nhân trình bày mục $2.3 Chƣơng 3: giao thoa Coulomb- hadron Trong chương nghiên cứu giao thoa hai tương tác khác với hạt nhân cụ thể Tán xạ hạt nhân ngồi dạng Gauss trình bày mục $3.1 Ở ta thu biên độ tán xạ hạt nhân (3.26) cho trường hợp tán xạ góc lớn.Sự liên hệ biên độ tán xạ hoàn toàn hạt nhân biên độ tán xạ hạt nhân có kể tới tương tác Coulomb (3.28) xem xét mục 3.2 Nếu góc tán xạ nhỏ   , mục $3.2a ta tìm cơng thức giao thoa Coulomb- hạt nhân (3.24) mà trùng với kết Bethe tìm Mục $3.2b dành cho việc nghiên cứu biên độ tán xạ hạt nhân kể thêm tương tác Coulomb khơng có kì dị r  khơng có kì dị r  r   , ta thu cong thức giao thoa Coulomb- hạt nhân (3.39) (3.48) Trong mục $3.3 ta xét trình tán xạ tổng hai trường Coulomb- hạt nhân Khác với mục tiêu tương tác hạt nhân ta sử dụng Gauss mà Yakawa, kết thu công thức giao thoa Coulomb- hạt nhân (3.61)- trùng với (3.28) Cuối kết luận, tài liệu tham khảo phụ lục liên quan đến luận văn Biên độ tán xạ cho tương tác Coulomb tìm cách giải phương trình Schrodinger cho hạt tán xạ tọa độ parabolic  ,   phụ lục A, số tính chất hàm Bessel trình bày phụ lục B CHƢƠNG I PHƢƠNG TRÌNH SCHROEDINGER VÀ PHƢƠNG PHÁP SÓNG RIÊNG PHẦN Xuất phát từ phương trình Schoedinger cho hạt tán xạ lên trường ngồi, sử dụng phương pháp tách biến phương pháp sóng riêng phần, chương ta tìm pha tán xạ biên độ tán xạ Mục 1.1 dành cho việc xem xét dáng điệu tiệm cận hàm sóng trường ngồi xa vơ cực phương pháp tách biến cho hai phần: Phần xuyên tâm R(r ) phụ thuộc vào độ lớn r phần phụ thuộc vào góc Y ( ) hàm sóng.Trong mục 2.2 ta biểu diễn pha tán xạ  l qua trường V (r ) Khi r  ta thu dáng điệu tiệm cận hàm sóng hạt xa vô cực Sử dụng phương pháp sóng riêng phần ta thu biên độ tán xạ hạt lên trường $ 1.1 Tiệm cận hàm sóng trƣờng ngồi xa vơ cực Phương trình Schroedinger dừng cho hạt trường ngồi có dạng:     k   r   V  r   r  V r  (1.1) U  r  2 E , k  p2  2   Với E bình phương xung lượng hệ khối tâm  khối lượng rút gọn hệ Để giải phương trình Schrodinger dừng (1.1) ta đặt tâm tán xạ gốc tọa độ, hướng dòng hạt tới theo trục Oz Khi nghiệm phương trình (1.1) có dạng khơng phụ thuộc tường minh vào góc  Sử dụng phương pháp tách biến ta biểu diễn nghiệm phương trình (1.1) dạng:   r  R  r  Y    Thay vào (1.1) ta có: 1         2   r r  r r   r sin    sin     k  R(r )Y ( )          V (r ) R(r )Y ( ) 2Y R  R Rcos Y R  2Y Y    k RY  V (r ) RY r r r r sin   r   Chia hai vế cho R r Y   , ta được:   (1.2) R  R cos Y  2Y     k  V r  2 2 rR r R r r Y sin   r Y  Nhân hai với r thực chuyển vế ta có: 2r dR r d R cos dY d 2Y 2   k r  V r r      R dr R dr Y sin  d Y d Hai vế phương trình phụ thuộc hai biến độc lập số  đó: 2r dR r d R cos dY d 2Y 2   k r  V r r      R dr R dr Y sin  d Y d  dR 2r dr  r     d 2R   k r  V  r  r    R  0  dr  cos dY d Y    Y   sin  d d Và ta thu được: d  dR  2 r   k r V r  r    R  dr  dr  (1.3) d  dY   sin    Y  sin  d  d  (1.4) Ở phương trình thứ hai (1.4) , thực biến đổi biến số, đặt z  cos , ta có: dz   sin  d dY dY dz dY    sin  d dz d dz Vậy: d  dY   sin    Y  sin  d  d    d  dY    sin    Y  dz  dz  d  dY   z    Y    dz  dz  (1.5) Đây phương trình dạng Legendre ,có nghiệm riêng trị riêng sau:  Y    Pl  cos  ,   l  l  1 Nhớ lại phương trình Legendre phương trình cho bởi: d  dy   x2     y    dx  dx  (1.6) Nghiệm đa thức Legendre,   n  n  1 ( n số ngun chạy từ   ) có dạng: d y  Pn  x   n n! n x  1 dx n n ,  n  0,1,  Thay giá trị   l  l  1 vào phương trình (1.3) ta thu phương trình xuyên tâm ứng với số lượng tử quỹ đạo l : d  dR  2 r    p r  V  r  r  l  l  1 R  dr  dr  (1.7) Lưu ý hàm sóng   r  phải hữu hạn r  , hàm xuyên tâm phải thỏa mãn điều kiện biên R  r   Rl  r   Rl  0 Thay z  pr vào (1.7) ta có: dz  pdr dR dR dz dR  p dr dz dr dz z  d  z dR    p   z  l  l  1  V z    R  dz  p dz   p  p    p z  d  dR    Z    Z  l  l  1  V z    R  dz  dz   p  p   (1.8) Phương trình (1.8) trùng với phương trình xác định cấc hàm cầu Bessel jl  z  yl  z  Nhắc lại, phương trình xác định hàm cầu Bessel có dạng: d2y dy x  x   x  n  n  1 y  dx dx Hai nghiệm độc lập phương trình jl  x  yl  x  , nghiệm cầu cho jl  x  : j0  x   sin x sin x cos x , f1  x    x x x   sin x 3cos x j2  x     1  x x  x  15  sin x  15  cos x j3  x         1  x x x  x  x Viết nghiệm dạng tổng quát (Rayleigh’s formulas): n  d  sin x jn  x     x     x dx  x n n  d  cos x yn  x      x     x dx  x n jn  x   xn x  1.3.5  2n  1 n   sin  x     jn  x   x   x n   cos  x     yn  x    x   x Vậy áp dụng kết cho (1.8), dạng tiệm cận hàm cầu Bessel z  pr   là: l   jl  z   z 1 sin  z   2  l   yl  z    z 1cos  z   2  (1.9) Suy nghiệm phương trình cho chuyển động tự (1.8) khơng có mặt trường V  r  hàm cầu Bessel jl  z  yl  z  Vậy nghiệm (1.8)- hàm xuyên tâm R  r   Rl  r  xa vơ cực r   có dạng: l 1  r  Rl  r   Rl  r    Al  pr  sin  pr     pr  1 =  pr  1  Al l   Al2  Bl2  sin  pr    2 2   Al  Bl  l  Al2  Bl2  cos l sin  pr      =  pr  Cl sin  pr  1 l  1     Bl  pr  cos  pr   2   l   l   l  cos  pr  2  Al  Bl Bl l     sin  l cos  pr            (1.10) Trong Al  Cl cos l Bl  Cl sin  l  l gọi pha tán xạ.Lưu ý rằng, tán xạ đàn hồi ( tán xạ mà trạng thái bên thành phần hạt va chạm không thay đổi) biên độ tán xạ hạt xác định thơng qua độ dịch chuyển pha (còn gọi độ dịch pha hay pha tán xạ) KẾT LUẬN Trong luận văn thạc sỹ khoa học này, nghiên cứu toán tán xạ hạt nhanh lên tổng hai trường ngồi, mà gồm ngồi Coulomb tác dụng tầm xa hạt nhân tác dụng tầm gần phương pháp song riêng phần Những kết bao gồm 1- Thu biểu thức tổng quát biên độ tán xạ,pha tán xạ cho trường hợp tán xạ qua việc giải phương trình Schrodinger phương pháp sóng riêng phần 2- Thu biểu thức giải thích cho biên độ: biên độ tán xạ Coulomb, biên độ tán xạ hạt nhân, pha tán xạ Coulomb pha tán xạ hạt nhân ta xét toán tán xạ lên tổng hai trường khác 3- Thu biên độ tán xạ hạt nhân dạng Gauss Trong trường hợp góc tán xạ nhỏ ta thu công thức giao thoa Coulomb- hạt nhân mà trùng với kết Bethe nhận Ở ta xem xét Coulomb khơng có kỳ dị r  khơng có kỳ dị r  r   , cơng thức giao thoa Coulomb-hạt nhân xác 4- Nếu hạt nhân mơ hình hóa dạng Yakawa, tìm kết tương tự, công thức giao thoa cho biên độ tán xạ Coulomb- hạt nhân Những kết sử dụng để giải thích số liệu thực nghiệm lượng cao Việc tổng qt hóa kết cho tốn tán xạ với hạt có spin, chúng tơi tiến hành thời gian tới TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt H A Bethe (1958), “Scattering and Polarization of Protons by Nuclei”, Annals of Physics 3, 190-240 A X Đavuđov (1974), Cơ học lượng tử, tập II, (Nguyễn Quang Khang dịch), NXB Đại học Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội, trang 468 Tiếng Anh A Martin (1982), “What we learn from proton-antiproton diffractive scattering at the CERN colliders”, Z Phys C - Particles and Fields 15, 91,185-191 E Gotsmann, (1979), “The interplay between spin effects and Coulombichadronic interference has been investigated by N.H Buttimore”, Annals of Phys 121, 285 E Leader (1978), “Spin–dependent phenomena induced by electromagnetic – hadronic interference at high energies”, Phys Rev D 18, 694 Eds M Abramowitz, I Stegun (1970), “Handbook of Mathematical Functions”, National Bureau of Standards (Eq (11.4.I6) For an introduction, see J.D Jackson (1973), “Introduction to haronic interactions at high energies” In: Proceedings of the Fourteenth Scottish Universities Summer School in Physics, eds R.L Crawford, R, Jennings, London: Academic Press 1974 L D Solovyov, (1965) , Small Angle Scattering of Chrged Particles , Sov J, JEPT 49 292 G.B West, D.R Yennie (1968), “Coulomb interference in High-Energy pp and scattering”, Phys, Rev 172, 1413 - 1422 (1968) Related discussions for high energy hadron-hadron scattering are given by J Rix, R.M Thaler, Phys Rev 152, 1357 (1966) 10 Hohler et all (1965), Phys Letters 18, 181 11 J.F Germond, C Wilkin (1977), “Why are the diffraction Minima in   and   Scattering from 12C so different ? ”, Phys Lett 68B, 229–233 12 L.S Brown (1982), “Elementary hadronic processes and heavy ion interactins”, J.S Godfrey: unpublished; J.S Godfrey: Yale University thesis, unpublished 13 M.M Islam (1967), “Bethe’s Formula for Coulomb-Nuclear Interference”, Phys Rev 162, 1426-1428 14 M.P Locher (1967), “Relativistic treatment of structure in the Coulomb interference problem”, Nucl Phys B 2, 525–531 15 Nguyễn Xuân Hãn (1998), Cơ học lượng tử, ĐHQG Hà Nội, Hà Nội 16 Nguyen Suan Han, Le Hai Yen and Nguyen Nhu Xuan (2011), “Functionl Integration and High Energy Scattering of Particles with Anomalous Magnetic Moments in Quantum Field Theory”, arXiv:0368084[hep-th] 17 P Soding (1965), “The Lagacy of Leon Van Hove”, Phys Letters 18, 285 18 R J Eden (1967), “High Enrgy Collissions of Elementary Particles”, Cambridge Univ Press, Cambridge 19 See, for example, W.K.H Panofsky in (1968), “Proceedings of the Heidelberg International Conference on Elementary Particles”, ed H Filthuth, p 376 Amsterdam: North Holland 20 T.T Wu, C.N Yang (1965), “Statistical physics, High Energy, condensed Matter and mathematical physics” , Phys Rev 137, B708 21 V Franco (1973), “Coulomb and hadronic Scattering in elastic high-enery nucleon collisins”, Phys Rev D7, 215-218 22 V.I Savrin, B,P Tyurin, O A Khrustalev,(1970), Fast Particle Scattering on the Coulomb and Short Range Potential , TMF, V5, p 47 23 P Alliluev, S, S, Gershtein, A, A, Logunov, Phys Lett 18 (1965)195 24 Course of Modern Analize , ET Whittaker G.N.Watson PHỤ LỤC PHỤ LỤC A: BIÊN ĐỘ TÁN XẠ TRÊN TRƢỜNG THẾ COULOMB Như ta nói, dùng sóng riêng phần để tính tốn đại lượng toán tán xạ trường Coulomb lúc thuận lợi độ dịch chuyển pha  l thay đổi tỉ lệ với ln r r   ta cần phải xét đến tất giá trị số lượng tử quỹ đạo l Vì mục ta giải phương trình Schrodinger tọa độ parabolic  ,   tính biên độ tán xạ Coulomb mà không cần song riêng phần thu kết xác Đầu tiên ta đặt:   r  z  r 1  cos          r  z  r 1  cos    (A.1) Khi ta phương trình Schrodinger khơng phụ thuộc vào biến  nữa, có dạng: 1         2 2k  r r  r r   r sin    sin     k   r        Bây ta tiến hành thay biến  ,   vào phương trình Schrodinger trên, trước tiên ta có:    ,       r ,    ,   r ,        r              r         r          r  z  r 1  cos        r  z  r 1  cos     Thì ta có hệ:      r  1  cos    1  cos       r sin     r sin             Vậy ta có hệ phương trình tốn tử sau:     1  cos   1  cos      r     r sin     r sin         Và ta rút : 2      r  cos          1  cos  2    sin           2  2     r                            (A.2) Bây ta thay hệ phương trình tốn tử vào tốn tử Laplace phương trình Schrodinger, ta có:  2  2    2  2    2  2           r                                 cos       r sin                       r         Xét số hạng thứ tổng (A.3), ta có:  2  2    2  2                                2   2   2   2   2   2                                   2   2   2     2  2                                 2    2   2    2     2  2                                              2    2   2   2  2  2                                 2        2  2  2    2  2  2                                       2  2  2    4  4 2                2           2     2    4  4     4  4         2 2                            4  4 2    2 2             (A.3)  4     2 4 2 4   4      2 2                   Xét số hạng thứ (A.3), ta có:                                                                                              2     2         2                          2                              2                            2                     2          2               2                                        2     2      2     Như thay lại vào toán tử Laplace theo cặp biến  ,   ta có:  2  2    4 2                    2    4              4               2                        2     2                 2            8  8    4 2 4 2 4        2 2 2                                     4     4     8     4     4        2     4  2                2     2     2   2 4   4                   2 2                         8  4 2 4 2 4       2 2 2                                                      2     2     2     2  2 4  4   4      2 2                    8              8 4              2 2                            4 4    4 4          2 2 2                          4  4                       2  2           2                                  Kết là:         ,       r  sin        r r  r  r sin                            Và cuối ta nhận phương trình Schrodinger theo cặp biến  ,   :  2k                     k    r                  (A.4) Để giải phương trình ta đặt nghiệm dạng:      ,    e ik       eikz   Xét tác dụng tốn tử Laplace lên hàm sóng      ,   , ta có:    ik  2      ik  2            e  e               (A.5)     ik  2      ik            e      e                 ik  2  ik ik  2   ik  2  ik ik  2   e  e     e    e               ik ik  ik ik  2    ik ik  2      e   e  e  e               ik  ik ik  2   ik  2  ik ik  2  2 e  e     e  e                  ik ik  ik ik  2      ik  2   ik  ik ik    e   e  e   e           2          2     ik ik  2  ik  2  2 k ik  2  ik  2  ik ik  2 e  e    e  e   e          ik ik  2     ik ik  2  k ik  2  e  e   e              ik  ik  2  ik ik  2 ik ik  2   2  e  e   e   e      2     k2 e ik     ik ik  2  ik ik  2  k ik  2  e  e  e        ik ik  ik  2    2 k ik  2  2 e  ik  e   e     e            Vì thế:                         2k     k   r    2   ik   1  ik   e               k ik   e   k 2e ik    4k ik  2 d 2 d e     1  ik    k    d d Vậy ta có:  d    d 2  1  ik    k    d d (A.6) Phương trình trùng với phương trình cho hàm siêu bội suy biến, biến số ik , đó:     CF  i ,1, ik  (A.7) Hệ số C nhân tử chuẩn hóa hàm Ta có tiệm cận hàm siêu bội suy biến ik   : ik  F  a, b, z    ei a   b   a   b  z a b z  ez  b  a   a (A.8) Trong xấp xỉ chuỗi suy biến có nhánh cắt từ   thường đặt dọc theo trục ảo dương, khó khăn loại bỏ dùng hàm lien hợp phức    Ta có:  *    C*F *  i ,1, ik   e  i i  1  1 eik  ik   i  ik      1  i    i  e  ik  eik  ik     1  i    i   i e  i   k    1  i   i  i i 1 eik  i     i  i 1  k  i k Vì: i   i   i  i    i  i 1    i        i 2     cos  i sin    e   e 2 2    i  i  1i 1i      cos  i sin  2  1i  i 2   e      ie  1  i  i Thay trở lại ta có:    i    e  k i  1  i  eik  k    *    C *   ie k    1  i   1  i   1  i    i    i   1  i  ik  k   e2  i C e   k      1  i    1  i  k    *   i ln k  1  i  ik ei ln k e2  C* e   e   1  i    1  i  k    i 1 ta dùng phép biến đổi:   k   i  exp ln  k   k   i  exp  i ln k   i   exp  i ln k  Vậy:   1  i  eik ei ln k  C e  i ln k      e   1  i    1  i  k  * *  C *e Chọn:  lấy lại liên hợp phức công thức ta có:  1  i        ei ln k     Thay e2i   1  i   1  i    1  i  eik ei ln k    1  i  k     r  z  r 1  cos   2r sin  ta có:      ,    eikz    e ikz  i ln kr sin   e     ik  r  r sin  ikr sin  i ln kr sin 2  i  2 e e 2kr sin e ikz  i ln kr sin   e 2 ikr sin  e ikr sin   2 i e e 2i ln kr sin 2kr sin e ikz  i ln kr sin   e   i    ln sin  2  2k sin  e 2   i ln kr ikr e e eikr i ln kr r Đối chiếu với (1.19) ta thấy, hàm sóng biểu diễn dạng tổng song phẳng tới sóng cầu phân kì, sóng có biến dạng chút khơng đáng kể z r lớn Đối chiếu đồng dạng hai biểu thức ta rút biểu thức pha tán xạ Coulomb, cho dạng: f coulomb  p,    2k sin  e   i    ln sin  2  (A.9) PHỤ LỤC B: HÀM BESSEL Phƣơng trình hàm Bessel: Phương trình Bessel phương trình có dạng: x y ''  xy '   x2  v2  y  (B.1) Trong v số Phương trình (B.1) có điểm kì dị x  Ta tìm nghiệm riêng phương trình dạng chuỗi: y  x   k 0 ak x k , a0   (B.2) Bây đặt chuỗi (B.2) vào (B.1), ta có:  y '   x  1  k 0 ak x k  x   k 1 ak kx k 1  y ''      1 x  2  k 0 ak x k  x      1   k 1 ak kx k 1     x  1  k 1 ak kx k 1  x   k 2 ak k  k  1x k 2   Suy ra: xy '   x   k 0 ak x k   x k 1  k 1 ak kx k 1   xy ''      1  k 0 ak x k   x  1  k 1 ak kx k 1     x  1  k 1 ak kx k 1  x    k 2 ak k  k  1 x k 2   Vậy,      x  a   a kx    x a  a x   a x  x y ''  xy '      1 x  a0  a1 x   k 2 ak x k     x  1 a1   k 2 ak kx k 1   x    k 2 ak k  k  1 x k 2    x  1 a1   k 2 ak kx k 1    1 k 2 k 1 k   k 2        1    a0 x        1  3  1 a1 x  1       1 x   k 2 ak x k   x  1  k 2 ak kx k 1    k k  x    k 2 a k k  k  1 x k 2   x   k 2 ak x k    x  1  k 2 ak kx k 1   x  1  k 2 ak kx k 1       a0 x      1 x  1a1   k 2      1 x  ak x k    x  1ak kx k  x   ak k  k  1 x k 2   x  ak kx k  x  1ak kx k 1    a0 x      1 x  1a1   k 2      1  2 k  k  k  1    k ak x  k      a0 x      1 a1 x  1   k 2     2k   k  k    k ak x   k    a0 x      1 a1 x  1   k 2    k  ak x   k  2 Và:   x    k 0 ak x k  x   a0  a1 x  a2 x    x   a0  a1 x  3    k 2 ak 2 x    Do vậy, ta có: x     v y  x  v x   k 0 ak x k    x    k 0 ak x k  v x  a0  a1 x   k 2 ak x   k     x    k 0 ak x k  v x  a0  v x  1a1  v  k 2 ak x   k    v x  a0  v x  1a1   k 2 ak 2 x   k  v  k 2 ak x   k   Từ thay vào ( B.1) ta thu được: x y ''  xy '   x  v  y      v a0 x      1  v  a1 x  1       k 2    k   v  ak  ak 2 x   k   Chuỗi (B.3) không hệ số x  Vậy suy ra:   v2     12  v  a1       k 2  v  ak  ak 2  0, k  2,3   Từ (B.4) suy   v , chọn   v ta nhận được: (B.4) (B.5) (B.6) a0  0, ak  ak 2  k  2,3,  k  2v  k  (B.7) Suy ra: a2k 1  0,  k  0,1,  (B.8) Vậy: k   a2  k   a4  a0  v  11! a0  v  1 v   2! a0  1 k  2k  a2 k  k  v  1 v    v  k  k ! k Chọn a0 có dạng: a0    v  1 hàm Gamma Khi đó, hệ số a2k viết   v  1 v dạng:  1 a2 k  k v k ! v  1 v    v  k    v  1 k (B.9) Sử dụng tính chất hàm Gamma:   v  1  v  v  Ta viết:  v  1 v  2  v  k    v  1    v  k  1 , cơng thức (B.9) viết gọn dạng:  1 a2 k  k v k !  v  k  1 k Thay giá trị hệ số a2 k , a2 k 1 vào chuỗi (B.2) ta nhận nghiệm riêng phương trình Bessel:  x y   k 0  1   2  k 2k v  Jv  x k !  v  k  1 (B.10) Nghiệm gọi hàm Bessel loại cấp v Trường hợp 2:   v , ta có: k v k  x 1     2 J  v  x    k 0 k !  v  k  1 (B.11) (B.11) gọi hàm Bessel loại cấp v Nếu v  hai nghiệm riêng kể độc lập tuyến tính với nhau, v  chúng phụ thuộc tuyến tính, ta có mối quan hệ J  n  x    1 J n  x  , để tìm nghiệm tổng quát n phương trình với v số nguyên dương n ta cần tìm số hạng khác mà độc lập tuyến tính với J v  x  Với  1  cos  n  , ta viết nghiệm dạng tổng quát dạng sau: n J v  x  cos  v   J  v  x  sin  v  Yv  x   (B.12) Với ý  , n   , ta có: J v  x  cos v  J  v  x  sin v Yn  x  : limvn Yv  x   limv n (B.13) Lấy giới hạn( B.13), n  ta thu được:  x 1    x  2 Y0  x   J  x  ln   k 0    k ! 2k k  '  k  1  '  k  1 (B.14) Hàm Yv  x  nghiệm phương trình (B.1) tổ hợp tuyến tính hai nghiệm riêng J v  x  J  v  x  Yv  x  gọi hàm Bessel cấp loại v J v  x  Yv  x  độc lập tuyến tính với nhau, với v số hữu tỉ chúng tạo nên hệ nghiệm phương trình (B.1): y  C1 J v  x   C2Yv  x  (B.15) Các biểu diễn tích phân hàm Bessel Trong mục ta đưa biểu diễn theo tích phân hàm Bessel Jv  x    cos  x sin t  vt  dt  sinh  v   e x sint vt dt (B.16) e x sinh t   evt  cos ve  vt  dt (B.17)   Yv  x      Iv  x   sin  x sin t   t  dt     ecos t cos  vt  dt    sin  v     e cosht vt dt  Kv  x    e x cosht  cosh  vt  dt Trong I v  x  nghiệm riêng phương trình Bessel ảo: (B.18) (B.19) x y ''  xy '   x  v  y   x Iv  x     2 Kv  x   v  x  k 0   k  1   k  v  1    (B.20) 2k  I v  x   Iv  x  nghiệm phương trình (B.1) biểu diễn theo tổng sin  v  hàm Bessel ảo loại loại hai Các tiệm cận hàm Bessel x  , x   ta có: Jv  x   v   cos  x    x   (B.21) Yv  x    v   sin  x    x   (B.22) Iv  x   Kv  x   ex (B.23) e x (B.24) 2 x  2x Một số tính chất truy hồi hàm Bessel J v'  x   J v 1  x   v Jv  x x J v'  x    J v 1  x   J v' 1  x   v Jv  x  x 2v J v  x   J v 1  x  x v Yv'  x   Yv 1  x   Yv  x  x v Yv'  x   Yv 1  x   Yv  x  x Yv'1  x   2v Yv  x   Yv 1  x  x ... độ tán xạ tồn phần, tổng biên độ tán xạ Coulomb biên độ tán xạ hạt nhân- Coulomb, phần Coulomb phần hạt nhân- Coulomb có độ lệch pha đó, gọi pha giao thoa hai biên độ tán xạ Coulomb tán xạ hạt. .. bỏ.Pha tán xạ Coulomb tìm mục $2.2, pha tán xạ hạt nhân trình bày mục $2.3 Chƣơng 3: giao thoa Coulomb- hadron Trong chương nghiên cứu giao thoa hai tương tác khác với hạt nhân cụ thể Tán xạ hạt. .. độ tán xạ hạt nhân (3.26) cho trường hợp tán xạ góc lớn.Sự liên hệ biên độ tán xạ hoàn toàn hạt nhân biên độ tán xạ hạt nhân có kể tới tương tác Coulomb (3.28) xem xét mục 3.2 Nếu góc tán xạ