VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN TOÁN HỌC ———————————- ĐỖ DUY HIẾU PHƯƠNG PHÁP PHỔ CỦA ĐỒ THỊ TRONG MỘT SỐ BÀI TOÁN TỔ HỢP CỘNG TÍNH LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC Hà Nội - 2019 VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN TOÁN HỌC ———————————- ĐỖ DUY HIẾU PHƯƠNG PHÁP PHỔ CỦA ĐỒ THỊ TRONG MỘT SỐ BÀI TOÁN TỔ HỢP CỘNG TÍNH Chun ngành: Cơ sở tốn học cho tin học Mã số: 9.46.01.10 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn: PGS TS LÊ ANH VINH Hà Nội - 2019 Tóm tắt Trong Luận án này, sử dụng phương pháp phổ đồ thị để nghiên cứu lực lượng số tập hợp không gian vectơ trường vành hữu hạn như: Hàm nở hai biến, tập khoảng cách tập tích, tập tổng - tỉ số, tập khoảng cách đa tạp quy tập thể tích khối Luận án gồm 04 chương chính: Trong Chương 1, nhắc lại kiến thức liên quan đến phương pháp đại số tuyến tính đồ thị: ma trận kề, phổ đồ thị, (n, d, λ) - đồ thị, Bổ đề trộn nở Trong Chương 2, nghiên cứu số (n, d, λ) - đồ thị không gian vectơ Fnq Znq đồ thị tổng - tích, đồ thị tích - tổng, đồ thị tổng - bình phương, đồ thị tích, đồ thị Euclid hữu hạn Trong Chương 3, sử dụng pháp đồ thị để nghiên cứu số tốn tổ hợp cộng tính Cụ thể, chúng tơi sử dụng đồ thị xây dựng Chương để đánh giá số tập hợp tập khoảng cách, tập tích, tập thể tích khối, tập tổng - tỉ số, hàm nở hai biến trường vành hữu hạn Trong Chương 4, sử dụng phương pháp phổ đồ thị mở rộng để nghiên cứu đưa kết tổng quát cho tập khoảng cách tập đa tạp quy Abstract In this thesis, we use the techniques from the spectral graph theory to study the cardinality of some sets in vector spaces over finite fields and finite rings, such as the images of two-variable expanders, the distance sets, the product sets, the sum - ratio sets, the volume set of boxes, and the distance sets in regular varieties The thesis consist of four main chapters In Chapter 1, we recall some basic knowledge related to linear algebraic methods in the graph: the adjacency matrix, the spectrum of a graph, the definition and properties of (n, d, λ) - graph, and the expander mixing lemma In Chapter 2, we study some (n, d, λ) - graphs in vector spacesover finite fields and finite rings, such as the sum - product graph, the product - sum graph, the sum - square graph, the product graph, and the finite Euclidean graph In Chapter 3, we use the expanding properties of the graphs in Chapter to evaluate the cardinalities of distance sets, product sets, volume sets of boxes, sum - ratio sets, and images of two-variable expanders in vector spaces over finite fields and finite rings In Chapter 4, we use the directed version of the expander mixing lemma to study the distance set problem in general regular varieties Lời cam đoan Tôi xin cam đoan Luận án tập hợp nghiên cứu tơi Những kết trích từ báo viết chung nhận cho phép sử dụng đồng tác giả Các kết nêu Luận án trung thực chưa khác công bố Lời cảm ơn Tôi xin chân thành cảm ơn PGS TS Lê Anh Vinh, người dẫn dắt vào đường nghiên cứu khoa học Không người hướng dẫn khoa học tận tâm, chia sẻ thầy với buồn, vui đời thường suốt nhiều năm qua động viên, khích lệ lớn để vững vàng sống Tôi xin chân thành cảm ơn PGS TSKH Phan Thị Hà Dương GS TSKH Ngơ Đắc Tân góp ý để Luận án tơi hồn thiện Những lời chia sẻ, dạy thầy suốt q trình làm việc, nghiên cứu hành trang quý báu để tự tin chặng đường tới Tôi xin cảm ơn TS Phạm Văn Thắng đồng hành đường nghiên cứu suốt thời gian qua Tôi xin cảm ơn ban lãnh đạo Viện Tốn học, Phịng sở tốn học cho tin học Trung tâm Đào tạo sau đại học cung cấp cho nơi làm việc tốt, môi trường học thuật lành mạnh để học tập, nghiên cứu thời gian làm nghiên cứu sinh Cuối cùng, tơi xin tỏ lịng biết ơn vơ hạn tới gia đình tơi, người bên cạnh thương yêu vô điều kiện Hà Nội, ngày 27 tháng 02 năm 2019 Đỗ Duy Hiếu Bảng kí hiệu Cho p số nguyên tố lẻ, r ≥ số tự nhiên q = pr | A| lực lượng tập hợpA Zq vành hữu hạn có q phần tử Z0q tập phần tử khơng khả nghịch Zq Z× q tập phần tử khả nghịch Zq Fq trường hữu hạn có q phần tử F∗q phần tử khác trường hữu hạn Fq Cho f , g hàm số theo biến t g ∈ o( f ) có nghĩa g(t)/ f (t) → t → ∞ f g có nghĩa g ∈ o ( f ) f g có nghĩa tồn số c > 0, cho f ≥ cg t đủ lớn f = Θ( g) có nghĩa tồn số c1 , c2 > cho c1 f ≤ g ≤ c2 f t đủ lớn Cho G = (V, E) đồ thị ( x, y) cạnh có hướng từ x đến y { x, y} cạnh vô hướng x y đồ thị G Mục lục Lời mở đầu Giới thiệu chung 10 Kiến thức chuẩn bị 17 1.1 Ma trận kề 17 1.2 1.3 Phổ đồ thị (n, d, λ) - đồ thị Bổ đề trộn nở 17 20 Một số (n, d, λ) - đồ thị 25 2.1 Đồ thị tổng - bình phương 2.1.1 Đồ thị tổng - bình phương trường hữu hạn 26 26 2.1.2 Đồ thị tổng - bình phương vành hữu hạn 27 Đồ thị tổng - tích 2.2.1 Đồ thị tổng - tích trường hữu hạn 29 29 2.2.2 Đồ thị tổng - tích vành hữu hạn Đồ thị tích - tổng 30 33 2.3.1 2.3.2 Đồ thị tích - tổng trường hữu hạn Đồ thị tích - tổng vành hữu hạn 33 33 Đồ thị tích 2.4.1 Đồ thị tích trường hữu hạn 35 35 2.4.2 Đồ thị tích vành hữu hạn Đồ thị Euclid hữu hạn 35 36 2.2 2.3 2.4 2.5 Đánh giá lực lượng số tập hợp trường vành hữu hạn 37 3.1 Giới thiệu phương pháp phổ đồ thị 37 3.2 Tập khoảng cách, tập tích 3.2.1 Giới thiệu tổng quan toán tập khoảng cách 39 tập tích Đánh giá tập khoảng cách trường vành 39 hữu hạn 41 3.2.3 Đánh giá tập tích trường vành hữu hạn Tập thể tích khối 44 45 3.3.1 3.3.2 Giới thiệu tổng quan tập thể tích khối Một số kết cần dùng 45 46 3.3.3 3.3.4 Đánh giá tập thể tích khối trường hữu hạn Đánh giá tập thể tích khối vành hữu hạn 49 50 Tập tổng - tỉ số 3.4.1 Giới thiệu tổng quan toán tổng - tỉ số 51 51 3.4.2 3.4.3 Đánh giá tổng - tỉ số trường hữu hạn Đánh giá tổng - tỉ số vành hữu hạn 54 55 Hàm nở hai biến 55 3.5.1 3.5.2 Giới thiệu tổng quan hàm nở hai biến Hàm nở f = x (y + 1) 55 57 3.5.3 Hàm nở g = x + y2 59 Tập khoảng cách đa tạp quy 4.1 Giới thiệu tổng quan toán tập khoảng cách đa 61 tạp quy 61 4.2 Đánh giá cho dạng tồn phương khơng suy biến 64 4.3 Đánh giá cho đa thức chéo P(x) = ∑ a j x sj 3.2.2 3.3 3.4 3.5 d 69 j =1 Kết luận 72 Tài liệu tham khảo 76 Lời mở đầu Trong năm gần đây, tổ hợp ứng dụng vào lĩnh vực khoa học khác như: khoa học máy tính, vật lý, hóa học, Với mở rộng đó, nhiều tốn tổ hợp đời với nhiều phương pháp vốn thuộc nhánh toán học khác áp dụng để giải như: xác suất, giải tích, đại số, hình học; nhờ thu nhiều kết khơng hiển nhiên Luận án "Phương pháp phổ đồ thị số tốn tổ hợp cộng tính" sử dụng (n, d, λ) - đồ thị Bổ đề trộn nở để nghiên cứu toán tổ hợp cộng tính Những kết Luận án trình bày Chương Chương Trong Chương 3, sử dụng phương pháp phổ đồ thị dựa vào (n, d, λ) - đồ thị Bổ đề trộn nở để nghiên cứu số toán tập khoảng cách, tập tích, tập thể tích khối, tập tổng - tỉ số, hàm nở hai biến Tập khoảng cách, tập tích: Một tốn mở cổ điển hình học tổ hợp tốn khoảng cách Erd˝os [20] Bài toán yêu cầu tìm số khoảng cách khác tối thiểu xác định tập N điểm mặt phẳng Euclid Erd˝os gọi số khoảng cách tối thiểu g( N ) giả thuyết g( N ) √N LogN Ông quan sát dựa khẳng định hình học đơn giản đường trịn, g( N ) N 1/2 Số mũ 1/2 cải thiện cách chậm chạp vòng 50 năm qua loạt lý luận phức tạp, sử dụng công cụ từ nhiều lĩnh vực khác toán học Tháng 11 năm 2010, Guth Katz [26] chứng minh khẳng định gần tối ưu toán này: tập N điểm mặt phẳng có g( N ) N LogN khoảng cách phân biệt Một cách tương tự, phiên hữu hạn toán khoảng cách Erd˝os việc tìm lực lượng tối thiểu tập khoảng cách xác định tập 10 (1 + o (1)qd−1 )|A||B| ≤ 2q(d−1)/2 νk (t) − d q ∑ m A ( a )2 a∈A ∑ m B ( b )2 b∈B Điều tương đương với νk (t) − (1 + o (1)) |A||B| ≤ 2q(d−1)/2 (Λk−1 (E ))1/2 (Λk+1 (E ))1/2 q Do |A||B| = |E |k , ta có điều phải chứng minh Từ Bổ đề 4.2.2 Bổ đề 4.2.3, ta có định lí sau: Định lí 4.2.4 Với E ⊂ Fdq , ta có: Nếu q d +1 Λk (E ) = o (|E |k ) k số chẵn, k ( x1 , , x k ) ∈ E : Q ( x1 + · · · + x k ) = t Nếu q d +1 |E |k = (1 + o (1)) q (Λk−1 (E ))1/2 (Λk+1 (E ))1/2 = o (|E |k ) k số lẻ, ( x1 , , x k ) ∈ E k : Q ( x1 + · · · + x k ) = t = (1 + o (1)) |E |k q Từ Định lí 4.2.4, dễ thấy để chứng minh Định lí 4.1.3, cần đánh giá độ lớn Λk (E ) Bổ đề 4.2.5 Cho đa tạp quy V ⊂ Fdq Nếu k ≥ số chẵn E ⊂ V Ta có: |E |k−1 + q(d−1)/2 (Λk−2 (E ))1/2 (Λk (E ))1/2 q Λk (E ) Chứng minh Do E tập V nên ta có đánh giá sau: Λk (E ) ≤ ∑ 1V (x1 + · · · + xk/2 − xk/2+1 − · · · − xk−1 ) x1 , , xk−1 ∈E Đặt N= ∑ 1V (x1 + · · · + xk/2 − xk/2+1 − · · · − xk−1 ) x1 , , xk−1 ∈E 67 Chúng ta định nghĩa hai đa tập A B sau: A = {x1 + · · · + xk/2 : xi ∈ E , ≤ i ≤ k/2} B = {−xk/2+1 − · · · − xk−1 : xi ∈ E , k/2 + ≤ i ≤ k − 1} Dễ thấy ∑ mA (a)2 = Λk (E ), a∈A ∑ mB (b)2 = Λk−2 (E ) b∈B Mặt khác, ∑x1 , , xk−1 ∈E 1V (x1 + · · · + xk/2 − xk/2+1 − · · · − xk−1 ) số cạnh hai tập đỉnh A B đồ thị Cayley CV nên từ Bổ đề 1.3.4 Định lí 4.2.1 ta có: N− |V ||E |k−1 qd q(d−1)/2 (Λk−2 (E ))1/2 (Λk (E ))1/2 Điều tương đương với N |V ||E |k−1 + q(d−1)/2 (Λk−2 (E ))1/2 (Λk (E ))1/2 qd Theo định nghĩa đa tạp quy ta có |V | = Θ(qd−1 ) Từ ta có: N |E |k−1 + q(d−1)/2 (Λk−2 (E ))1/2 (Λk (E ))1/2 q Từ suy điều cần chứng minh Cho E ⊂ V k ≥ số chẵn, từ Bổ đề 4.2.5 ta có: Λk (E ) |E |k−1 + q(d−1)/2 (Λk−2 (E ))1/2 (Λk (E ))1/2 q Từ suy |E |k−1 q Sử dụng phương pháp quy nạp toán học, thu đánh giá cho tập Λk (E ) qd−1 Λk−2 (E ) + Λk (E ) sau: Λk (E ) (d−1)(k−2) q Λ |E |k−1 (k−4)/2 (E ) + ∑ q j =0 q d −1 |E |2 E ⊂ V k ≥ số chẵn Giả sử |E | > q(d−1)/2 , từ Bất đẳng thức (4.2.2) ta có định lí sau: 68 j , (4.2.2) Định lí 4.2.6 Với E tập đa tạp quy V Fdq thỏa mãn |E | > q(d−1)/2 Khi Nếu k ≥ chẵn, ta có: (d−1)(k−2) q Λk (E ) |E |k−1 |E | + q Nếu k ≥ lẻ, ta có: Λk−1 (E )Λk+1 (E ) q(d−1)(k−2) |E |2 + q (d−1)(k−3)−2 |E |k+1 + |E |2k−2 q2 Để ý kết hợp Bất đẳng thức (4.2.2) với điều kiện Λ2 (E ) = |E | q d −1 |E |2 < 1, ta suy bất đẳng thức Định lí 4.2.6 Bất đẳng thức thứ hai kết suy từ bất đẳng thức đầu Tiếp theo chứng minh Định lí 4.1.3 Chứng minh Chúng ta xét hai trường hợp sau: Trường hợp 1: Nếu k ≥ chẵn q d −1 + k −1 = o (|E |) Khi đó, từ Định lí 4.2.6 suy q d +1 Trường hợp 2: Nếu k ≥ lẻ q Λk (E ) = o (|E |k ) d −1 + k −1 = o (|E |) Khi đó, từ Định lí 4.2.6 suy q d +1 (Λk−1 (E ))1/2 (Λk+1 (E ))1/2 = o (|E |k ) Kết hợp với Định lí 4.2.4, ta có điều phải chứng minh d 4.3 Đánh giá cho đa thức chéo P(x) = ∑ a j x sj j =1 Để chứng minh Định lí 4.1.5, trước hết cần xây dựng đồ thị Cayley d sau: Cho P(x) = ∑ a j x sj ∈ Fq [ x1 , , xd ] s ≥ a j = với j =1 j = 1, , d Đặt P ( x1 , , x2d ) = P( x1 , , xd ) − P( xd+1 , , x2d ) ∈ Fq [ x1 , , x2d ] 69 +1 ) sau: Tập đỉnh H = F × Chúng ta định nghĩa đồ thị Cayley CP (F2d q q 2d F2d q S = {( x0 , x ) ∈ Fq × Fq | x0 + P ( x ) = 0} Tập cạnh +1 )) = (( x0 , x), (y0 , y)) ∈ H × H : y0 − x0 + P (y − x) = E(CP (F2d q +1 ) nghiên cứu [57] Cụ thể, ta có bổ đề sau: Đồ thị CP (F2d q +1 ) Bổ đề 4.3.1 ([57]) Cho d số tự nhiên d ≥ 1, CP (F2d q (q2d+1 , q2d , qd ) − đồ thị có hướng Với E ⊂ Fdq , X ⊂ Fq t ∈ F∗q , định nghĩa νP, k (t) sau: νP, k (t) = {( a, x1 , , xk ) ∈ X × E k : a + P(x1 + · · · + xk ) = t} Để chứng minh Định lí 4.1.5, cần bổ đề sau: Bổ đề 4.3.2 Cho E ⊂ Fdq với k số chẵn k ≥ Ta có: |E |2k | X |2 + qd | X |Λk (E )2 ∑ νP, k (t) ≤ q t ∈Fq Chứng minh Cho A B đa tập định nghĩa sau: A = {( a, −x1 − · · · − xk/2 , −y1 − · · · − yk/2 ) : a ∈ X, xi , yi ∈ E } B = {(b, xk/2+1 + · · · + xk , yk/2+1 + · · · + yk/2+1 ) : b ∈ X, xi , yi ∈ E } Ta có: ∑ mA (x)2 = | X |Λk (E )2 , x∈A ∑ mB (x)2 = |X |Λk (E )2, |A| = |B| = | X ||E |k x∈B Mặt khác ∑t∈Fq νP, k số cạnh từ tập đỉnh A vào tập đỉnh B đồ thị +1 ) Do đó, từ Bổ đề 1.3.4 Định lí 4.3.1 suy CP (F2d q ∑ t ∈Fq νP, k (t)2 ≤ |E |2k | X |2 + qd | X |Λk (E )2 , q từ ta suy điều phải chứng minh 70 Sử dụng kĩ thuật tương tự, ta có kết tương tự cho trường hợp k số lẻ k ≥ Bổ đề 4.3.3 Cho E ⊂ Fdq với k số lẻ k ≥ Ta có: |E |2k | X |2 + qd | X |Λk−1 (E )Λk+1 (E ) ∑ νP, k (t) ≤ q t ∈Fq Bây chứng minh Định lí 4.1.5 Chứng minh Định lí 4.1.5 Từ chứng minh Định lí 2.6 [57], ta có: | X |2 |E |2k ∑t∈Fq νP, k (t)2 | X + ∆k, P (E )| Do đó, từ Bổ đề 4.3.2 Bổ đề 4.3.3, xét hai trường hợp sau Với k chẵn k ≥ Ta có: | X + ∆k, P (E )| | X ||E |2k ,q qd Λk (E )2 Với k lẻ k ≥ Ta có: | X + ∆k, P (E )| | X ||E |2k ,q qd Λk (E )Λk−1 (E ) Kết hợp với Định lí 4.2.6, suy điều phải chứng minh 71 Kết luận Trong Luận án này, sử dụng phương pháp phổ đồ thị để thu số kết lý thuyết tổ hợp cộng tính Cụ thể, chúng tơi thu kết sau: • Trong Chương 3, sử dụng phương pháp phổ đồ thị để nghiên cứu cải thiện số kết tập khoảng cách, tập tích, tập thể tích khối, tập tổng - tỉ số, hàm nở hai biến trường vành hữu hạn – Luận án đưa chứng minh khác ngắn gọn chứng minh Hart Iosevich cho tập khoảng cách tập tích trường hữu hạn, tìm điều kiện để tập khoảng cách tập tích trường hữu hạn có bậc lớn – Đồng thời, chúng tơi cải thiện kết tập thể tích khối trường hữu hạn, tìm điều kiện để tập thể tích khối có bậc lớn mở rộng kết tập thể tích khối vành hữu hạn – Bên cạnh đó, chúng tơi đưa kết tổng quát cho tập tổng - tỉ số trường vành hữu hạn – Ngồi ra, chúng tơi xây dựng hàm nở hai biến f = x (y + 1) g = x + y2 trường vành hữu hạn • Trong Chương 4, sử dụng phương pháp phổ đồ thị mở rộng để nghiên cứu đưa kết tổng quát cho tập khoảng cách đa tạp quy thay hàm khoảng cách dạng tồn phương khơng suy biến đa thức chéo 72 Các hướng nghiên cứu tiếp theo: • Cải thiện kết đạt được: Tuy khó cải thiện kết đạt trường hợp tổng quát, người ta cải thiện trường hợp đặc biệt số chiều không gian xét tập mặt đặc biệt parabol, hyperbol, đường tròn, mặt cầu Điển hình như: Năm 2007, Iosevich Rudnev [34] sử dụng biến đổi Fourier cải thiện kết tập khoảng cách hình cầu đơn vị Cụ thể, họ thu kết sau: Cho E ⊂ S1 Fdq với d ≥ d Nếu |E | ≥ Cq với số C đủ lớn, tồn c > cho |∆(E )| ≥ cq d Nếu d số chẵn |E | ≥ Cq với số C đủ lớn, ∆(E ) = Fq d Nếu d số chẵn, tồn c > E ⊂ S1 cho |E | ≥ cq ∆(E ) = Fq Nếu d số lẻ |E | ≥ Cq d +1 với số C > đủ lớn, ∆(E ) = Fq Nếu d số lẻ, tồn c > E ⊂ S1 cho |E | ≥ cq d +1 ∆(E ) = Fq Trong Chương 4, nghiên cứu toán khoảng cách đa tạp quy Tuy nhiên, hướng nghiên cứu xét tập mặt đặc biệt đến có nhiều hướng mở Trong thời gian tới, chúng tơi hy vọng có thêm nhiều kết tốt tiếp tục theo đuổi hướng nghiên cứu • Nghiên cứu tốn tổ hợp cộng tính tập bé: Phương pháp phổ đồ thị cách sử dụng đơn giản nghiên cứu nhiều tốn tổ hợp cộng tính Tuy nhiên, điểm yếu phương pháp nghiên cứu kết cho tập lớn Cụ thể, kết sử dụng phương pháp phổ đồ thị có ý nghĩa tập A ⊂ Fq (hoặc Zq ) thỏa mãn điều kiện | A| 73 q1/2 Gần đây, có số tác giả sử dụng liên thuộc điểm - đường thẳng bất đẳng thức tam giác Ruzsa để nghiên cứu số tốn tổ hợp cộng tính tập nhỏ Điển hình như: Roche-Newton, Rudnev Shkredov [45] sử dụng [46] chứng minh với A, B, C ∈ F thỏa mãn | A| = | B| = |C | = N | AB + C | p2/3 N 3/2 Trong thời gian tới, tiến hành nghiên cứu số toán tập bé với hy vọng thu nhiều kết có ý nghĩa • Sử dụng phương pháp khác: Ngồi phương pháp đồ thị phương pháp sử dụng giải tích Fourier sử dụng rộng rãi Chúng tơi có nghiên cứu ban đầu sử dụng phương pháp Cụ thể, sử dụng giải tích Fourier, chúng tơi chứng minh f = x + y−1 hàm nở hai biến trường vành hữu hạn với x, y ∈ A | A| q1/2 Trong thời gian tới, tiếp tục tìm hiểu sâu giải tích Fourier sử dụng phương pháp để nghiên cứu số tốn tổ hợp cộng tính 74 Cơng trình liên quan đến Luận án • D D Hieu and P V Thang, Distinct distances on regular varieties over finite fields, Journal of Number Theory, 173 (2017), 602 - 613 • D D Hieu and L A Vinh, On distance sets and product sets in vector spaces over finite rings, Michigan Mathematical Journal, 62 (2013), 779 792 • D D Hieu and L A Vinh, On volume set of boxes in finite spaces, Indi- ana University Mathematics Journal, 65 (2016), 2125 - 2136 75 Tài liệu tham khảo [1] E Aksoy Yazici, B Murphy, M Rudnev, and I Shkredov, Growth estimates in positive characteristic via collisions, International Mathematics Research Notices, 23(2017), 7148 - 7189 [2] N Alon and Fan R K Chung, Explicit Constructions of linear sized tolerant networks, Discrete mathematics, 2(1988), 15 - 19 [3] N Alon and M Krivelevich, Constructive bounds for a Ramsey-type problem, Graphs and Combinatorics, 13 (1997), 217 - 225 [4] N Alon and J H Spencer, The probabilistic method, 2nd ed., WilleyInterscience, 2000 [5] A Balog, K A Broughan, I E Shparlinski, Sum-products estimates with several sets and applications, Integers, 12 (5) (2010), 895 - 906 [6] A Balog, A note on sum-product estimates, Publicationes Mathematicae, Debrecen, 79(3 - 4) (2011), 283 - 289 [7] A Balog, Another Sum-Product Estimate in Finite Fields, Sovremennye Problemy Matematiki, 16 (2012), 31 - 37 [8] E Bannai, O Shimabukuro and H Tanaka, Finite analogues of nonEuclidean spaces and Ramanujan graphs, European Journal of Combinatorics, 25 (2004), 243 - 259 [9] B Barak, R Impagliazzo, and A Wigderson, Extracting randomness using few inde- pendent sources, SIAM Journal on Computing, 36 (2006), 1095 - 1118 76 [10] N Biggs, Algebraic Graph Theory, Cambridge Mathematical Library (2nd ed.), Cambridge University Press, 1993 [11] J Bourgain and S Konyagin Estimates for the number of sums and products and for exponential sums over subgroups in fields of prime order, Comptes Rendus de l’Académie des Sciences, 337(2) (2003), 75 - 80 [12] J Bourgain, N Katz, and T Tao, A sum product estimate in finite fields and Applications, Geometric and Functional Analysis, 14 (2004), 27 - 57 [13] J Bourgain, Mordell’s exponential sum estimate revisited, Journal of the AMS - American Mathematical Society, 18(2) (2005), 477 - 499 [14] J Bourgain, A Glibichuk, and S Konyagin Estimates for the number of sums and products for exponentials sums in fields of prime order, Journal of the London Mathematical Society, 73 (2006), 380 - 398 [15] M Chang, Factorization in generalized arithmetic progressions and applications to the Erd˝os - Szemerédi sum - product problems, Geometric and Functional Analysis, 13 (2003), 720-736 [16] D Covert, A Iosevich, and J Pakianathan, Geometric configurations in the ring of integers modulo pl , Indiana University Mathematics Journal, 61 (2012), 1949 - 1969 [17] D Covert, D Koh, and Y Pi, On the sums of any k points in finite fields, SIAM Journal on Discrete Mathematics, 30(1) (2016), 367 - 382 [18] D Covert, D Koh, Y Pi, The k-resultant modulus set problem on algebraic varieties over finite fields, Finite Fields and Their Applications, 48 (2017), 68 - 86 [19] P Erd˝os and E Szemerédi, On sums and products of integers In Studies in pure mathematics, Birkhăauser, Basel, (1983), 213 - 218 [20] P Erd˝os, Integral distances, Bulletin of the AMS - American Mathematical Society, 51 (1945), 996 77 [21] G Elekes and I Ruzsa, Few sums, many products, Studia Scientiarum Mathematicarum Hungarica, 40 (2003), 301 - 308 [22] G Elekes, On the number of sums and products, Acta Arithmetica, 81(4) (1997), 365 - 367 [23] M Z Garaev and C.-Y Shen, On the size of the set A(A + 1),Mathematische Zeitschrift, 265 (1) (2010), 125 - 132 [24] A A Glibichuk and S V Konyagin, Additive properties of product sets in fields of prime order, Centre de Recherches Mathematiques, CRM Prceedings and Lecture Notes, 43 (2007), 279 - 286 [25] C Godsil and G Royle, Algebraic Graph Theory, Springer (2001), ISBN - 387 - 95241 - 1, 2000 [26] L Guth and N Katz, On the Erd˝os distinct distances problem in the plane, Annals Of Mathematics, 181 (2015), 155 - 190 [27] B Hanson, B Lund, and O Roche-Newton, On distinct perpendicular bisectors and pinned distances in finite fields, Finite Fields and Their Applications, 37 (2016), 240 - 264 [28] D Hart, A Iosevich, D Koh and M Rudnev, Averages over hyperplanes, sum-product theory in vector spaces over finite fields and the Erd˝os Falconer distance conjecture, Transactions of the AMS, 363 (2011) 3255 3275 [29] D Hart, A Iosevich, J Solymosi, Sum-product Estimates in Finite Fields via Kloosterman Sums, International Mathematics Research Notices (2007) Vol 2007, article ID rmn007, 14 pages [30] D Hart and A Iosevich, Sum and products in finite fields: an integral geometric view - pint, Contemporary Mathematics, 464 (2008), - [31] D D Hieu and L A Vinh, On distance sets and product sets in vector spaces over finite rings, Michigan Mathematical Journal, 62 (2013), 779 792 78 [32] D D Hieu and L A Vinh, On volume set of boxes in finite spaces, Indiana University Mathematics Journal, 65 (2016), 2125 - 2136 [33] D D Hieu and P V Thang, Distinct distances on regular varieties over finite fields, Journal of Number Theory, 173 (2017), 602 - 613 [34] A Iosevich and M Rudnev, Erd˝os distance problem in vector spaces over finite fields, Transactions of the American Mathematical Society, 359 (2007), 6127 - 6142 [35] D Koh and C-Y Shen, The generalized Erd˝os-Falconer distance problems in vector spaces over finite fields, Journal of Number Theory, 132(11) (2012), 2455 - 2473 [36] D Koh and H Sun, Distance sets of two subsets of vector spaces over finite fields, Proceedings of the AMS - American Mathematical Society, 143(4) (2015), 1679 - 1692 [37] Kevin Ford, Sums and products from a finite set of real numbers, Ramanujan Journal, 2(1-2) (1998), 59 - 66 [38] W.M Kwok, Character tables of association schemes of affine type, European Journal of Combinatorics, 13 (1992), 167 - 185 [39] L Li and O Roche-Newton, An improved sum-product estimate for general finite fields, SIAM Journal on Discrete Mathematics, 25 (3) (2011), 1285 - 1296 [40] Mei-Chu Chang, A sum-product estimate in algebraic division algebras, Israel Journal of Mathematics, 150 (2005), 369 - 380 [41] M Nathanson, On sums and products of integers, Proceedings of the AMS - American Mathematical Society, 125(1) (1997), - 16 [42] M Nathanson and G Tenenbaum, Inverse theorems and the number of sums and products, Asterisque, 258 (1999), 195 - 204 79 [43] O Roche-Newton, Sum-ratio estimates over arbitrary finite fields, arxiv.org/abs/1407.1654v1 [44] O Roche-Newton, M Rudnev, and Shkredov, New sum-product type estimates over finite fields, Advances in Mathematics, 293 (2016), 589 - 605 [45] O Roche-Newton, M Rudnev, and I.D Shkredov, New sum-product type estimates over finite fields, Advances in Mathematics, 293 (2016), 589 - 605 [46] M Rudnev, On the number of incidences between points and planes in three dimensions, Combinatorica, 38 (1) (2018), 219 - 254 [47] I Z Ruzsa, "On the cardinality of A + A and A − A", Combinatorics, Vol II., Colloquia Mathematica Societatis János Bolyai, 18, North-Holland, Amsterdam, (1978), 933 - 938 [48] A Sárkozy, On sums and products of residues modulo p, Acta Arithă metica, 118 (2005), 403 - 409 [49] A Sárkozy, On products and shifted products of residues modulo p, Ină tegers: Electronic Journal of Combinatorial Number Theory, 8(2)(2008), A9 [50] I E Shparlinski, On the solvability of bilinear equation in finite fields, Glassgow Mathematical Joernal, 50 (2008), 523 - 529 [51] J Solymosi, On the number of sums and products, Bulletin of the London Mathematical Society, 37 (2005), 491 - 494 [52] Timothy, G F Jones and O Roche-Newton, Improved bounds on the set A(A+1), Journal of Combinatorial Theory, 120 (2013), 515 - 526 [53] P V Thang, L A Vinh and F d Zeeuw, Three-variable expanding polynomials and higher-dimensional distinct distances, arXiv:1612.09032v2 (2017) [54] V H Van, Sum-product estimates via directed expanders, Mathematical research letters, 15(2) (2008), 375 - 388 80 [55] L A Vinh, Explicit Ramsey graphs and Erd˝os distance problem over finite Euclidean and non-Euclidean spaces, Electronic Journal of Combinatorics, 15 (2008), Article R5 [56] L A Vinh, Sum and shifted - product subsets of product-sets over finite rings, The Electronic Journal of Combinatorics, 19(2) (2012), P33 [57] L.A Vinh, On the generalized Erd˝os - Falconer distance problems over finite fields, Journal of Number Theory, 133 (2013), 2939 - 2947 [58] L A Vinh, Graphs generated by Sidon sets and algebraic equations over finite fields, Journal of Combinatorial Theory, Series B, 103(6) (2013), 651 794 [59] L A Vinh, The solvability of norm, bilinear and quadratic equations over finite fields via spectral of graphs, Forum Mathematicum, 26 (2014), 141 175 81 ... ĐỒ THỊ TRONG MỘT SỐ BÀI TOÁN TỔ HỢP CỘNG TÍNH Chun ngành: Cơ sở tốn học cho tin học Mã số: 9.46.01.10 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn: PGS TS LÊ ANH VINH Hà Nội - 2019 Tóm tắt Trong Luận... gồm 04 chương chính: Trong Chương 1, chúng tơi nhắc lại kiến thức liên quan đến phương pháp đại số tuyến tính đồ thị: ma trận kề, phổ đồ thị, (n, d, λ) - đồ thị, Bổ đề trộn nở Trong Chương 2, nghiên... với x, y ∈ A tập A có kích thước bé Trong phần cuối Chương 3, chứng minh f = x (y + 1) g = x + y2 hàm nở hai biến trường vành hữu hạn với x, y ∈ A | A| q1/2 Trong Chương 4, thay Bổ đề trộn nở