ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN ĐÌNH HIÊN NGHIÊN CỨU ẢNH HƯỞNG CỦA SỰ GIAM GIỮ PHONON LÊN MỘT SỐ HIỆU ỨNG CỘNG HƯỞNG DO TƯƠNG TÁC CỦA ELECTRON-PHONON TRONG GIẾNG LƯỢNG TỬ LUẬN ÁN TIẾN SĨ VẬT LÝ HUẾ - NĂM 2018 ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN ĐÌNH HIÊN NGHIÊN CỨU ẢNH HƯỞNG CỦA SỰ GIAM GIỮ PHONON LÊN MỘT SỐ HIỆU ỨNG CỘNG HƯỞNG DO TƯƠNG TÁC CỦA ELECTRON-PHONON TRONG GIẾNG LƯỢNG TỬ Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết Vật lý toán Mã số : 62 44 01 03 LUẬN ÁN TIẾN SĨ VẬT LÝ Người hướng dẫn khoa học: GS.TS TRẦN CƠNG PHONG PGS.TS LÊ ĐÌNH HUẾ - NĂM 2018 i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi, kết nêu luận án trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Huế, tháng 04 năm 2018 Tác giả luận án Nguyễn Đình Hiên ii LỜI CẢM ƠN Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc đến GS.TS Trần Công Phong PGS.TS Lê Đình, người thầy tận tình giúp đỡ, hướng dẫn, đóng góp ý kiến quý báu cho tác giả suốt trình nghiên cứu Xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, Khoa Vật lý Phòng Đào tạo Sau Đại học-Trường Đại học Sư phạm-Đại học Huế; Ban đào tạo Sau Đại học, Ban Giám đốc Đại học Huế tạo điều kiện tốt cho tác giả hoàn thành luận án Tác giả xin cảm ơn PGS.TS Trương Minh Đức quý Thầy, Cô thuộc Tổ môn Vật lý lý thuyết-Khoa Vật lý-Trường Đại học Sư phạm-Đại học Huế đóng góp ý kiến cho luận án Chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu trường Dự bị đại học dân tộc trung ương Nha Trang tạo điều kiện thuận lợi thời gian hỗ trợ phần kinh phí cho tác giả thời gian nghiên cứu hoàn thành luận án Cuối cùng, tác giả xin cảm ơn động viên, chia sẻ bạn bè, đồng nghiệp người thân qúa trình hồn thiện luận án Luận án hồn thành Tổ môn Vật lý lý thuyết-Khoa Vật lý-Trường Đại học Sư phạm-Đại học Huế Tác giả luận án iii MỤC LỤC Trang phụ bìa i Lời cam đoan ii Lời cảm ơn iii Mục lục Danh sách bảng Danh sách hình vẽ 15 MỞ ĐẦU 16 NỘI DUNG 24 Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ 24 1.1 Giếng lượng tử vng góc sâu vơ hạn 24 1.1.1 Hàm sóng phổ lượng electron giếng lượng tử vng góc sâu vơ hạn khơng có từ trường 24 1.1.2 Hàm sóng phổ lượng electron giếng lượng tử vng góc sâu vơ hạn có từ trường 25 1.2 Giếng lượng tử parabol 26 1.2.1 Hàm sóng phổ lượng electron giếng lượng tử parabol khơng có từ trường 26 1.2.2 Hàm sóng phổ lượng electron giếng lượng tử parabol có từ trường 27 1.3 Tương tác electron-phonon quang khối giếng lượng tử tác dụng trường 27 1.3.1 Đối với giếng lượng tử vng góc sâu vơ hạn 30 1.3.2 Đối với giếng lượng tử parabol 30 1.4 Tương tác electron-phonon quang giam giữ giếng lượng tử tác dụng trường 31 1.4.1 Đối với giếng lượng tử vng góc sâu vơ hạn 32 1.4.2 Đối với giếng lượng tử parabol 32 1.5 Phương pháp chiếu toán tử 33 1.6 Biểu thức tenxơ độ dẫn từ trường 35 1.6.1 Biểu thức độ dẫn tuyến tính 42 1.6.2 Biểu thức hàm suy giảm tuyến tính 45 1.6.3 Biểu thức tốc độ hồi phục tuyến tính 47 1.6.4 Biểu thức độ dẫn phi tuyến 48 1.6.5 Biểu thức hàm suy giảm phi tuyến 56 1.6.6 Biểu thức tốc độ hồi phục phi tuyến 57 1.7 Biểu thức tenxơ độ dẫn có từ trường 60 1.7.1 Biểu thức tenxơ độ dẫn 60 1.7.2 Biểu thức hàm suy giảm 60 1.7.3 Biểu thức tốc độ hồi phục 62 1.8 Độ rộng vạch phổ hấp thụ 62 Chương ẢNH HƯỞNG CỦA SỰ GIAM GIỮ PHONON LÊN HIỆU ỨNG CỘNG HƯỞNG ELECTRON PHONON TRONG GIẾNG LƯỢNG TỬ 64 2.1 Giếng lượng tử vng góc sâu vơ hạn 64 2.1.1 Cơng suất hấp thụ tuyến tính 64 2.1.2 Độ rộng vạch phổ đỉnh dò tìm cộng hưởng electron-phonon tuyến tính 68 2.1.3 Công suất hấp thụ phi tuyến 76 2.1.4 Độ rộng vạch phổ đỉnh dò tìm cộng hưởng electron-phonon thành phần phi tuyến 84 2.2 Giếng lượng tử parabol 87 2.2.1 Cơng suất hấp thụ tuyến tính 87 2.2.2 Độ rộng vạch phổ đỉnh dò tìm cộng hưởng electron-phonon tuyến tính 90 2.2.3 Công suất hấp thụ phi tuyến 96 2.2.4 Độ rộng vạch phổ đỉnh dò tìm cộng hưởng electron-phonon thành phần phi tuyến 101 2.3 Kết luận chương 105 Chương ẢNH HƯỞNG CỦA SỰ GIAM GIỮ PHONON LÊN HIỆU ỨNG CỘNG HƯỞNG TỪ-PHONON TRONG GIẾNG LƯỢNG TỬ 107 3.1 Giếng lượng tử vng góc sâu vô hạn 107 3.1.1 Biểu thức công suất hấp thụ 107 3.1.2 Độ rộng vạch phổ đỉnh dò tìm cộng hưởng từ-phonon 112 3.2 Giếng lượng tử parabol 118 3.2.1 Biểu thức công suất hấp thụ 118 3.2.2 Độ rộng vạch phổ đỉnh dò tìm cộng hưởng từ-phonon 122 3.3 Kết luận chương 128 Chương ẢNH HƯỞNG CỦA SỰ GIAM GIỮ PHONON LÊN HIỆU ỨNG CỘNG HƯỞNG CYCLOTRON TRONG GIẾNG LƯỢNG TỬ 130 4.1 Độ rộng vạch phổ đỉnh cộng hưởng cyclotron giếng lượng tử vng góc sâu vô hạn 130 4.2 Độ rộng vạch phổ đỉnh cộng hưởng cyclotron giếng lượng tử parabol 137 4.3 Kết luận chương 144 KẾT LUẬN 145 TÀI LIỆU THAM KHẢO 149 PHỤ LỤC P.1 DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT Viết tắt Tiếng Anh Tiếng Việt SQW Square quantum well Giếng lượng tử vng góc PQW Parabolic quantum well Giếng lượng tử parabol EPR Electron-phonon resonance Cộng hưởng electron-phonon MPR Magneto-phonon resonance Cộng hưởng từ-phonon CR Cyclotron resonance Cộng hưởng cyclotron ODEPR Optically detected Cộng hưởng electron-phonon electron-phonon resonance dò tìm quang học Optically detected Cộng hưởng từ-phonon ODMPR magneto-phonon resonance dò tìm quang học LW linewidth Độ rộng vạch phổ ODEPRLW ODEPR linewidth Độ rộng vạch phổ đỉnh ODEPR ODMPRLW ODMPR linewidth Độ rộng vạch phổ đỉnh ODMPR CRLW CR linewidth Độ rộng vạch phổ đỉnh CR DANH MỤC MỘT SỐ KÍ HIỆU Kí hiệu Đại lượng tương ứng Lz Bề rộng giếng lượng tử theo phương z V0 Thể tích hệ m0 Khối lượng tĩnh electron m∗ Khối lượng hiệu dụng electron ϵ0 Hằng số điện môi χ0 Hằng số điện môi tĩnh χ∞ Hằng số điện môi cao tần n Chỉ số lượng tử electron m Chỉ số lượng tử phonon giam giữ N Chỉ số mức Landau ωc Tần số cyclotron ac Bán kính cyclotron B Từ trường E0 Biên độ điện trường ω Năng lượng photon tới ωLO Năng lượng phonon quang dọc m,q⊥ ωLO Năng lượng phonon quang dọc giam giữ B0 (ω) Phần ảo hàm suy giảm tuyến tính P0 (ω) Cơng suất hấp thụ tuyến tính P1 (ω) Thành phần cơng suất hấp thụ phi tuyến B1,2 (2ω) Phần ảo hàm suy giảm phi tính PN Ln (ω) Cơng suất hấp thụ phi tuyến ODEP RLWSQW LW đỉnh ODEPR tuyến tính SQW = ∑ η′ = Eη′ bq⃗[a+ a ′ , a+ η aα ] + η′ η ∑ η′ = ∑ η′ Eη′ bq⃗[a+ a ′ , a+ η aα ] + η′ η ∑ q⃗′ ∑ ωq⃗′ (b+ [b ′ , bq⃗] + [b+ , b ]b ′ )a+ η aα q⃗′ q⃗ q⃗′ q⃗ q⃗ ωq⃗′ (−δq⃗,⃗q′ )bq⃗′ a+ η aα q⃗′ Eη′ bq⃗[a+ a δ ′ − a+ η aη ′ δη ′ ,α ] − η ′ α η,η = (Eη − Eα )bq⃗a+ η aα − ∑ ∑ ωq⃗′ δq⃗,⃗q′ bq⃗′ a+ η aα q⃗′ ωq⃗′ bq⃗′ δq,q′ a+ η aα q⃗′ = (Eη,α − ωq⃗)bq⃗a+ η aα + ⇒ Ld bq⃗a+ β aµ = (Eβ,µ − ωq⃗ )bq⃗ aβ aµ + + ⇒ Ld b+ q )b−⃗ q aβ aµ −⃗ q aβ aµ = (Eβ,µ − ω−⃗ (P.80) Phụ lục 19 SH1(P.83) ∑ = Cη,β (⃗q)( ω ¯ − Ld )−1 bq⃗a+ η aα η,⃗ q = ∑ Cη,β (⃗q)[ Ld + ]bq a+ η aα ( ω ¯) ω ¯( ω ¯ − Ld ) Cη,β (⃗q)[ Eη,α − ωq + ]bq a+ η aα ( ω ¯) ω ¯( ω ¯ − Ld ) η,q = ∑ η,q Chuyển vế rút nhân tử chung, ta được: SH1(P.83) = ∑ Cη,β (⃗q) η,q b q a+ η aα ω ¯ − Eη,α + ωq (P.81) Phụ lục 20 Theo Phụ lục 13-17 ta có hệ thức sau ∑ ∑ + + L v a+ a = C (⃗ q )b a a + Cη,α (⃗q)b+ η,α q⃗ η β α β −⃗ q aη aβ η,⃗ q − ∑ η,⃗ q Cβ,µ (⃗q)bq⃗a+ α aµ − ∑ µ,⃗ q µ,⃗ q P.26 + Cβ,µ (⃗q)b+ −⃗ q aα aµ , (P.82) ∑ Lv a+ γ aδ = η,⃗ q − ∑ ∑ Cη,γ (⃗q)bq⃗a+ η aδ + + Cη,γ (⃗q)b+ −⃗ q aη aδ η,⃗ q Cδ,µ (⃗q)bq⃗a+ γ aµ − ∑ µ,⃗ q + Cδ,µ (⃗q)b+ −⃗ q aγ aµ , µ,⃗ q + + + Ld b+ q )b−⃗ −⃗ q aη aδ = (Eη,δ + ω−⃗ q aη aδ + Ld bq⃗a+ η aδ = (Eη,δ − ωq⃗ )bq⃗ aη aδ , + Ld b−⃗qa+ γ aµ = (Eγ,µ + ωq⃗ )bq⃗ aγ aµ , + + + Ld b+ q )b−⃗ q⃗ aγ aµ = (Eγ,µ − ω−⃗ q aγ aµ , ∑ ∑ −1 + + ( ω ¯ − Ld )−1 Lv a+ a = C (⃗ q )( ω ¯ − L ) b a a + Cη,γ (⃗q)( ω ¯ − Ld )−1 b+ δ η,γ d q ⃗ δ γ η −⃗ q aη aδ η,⃗ q − ∑ η,⃗ q Cδ,µ (⃗q)( ω ¯ − Ld )−1 bq⃗a+ γ aµ − ∑ + Cδ,µ (⃗q)( ω ¯ − Ld )−1 b+ −⃗ q aγ aµ µ,⃗ q µ,⃗ q = SH1(P.83) + SH2(P.83) − SH3(P.83) − SH4(P.83), (P.83) SH1(P.83) = ∑ η,⃗ q ∑ SH2(P.83) = η,⃗ q SH3(P.83) = SH4(P.83) = + b+ −⃗ q aη aδ , Cη,γ (⃗q) ω ¯ − Eη,δ − ω−⃗q ∑ µ,⃗ q ∑ µ,⃗ q bq⃗a+ η aδ Cη,γ (⃗q) , ω ¯ − Eη,δ + ωq⃗ bq⃗a+ γ aµ Cδ,µ (⃗q) , ω ¯ − Eγ,µ + ωq⃗ + b+ −⃗ q aγ aµ Cδ,µ (⃗q) ω ¯ − Eγ,µ − ω−⃗q Thay số hạng SH1(P.83), SH2(P.83), SH3(P.83) SH4(P.83) vào (P.83), ta ( ω ¯ − Ld ) −1 Lv a+ γ aδ = ∑ η,⃗ q − = ∑ η,⃗ q − ∑ µ,⃗ q = η,⃗ q ∑ µ,⃗ q ∑ + ∑ b+ bq⃗a+ η aδ −⃗ q aη aδ Cη,γ (⃗q) + Cη,γ (⃗q) ( ω ¯ − Eη,δ + ωq⃗) ω ¯ − Eη,δ − ω−⃗q + ∑ b+ bq⃗a+ γ aµ −⃗ q aγ aµ Cδ,µ (⃗q) − Cδ,µ (⃗q) ω ¯ − Eγ,µ + ωq⃗ ω ¯ − Eγ,µ − ω−⃗q µ,⃗ q + ∑ b+ bq⃗a+ η aδ q⃗ aη aδ Cη,γ (⃗q) + Cη,γ (⃗q) ( ω ¯ − Eη,δ + ωq⃗) ω ¯ − Eη,δ − ωq⃗ η,⃗ q Cδ,µ (⃗q) bq⃗a+ γ aµ ω ¯ − Eγ,µ + ωq⃗ (+) Cη,γ (⃗q)Gη,δ (⃗q)bq⃗a+ η aδ + η,⃗ q − ∑ − ∑ µ,⃗ q ∑ + b+ q⃗ aγ aµ Cδ,µ (⃗q) ω ¯ − Eγ,µ − ωq⃗ (−) + Cη,γ (⃗q)Gη,δ (⃗q)b+ q⃗ aη aδ η,⃗ q q )bq⃗a+ Cδ,µ (⃗q)G(+) γ aµ γ,µ (⃗ − ∑ µ,⃗ q µ,⃗ q P.27 + q )b+ Cδ,µ (⃗q)G(−) γ,µ (⃗ q⃗ aγ aµ , (P.84) Gα,β (⃗q) = [ ω ¯ − Eα,β ± ωq⃗]−1 (±) (P.85) Thay (1.91), (P.82), (P.84) vào (1.90), lấy tổng theo γ δ, ta (fβ − fα ) Γαβ ω) = (¯ 16 ∑ SHn(P.86), n=1 SH1(P.86) = ∑∑ η,η ′ q⃗,⃗ q′ SH2(P.86) = ∑∑ η,η ′ q⃗,⃗ q′ SH3(P.86) = − ′ a , b a+ a ]} q )TR {ρd [bq⃗′ a+ Cη′ ,α (⃗q )Cη,β (⃗q)G(+) η,α (⃗ η ′ β q⃗ η α ′ a , b+ a+ a ]} Cη′ ,α (⃗q )Cη,β (⃗q)G(−) q )TR {ρd [bq⃗′ a+ η,α (⃗ η ′ β q⃗ η α ∑∑ µ,η ′ q⃗,⃗ q′ SH4(P.86) = − ∑∑ µ,η ′ q⃗,⃗ q′ SH5(P.86) = ∑∑ η,η ′ q⃗,⃗ q′ SH6(P.86) = ∑∑ η,η ′ q⃗,⃗ q′ SH7(P.86) = − ′ (−) a , b+ a+ a ]} Cη′ ,α (⃗q )Cα,µ (⃗q)Gβ,µ (⃗q)TR {ρd [bq⃗′ a+ η ′ β q⃗ β µ ′ ′ Cη′ ,α (⃗q )Cη,β (⃗q)G(−) q )TR {ρd [b+ a+ a , b+ a+ a ]} η,α (⃗ q⃗′ η ′ β q⃗ η α ∑∑ ∑∑ µ,η ′ q⃗,⃗ q′ SH9(P.86) = − (+) Cη′ ,α (⃗q )Cη,β (⃗q)G(+) q )TR {ρd [b+ a+ a , b a+ a ]} η,α (⃗ q⃗′ η ′ β q⃗ η α ′ µ,η ′ q⃗,⃗ q SH8(P.86) = − ′ Cη′ ,α (⃗q )Cα,µ (⃗q)Gβ,µ (⃗q)TR {ρd [bq⃗′ a+ a , b a+ a ]} η ′ β q⃗ β µ ′ (+) ′ (−) a+ a , b a+ a ]} Cη′ ,α (⃗q )Cα,µ (⃗q)Gβ,µ (⃗q)TR {ρd [b+ q⃗′ η ′ β q⃗ β µ Cη′ ,α (⃗q )Cα,µ (⃗q)Gβ,µ (⃗q)TR {ρd [b+ a+ a , b+ a+ a ]} q⃗′ η ′ β q⃗ β µ ∑∑ ′ + Cβ,µ′ (⃗q )Cη,β (⃗q)G(+) q )TR {ρd [bq⃗′ a+ η,α (⃗ α aµ′ , bq⃗ aη aα ]} η,µ′ q⃗,⃗ q′ SH10(P.86) = − ∑∑ ′ + + Cβ,µ′ (⃗q )Cη,β (⃗q)G(−) q )TR {ρd [bq⃗′ a+ η,α (⃗ α aµ′ , bq⃗ aη aα ]} η,µ′ q⃗,⃗ q′ SH11(P.86) = ∑∑ ′ (+) ′ (−) + Cβ,µ′ (⃗q )Cα,µ (⃗q)Gβ,µ (⃗q)TR {ρd [bq⃗′ a+ α aµ′ , bq⃗ aβ aµ ]} µ,µ′ q⃗,⃗ q′ SH12(P.86) = ∑∑ + + Cβ,µ′ (⃗q )Cα,µ (⃗q)Gβ,µ (⃗q)TR {ρd [bq⃗′ a+ α aµ′ , bq⃗ aβ aµ ]} µ,µ′ q⃗,⃗ q′ SH13(P.86) = − ∑∑ η,µ′ q⃗,⃗ q′ SH14(P.86) = − ∑∑ η,µ′ q⃗,⃗ q′ SH15(P.86) = ∑∑ ′ µ,µ′ q⃗,⃗ q SH16(P.86) = ∑∑ µ,µ′ q⃗,⃗ q′ ′ Cβ,µ′ (⃗q )Cη,β (⃗q)G(+) q )TR {ρd [b+ a+ a ′ , bq⃗a+ η,α (⃗ η aα ]} q⃗′ α µ ′ + Cβ,µ′ (⃗q )Cη,β (⃗q)G(−) q )TR {ρd [b+ a+ a ′ , b + η,α (⃗ q⃗ aη aα ]} q⃗′ α µ ′ (+) ′ (−) Cβ,µ′ (⃗q )Cα,µ (⃗q)Gβ,µ (⃗q)TR {ρd [b+ a+ a ′ , bq⃗a+ β aµ ]} q⃗′ α µ + Cβ,µ′ (⃗q )Cα,µ (⃗q)Gβ,µ (⃗q)TR {ρd [b+ a+ a ′ , b + q⃗ aβ aµ ]} q⃗′ α µ P.28 (P.86) Trong (P.86) có 16 số hạng, có số hạng chứa toán tử sinh phonon toán tử hủy phonon, SH1(P.86), SH3(P.86), SH6(P.86), SH8(P.86), SH9(P.86), SH11(P.86), SH14(P.86), SH16(P.86) Tám số hạng cho đóng góp trị trung bình hai tốn tử sinh phonon hủy phonon không Thật vậy, chẳng hạn từ (P.86) ta chứng minh với SH1(P.86), áp dụng khai triển giao hốn tử, ta có TR {ρd [bq⃗′ a+ a , b a+ a ]} η ′ β q⃗ η α + a , b a+ a ] + [bq⃗′ , bq⃗a+ = TR {ρd (bq⃗′ [a+ η aα ]aη ′ aβ )} η ′ β q⃗ η α + + a , a+ = TR {ρd bq⃗′ bq⃗[a+ η aα ]} + TR {ρd [bq⃗′ , bq⃗ ]aη aα aη ′ aβ } η′ β = a δ TR {ρd bq⃗′ bq⃗}TR {ρd (a+ η ′ α β,η − (P.87) a+ η aβ δη ′ ,α )} = Trong tám số hạng lại có bốn số hạng cho đóng góp khơng SH2(P.86), SH5(P.86), SH12(P.86), SH15(P.86) Thật vậy, ta chứng minh với SH2(P.86) TR {ρd [bq⃗′ a+ a , b+ a+ a ]} η ′ β q⃗ η α + + = TR {ρd (bq⃗′ [a+ a , b+ a+ a ] + [bq⃗′ , b+ q⃗ aη aα ]aη ′ aβ )} η ′ β q⃗ η α + + + + + ′ = TR {ρd bq⃗′ b+ q⃗ [aη ′ aβ , aη aα ]} + TR {ρd [bq⃗ , bq⃗ ]aη aα aη ′ aβ } + + + + ′ ′ } = TR {ρd bq⃗′ b+ q q⃗ (aη ′ aα δβ,η − aη aβ δη ,α )} + TR {ρd aη aα aη ′ aβ δq⃗ ,⃗ + + + + + ′ ′ ′ } = TR {ρd bq⃗′ b+ q q⃗ aη ′ aα δβ,η } − TR {ρd bq⃗ bq⃗ aη aβ δη ,α } + TR {ρd aη aα aη ′ aβ δq⃗ ,⃗ + + + ′ ′ = TR {ρd bq⃗′ b+ q⃗ }TR {ρd aη ′ aα }δβ,η − TR {ρd bq⃗ bq⃗ }TR {ρd aη aβ }δη ,α + + TR {ρd a+ η aα aη ′ aβ δq⃗′ ,⃗ q} = (1 + Nq⃗)δq⃗,⃗q′ fη′ δβ,η δη′ ,α − (1 + Nq⃗)δq⃗,⃗q′ fη δη′ ,α δη,β + fη δη,β (1 − fα δη′ ,α δq⃗′ ,⃗q) = Vì η ̸= β nên δη,β = Đối với số hạng lại khác 0, ta tính cụ thể cho số hạng suy tương tự cho số hạng lại Theo Phụ lục 19, ta có SH4(P.86) ∑ ′ (−) =− Cη′ ,α (⃗q )Cα,µ (⃗q)Gβ,µ (⃗q)TR {ρd [bq⃗′ a+ a , b+ a+ a ]} η ′ β q⃗ β µ η ′ ,⃗ q ′ ,µ,⃗ q =− ∑ η ′ ,⃗ q ′ ,µ,⃗ q =− ∑ η ′ ,⃗ q ′ ,µ,⃗ q ′ (−) ′ (−) + + ′ Cη′ ,α (⃗q )Cα,µ (⃗q)Gβ,µ (⃗q)TR {ρd (bq⃗′ a+ a b + a+ a − b + q⃗ aβ aµ bq⃗ aη ′ aβ )} η ′ β q⃗ β µ + + + + + ′ Cη′ ,α (⃗q )Cα,µ (⃗q)Gβ,µ (⃗q)TR {ρd (bq⃗′ b+ q⃗ aη ′ aβ aβ aµ − bq⃗ bq⃗ aβ aµ aη ′ aβ )} P.29 =− ∑ ′ η ′ ,⃗ q ′ ,µ,⃗ q =− (−) + + Cη′ ,α (⃗q )Cα,µ (⃗q)Gβ,µ (⃗q)[TR {ρd bq⃗′ b+ q⃗ aη ′ aβ aβ aµ } + + ′ − TR {ρd b+ q⃗ bq⃗ aβ aµ aη ′ aβ }] ∑ ′ η ′ ,⃗ q ′ ,µ,⃗ q (−) + + Cη′ ,α (⃗q )Cα,µ (⃗q)Gβ,µ (⃗q)[TR {ρd bq⃗′ b+ q⃗ }TR {ρd aη ′ aβ aβ aµ } + + ′ − TR {ρd b+ q⃗ bq⃗ }TR {ρd aβ aµ aη ′ aβ }] =− ∑ ′ (−) Cη′ ,α (⃗q )Cα,µ (⃗q)Gβ,µ (⃗q)[(1 + Nq⃗)δq⃗,⃗q′ fη′ δη′ ,µ (1 − fβ )δβ,β η ′ ,⃗ q ′ ,µ,⃗ q − Nq⃗δq⃗,⃗q′ fβ δβ,β (1 − fη′ )δη′ ,µ ] ∑ ′ (−) =− Cη′ ,α (⃗q )Cα,µ (⃗q)Gβ,µ (⃗q)[(1 + Nq⃗)fη′ (1 − fβ ) η ′ ,⃗ q ′ ,µ,⃗ q − Nq⃗fβ (1 − fη′ )]δq⃗,⃗q′ δβ,β δη′ ,µ ∑ (−) =− Cµ,α (⃗q)Cα,µ (⃗q)Gβ,µ (⃗q)[(1 + Nq⃗)fµ (1 − fβ ) − Nq⃗fβ (1 − fµ )], q⃗,µ Tính tương tự cho SH7(P.86), SH10(P.86) SH13(P.86), ta ∑ SH7(P.86) = − ′ η ′ ,⃗ q ′ ,µ,⃗ q =− ∑ (+) Cη′ ,α (⃗q )Cα,µ (⃗q)Gβ,µ (⃗q)TR {ρd [b+ a+ a , b a+ a ]} q⃗′ η ′ β q⃗ β µ (+) Cµ,α (⃗q)Cα,µ (⃗q)Gβ,µ (⃗q)[Nq⃗fµ (1 − fβ ) − (1 + Nq⃗)fβ (1 − fµ )], q⃗,µ SH10(P.86) = − ∑ ′ + + Cβ,µ′ (⃗q )Cη,β (⃗q)G(−) q )TR {ρd [bq⃗′ a+ η,α (⃗ α aµ′ , bq⃗ aη aα ]} µ′ ,⃗ q ′ ,η,⃗ q =− ∑ Cβ,η (⃗q)Cη,β (⃗q)G(−) q )[(1 + Nq⃗)fα (1 − fη ) − Nq⃗fη (1 − fα )], η,α (⃗ η,⃗ q SH13(P.86) = − ∑ µ′ ,⃗ q ′ ,η,⃗ q =− ∑ ′ Cβ,µ′ (⃗q )Cη,β (⃗q)G(+) q )TR {ρd [b+ a+ a ′ , bq⃗a+ η,α (⃗ η aα ]} q⃗′ α µ Cβ,η (⃗q)Cη,β (⃗q)G(+) q )[Nq⃗fα (1 − fη ) − (1 + Nq⃗)fη (1 − fα )] η,α (⃗ η,⃗ q Từ kết tính tốn được, ta có ∑ (−) (fβ − fα ) Γαβ ω) = − |Cα,µ (⃗q)|2 Gβ,µ (⃗q)[(1 + Nq⃗)fµ (1 − fβ ) − Nq⃗fβ (1 − fµ )] (¯ q⃗,µ − ∑ (+) |Cα,µ (⃗q)|2 Gβ,µ (⃗q)[Nq⃗fµ (1 − fβ ) − (1 + Nq⃗)fβ (1 − fµ )] q⃗,µ − ∑ |Cη,β (⃗q)|2 G(−) q )[(1 + Nq⃗)fα (1 − fη ) − Nq⃗fη (1 − fα )] η,α (⃗ η,⃗ q − ∑ q )[Nq⃗fα (1 − fη ) − (1 + Nq⃗)fη (1 − fα )] |Cη,β (⃗q)|2 G(+) η,α (⃗ η,⃗ q (P.88) P.30 Thay (P.85) vào (P.88), sau nhóm số hạng lại, ta Γαβ ω) = (¯ (fβ − fα ) {∑ (1 + Nq⃗)fβ (1 − fµ ) Nq⃗fµ (1 − fβ ) ì |C,à (q)|2 [ E,à + ωq⃗ ω ¯ − Eβ,µ + ωq⃗ q⃗,µ − + ∑ |Cη,β (⃗q)|2 [ q⃗,η Nq⃗fβ (1 − fµ ) ] (1 + Nq⃗)fµ (1 − fβ ) + ω ¯ − Eβ,µ − ωq⃗ ω ¯ − Eβ,µ − ωq⃗ (1 + Nq⃗)fη (1 − fα ) Nq⃗fα (1 − fη ) − ω ¯ − Eη,α + ωq⃗ ω ¯ − Eη,α + ωq⃗ } Nq⃗fη (1 − fα ) (1 + Nq⃗)fα (1 − fη ) − + ] ω ¯ − Eη,α − ωq⃗ ω ¯ − Eη,α − ωq⃗ Phụ lục 21 Chứng minh γδ ⟨a+ ξ aϵ ⟩αβ = (fβ − fα )δξβ δδα δϵγ ω ¯ − Eβα − Γ0αβ (¯ ω2 ) − (fβ − fα )δγβ δϵα δξδ ω ¯ − Eβα − Γαβ ω2 ) (¯ (P.89) Từ định nghĩa trung bình tốn phi tuyến, ta có γδ + + ⟨a+ ¯ − Leq )−1 [a+ ξ aϵ ⟩αβ = TR {ρeq [( ω ξ aϵ , aγ aδ ], aα aβ ]} + = TR {ρeq [( ω ¯ − Leq )−1 a+ ξ aδ , aα aβ ]}δϵγ (P.90) + − TR {ρeq [( ω ¯ − Leq )−1 a+ γ aϵ , aα aβ ]}δξδ So sánh số hạng (P.90) với (1.66) ta thấy có dạng biểu thức Λαβ (¯ ω ), thay ω ¯ ω ¯ , ξ(γ) δ(ϵ) số hạng 1(2) γ δ Trong phần độ dẫn tuyến tính ta tìm biểu thức cuối Λαβ (¯ ω ), Γαβ ω ) ⟨a+ (¯ γ aδ ⟩αβ phương trình (1.88), (1.90) (1.91) sau Λαβ (¯ ω) = ⟨a+ γ aδ ⟩αβ ω ¯ − Eγδ − Γ0αβ (¯ ω) , { } + Γαβ ω ) = TR ρd [Lv a+ ¯ − Ld )−1 Lv a+ (¯ α aβ , ( ω γ aδ ] / ⟨aγ aδ ⟩αβ , { } + + ⟨a+ γ aδ ⟩αβ = TR ρd [aγ aδ , aα aβ ] = (fβ − fα )δα,δ δγ,β Thay (P.93) vào (P.92), sau lấy tổng theo γ δ, ta { } + + −1 Γαβ (¯ ω ) = T ρ [L a a , ( ω ¯ − L ) L a a ] /[ (fβ − fα )] R d v β d v α α β (P.91) (P.92) (P.93) (P.94) Vậy γδ ⟨a+ ξ aϵ ⟩αβ = ⟨a+ ξ aδ ⟩αβ δϵγ ω2 ) ω ¯ − Eξδ − Γαβ (¯ P.31 − ⟨a+ γ aϵ ⟩αβ δξδ ω2 ) ω ¯ − Eγϵ − Γαβ (¯ (P.95) = (fβ − fα )δξβ δδα δϵγ ω ¯ − Eβα − Γαβ ω2 ) (¯ − (fβ − fα )δγβ δϵα δξδ ω ¯ − Eβα − Γαβ ω2 ) (¯ (P.96) Trong ta áp dụng kết tính trung bình ⟨a+ γ aδ ⟩αβ = (fβ − fα )δδα δγβ phương αβ trình (1.91) biểu thức Γ0 (¯ ω2 ) có dạng cho (1.93) Phụ lục 22 Cần chứng minh TR {ρeq [[Leq X, A], B]} = TR {ρeq [[Leq A, X], B]} + TR {ρeq [Leq B, [X, A]]} (P.97) Khai triển số hạng vế phải, ta V P = TR {ρeq [[Leq A, X], B]} = TR {ρeq [[[Heq , A], X], B]} = TR {ρeq Heq AXB − ρeq AHeq XB − ρeq XHeq AB + ρeq XAHeq B − ρeq BHeq AX + ρeq BAHeq X + ρeq BXHeq A − ρeq BXAHeq }, V P = TR {ρeq [Leq B, [X, A]]} = TR {ρeq [[Heq , B], [X, A]} = TR {ρeq Heq BXA − ρeq XAHeq B − ρeq Heq BAX + ρeq AXHeq B − ρeq BHeq XA + ρeq XABHeq + ρeq BHeq AX − ρeq AXBHeq } Cộng V P V P 2, giản ước số hạng, ta V P = TR {−ρeq AHeq XB − ρeq XHeq AB + ρeq BAHeq X − ρeq BXAHeq − ρeq Heq BAX + ρeq AXHeq B − ρeq BHeq XA + ρeq XABHeq } Sử dụng tính chất hốn vị vòng vết, [ρeq , Heq ] = để biến đổi số hạng thứ năm tám xếp lại số hạng, ta V P = TR {ρeq Heq XAB − ρeq XHeq AB − ρeq AHeq XB + ρeq AXHeq B − ρeq BHeq XA + ρeq BXHeq A + ρeq BAHeq X − ρeq BAXHeq } = TR {ρeq [(Heq X − XHeq )A − A(Heq X − XHeq ), B]} = TR {ρeq [[[(Heq , X], A], B]} = TR {ρeq [[(Leq X, A], B]} = V T (P.98) Phụ lục 23 Từ hệ thức giao hoán tử toán tử sinh, hủy phonon (b1 , b2 ) hệ thức giao hoán tử toán tử sinh, hủy điện tử (a1 , a2 , a3 , a4 ) ta tìm biểu thức khai triển giao hoán tử sau: [b1 a1 a2 , b2 a3 a4 ] = b1 [a1 a2 , b2 a3 a4 ] + [b1 , b2 a3 a4 ]a1 a2 = b1 b2 [a1 a2 , a3 a4 ] + b1 [a1 a2 , b2 ]a3 a4 + b2 [b1 , a3 a4 ]a1 a2 + [b1 , b2 ]a3 a4 a1 a2 = b1 b2 [a1 a2 , a3 a4 ] + [b1 , b2 ]a3 a4 a1 a2 P.32 (P.99) Phụ lục 24 Ta tính giá trị G11 − 3.2, với ∑∑ + + + ¯ 12 − Eβη + ωq⃗) Cγη (⃗q)Cνγ (ℓ)TR {ρeq [[bq⃗a+ G11 − 3.2 = β aη , b−ℓ aν aα ], aα aβ ]}/( ω q⃗,ℓ η,ν (P.100) Áp dụng biểu thức khai triển Phụ lục 23, ta có + + + + + + + + [bq⃗a+ β aη , b−ℓ aν aα ] = [bq⃗ , b−ℓ ]aβ aη aν aα + b−ℓ bq⃗ [aβ aη , aν aα ] + + + + + = a+ β aη aν aα δq⃗,−ℓ + b−ℓ bq⃗ aβ aα δνη − b−ℓ bq⃗ aν aη δβα (P.101) Do xét trình chuyển mức mức α, β, η nên δβα = + + + + + + + + + [[bq⃗a+ β aη , b−ℓ aν aα ], aα aβ ] = aβ aβ aν aα δηα δq⃗,−ℓ − aα aη aν aα δq⃗,−ℓ + aβ aη aν aβ δq⃗,−ℓ + + + + + − a+ β aβ aα aα δνβ δq⃗,−ℓ + b−ℓ bq⃗ aβ aβ δνη − b−ℓ bq⃗ aα aα δνη (P.102) G11 − 3.2 = − ∑ Cγη (⃗q)Cηγ (−⃗q) [0 − fα (1 − fη ) + fβ (1 − fη ) − + Nq⃗fβ − Nq⃗fα ] ω ¯ 12 − Eβη + ωq⃗ q⃗,η ∑ Cγη (⃗q)Cηγ (−⃗q) =− ω ¯ 12 − Eβη + ωq⃗ q⃗,η × {[(1 + Nq⃗)fβ (1 − fη ) − Nq⃗fη (1 − fβ )] − [(1 + Nq⃗)fα (1 − fη ) − Nq⃗fη (1 − fα )]}, (P.103) ta cộng trừ vào vế phải lượng Phụ lục 25 Biểu thức hàm suy giảm phi tuyến Để biến đổi số hạng V1αβ (¯ ω12 ) V2αβ (¯ ω12 ) Γαβγ ω12 ) Γαβδ ω12 ) cụ (¯ (¯ thể hơn, ta thay Q = − P , áp dụng đẳng thức (AB) để khai triển, sau thay Leq = Ld + Lv áp dụng đẳng thức (AB) lần nữa, ( ω ¯ 12 − Leq Q1 )−1 Lv a+ ξ aη =( ω ¯ 12 − Leq )−1 Lv a+ ¯ 12 − Leq )−1 Leq P1 ( ω ¯ 12 − Leq Q1 )−1 Lv a+ ξ aη − ( ω ξ aη =( ω ¯ 12 − Ld − Lv )−1 Lv a+ ξ aη − =( ω ¯ 12 − Ld )−1 Lv a+ ¯ 12 − Ld )−1 Lv ( ω ¯ 12 − Leq )−1 Lv a+ ξ aη + ( ω ξ aη =( ω ¯ 12 − Ld )−1 Lv a+ ξ aη , P.33 ta bỏ qua số hạng vô bé bậc lớn hai V hay Lv Thay vào biểu thức V1αβ (¯ ω12 ) V2αβ (¯ ω12 ), ta suy + + Γαβγ ω12 )(fα − fβ ) = TR {ρeq [[( ω ¯ 12 − Ld )−1 Lv a+ (¯ β aγ , Lv aγ aα ], aα aβ ]} + + + TR {ρeq [[( ω ¯ 12 − Ld )−1 Lv a+ β aγ , aγ aα ], Lv aα aβ ]}, (P.104) = G11(P.104) + G12(P.104), + + Γαβδ ω12 )(fα − fβ ) = TR {ρeq [[( ω ¯ 12 − Ld )−1 Lv a+ (¯ δ aα , Lv aβ aδ ], aα aβ ]} + + + TR {ρeq [[( ω ¯ 12 − Ld )−1 Lv a+ δ aα , aβ aδ ], Lv aα aβ ]} (P.105) = G21(P.105) + G22(P.105) Tính số hạng G11(P.104): Bầy ta tính giao hốn tử trị trung bình số hạng Sử dụng biểu thức toán tử Phụ lục 21, 22, 23 phần tuyến tính, ta có khai triển ( ω ¯ 12 − Ld )−1 Lv a+ β aγ + ∑ ∑ b+ bq⃗a+ η aγ −⃗ q aη aγ Cηβ (⃗q) = + Cηβ (⃗q) ( ω ¯ 12 − Eηγ + ωq⃗) ω ¯ 12 − Eηγ − ω−⃗q η,⃗ q η,⃗ q ∑ + ∑ b+ bq⃗a+ β aη −⃗ q aβ aη − Cγη (⃗q) − Cγη (⃗q) ω ¯ 12 − Eβη + ωq⃗ ω ¯ 12 − Eβη − ω−⃗q η,⃗ q η,⃗ q ∑ + + (bℓ + b+ Lv a+ γ aα = −ℓ )(Cνγ (ℓ)aν aα − Cαν (ℓ)aγ aν ) (P.106) ℓ,ν Thay biểu thức toán tử vào biểu thức G11(P.104) để viết gọn ta đặt ký hiệu cho biểu thức mẫu số Ma(±) ≡ ω ¯ 12 − Eηγ ± ωq⃗, Mb(±) ≡ ω ¯ 12 − Eβη ± ω−⃗q, (P.107) ta có G11(P.104) ∑∑ + + = Cηβ (⃗q)Cνγ (ℓ)TR {ρeq [[bq⃗a+ η aγ , bℓ aν aα ], aα aβ ]}/Ma(+) (G11 − 1.1) q⃗,ℓ + q⃗,ℓ − + + Cηβ (⃗q)Cαν (ℓ)TR {ρeq [[bq⃗a+ η aγ , bℓ aγ aν ], aα aβ ]}/Ma(+) (G11 − 1.3) η,ν ∑∑ q⃗,ℓ + + Cηβ (⃗q)Cνγ (ℓ)TR {ρeq [[bq⃗a+ η aγ , b−ℓ aν aα ], aα aβ ]}/Ma(+) (G11 − 1.2) η,ν ∑∑ q⃗,ℓ − η,ν ∑∑ + + Cηβ (⃗q)Cαν (ℓ)TR {ρeq [[bq⃗a+ η aγ , b−ℓ aγ aν ], aα aβ ]}/Ma(+) (G11 − 1.4) η,ν + G11 − 2.1 + G11 − 2.2 + G11 − 2.3 + G11 − 2.4 ∑∑ + + − Cγη (⃗q)Cνγ (ℓ)TR {ρeq [[bq⃗a+ β aη , bℓ aν aα ], aα aβ ]}/Mb(+) (G11 − 3.1) q⃗,ℓ − η,ν ∑∑ q⃗,ℓ + + Cγη (⃗q)Cνγ (ℓ)TR {ρeq [[bq⃗a+ β aη , b−ℓ aν aα ], aα aβ ]}/Mb(+) (G11 − 3.2) η,ν P.34 + ∑∑ q⃗,ℓ + η,ν ∑∑ q⃗,ℓ + + Cγη (⃗q)Cαν (ℓ)TR {ρeq [[bq⃗a+ β aη , bℓ aγ aν ], aα aβ ]}/Mb(+) (G11 − 3.3) + + Cγη (⃗q)Cαν (ℓ)TR {ρeq [[bq⃗a+ β aη , b−ℓ aγ aν ], aα aβ ]}/Mb(+) (G11 − 3.3) η,ν + G11 − 4.1 + G11 − 4.2 + G11 − 4.3 + G11 − 4.4 Trong G11-2.1, G11-2.2, G11-2.3 G11-2.4 (G11-4.1, G11-4.2, G11-4.3 G11-4.4) G11-1.1, G11-1.2, G11-1.3 G11-1.4 (G11-3.1, G11-3.2, G113.3 G11-3.4) thay bq⃗ b+ −⃗ q Ma(+) (Mb(+) ) Ma(−) (Mb(−) ) Biểu thức G11(P.104) có tất mười sáu số hạng, có tám số hạng G11-1.1, G11-1.3, G11-2.2, G11-2.4, G11-3.1, G11-3.3, G11-4.2 G11-4.4 không Mỗi số hạng chứa hai tốn tử sinh phonon hai toán tử hủy phonon nên giao hoán tử lấy trung bình thống kê khơng Trong tám số hạng lại có hai số hạng cho đóng góp khác khơng G11-3.2 G11-4.1 (Phụ lục 24), ∑∑ + + G11 − 3.2 = − Cγη (⃗q)Cνγ (ℓ)TR {ρeq [[bq⃗a+ β aη , b−ℓ aν aα ], aα aβ ]}/Mb(+) =− ∑ q⃗,ℓ η,ν Cγη (⃗q)Cηγ (−⃗q)/M4(+) {[(1 + Nq⃗)fβ (1 − fη − Nq⃗fη (1 − fβ )] q⃗,η − [(1 + Nq⃗)fα (1 − fη ) − Nq⃗fη (1 − fα )]}, ∑∑ + + + G11 − 4.1 = − Cγη (⃗q)Cνγ (ℓ)TR {ρeq [[b+ −⃗ q aβ aη , bℓ aν aα ], aα aβ ]}/Mb(−) =− ∑ q⃗,ℓ η,ν Cγη (⃗q)Cηγ (−⃗q)/M4(−) {[(1 + Nq⃗)fη (1 − fα ) − Nq⃗fα (1 − fη )] q⃗,η − [(1 + Nq⃗)fη (1 − fβ ) − Nq⃗fβ (1 − fη )]}, số hạng lại cho đóng góp khơng (tính tốn hồn tồn tương tự số hạng khác khơng) Vậy ∑ G11 = − Cγη (⃗q)Cηγ (−⃗q) q⃗,η { (1 + Nq⃗)fβ (1 − fη ) − Nq⃗fη (1 − fβ ) (1 + Nq⃗)fα (1 − fη ) − Nq⃗fη (1 − fα ) − × ω ¯ 12 − Eβη + ωq⃗ ω ¯ 12 − Eβη + ωq⃗ + (1 + Nq⃗)fη (1 − fα ) − Nq⃗fα (1 − fη ) (1 + Nq⃗)fη (1 − fβ ) − Nq⃗fβ (1 − fη ) } − ω ¯ 12 − Eβη − ωq⃗ ω ¯ 12 − Eβη − ωq⃗ Tính số hạng G12(P.104): Thay (P.106) vào (P.104), ta + + G12(P.104) = TR {ρeq [[( ω ¯ 12 − Ld )−1 Lv a+ β aγ , aγ aα ], Lv aα aβ ]} + ∑ b+ bq⃗a+ −⃗ q aη aγ η aγ + Cηβ (⃗q) = TR {ρeq [[ (Cηβ (⃗q) ω ¯ 12 − Eηγ + ωq⃗ ω ¯ 12 − Eηγ − ωq⃗ q⃗,η + b+ bq⃗a+ β aη −⃗ q aβ aη − Cγη (⃗q) − Cγη (⃗q) ), a+ aα ], ω ¯ 12 − Eβη + ωq⃗ ω ¯ 12 − Eβη − ωq⃗ γ ∑ + + (bℓ + b+ −ℓ )(Cνα (ℓ)aν aβ − Cβν (ℓ)aα aν )]} ℓ,ν P.35 Khai triển giao hốn tử ta 32 số hạng có hai số hạng cho đóng góp khác khơng ∑∑ SH1.4 = − q⃗,ℓ η,ν Cηβ (⃗q)Cβν (ℓ) + + TR {ρeq [bq⃗a+ η aα , b−ℓ aα aν ]} ω ¯ 12 − Eηγ + ωq⃗ ∑ ∑ Cηβ (⃗q)Cβη (−⃗q) [(1 + Nq⃗)fη (1 − fα ) − Nq⃗fα (1 − fη )], =− ω ¯ − E + ω 12 ηγ q ⃗ η q⃗ SH3.3 = − ∑∑ q⃗,ℓ η,ν Cηβ (⃗q)Cβν (ℓ) + + TR {ρeq [b+ −⃗ q aη aα , bℓ aα aν ]} ω ¯ 12 − Eηγ − ωq⃗ ∑ ∑ Cηβ (⃗q)Cβη (−⃗q) =− [(1 + Nq⃗)fα (1 − fη ) − Nq⃗fη (1 − fα )] ω ¯ − E − ω 12 ηγ q ⃗ η q⃗ Vậy G12 = − ∑∑ η q⃗ − Cηβ (⃗q)Cβη (−⃗q){ (1 + Nq⃗)fα (1 − fη ) − Nq⃗fη (1 − fα ) ω ¯ 12 − Eηγ − ωq⃗ (1 + Nq⃗)fη (1 − fα ) − Nq⃗fα (1 − fη ) } ω ¯ 12 − Eηγ + ωq⃗ Hàm suy giảm phi tuyến bậc nhận cách thay biểu thức G11 G12 vào (P.104), Γαβγ ω12 ) = (¯ ∑ ∑ Cγη (⃗q)Cηγ (−⃗q) q⃗ { η fβ − fα (1 + Nq⃗)fβ (1 − fη ) − Nq⃗fη (1 − fβ ) (1 + Nq⃗)fα (1 − fη ) − Nq⃗fη (1 − fα ) − ω ¯ 12 − Eβη + ωq⃗ ω ¯ 12 − Eβη + ωq⃗ } (1 + Nq⃗)fη (1 − fα ) − Nq⃗fα (1 − fη ) (1 + Nq⃗)fη (1 − fβ ) − Nq⃗fβ (1 − fη ) + − ω ¯ 12 − Eβη − ωq⃗ ω ¯ 12 − Eβη − ωq⃗ ∑ ∑ Cηβ (⃗q)Cβη (−⃗q) − fβ − fα η q⃗ { } (1 + Nq⃗)fα (1 − fη ) − Nq⃗fη (1 − fα ) (1 + Nq⃗)fη (1 − fα ) − Nq⃗fα (1 − fη ) − × ω ¯ 12 − Eηγ − ωq⃗ ω ¯ 12 − Eηγ + ωq⃗ (P.108) × ω12 ) suy Biểu thức (P.108) biểu thức hàm suy giảm phi tuyến Γαβγ (¯ αβδ từ biểu thức (P.104) Hàm suy giảm Γ2 (¯ ω12 ) cho (P.105) có dạng tương tự (P.104) Do đó, ta áp dụng q trình tính tốn tương tự Γαβγ ω12 ) để tìm biểu thức G21 G22 thay vào (P.105), ta nhận (¯ Γαβδ ω12 ) = (¯ { × ∑ ∑ Cηδ (⃗q)Cδη (−⃗q) q⃗ η fβ − fα (1 + Nq⃗)fη (1 − fβ ) − Nq⃗fβ (1 − fη ) (1 + Nq⃗)fη (1 − fα ) − Nq⃗fα (1 − fη ) − ω ¯ 12 − Eηα + ωq⃗ ω ¯ 12 − Eηα + ωq⃗ P.36 } (1 + Nq⃗)fα (1 − fη ) − Nq⃗fη (1 − fα ) (1 + Nq⃗)fβ (1 − fη ) − Nq⃗fη (1 − fβ ) + − ω ¯ 12 − Eηα − ωq⃗ ω ¯ 12 − Eηα − ωq⃗ ∑ ∑ Cαη (⃗q)Cηα (−⃗q) + fβ − fα η q⃗ { } (1 + Nq⃗)fη (1 − fβ ) − Nq⃗fβ (1 − fη ) (1 + Nq⃗)fβ (1 − fη ) − Nq⃗fη (1 − fβ ) × − ω ¯ 12 − Eδη − ωq⃗ ω ¯ 12 − Eδη + ωq⃗ Phụ lục 26 Yếu tố ma trận jzαβ giếng lượng tử vng góc sâu vơ hạn i⃗k⊥α ⃗r⊥ nα π ie ∂ i⃗kβ ⃗r⊥ nβ π nβ π nα π ⟨e sin( z+ )| ∗ |e ⊥ sin( z+ )⟩ (P.109) V0 Lz m ∂z Lz ∫ Lz /2 ∫ ∞ β ⃗α nα π nα π nβ π nβ π nβ π ie i(⃗k⊥ −k⊥ )⃗ r⊥ dz sin( z+ z+ d⃗r⊥ e ) cos( ) = ∗ V0 m −∞ Lz Lz Lz −Lz /2 ∫ Lz /2 ie nα π nβ π nα π nβ π nβ π = 2πδkβ ,kα dz sin( ) cos( ) z+ z+ ∗ ⊥ ⊥ V0 m Lz Lz Lz −Lz /2 jzαβ = ⟨α|jz |β⟩ = = 4π nβ ie δ β α × I, m∗ Lz V0 k⊥ ,k⊥ ∫ (P.110) Lz /2 dz sin( I= −Lz /2 nα π nα π nβ π nβ π z+ z+ ) cos( ) Lz Lz Khi nα ̸= nβ I= } [ (nα + nβ )π [ (nα − nβ )π (nα + nβ )π ] (nα − nβ )π ] dz sin z+ + sin z+ Lz Lz −Lz /2 ∫ Lz /2 { { [ (nα + nβ )π Lz (nα + nβ )π ] Lz /2 cos z+ |−Lz /2 (nα + nβ )π Lz } [ (nα − nβ )π (nα − nβ )π ] Lz /2 Lz cos z+ |−Lz /2 − (nα − nβ )π Lz { Lz Lz = − cos(nα + nβ )π + cos (nα + nβ )π (nα + nβ )π } Lz Lz cos(nα − nβ )π + cos − (nα − nβ )π (nα − nβ )π { } Lz Lz Lz Lz nα +nβ nα −nβ = + + − (−1) − (−1) (nα + nβ )π (nα + nβ )π (nα − nβ )π (nα − nβ )π = = − − (−1)nα −nβ ] Lz [ − (−1)nα +nβ + 2π nα + nβ nα − nβ P.37 (P.111) Khi nα = nβ ∫ Lz /2 ∫ nβ π Lz /2 nα π nα π nβ π 2nα π z+ ) cos( z+ )= z + nα π) I= dz sin( dz sin( Lz Lz 2 −Lz /2 Lz −Lz /2 1[ Lz 2nα π Lz /2 ] − cos( z + nα π)|−L z /2 2nα π Lz Lz (cos 2nα π − cos 0) = =− 4nα π = Kết hợp (P.110), (P.111) (P.112) ta  nα +nβ − (−1)nα −nβ ] i 2πe nβ [ − (−1) + δkβ ,kα , nβ ̸= nα ∗ m V0 ⊥ ⊥ nα + nβ nα − nβ jzαβ =  0, nβ = nα (P.112) (P.113) Phụ lục 27 Yếu tố ma trận jzαβ giếng lượng tử parabol α jzαβ = ⟨α|jz |β⟩ = ⟨k⊥ , nα | ie ie ∂ ie ∂ β ∂ α β |k⊥ , nβ ⟩ = ⟨k⊥ δkα ,kβ ⟨nα | |nβ ⟩, |k⊥ ⟩⟨nα | |nβ ⟩ = m ∂z m ∂z m ⊥ ⊥ ∂z (P.114) ta tính )1/2 ∂ [( z2 z ] ∂ √ |nβ ⟩ = exp(− )H ) nβ ( n ∂z ∂z β nβ ! πaz 2az az )1/2 [ ( z z2 z z2 ∂ z ] √ − exp(− )Hnβ ( ) + exp(− ) Hnβ ( ) = nβ az 2az az 2az ∂z az nβ ! πaz 2 ( ) [ z z z z z 1] 1/2 = nβ √ , − exp(− )Hnβ ( ) + exp(− )Hn′ β ( ) az 2az az 2az az az nβ ! πaz (P.115) đặt u= z ⇒ z = uaz , az (P.115) viết lại ( )1/2 [ ∂ u2 u2 1] |nβ ⟩ = nβ √ exp(− )uHnβ (u) + exp(− )Hn′ β (u) − ∂z az 2 az nβ ! πaz (P.116) ( )1/2 ] u2 [ ′ = nβ √ exp(− ) − uHnβ (u) + Hnβ (u) , az 2 nβ ! πaz áp dụng [17] Hn+1 (u) = 2uHn (u) − 2nHn−1 (u) ⇒ uHn (u) = Hn+1 (u) + nHn−1 (u), ′ Hn (u) = 2nHn−1 (u), P.38 lúc (P.116) viết lại ( )1/2 ] ∂ u2 [ |nβ ⟩ = nβ √ exp(− ) − Hnβ +1 (u) + nβ Hnβ −1 (u) ∂z az 2 nβ ! πaz ( )1/2 1 u = nβ √ exp(− )nβ Hnβ −1 (u) az 2 nβ ! πaz ) ( u2 1/2 − nβ √ exp(− ) Hnβ +1 (u) az 2 nβ ! πaz )1/2 1 u2 √ n exp(− )Hnβ −1 (u) β az 22nβ −1 nβ (nβ−1 )! πaz )1/2 ( u2 √ exp(− )Hnβ +1 (u) − −1 nβ +1 2az 2 (nβ + 1)−1 (nβ + 1)! πaz √ )1/2 nβ ( u2 √ = exp(− )Hnβ −1 (u) az 2nβ −1 (nβ−1 )! πaz √ )1/2 nβ + 1 ( u2 √ − exp(− )Hnβ +1 (u) az 2nβ +1 (nβ + 1)! πaz √ √ nβ nβ + 1 = |nβ − 1⟩ − |nβ + 1⟩, (P.117) az az = ( thay (P.117) vào (P.114), ta thu jzαβ √ √ ie ∂ ie nβ nβ + 1 = δkα ,kβ ⟨nα | |nβ ⟩ = δkα ,kβ ⟨nα | |nβ − 1⟩ − |nβ + 1⟩ m ⊥ ⊥ ∂z m ⊥ ⊥ az az √ (√ ) ie nβ nβ + 1 δα β ⟨nα |nβ − 1⟩ − ⟨nα |nβ + 1⟩ = m k⊥ ,k⊥ az az √ ) (√ ie nβ nβ + = δn ,n −1 − δnα ,nβ +1 δα β maz k⊥ ,k⊥ α β (P.118) Phụ lục 28 Phần thực tenxơ độ dẫn σzz (ω) = ∑ i fβ − fα lim+ |jzαβ |2 , ω ∆→0 α,β ω ¯ − Eβα − Γαβ (¯ ω ) (P.119) αβ Γαβ ω ) = Aαβ (¯ (ω) + iB0 (ω) (P.120) Thay (P.120) vào (P.119), ta ∑ i fβ − fα σzz (ω) = lim+ |jzαβ |2 αβ ω ∆→0 α,β ω ¯ − Eβα − [Aαβ (ω) + iB0 (ω)] ∑ i fβ − fα = lim+ |jzαβ |2 αβ ω ∆→0 α,β ω − Eβα − A0 (ω) − i [B0αβ (ω) + ∆] P.39 (P.121) Sử dụng điều kiện gần Lorentz [24], ta bỏ qua đại lượng Aαβ (ω), (P.121) viết lại sau σzz (ω) = fβ − fα i ∑ αβ |jz | ω α,β ω − Eβα − i B0αβ (ω) (P.122) Nhân tử mẫu số (P.122) với lượng liên hợp phức ω − Eβα + i B0αβ (ω), ta i ∑ αβ (fβ − fα )[ ω − Eβα + i B0αβ (ω)] |j | σzz (ω) = ω α,β z ( ω − Eβα )2 + [ B0αβ (ω)]2 = ] (fβ − fα ) B0αβ (ω) ∑ αβ [ i(fβ − fα )( ω − Eβα ) − |jz | αβ αβ ω α,β ( ω − Eβα )2 + [ B0 (ω)]2 ( ω − Eβα )2 + [ B0 (ω)]2 ∑ αβ [ (fα − fβ ) B0αβ (ω) i(fβ − fα )( ω − Eβα ) ] = |jz | + , ω α,β ( ω − Eβα )2 + [ B0αβ (ω)]2 ( ω − Eβα )2 + [ B0αβ (ω)]2 suy (fα − fβ ) B0αβ (ω) ∑ αβ |j | Re[σzz (ω)] = ω α,β z [ ω − (Eβ − Eα )]2 + [ B0αβ (ω)]2 P.40 (P.123) ... tương tác electronphonon gây tác dụng trường cao tần hiệu ứng EPR, MPR CR xét đến phonon giam giữ Bên cạnh hệ electron bị giam giữ giam giữ phonon chắn làm gia tăng tốc độ tán xạ electron -phonon, ... trường hai trường hợp phonon không giam giữ phonon giam giữ Khảo sát phụ thuộc độ rộng vạch phổ đỉnh ODEPR, ODMPR, CR vào nhiệt độ thông số giếng tính đến khơng giam giữ giam giữ phonon So sánh kết... MPR/ODMPR, CR tính đến phonon bị giam giữ giếng lượng tử bỏ ngỏ, chưa nghiên cứu nhiều Chính vậy, “Nghiên cứu ảnh hưởng giam giữ phonon lên số hiệu ứng cộng hưởng tương tác electronphonon giếng lượng