BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN LIÊN VƯƠNG LÂM THÁC TRIỂN PHÂN HÌNH CỦA MỘT SỐ LỚP HÀM PHÂN HÌNH YẾU LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC BÌNH ĐỊNH - NĂM 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN LIÊN VƯƠNG LÂM THÁC TRIỂN PHÂN HÌNH CỦA MỘT SỐ LỚP HÀM PHÂN HÌNH YẾU Chun ngành: Tốn Giải Tích Mã số: 62.46.01.02 Phản biện 1: GS TSKH Nguyễn Quang Diệu Phản biện 2: PGS TS Kiều Phương Chi Phản biện 3: TS Trịnh Đức Tài NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS Thái Thuần Quang BÌNH ĐỊNH - NĂM 2017 LỜI CAM ĐOAN Luận án hoàn thành Trường Đại học Quy Nhơn, hướng dẫn PGS TS Thái Thuần Quang Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu tơi Các kết luận án trung thực, đồng tác giả cho phép sử dụng chưa công bố trước Tác giả Liên Vương Lâm LỜI CẢM ƠN Luận án hoàn thành hướng dẫn tận tình khoa học Thầy Thái Thuần Quang Thầy người giảng dạy, hướng dẫn suốt bậc học: Đại học, Cao học Nghiên cứu sinh Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy gia đình Tác giả xin gởi lời cảm ơn sâu sắc đến Khoa Tốn, Trường Đại học Quy Nhơn, nơi tơi bắt đầu học tập, hướng dẫn nhận nhiều quan tâm, động viên khích lệ Xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến quý Thầy, Cơ giáo Khoa Tốn giảng dạy tơi năm tháng học tập, nghiên cứu Tác giả xin gửi lời cảm ơn đến Ban Giám hiệu Trường Đại học Quy Nhơn, Phòng Đào tạo sau đại học tận tình giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt thời gian học tập nghiên cứu Tác giả xin chân thành cảm ơn TS Nguyễn Văn Đại, TS Huỳnh Minh Hiền, TS Nguyễn Khắc Tín, TS Nguyễn Ngọc Quốc Thương có góp ý q báu q trình tơi học tập nghiên cứu Tôi xin chân thành cảm ơn đến q Thầy, Cơ Tổ Tốn, Trường Đại học Phạm Văn Đồng tạo điều kiện thời gian, gánh vác công việc cho tôi, để yên tâm học tập nghiên cứu Cuối cùng, tác giả xin dành tình cảm đặc biệt đến gia đình, người thân người bạn tác giả, người mong mỏi, động viên tiếp sức cho tác giả để hoàn thành luận án DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU H ♣D, F q Hs ♣T, F q : Khơng gian hàm chỉnh hình D nhận giá trị F : Không gian hàm chỉnh hình tách biến T nhận giá trị F M ♣D, F q Ms ♣T, F q H ✽ ♣D, F q Hb ♣E, F q : Khơng gian hàm phân hình D nhận giá trị F : Không gian hàm phân hình tách biến T nhận giá trị F : Không gian tất hàm bị chặn H ♣D, F q : Không gian tất hàm chỉnh hình từ E vào F mà bị chặn tập bị chặn E HLB ♣D, F q : Khơng gian hàm chỉnh hình bị chặn địa phương D H W ♣D, F q : Khơng gian hàm ♣F, W q-chỉnh hình W Hloc ♣D, F q : Không gian hàm ♣F, W q-chỉnh hình địa phương H W,✽ ♣D, F q : Khơng gian hàm ♣F, W q-chỉnh hình bị chặn W,✽ Hloc W M ♣D, F q ♣D, F q : Khơng gian hàm ♣F, W q-chỉnh hình bị chặn địa phương : Không gian hàm ♣F, W q-phân hình Dfh : Miền tồn hàm chỉnh hình f Dfm : Miền tồn hàm phân hình f ♣ K P SH ♣Dq : Bao đa điều hòa K D ∆nr ♣z0 q : tz € Cn : ⑥z ✁ z0⑥ ➔ r✉ ∆1r ♣z0 q ∆nr ♣0q ∆r ♣z0 q : ∆nr : ∆n : ∆n1 ∆ : ∆1 Hnt ♣rq : Miền Hartogs Cn B ♣E q K ♣E q Uk P SH ♣Ωq U ♣K, Ωq hK,Ω ♣z q h✝K,Ω : Tập tất tập lồi, cân, đóng, bị chặn E : Tập tất tập compact, lồi, cân E : tx € E : ⑥x⑥k ➔ 1✉ : Tập hàm đa điều hòa Ω ✞ : tu € P SH ♣Ωq : u ↕ 1, u✞K : suptu♣z q : u € U ♣K, Ωq✉ ↕ 0✉ : Hàm cực trị tương đối cặp ♣K, Ωq Mục lục Danh mục ký hiệu ii Mở đầu Chương Miền tồn hàm phân hình giá trị véctơ 1.1 1.2 1.3 10 Kiến thức tổng quan không gian lồi địa phương 10 1.1.1 Một số lớp không gian lồi địa phương 11 1.1.2 Các tập tách điểm 11 Hàm chỉnh hình, hàm phân hình 12 1.2.1 Khái niệm hàm chỉnh hình 12 1.2.2 Khái niệm hàm phân hình 14 1.2.3 Các tập đa cực, đa quy, hàm cực trị tương đối 14 1.2.4 Các hàm chỉnh hình, phân hình tập chữ thập 16 Miền tồn hàm phân hình giá trị véctơ 19 Chương Định lý thác triển Levi hàm phân hình yếu 26 2.1 Các hàm ♣☎, W q-chỉnh hình hàm ♣☎, W q-phân hình 26 2.2 Định lý thác triển Levi hàm nhiều biến giá trị véctơ 27 2.2.1 27 34 36 Một số nhận xét ví dụ 37 2.2.2 2.2.3 2.3 ⑨ F ✶ xác định tính bị chặn Trường hợp W ⑨ F ✶ tách điểm Trường hợp W ✏ F ✶ Trường hợp W i 2.4 Định lý thác triển Levi hàm giá trị véctơ vô hạn chiều 46 2.4.1 Bất biến tơpơ tuyến tính 46 2.4.2 Thác triển chỉnh hình hàm ♣☎, W q-chỉnh hình 48 2.4.3 Định lý thác triển Levi hàm giá trị véctơ 59 Chương Định lý chữ thập hàm ♣☎, W q-phân hình 62 3.1 Định lý Rothstein cho hàm ♣☎, W q-phân hình 62 3.2 Tổng quát hóa định lý Kazarian 65 3.3 Định lý chữ thập cho hàm ♣☎, W q-phân hình với kỳ dị đa cực 69 Chương Thác triển phân hình hàm ♣☎, W q-phân hình 76 4.1 Tính chất (BB)-Zorn thác triển chỉnh hình 76 4.2 Thác triển phân hình hàm ♣☎, W q-phân hình từ tập gầy 82 4.3 Miền phân hình hàm ♣☎, W q-phân hình 88 4.4 Thác triển hàm ♣☎, W q-phân hình qua tập giải tích 91 Kết luận 93 Danh mục cơng trình tác giả 95 Tài liệu tham khảo 96 Chỉ mục 104 ii Mở đầu Không gian lồi địa phương xuất nhiều lĩnh vực giải tích tốn học lý thuyết độ đo tích phân, giải tích phức, phương trình vi phân, lý thuyết xấp xỉ Các không gian dãy, không gian hàm chỉnh hình, khơng gian hàm đo có tơpơ lồi địa phương Lý thuyết đối ngẫu khơng gian lồi địa phương đóng vai trò quan trọng chuyển tốn khơng gian lồi địa phương nghiên cứu phiếm hàm tuyến tính liên tục Giải tích phức khơng gian lồi địa phương kết hợp Giải tích phức Giải tích hàm Đầu tiên, kể đến kết tác giả Nachbin, Noverraz, Colombeau, Mujica, Dineen, Ở Việt Nam, từ năm 1970 có kết ban đầu Nguyễn Văn Khuê, Hà Huy Khoái lĩnh vực Bài tốn tính chỉnh hình hàm giá trị véctơ quan tâm nhà toán học từ sớm Trong thực hành người ta giải thông qua tính chỉnh hình Đ F, với F khơng gian lồi địa phương Hausdorff, gọi chỉnh hình yếu u ✆ f chỉnh hình với u € F ✶ , không gian yếu Ở đây, hàm f : D đối ngẫu F Các kết bước đầu kể đến Dunford [24] vào năm 1938 Grothendieck [31] vào năm 1955 Mở rộng toán này, người ta đặt vấn đề “làm nhỏ” không gian chứa phiếm hàm tuyến tính u mà đảm bảo tính chỉnh hình hàm f Các kết xem xét trường hợp u € W ⑨ F ✶, với W tập tách điểm, xác định tính bị chặn, giới thiệu cơng trình Grosse-Erdmann [28], Arendt Nikolski [7] Trong thập niên gần đây, toán thu hút quan tâm nhiều nhóm nghiên cứu giới Năm 2003, Hải [32] mở rộng kết Arendt Nikolski trường hợp không gian Fréchet với bất biến tơpơ tuyến tính Năm 2013, Quang, Lâm Đại [75] xem xét toán cho trường hợp E, F không gian Fréchet-Schwartz hàm f xác định tập mở D E mà f bị chặn tập bị chặn Hàm phân hình tập mở C nhận giá trị không gian Banach nghiên cứu nhiều nhà toán học [52,92] Đến năm 1982, Khuê [48] nghiên cứu hàm phân hình đa tạp phức nhận giá trị không gian lồi địa phương đầy đủ theo dãy Cụ thể, Khuê chứng minh tập cực hàm phân hình giá trị lồi địa phương rỗng tập giải tích có đối chiều [48, Corollary 1.1] Cho E, F không gian lồi địa phương hàm f xác định tập mở, trù mật D0 tập mở D E, phân hình € D tồn lân cận Uz E hUz ⑤U ❳D , hUz , σUz hàm f có biểu diễn địa phương f ⑤Uz ❳D0 ✏ σUz z hàm chỉnh hình nhận giá trị tương ứng F C Vấn đề đặt tìm D, nhận giá trị F Khi đó, với z điều kiện không gian E, F để tồn hàm h € H ♣D, F q σ € H ♣Dq h cho f ✏ D Khi ta nói f có biểu diễn tồn cục Đa tạp phức mà σ hàm phân hình có biểu diễn tồn cục gọi có dạng Poincaré [46] Tiếp tục nghiên cứu vấn đề với hàm phân hình nhận giá trị lồi địa phương đầy đủ theo dãy, năm 1982, Khuê chứng minh hàm phân hình đa tạp Stein nhận giá trị không gian lồi địa phương đầy đủ theo dãy có biểu diễn tồn cục [48, Theorem 2.1] Chúng ta biết hàm phân hình yếu nhận giá trị CN khơng phân hình Vì vậy, nghiên cứu tính phân hình hàm phân hình yếu người ta cần ý đến tính chất không gian F Năm 1997, Đông Hải [23] chứng minh hàm phân hình yếu f : X Đ F, X tập mở Cn (tương ứng L-chính quy compact) F khơng gian Fréchet có nửa chuẩn liên tục (tương ứng có tính chất ♣DN q) phân hình Bài tốn thác triển chỉnh hình thác triển phân hình nghiên cứu nhiều nhà tốn học Grosse-Erdmann [28], Arendt Nikolski [7], Bonet, Frerick Jordá [13], Năm 1969, Bogdanowicz [11] chứng minh D1 ⑨ D2 ⑨ C miền F không gian phức lồi địa phương Hausdorff, đầy đủ theo dãy f : D1 ÑF hàm cho u ✆ f có thác triển chỉnh hình đến D2 với u € F ✶ f có thác triển chỉnh hình đến D2 Năm 2004, Grosse-Erdmann mở rộng kết hàm nhận giá trị Fréchet từ tập ⑨ Ω xác định hội tụ địa phương H ♣Ωq, với Ω miền C Trong trường hợp này, hàm f xác định M thác triển đến Ω u ✆ f có thác triển chỉnh hình đến Ω, với u € W , W tập tách điểm F ✶ f bị chặn M ❳ K với K tập compact tùy ý Ω M Trong [33], Hải, Khuê Nga giới thiệu phiên định lý Bogdanowicz hàm phân hình trường hợp hàm f xác định tập ⑨ G ⑨ Cn nhận giá trị không gian Banach F Nếu với u € F ✶ mà hàm u ✆ f có thác triển phân hình đến G f thác triển phân hình đến mở X G [33, Theorem 1] Ngồi ra, tác giả chứng tỏ kết F không gian lồi địa phương đầy đủ theo dãy thỏa mãn F ✶ không gian Baire [33, Remark 1] Tiếp tục nghiên cứu toán trường hợp hàm biến nhận giá trị lồi địa phương, năm 2005, Jordá [45] chứng minh hàm f : Ω1 Đ E, E khơng gian lồi địa phương đầy đủ địa phương với đối ngẫu mạnh siêu thùng, có thác triển phân hình đến Ω2 hàm u ✆ f có thác triển phân hình đến Ω2 với u € E ✶ [45, Theorem 12] Nhận xét rằng, khơng gian Baire siêu thùng [16, Observation 9.1.23] nên kết Jordá mở rộng [33, Remark 1] Sử dụng kết [45, Theorem 12], Jordá chứng minh hàm f có thác triển phân hình đến Ω2 trường hợp E không gian Fréchet tách biệt (distinguished) với Eβ✷ có chuẩn liên tục E không gian Schwartz thùng đầy đủ không chứa CN [45, Theorems 16,17 ] Bài toán xác định bao chỉnh hình, bao phân hình đặc trưng miền chỉnh hình, phân hình quan tâm nhiều nhà toán học Okuda Sakai [61], Siciak [83], Zeriahi [93], Năm 1910, Levi [53] chứng minh hàm f ♣z, wq phân hình D ✂ ♣∆r ③∆q, với D tập mở liên thông Cn , ∆r ✏ tλ € C : ⑤λ⑤ ➔ r✉, ∆1 ✏ ∆ với r → 1, có thác triển phân hình đến D ✂ ∆r giả thiết thêm f ♣z, q có thác triển phân hình đến ∆r với z € A, với A tập béo D Định lý Levi mở rộng Kneser [50] vào năm 1932 chứng minh đầy đủ Okuda Sakai [61] vào năm 1957 Định lý đóng vai trò quan trọng việc nghiên cứu đặc trưng miền phân hình Năm 1963, Fuks [27] chứng minh miền phân hình Cn giả lồi theo nghĩa Hartogs Năm 1967, Kajiwara Sakai [46] chứng minh bao phân hình miền đa tạp Stein tương ứng với họ hàm phân hình pτ -lồi theo nghĩa Docquier Grauert [22], đa tạp Stein [46, Lemma 5] Trong trường hợp vơ hạn chiều, Harita [35] có kết tương tự tích Descartes họ đếm miền mặt phẳng phức Aurich [8, 9] chứng minh bao phân hình khơng gian Banach phức giả lồi Cho Ω không gian tôpô liên thông ϕ đồng cấu địa phương từ Ω vào E Khi ta nói cặp ♣Ω, ϕq miền E Trong [36], Harita chứng minh bao phân hình miền ♣Ω, ϕq không gian lồi địa phương Hausdorff đầy đủ theo dãy C miền giả lồi Schottenloher [80,81] giải toán Levi miền khụng gian li a phng Lindelăof vi biu din Schauder Ta biết không gian Fréchet với sở Schauder có tính chất Levi Lập luận tương tự chứng minh Định lý 4.3.3 sử dụng Định lý 4.1.5 chúng tơi có kết Định lý 4.3.4 Cho E khơng gian Fréchet có chứa tập không đa cực B € K♣E q có sử Schauder tuyệt đối ♣D, pq miền Riemann E Cho F không ⑨ F ✶ tách điểm Khi tồn tập khơng đa r ⑩ B cho với hàm f € M W ♣D, F q thỏa mãn: cực B gian Fréchet không gian W (i) PQ :✏ ➈ Q € FE ; u€W ✞ ✞ P ♣u ✆ f ✆ p✁1 ✞Q q rời rạc maxu€W ow ♣u ✆ f ✆ p✁1 ✞Q q ➔ ✽ với r q③P, D ♣B r q :✏ ♣p♣D qq♣B rq (ii) f bị chặn tập bị chặn Dp ♣B p P ✏ ➈ Q€FE Q ♣ D thác triển phân hình đến bao chỉnh hình D Nhận xét 4.3.5 Bằng cách chứng minh tương tự Định lý 4.3.1 Định lý 4.3.4, chứng minh kết Hải Nam [34, Theorem 2.2], nói hàm phân hình miền Riemann D khơng gian lồi địa phương E có tính chất Levi với giá trị lồi địa phương đầy đủ dãy thác triển phân ♣ D Trong [34] hai tác giả đưa chứng hình đến bao chỉnh hình D minh khác 4.4 Thác triển hàm ♣☎ , W q-phân hình qua tập giải tích Định lý 4.4.1 Cho E khơng gian Fréchet hạch có chứa tập không đa € K♣E q D miền E S tập giải tích D với codim S ➙ Cho F không gian Fréchet W ⑨ F ✶ khơng gian tách điểm Khi hàm f € M W ♣D③S, F q thỏa mãn: cực B (i) PQ :✏ ➈ u€W ✞ ✞ P ♣u ✆ f ✞Q q rời rạc maxu€W ow ♣u ✆ f ✞Q q ➔ ✽ với Q € FE ; (ii) f bị chặn tập bị chặn D♣B q③S 91 có thác triển phân hình f♣ € M ♣D, F q € M W ♣D, F q Áp dụng Định lý 4.2.8 cho hàm fB :✏ D♣B q tồn f♣ € M ♣D, F q ✞ cho f♣✞D♣B q ✏ fB Ta cần kiểm tra f♣ ✏ f D③S Với a € P ta xét lân cận lồi Va a D cho Va ❳ P ✏ ta✉ Lập luận Định lý 4.2.8 ta có Chứng minh Theo Định lý 1.3.2, u ✆f € M ♣Dq với u ✞ f✞ € W, nghĩa f u ✆ ♣σaMq f q € H ♣Va ❳ D♣B qq với u € W (4.1) Vì tập Va ❳ D♣B q mở khác rỗng nên Va ❳ D♣B q tập không đa cực D♣B q Khi đó, D♣B q trù mật D nên Va ❳ D♣B q tập D Mà W tách điểm nên từ (4.1) ta có f♣ ✏ f Va Định lý chứng minh xong ✆ Lập luận phần trước, nhận kết sau Định lý 4.4.2 Cho E khơng gian Fréchet có chứa tập khơng đa cực € K♣E q có sở Schauder tuyệt đối D miền E S tập giải tích D với codim S ➙ Cho F không gian Fréchet W ⑨ F ✶ không r ⑩ B cho với hàm gian tách điểm Khi tồn tập không đa cực B f € M W ♣D③S, F q thỏa mãn B (i) PQ :✏ ➈ ✞ ✞ ✞ ✞ u€W P ♣u ✆ f Q q rời rạc maxu€W ow ♣u ✆ f Q q ➔ ✽ với Q € FE ; r q③S (ii) f bị chặn tập bị chặn D♣B có thác triển phân hình f♣ € M ♣D, F q Kết luận: Các kết đạt chương là: thác triển phân hình hàm ♣☎, W q-phân hình từ tập gầy, đưa số điều kiện đủ để hàm phân hình yếu giá trị Fréchet xác định bao tuyến tính tập khơng đa cực khơng gian Fréchet thác triển phân hình lên tồn miền D Đồng thời, chúng tơi nghiên cứu tính chất (BB)-Zorn không gian lồi địa phương dựa kết thác triển chỉnh hình từ tập trù mật 92 KẾT LUẬN Nội dung chủ yếu luận án nghiên cứu toán thác triển phân hình số lớp hàm phân hình yếu Luận án đóng góp kết sau đây: • Xây dựng phiên kết Hirschowitz hàm phân hình xác định miền Riemann không gian Banach khả ly nhận giá trị không gian Banach Kết đạt tập Zfm trù mật F ✶ (Định lý 1.3.1) • Khẳng định hàm phân hình vơ hạn chiều giá trị Fréchet D③S với codim S ➙ thác triển phân hình toàn D (các Bổ đề 1.3.2, 1.3.3) Sử dụng kết để số điều kiện để hàm f € M W ♣D③S, F q thác triển phân hình lên tồn D • Mở rộng định lý thác triển Levi hàm ♣☎, W q-phân hình giá trị véctơ Đây cơng cụ để nghiên cứu miền phân hình hàm phân hình yếu Xây dựng ví dụ nhận xét để khẳng định điều kiện bị chặn địa phương hay không gian đầy đủ theo dãy cần thiết (Mệnh đề 2.3.4 Ví dụ 2.3.2) • Thiết lập số kết tính chỉnh hình hàm ♣☎, W q-chỉnh hình tách biến tập chữ thập (Định lý 2.4.4) • Xây dựng phiên định lý Rothstein (Định lý 3.1.1), định lý Kazarian (Định lý 3.2.1) hàm ♣☎, W q-phân hình • Mở rộng kết Jarnicki Pflug [43] cho hàm ♣☎, W q-phân hình với kỳ dị đa cực (các Định lý 3.2.2, 3.3.2 3.3.3) • Nghiên cứu tính chất (BB)-Zorn khơng gian lồi địa phương (Định lý 4.1.5) cách sử dụng kết thác triển chỉnh hình từ tập trù mật (Định lý 4.1.3) • Nghiên cứu tốn thác triển phân hình hàm ♣☎, W q-phân hình từ tập gầy Mở rộng kết Grosse-Erdmann cho trường hợp hàm 93 nhiều biến kết Bonet, Jordá, Maestre cho trường hợp hàm không bị chặn địa phương (Định lý 4.2.6) Xây dựng số điều kiện đủ để hàm phân hình yếu giá trị Fréchet xác định bao tuyến tính tập khơng đa cực khơng gian Fréchet thác triển phân hình lên tồn miền D (Định lý 4.2.8) • Đưa số điều kiện đủ để hàm f € M W ♣D, F q thác triển phân hình đến bao phân hình miền Riemann D (các Định lý 4.3.1, 4.3.3, 4.3.4) Các kết đóng góp thực vào hướng nghiên cứu hàm phân hình yếu Chúng có ý nghĩa khoa học, mang tính thời quan tâm nhiều tác giả lĩnh vực nghiên cứu luận án Chúng dự định tương lai nghiên cứu vấn đề sau: • Khảo sát tốn định lý chữ thập trường hợp hàm xác định khơng gian Fréchet • Khảo sát tốn khơng gian có trọng hàm chỉnh hình • Áp dụng khảo sát số toán khác, chẳng hạn hội tụ Tauber dãy hàm chỉnh hình, phân hình giá trị véctơ 94 DANH MỤC CƠNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN 1) T T Quang and L V Lam (2016), “Levi extension theorems for meromorphic functions of weak type”, Complex Anal Oper Theory, 10, 1619-1654 DOI: 10.1007/s11785-016-0548-1 2) T T Quang and L V Lam (2016), “Cross theorems for separately ♣☎, W q- meromorphic functions”, Taiwan J Math., 20(5), 1009-1039 DOI: 10.11650 /tjm.20.2016.7363 3) T T Quang and L V Lam , “Meromorphic extension of ♣☎, W q-meromorphic functions”, (submitted) 95 Tài liệu tham khảo [1] O Alehyane and A Zeriahi (2001), “Une nouvelle version du théorème d’extension de Hartogs pour les applications séparément holomorphes entre espaces analytiques”, Ann Polon Math., 76, 245-278 [2] N V Anh (2005), “A general version of the Hartogs extension theorem for separately holomorphic mappings between complex analytic spaces”, Ann Sc Norm Super Pisa Cl Sci., Ser 5, 4(2), 219-254 [3] N V Anh (2008), “A unified approach to the theory of separately holomorphic mappings”, Ann Sc Norm Super Pisa Cl Sci., Ser 5, 7(2), 181-240 [4] N V Anh (2009), “Recent developments in the theory of separately holomorphic mappings”, Colloq Math., 117(2), 175-206 [5] N V.Anh (2010), “Conical plurisubharmonic measure and new cross theorems”, J Math Anal Appl., 365, 429-434 [6] N V Anh and P Pflug (2009), “Boundary cross theorem in dimension with singularities”, Indiana Univ Math J., 58(1), 393-414 [7] W Arendt and N Nikolski (2000), “Vector-valued holomorphic functions revisited”, Math Z., 234, 777-805 [8] V Aurich (1979), “Das meromorphe Levi Problem in unendlich-dimensionalen Banachrăaumen, Bay Akad Wiss., 5, 35-42 [9] V Aurich (1980), Das invariate Kontinuităatssaz fă ur Functionen, Man Math., 31, 149-166 96 [10] E Bedford and B A Taylor (1982), “A new capacity of plurisubharmonic functions”, Acta Math., 149, 1-40 [11] W M Bogdanowicz (1969), “Analytic continuation of holomorphic functions with values in a locally convex space”, Proc Amer Math Soc., 22, 660-666 [12] J Bonet (1987), “On the identity L♣E, F q ✏ LB ♣E, F q for pairs of locally convex spaces E and F ”, Proc Amer Math Soc 99, 249-255 [13] J Bonet, L Frerick and E Jordá (2007), “Extension of vector valued holomorphic and harmonic functions”, Studia Math., 183, 225-248 [14] J Bonet, E Jordá and M Maestre (2002), “Vector-valued meromorphic functions”, Arch Math., 79, 353-359 [15] J Borwein, Y Lucet and B Mordukhovich (2000), “Compactly EpiLipschitian convex sets and functions in normed spaces”, J Convex Analysis, 2, 375-393 [16] P P Carreras and J Bonet (1987), Barrelled Locally Convex Spaces, North-Holland Math Stud., 113 [17] E M Chirka (1989), Complex Analytic Sets, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht/Boston/London [18] S Dineen (1981), Complex Analysis in Locally Convex Spaces, NorthHolland Math Stud [19] S Dineen (1999), Complex Analysis on Infinite Dimensional Spaces, Springer, New York [20] S Dineen, R Meise and D Vogt (1984), “Characterization of nuclear Fréchet spaces in which every bounded set is polar”, Bull Soc Math France., 112, 41-68 [21] G Dloussky (1977), Domaines d’Holomorphie et Prolongement d’Applications Analytiques, Thèse, Universite de Nice 97 [22] F Docquier and H Grauert (1960), “Levisches Problem und Rungescher Sats fă ur Teilgeblete Steinscher Mannigfaltigkeiten, Math Ann., 140, 94123 [23] N V Dong and L M Hai (1977), “Meromorphic functions with values in a Fréchet space and linear topological invariant ♣DN q”, Vietnam J Math., 25(4), 319-330 [24] N Dunford (1938), “Uniformity in linear spaces”, Trans Amer Math Soc., 42(2), 305-356 [25] F Forstneri˘c (2011), Stein Manifolds and Holomorphic Mappings, Springer Berlin [26] L Frerick, E Jordá and J Wengenroth (2009), “Extension of vectorvalued functions”, Math Nachr., 282, 690-696 [27] B A Fuks (1963), Special Chapters of Theory of Analytic Functions of Several Complex Variables, Moscow [28] K.G Grosse-Erdmann (1992), The Borel-Okada Theorem Revisited, Habilitationsschrift Fernuniversităat Hagen, Hagen [29] K.G Grosse-Erdmann (2004), “A weak criterion for vector-valued holomorphy”, Math Proc Cambridge Philos Soc., 136, 399-411 [30] R Gunning and H Rossi (1966), Analytic Functions of Several Variables, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N S [31] A Grothendieck (1955), “Produits tensoriels topologiques et espaces nucléaires”, Mem Amer Math Soc., 16 [32] L M Hai (2002), “The property ♣LB✽ q and Frechet-valued holomorphic functions on compact sets”, Vietnam J Math., 31(3), 281-294 [33] L M Hai, N V Khue and N T Nga (1993), “Weak meromorphic functions”, Colloq Math., 64, 65-70 [34] L M Hai and T H Nam (1996), “Extending hypersurface and meromorphic functions”, Port Math , Vol 53, 2, 129-135 98 [35] M Harita (1975), “Continuation of meromorphic functions in a domain of the Cartesian product of denumerable family of complex plane”, Memoirs Fac Sci Kyushu Univ Ser A, 29, 229-233 [36] M Harita (1987), “Continuation of meromorphic functions in a locally convex space”, Memoirs Fac Sci Kyushu Univ Ser A, 41(2), 115-132 [37] F Hartogs (1906), “Zur Theorie der analytischen Funktionen mehrer unabhăangiger Verăanderlichen, insbesondereă uber die Darstellung derselben durch Reihen, welche nach Potenzen einer Verăanderlichen fortschreiten, Math Ann., 62, 1-88 [38] A Hirschowitz (1972), “Prolongement analytique en dimension infinie”, Ann Inst Fourier, 22, 255-292 [39] L Hăormander (1973), An Introduction to Complex Analysis in Several Variables, North-Holland Publ Company [40] M Jarnicki and P Pflug (2000), “Extension of Holomorphic Functions”, de Gruyter Expositions in Mathematics 34, Walter de Gruyter [41] M Jarnicki and P Pflug (2003), “An extension theorem for separately meromorphic functions with pluripolar singularities”, Kyushu J Math., (50), 291-302 [42] M Jarnicki and P Pflug (2003), “An extension theorem for separately holomorphic functions with pluripolar singularities”, Trans Amer Math Soc., 355, 1251-1267 [43] M Jarnicki and P Pflug (2011), Separately Analytic Functions, EMS, Druckhaus Thomas Mă untzer GmbH, Bad Langensalza, Germany [44] B Josefson (1974), A Counter-example in the Levi Problem, in “Proceedings in Infinite Dimensional Holomorphy”, Lecture Notes in Math., 364, Springer, 168-177 [45] E Jordá (2005), “Extension of vector-valued holomorphic and meromorphic functions”, Bull Belg Math Soc., (12), 5-21 99 [46] J Kajiwara and E Sakai (1967), “Generalization of Levi-Oka’s theorem concerning meromorphic functions”, Nagoya Math J., 29, 75-84 [47] B M Kazarian (1967), “Meromorphic extension for groups of variables”, Math Sbor., 125(167), 384-397 (in Russian) [48] N V Khue (1982), “On meromorphic functions with values in a locally convex space”, Stud Math Scand., 73, 201-211 [49] M Klimek (1991), Pluripotential Theory, Oxford Press [50] H Kneser (1932), Ein Satz u ăber die Meromorphiebereiche analytischer Functionen von mehreren Verăanderlichen, Math Ann., 106, 648-655 [51] N D Lan (2000), “LB ✽ - structure of space of germs of holomorphic functions ”, Publ Mat., 44, 177-192 [52] J Leiterer (1978), “Local and global equivalence of meromorphic operators functions I and II”, Math Nachr., 83, 7-29, 84, 145-170 [53] E E Levi (1910), “Studii sui singolari essenziali delle funzioni analitiche de due piˆ u variabili complesse”, Ann Mat Pura Appl., 3(17), 61-87 [54] M Miyagi (1986), “A linear expression of polynomials on locally convex spaces and holomorphic functions on ♣DF q-spaces”, Memoirs Fac Sci Kyushu Univ., 1, 1-18 [55] R Meise and D Vogt (1986), “Holomorphic functions of uniformly bounded type on nuclear sequence spaces”, Studia Math., 83, 117-166 [56] R Meise and D Vogt (1997), Introduction to Functional Analysis, Clarendon Press, Oxford [57] T V Nguyen and A Zeriahi (1991), “Une extension du théorème de Hartogs sur les fonstions séparétemant analytiques”, Analysis complexe multivariable, Récents Developpements, Alex Meril ed., Editor, Renne, 183-194 100 [58] T V Nguyen and A Zeriahi (1995), “Systémes doublement othogonaux de fonctions holomorphes et applications”, Banach Center Publ., 31, 281-297 [59] N Nikolski (1986), Treatise on the Shift Operator, Springer, Berlin [60] Ph Noverraz (1973), Pseudo-convexité, Convexité Polynomiale et Domaines d’Holomorphie en Dimension Infinie, North-Holland Math Stud., [61] H Okuda and E Sakai (1957), “On the continuation theorem of Levi and the radius of meromorphy”, Memoirs Fac Sci Kyushu Univ Ser A, 11, 66-73 [62] ă O Oktem (1998), “Extension of separately analytic functions and applications to range characterizations of the exponential Radon transform”, Ann Polon Math., 70, 195-213 [63] ă O Oktem (1999), Extending Separately Holomorphic Functionsin Cn m with Singularities, in: Extension of separately analytic functions and applications to mathematical tomography, thesis, Dept Math Stockholm Uni [64] A Pietsch (1971), Nuclear Locally Convex Spaces, Ergeb Math Grenzgeb Springer Verlag, 66 [65] P Pflug and N V Anh (2004), “A boundary cross theorem for separately holomorphic functions”, Ann Pol Math., 84, 237-271 [66] P Pflug and N V Anh (2007), “Boundary cross theorem in dimension 1”, Ann Polon Math., 90(2), 149-192 [67] P Pflug and N V Anh (2007), “Generalization of a theorem of Gonchar”, Ark Mat., 45, 105-122 [68] P Pflug and N V Anh (2007), “Envelope of holomorphy for boundary cross sets”, Arch Math (Basel), 89, 326-338 [69] P Pflug and N V Anh (2010), “Cross theorems with singularities”, J Geom Anal., 20, 193-218 DOI:10.1007/s12220-009-9103-x 101 [70] T T Quang and N V Dai (2014), “On Hartogs extension theorems for separately ♣☎, W q-holomorphic functions”, Int J Math., 25(12), 1450112 (15 pages) [71] T T Quang and N V Dai (2015), “On the holomorphic extension of vector valued functions”, Complex Anal Oper Theory, 9, 567-591 [72] T T Quang and L V Lam (2016), “Levi extension theorems for meromorphic functions of weak type”, Complex Anal Oper Theory, 10, 16191654 DOI: 10.1007/s11785-016-0548-1 [73] T T Quang and L V Lam (2016), “Cross theorems for separately ♣☎, W q-meromorphic functions”, Taiwan J Math., 20(5), 1009-1039 DOI: 10.11650/tjm.20.2016.7363 [74] T T Quang and L V Lam , “Meromorphic extension of ♣☎, W q- meromorphic functions”, (submitted) [75] T T Quang, L V Lam and N V Dai (2013), “On σ ♣☎, W q-holomorphic functions and theorems of Vitali-type”, Complex Anal Oper Theory, 7(1), 237-259 DOI: 10.1007/s11785-011-0149-y [76] J P Ramis (1970), Sous Ensembles Analytiques d‘une Variété Analytique Banachique Complexe, Erg der Math., Springer-Verlag, 53 [77] W Rothstein (1950), “Ein neuer Beueis des Hartogsschen Haupt Satzes und seine Ausdehming auf meromorphe Funktioneu”, Math Z., 53, 8495 [78] W Rudin (1987), Real and Complex Analysis, Mc Graw Hill, New York [79] E Sakai (1957), “A note on meromorphic functions in several complex variables”, Memoirs of the Faculty of Science, Kyushu Univ., 11, 75-80 [80] M Schottenloher (1974), Das Levi-Problem in unendlich-dimensionalen Răaumen mit Schauderzerlegung, Habilitationsschrift, Munich [81] M Schottenloher (1976), The Levi problem for domains spread over locally convex spaces with a finite dimensional Schauder decomposition”, Ann Inst Fourier, 26(4), 207- 237 102 [82] J Siciak (1970), “Separately analytic functions and envelopes of holomorphy of some lower dimensional subsets of Cn ”, Ann Polon Math., 22, 145-171 [83] J Siciak (1981), “Extremal plurisubharmonic functions in Cn ,” Ann Polon Math., 39, 175-211 [84] B Shiffman (1986), “Complete characterization of holomorphic chains of codimesion one”, Math Ann., 274, 233-256 [85] B Shiffman (1990), “Hartogs theorems for separately holomorphic mappings into complex spaces”, C R Acad Sci Paris, Ser I., 310, 89-94 [86] B Shiffman (1994), Separately meromorphic mappings into compact Kăahler manifolds, Contributions to complex analysis and analytic geometry, Vol E, 26, 243-250 [87] Y T Siu (1973), Techniques of Extension of Analytic Objects, Lecture Notes in Pur Appl Math., Marcel Dekker New York [88] D Vogt (1982), Eine Charakterisierung der Potenzeihenrăaume von endlichem type und ihre Folgerungen”, Manuscripta Math., 37, 269-301 [89] D Vogt (1982), Charakterisierung der Unterrăaume eines nuklearen Stabilen Potenzeihenrăaume von endlichem type, Studia Math., 71, 251-270 [90] D Vogt (1983), Frechetrăaume zwischen denen jede stetige linear Abbildung beschraukt ist”, J reine angew Math., 345, 182-200 [91] A Wilansky (1978), Modern Methods in Topological Vector Spaces, McGraw-Hill [92] M G Zajdenber, S.G Krej, P A Kusment and A A Pankov (1975), “Banach bundles and linear operators”, Uspekhi Mat Nauk 30, 101157 [93] A Zeriahi (1991), “Fonction de Green pluricomplexe pôle l’infini sur un espace de Stein parabolique”, Math Scand., 69, 89-126 103 Chỉ mục W,✽ ♣D, F q, 27 Hloc ow ♣f q, 82 Dfh , 19 đĩa H ♣D, F q, 13 đơn vị, 63 W Hloc ♣D, F q, 27 Banach, 33 H ✽ ♣Dq, 13 bất biến tơpơ tuyến tính H ✽ ♣D, F q, 13 ♣Ωr q, 46 ♣Ωr B q , 47 ♣LB ✽q, 46 ♣DN q , 46 W,✽ ♣D, F q, 26 Hs ♣T, F q, 18 Hs ♣X ③M, F q, 18 HB ♣D, F q, 13 I ♣f q, 14 M ♣D, F ), 14 M W ♣D, F q, 27 Ms ♣T ③M, F q, 19 bó, 83 M♣a✶j ,☎,a✷j q , 18 hàm H biểu diễn địa phương, 14 tồn cục, 14 ♣F, W q-chỉnh hình, 26 ♣F, W q-phân hình, 27 Mns F , 13 P ♣f q, 14 P SH ♣Ωq, 14 đa điều hòa dưới, 14 T , 17 cực trị tương đối, 15 T , 72 chỉnh hình, 12 U♣a✶j ,☎,a✷j q , 18 chỉnh hình Gâteaux, 12 X, 16 chỉnh hình tách biến, 18 Zfh , 19 phân hình, 14 ∆r ♣sq, 63 phân hình tách biến, 19 ∆N r ♣sq, 63 hội tụ mạnh, 82 ω ♣☎, K, Ωq, 15 không gian ♣ 17 X, Λ✽ ♣αq, 47 c♣T q, 72 Λr ♣αq, 47 ot ♣f q, 34 104 Br -đầy đủ, 83 tách điểm, 12 (BB)-Zorn, 77 xác định hội tụ địa phương, 84 đầy đủ địa phương, 11 xác định tính bị chặn, 12 đầy đủ theo dãy, 11 xác định tôpô, 12 Baire, 11 Fréchet hạch, 47 Fréchet tách biệt, Fréchet-Montel, 84 Schwartz, siêu thùng, 11 thùng, 11 miền Hartogs, 88 Riemann, 12 tồn tại, 19 tính chất (BB)-Zorn, 77 lân cận đếm được, 82 Levi, 89 triệt tiêu theo dãy, 82 xấp xỉ bị chặn, 47 Zorn, 76 tập đa cực, 15 đa cực tồn cục, 15 đa quy, 16 đa quy địa phương, 16 bất định, 14 cực, 14 chữ thập N -lá, 16 chữ thập N -lá tổng quát, 17 gần đóng, 83 gầy, 27 kỳ dị, 13 105