Đỗ Đình Quân THPT Nam Tiền Hải Phần i phơng trình , bất phơng trình , hệ phơng trình chứa n P , k n A , k n C Với P n là số các hoán vị của n phần tử : P n = n! = 1.2.3 n k n A là số các chỉnh hợp chập k của n phần tử : k n A = n ! (n k) ! ( 0 k n ) k n C là số các tổ hợp chập k của n phần tử : k n C = n ! k!(n k) ! ( 0 k n ) I/ Phơng pháp Tiến hành theo các bớc sau : B ớc 1 : Đặt điều kiện cho các biểu thức n P , k n A , k n C + Đối với : n P thì điều kiện : n là số nguyên dơng (n 1 , n N) + Đối với : k n A và k n C thì điều kiện : 0 k n k, n N B ớc 2 : Dùng các công thức sau để rút gọn : + P n = n! = 1.2.3 n + k n A = ( 0 k n ) + k n C = n ! k!(n k) ! ( 0 k n ) B ớc 3 : Sau khi rút gọn ta đa về phơng trình , bất phơng trình , hệ phơng trình đã biết cách giải . Giải và tìm nghiệm thích hợp với điều kiện . B ớc 4 : Kết luận Chú ý : Đối với hệ phơng trình ta có thể giải theo phơng pháp đặt ẩn phụ . II/ Bài tập Bài 1 : Giải các phơng trình sau : 1/ 3 1 n n C = 5C 6/ 2 2 3 1 2 n + 1 n 2n C - A - 4n = (A ) 2/ n n + 2 n + 1 14 14 14 C + C = 2C 7/ 1 2 3 2 x x x C + 6C 6C 9x 14x + = 3/ 3 2 2 n + 1 2 n C + n.P = 4A 8/ x x x 5 6 7 5 2 14 - = C C C 4/ 4 3 2 n -1 n -2 2 5 C C A 0 4 n = 9/ 2 2 x x x x P A + 72 = 6(A + 2P ) 5/ 2 n-2 2 3 3 n-3 n n n n n n C .C 2C .C C .C 100 + + = 10/ n + 1 n n + 4 n +3 C - C = 7(n + 3) Giải 1/ Điều kiện : n 3 , n N Pt đã cho ! ! 5 3!( 3)! ( 1)! n n n n = (n-2)(n-1) = 30 n 7 n 4(loai) = = Vậy nghiệm của phơng trình là : n = 7 2/ Đỗ Đình Quân THPT Nam Tiền Hải Điều kiện : 14 2n n N + n 12 , n N . Sau khi biến đổi , ta đợc phơng trình : n 2 12n + 32 = 0 n 4 n 8 = = (thoả mãn) 3/ Điều kiện : n 2 , n N Sau khi biến đổi , ta đợc phơng trình : n 2 15n = 0 n 0 ( ) n 3 loai= = 4/ Điều kiện : n 5 , n N Sau khi biến đổi , ta đợc phơng trình : n 2 9n 22 = 0 n 2 ( ) n 11 loai= = 5/ Điều kiện : n 3 , n N Sau khi biến đổi , ta đợc phơng trình : n 3 n 60 = 0 (n- 4)(n 2 + 4n + 15) = 0 n = 4 6/ Điều kiện : n 2 , n N Sau khi biến đổi , ta đợc phơng trình : 8n 3 + 9n 2 3n = 0 2 n 0 ( ) 8n 9 3 0 loai n = + = (Vô nghiệm) . 7/ Điều kiện : x 3 , n N Sau khi biến đổi , ta đợc phơng trình : x(x 2 9x + 14) = 0 x = 0 ; x = 7 ; x = 2 x = 7 8/ Điều kiện : 0 x 5 , x N Sau khi biến đổi , ta đợc phơng trình : x 2 14x + 33 = 0 11 ( ) 3 x loai x = = x=3 9/ Điều kiện : x 2 , x N Sau khi biến đổi , ta đợc phơng trình : (x! - 6)(x 2 x 12) = 0 2 ! 6 12 0 x x x = = x = 3 , x = 4 10/ Điều kiện : n N Sau khi biến đổi , ta đợc nghiệm của phơng trình : n = 12 Bài 2 : Giải các phơng trình sau : 1/ x x x 4 5 6 1 1 1 - = C C C 3/ 4 3 4 1 24 23 n n n A A C + = Đỗ Đình Quân THPT Nam Tiền Hải 2/ 1 x-2 x-3 x-1 2 x x x x C + 6C 6C 46C 14x + = 4/ 2 2 x x x x P A + 180 = 6(A + 5P ) 5/ 3 x-2 x x+1 x+1 x P + 60 = 2(3C + 5P )C Đáp số 1/ x = 2 3/ n = 5 2/ x = 5 ; x = 9 4/ x = 3 ; x = 6 5/ x = 3 ; x = 4 Bài 3 : Giải các bất phơng trình sau : 1/ 1 3 x x +1 72C - A 72 2/ 1 2 3 2 x x x C + 6C 6C 9x 14x + Giải 1/ Điều kiện : x 2 , x N (*) Biến đổi bpt đã cho x 2 + x - 72 0 -9 x 8 , giao với (*) đợc : 2 8x x N 2/ Điều kiện : x 3 , x N (*) Biến đổi bpt đã cho x 2 - 9x + 14 0 2 x 7 , giao với (*) đợc : 3 7x x N Bài 4 : Giải các bất phơng trình sau : 1/ x x x 5 6 7 5 2 14 - C C C 2/ 2 2 3 2x x 6 C - A 10 x C x + 3/ 2 3 2 x+2 x +2 5 C + C 2 x A> 4/ 4 3 2 x-1 x -1 2 5 C - C 0 4 x A Đáp số 1/ 3 5x x N 2/ 3 4x x N x = 3 ; x = 4 3/ 2x x N 4/ 5 11x x N Bài 5 : Giải các hệ phơng trình sau : 1/ 2 5 90 5 2 80 y y x x y y x x A C A C + = = 2/ y + 1 y y - 1 x + 1 x +1 x +1 C : C : C 5 : 5 : 3= Giải 1/ Điều kiện : 0 < y x , x ; y N (*) Đặt : u = y x A ; v = y x C . Ta đợc : u = 20 ; v = 10 Ta có : u = v.y! y! = 2 y = 2 x 2 x 20 = 0 x = 5 ; x = - 4 (loại) Vậy nghiệm của hệ pt là : 5 2 x y = = 2/ Đỗ Đình Quân THPT Nam Tiền Hải Điều kiện : 0 y x , x ; y N (*) Đa về hệ pt sau : y + 1 x + 1 y x + 1 y x + 1 y - 1 x + 1 C 5 C 5 C 5 C 3 = = 2 0 3 8 6 x y x y = = 6 3 x y = = (thoả mãn) Bài 6 : Giải các hệ phơng trình sau : 1/ 3 2 80 5 6 40 y y x x y y x x A C A C + = = 2/ 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) 36 3 54 y y x x x x y y x x x x A C C A A C C A + + = + + = 3/ y + 1 y y - 1 x + 1 x x -1 C : C : C 6 : 5 : 4= Đáp số 1/ x = 5 , y = 2 2/ Gợi ý : + ĐK : x 2 ; x y ; x , y N + u = y x A ; v = 2 x C + Nghiệm : x = 4 ; y = 2 3/ x = 5 ; y = 4 phần II Nhị thức newton và các dạng toán liên quan I/ Lý thuyết chung 1/ Dạng khai triển : (a + b) n = 0 n 1 n-1 k n-k k n-1 n-1 n n n n n n n C .a + C .a .b + .+ C .a .b + . + C .a.b + C .b 2/ Một số nhận xét trong khai triển nhị thức Newton */ Trong khai triển có n + 1 số hạng . */ Trong khai triển số mũ của a giảm dần từ n xuống 0 , số mũ của b tăng dần từ 0 đến n nhng luôn đảm bảo tổng số mũ của a và b trong mỗi số hạng luôn bằng n . */ Số hạng tổng quát (số hạng đứng thứ k + 1 trong khai triển ) : ( 0 k n ) */ Số hạng đứng giữa trong khai triển +/ Nếu n lẻ thì số hạng đứng thứ : n + 1 2 và n + 1 2 + 1 trong khai triển là hai số hạng đứng giữa . +/ Nếu n chẵn thì số hạng đứng thứ n 2 + 1 trong khai triển là số hạng đứng giữa */ Tổng các hệ số trong khai triển (ax + b) n là : (a + b) n với a , b R . (Cho x = 1) 3/ Một số khai triển đặc biệt của nhị thức Newton * Dạng 1 : (1 + x) n = 0 1 k k n-1 n-1 n n n n n n n C + C .x + .+ C .x + . + C .x + C .x k n k k k + 1 n U = C .a .b Đỗ Đình Quân THPT Nam Tiền Hải * Dạng 2 : (1 - x) n = 0 1 k k k n-1 n-1 n-1 n n n n n n n n C - C .x + .+(-1) .C .x + . + (-1) .C .x + (-1) .C .x Thay x = 1 ; x = - 1 vào Dạng 1 , ta đợc : + ) 0 1 k n-1 n n n n n n C + C + .+ C + . + C + C = 2 n + ) 0 1 k k n-1 n-1 n n n n n n n C - C + .+(-1) .C + . + (-1) .C + (-1) .C = 0 II/ Các dạng toán hay gặp Xác định hệ số hoặc số hạng trong một khai triển A- Phơng pháp */ Bớc 1 : Viết số hạng thứ k + 1 trong khai triển : */ Bớc 2 : Tìm hệ số của x m ta làm nh sau : +/ Nhóm x vào và cho số mũ của x bằng m Tìm đuợc k +/ Thay k vào ta đợc hệ số */ Bớc 3 : Tìm số hạng thứ m trong khai triển , ta làm nh sau : +/ Ta cho k + 1 = m k = m 1 +/ Tìm đợc k ta tìm đợc số hạng thứ m . Chú ý : Để tìm số hạng không chứa x (Số hạng độc lập với x ) trong khai triển ta làm nh trên và cho số mũ của x bằng 0 Tìm đợc k B - Bài tập áp dụng 1/ Tìm hệ số của x 7 trong khai triển nhị thức : (1 + x) 19 (k = 7) 8/Tìm hệ số của x 8 trong khai triển nhị thức n 5 3 1 + x x ữ biết n+1 n+1 n+4 n+3 C - C = 7(n +3) (n = 12 ; k = 8) 2/ Tìm số hạng không chứa x trong khai triển 19 1 + 2 x x ữ (k = 10) 9/Cho khai triển n 3 2 1 + x x ữ . Cho biết tổng ba hệ số đầu tiên của khai triển bằng 79 . Tìm số hạng chứa x 4 (n = 12 , k = 4) 3/ Tìm số hạng chứa x 2 trong khai triển 19 3 2 3 2 + x x ữ ( k = 6) 10/Tìm số hạng đứng giữa trong khai triển 10 3 5 1 + x x ữ (số hạng đứng thứ 6) 4/ Tìm số hạng không chứa x trong khai triển n 3 4 1 + x x ữ biết 3 1 n n C = 5C (n = 7 ; k = 4) 11/ Cho khai triển (x+1)(x+2) 15 = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + + a 16 x 16 Tìm hệ số a 10 (a 10 = 9 6 10 5 15 15 C .2 +C .2 ) 5/ Tìm các số hạng chứa x 3 trong khai triển (1+ x + x 2 ) 10 12/ Cho khai triển (x+2) 4 (x+1) 5 = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + + a 9 x 9 Tìm hệ số a 6 Giải 1/ k n k k k + 1 n U = C .a .b Đỗ Đình Quân THPT Nam Tiền Hải Số hạng thứ k + 1 trong khai triển : U k+1 = k 19 C .x k ( 0 k 19) Hệ số của x 7 ứng với k = 7 Hệ số của x 7 là 7 19 C 2/ Số hạng thứ k + 1 trong khai triển : U k+1 = 2 k . k 15 C . 3k - 15 2 x (0 k 15) Số hạng không chứa x ứng với : 3k 15 0 2 = k = 10 Vậy hệ số cần tìm là : 10 15 C .2 10 5/ Viết lại : (1+ x + x 2 ) 10 = [ 1+(x + x 2 ) ] 10 = [ 1 + x.(1 + x) ] 10 Số hạng thứ k + 1 trong khai triển : U k+1 = k 10 C .x k (1 + x) k ( 0 k 10) Ta lại có : (1 + x) k = k m m k m = 0 C .x (0 m k ) U k+1 = k 10 C . k m m + k k m = 0 C .x Theo giả thiết , ta có : m + k = 3 , m , k Z và 0 m k . Do đó , ta chọn : + m = 0 , k = 3 + m = 1 , k = 2 Vậy hệ số của x 3 trong khai triển là : 3 10 C + 2 10 C . 1 2 C 12/ Viết (x+2) 4 (x+1) 5 = 4 5 k k 4 - k m m 4 5 k = 0 m = 0 C .x .2 C .x = 4 5 k m 4 - k m + k 4 5 k = 0 m = 0 C .C .2 .x Ta thấy hệ số a 6 là hệ số của x 6 , do đó ta có : 6 0 4 0 5 , m k k m m k N + = Chọn : m 2 3 4 5 k 4 3 2 1 Vậy hệ số phải tìm là : a 6 = 4 4 C . 2 5 C .2 0 + 3 4 C . 3 5 C .2 1 + 2 4 C . 4 5 C .2 2 + 1 4 C . 5 5 C .2 3 = 242 A - Phơng pháp 1. Dạng 1 (ax + b) n = 0 n C .a n .x n + 1 n C .a n-1 .b.x n-1 + + k n C .a n-k .b k .x n-k + + n n C .b n Tổng các hệ số trong khai triển là : S = 0 n C .a n + 1 n C .a n-1 .b + + k n C .a n-k .b k + + n n C tính tổng các hệ số trong một khai triển Đỗ Đình Quân THPT Nam Tiền Hải Cho x = 1 , ta đợc S = (a + b) n 2. Dạng 2 (1 + x) n = 0 1 k k n-1 n-1 n n n n n n n C + C .x + .+ C .x + . + C .x + C .x S = 0 1 k n-1 n n n n n n C + C + .+ C + . + C + C = 2 n ( Cho x = 1) (1 - x) n = 0 1 k k k n-1 n-1 n-1 n n n n n n n n C - C .x + .+(-1) .C .x + . + (-1) .C .x + (-1) .C .x S = 0 1 k k n-1 n-1 n n n n n n n C - C + .+(-1) .C + . + (-1) .C + (-1) .C = 0 ( Cho x = 1) * Chú ý : Khi tính tổng các hệ số trong khai triển ta cho tất cả các ẩn bằng 1 . B - Bài tập 1/ Tính tổng các hệ số trong các khai triển sau : a/ (x + 2) 10 c/ (2x + 3y) 2009 e/ (1 2x) 24 b/ (2x 5) 15 d/ (x - 1 x ) 5 f/ (x + 3x 2 ) 19 Đáp số a/ S = 3 10 c/ S = 5 2009 e/ S = 1 b/ S = - 3 15 d/ S = 0 f/ S = 4 19 2/ Cho khai triển : (x+1)(x+2) 15 = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + + a 16 x 16 Tính tổng : S = a 0 + a 1 + a 2 + + a 16 3/ Cho khai triển : (x+2) 4 (x+1) 5 = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + + a 9 x 9 Tính tổng : S = a 0 + a 1 + a 2 + + a 9 Đáp số 2/ S = 2.3 15 3/ S = 3 4 .2 5 A - Lý thuyết Dạng 1 : Chọn khai triển (x + b) n , sau đó chọn x = a 1/Nhận dạng Mỗi số hạng có dạng k k n - k n C a b hoặc k n - k k n C a b Chọn khai triển (x + b) n , sau đó chọn x = a . Đặc biệt khi mỗi số hạng có dạng k k n C a hoặc k n - k n C b Chọn khai triển (x + 1) n sau đó chọn x = a . 2/Bài tập Bài 1 : 1/ Tính tổng 0 0 1 1 2 2 n n n n n n S = 2 C + 2 C + 2 C + .+ 2 C Giải Chọn khai triển (1 + x) n , ta có : (1 + x) n = 0 0 1 1 2 2 n n n n n n C .x + C .x + C .x + .+ C .x Với x = 2 S = (1 + 2) n = 3 n 2/ Tính tổng 0 0 1 1 2 2 2n 2n 2n 2n 2n 2n S = 5 C + 5 C + 5 C + .+ 5 C Chọn khai triển (x+1) 2n với x = 5 . 3/ Tính tổng 100 0 99 1 98 2 1 99 0 100 100 100 100 100 100 S = 2 C - 2 C + 2 C - . - 2 C 2 C+ Chọn khai triển (x+1) 100 với x = - 2 . tính tổng và chứng minh đẳng thức tổ hợp Đỗ Đình Quân THPT Nam Tiền Hải 4/ Tính tổng 0 2 4 2n 2n 2n 2n 2n S = C + C + C + .+ C Chọn khai triển (x+1) 2n và (x-1) 2n với x = 1 . 5/ Tính tổng 1 0 3 3 5 5 99 99 100 100 100 100 S = 3 C + 3 C + 3 C + .+ 3 C Chọn khai triển (x+1) n và (x-1) n với x = 3 . 6/ Tính tổng 0 0 2 2 4 4 78 78 79 79 79 79 S = 2 C + 2 C + 2 C + .+ 2 C Chọn khai triển (x+1) 79 và (x-1) 79 với x = 2 . Bài 2 : Chứng minh rằng 1/ 0 n 0 1 n-1 1 2 n-2 2 n 0 n n n n n n 2 3 C + 2 3 C + 2 3 C + .+ 2 3 C 5= Chọn khai triển (x + 3) n , sau đó chọn x = 2 . 2/ n 0 0 1 1 2 2 0 0 n n n n n n - 1 n - 2 0 2 C 2 C 2 C 2 C 7 + + + .+ = 3 3 3 3 3 ữ Chọn khai triển (x + 1 3 ) n , sau đó chọn x = 2 . 3/ S = 1 2 3 n n n n n n C + 7C + 25C + .+ (3 -2)C là một số chính phơng S = (2 n - 1) 2 Dạng 2 : Dùng đạo hàm cấp 1 , cấp 2 1/ Nhận dạng Khi trong tng có một thành phần hệ số tăng đều hoặc giảm đều thì ta dùng đạo hàm cấp một . Khi trong tổng có một thành phần hệ số là tích của hai số nguyên dơng liên tiếp thì ta dùng đạo hàm cấp hai ; hoặc tổng đó mất o n C hoặc 1 n C 2/ Phơng pháp B ớc 1 : Chọn khai triển (x + b) n khi mỗi số hạng trong tổng có dạng k k - 1 n - k n k.C .a .b B ớc 2 : Lờy đạo hàm cấp 1 , cấp 2 . B ớc 3 : Chọn x = a Kết quả 3/ Bài tập Bài 1 : Tính các tổng sau : 1/ 0 1 1 2 2 3 n-1 n n n n n S = 1.2 .C + 2.2 .C + 3.2 .C + . + n.2 .C Giải Chọn khai triển (x+1) n , ta đợc : (1 + x) n = 0 0 1 1 2 2 n n n n n n C .x + C .x + C .x + .+ C .x Lấy đạo hàm cấp 1 hai vế , ta đợc : n(1 + x) n 1 = 0 + 1.x 0 . 1 n C + 2.x 1 . 2 n C + + n.x n 1 . n n C Chọn x = 2 , ta đợc : S = n(1 + 2) n 1 = n.3 n - 1 2/ 0 n 1 n-1 2 n-2 n-1 1 n n n n S = n.3 .C + (n-1).3 .C + (n-2).3 .C + . + 1.3 .C Chọn khai triển (x+3) n , lấy đạo hàm cấp 1 và chọn x = 1 . 3/ 2 3 4 n n n n n S = 1.2.C + 2.3.C + 3.4.C + . + n.(n-1).C Giải Chọn khai triển (1 + x) n , ta đợc : (1 + x) n = 0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 n n n n n n n n C .x + C .x + C .x + C .x + C .x + .+ C .x Lấy đạo hàm cấp 1 hai vế , ta đợc : Đỗ Đình Quân THPT Nam Tiền Hải n(1 + x) n 1 = 0 + 1.x 0 . 1 n C + 2.x 1 . 2 n C + 3.x 2 . 3 n C + 4.x 3 . 4 n C + + n.x n 1 . n n C (*) Lấy đạo hàm cấp 2 cả hai vế của (*) , ta đợc : n.(n 1).(1 + x) n 1 = 0 + 1.2.x 0 . 2 n C + 2.3.x 1 . 3 n C + 3.4.x 2 . 4 n C + + (n 1)n.x n 2 . n n C Chọn x = 1 , ta đợc : S = (n 1).n.2 n - 1 4/ 0 2 1 3 2 4 198 200 200 200 200 200 S = 2.1.3 .C - 3.2.3 .C + 4.3.3 .C + . + 200.1993 .C Chọn khai triển (x+1) 200 , lấy đạo hàm cấp 1; cấp 2 và chọn x = - 3 . 5/ 2 1 2 2 2 3 2 n n n n n S = 1 .C + 2 .C + 3 .C + . + n .C Gợi ý : Phân tích 1 2 = 1.1 ; 2 2 = 2.2 = 2.(1+1) ; 3 2 = 3.3 = 3(1 + 2) ; . . . sau đó phân tích S = S 1 + S 2 6/ 1 2 3 100 100 100 100 100 S = 2.C + 3.C + 4.C + . + 101.C Gợi ý : Phân tích 2 = 1 + 1 ; 3 = 1 + 2 ; ; 101 = 1 + 100 , sau đó phân tích S = S 1 + S 2 Bài 2 : Chứng minh các đẳng thức sau : 1/ 1 2 3 n n-1 n n n n 1.C + 2.C + 3.C + . + n.C n.2= 2/ 1 2 3 4 5 6 99 100 99 200 200 200 100 2.2 .C +4.2 .C + 6.2 .C + . + 100.2 .C 50(3 1)= + Gợi ý : Chọn khai triển (x+1) 100 , lấy đạo hàm cấp 1 , thay x = 2 , x = - 2 . Lấy (1) (2) ta đợc kết quả . Bài 3 : 1/ Tìm số nguyên dơng n thoả mãn : 0 1 1 2 2 3 2n 2n+1 2n+1 2n+1 2n+1 2n+1 1.2 .C - 2.2 .C + 3.2 .C - . + (2n+1).2 .C 2005= Gợi ý : Chọn khai triển (x+1) 2n+1 , lấy đạo hàm cấp 1và chọn x = - 2 . (n = 1002) 2/ Tìm số nguyên dơng n thoả mãn : 0 1 1 2 2 3 2n-1 2n 2n 2n 2n 2n 2006 + 1.2 .C - 2.2 .C + 3.2 .C - . + 2n.2 .C 0= Gợi ý : Chọn khai triển (x+1) 2n , lấy đạo hàm cấp 1và chọn x = - 2 . (n = 1003) Phần III Các quy tắc đếm cơ bản Hoán vị Chỉnh hợp Tổ hợp I Các quy tắc đếm cơ bản 1/ Quy tắc cộng Một công việc A đợc chia ra k công việc A 1 , A 2 , , A k để thực hiện ; mỗi công việc độc lập không liên quan đến nhau . Trong đó : + Công việc A 1 có n 1 cách thực hiện + Công việc A 2 có n 2 cách thực hiện + Công việc A 3 có n 3 cách thực hiện + Công việc A k có n k cách thực hiện . Khi đó số cách thực hiện công việc A là : (n 1 + n 2 + + n k ) cách . 2/ Quy tắc nhân Một công việc A đợc thực hiện lần lợt qua k giai đoạn A 1 , A 2 , , A k . Trong đó : + Giai đoạn A 1 có n 1 cách thực hiện + Giai đoạn A 2 có n 2 cách thực hiện + Giai đoạn A 3 có n 3 cách thực hiện + Giai đoạn A k có n k cách thực hiện . Với mỗi cách thực hiện ở giai đoạn này không trùng với bất cứ cách thực hiện nào ở giai đoạn còn lại . Khi đó số cách thực hiện công việc A là : (n 1 . n 2 n k ) cách . Đỗ Đình Quân THPT Nam Tiền Hải Chú ý : Với bài toán phải chia ra các trờng hợp thì sau khi xét các trờng hợp ta phải dùng quy tắc cộng . II Hoán vị 1/ Khái niệm : Cho một tập hợp X gồm n phần tử ( n 1) . Khi đó mỗi cách sắp thứ tự n phần tử của X gọi là một hoán vị của n phần tử . 2/ Công thức tính số các hoán vị của n phần tử P n = n! = 1.2.3 n III Chỉnh hợp 1/ Khái niệm : Cho một tập hợp X gồm n phần tử ( n 1) . Khi đó một chỉnh hợp chập k của n phần tử (0 k n , k N) là một bộ sắp thứ tự gồm k phần tử khác nhau lấy từ n phần tử của X . 2/ Công thức tính số các chỉnh hợp chập k của n phần tử k n A = n ! (n k) ! ( 0 k n ) Chú ý : Hoán vị là một chỉnh hợp chập n của n phần tử khác nhau P n = n n A = n ! (n n) ! = n ! IV tổ hợp 1/ Khái niệm : Cho một tập hợp X gồm n phần tử ( n 1) . Khi đó một tổ hợp chập k của n phần tử (0 k n , k N) là một tập con gồm k phần tử khác nhau lấy từ n phần tử của X . 2/ Công thức tính số các tổ hợp chập k của n phần tử k n C = n ! k!(n k) ! ( 0 k n ) 3/ Các tính chất của tổ hợp k n C = n - k n C k n C + k + 1 n C = k + 1 n + 1 C 4/ Chú ý : Phân biệt hoán vị , chỉnh hợp , tổ hợp Hoán vị là sắp thứ tự toàn bộ các phần tử của tập X . Chỉnh hợp là lấy ra một vài phần tử của X và sắp thứ tự . Tổ hợp là chỉ lấy ra một vài phần tử của X không sắp thứ tự . Dạng 1 : Bài toán tập hợp số A . Một số chú ý 1/ Số chẵn : Chữ số tận cùng là : 0 ; 2 ; 4 ; 6 ; 8 2/ Số lẻ : Chữ số tận cùng là : 1 ; 3 ; 5 ; 7 ; 9 3/ Dấu hiệu chia hết cho 3 : Tổng các chữ số chia hết cho 3 . 4/ Dấu hiệu chia hết cho 9 : Tổng các chữ số chia hết cho 9 . 5/ Dấu hiệu chia hết cho 5 : Số tận cùng là 0 ; 5 . 6/ Dấu hiệu chia hết cho 6 : Số đó đồng thời chia hết cho 2 và 3 . 7/ Dấu hiệu chia hết cho 4 : Hai số tận cùng chia hết cho 4 . 8/ Dấu hiệu chia hết cho 8 : Ba số tận cùng chia hết cho 8 . 9/ Dấu hiệu chia hết cho 10 : Số tận cùng là 0 . [...]... thể liệt kê nh sau : = {( 1,1 ,1 ) ; ( 1,1 ,2 ) ; ( 1,1 ,3 ) ; ( 1,2 ,1 ) , ( 1,2 ,2 ) , ( 1,2 ,3 ) , ( 1,3 ,1 ) , ( 1,3 ,2 ) , ( 1,3 ,3 ) , , ( 3,3 ,3 )} 1/ Gọi A là biến cố : Ba ngời vào cùng một cửa hàng Số kết quả thuận lợi cho A là : A = 3 ( Có 3 khả năng là ( 1,1 ,1 ) ; ( 2,2 ,2 ) ; ( 3,3 ,3 ) ) P(A) = 3 1 = 27 9 2/ Gọi B là biến cố : Hai ngời khách cùng vào một cửa hàng , ngời kia vào cửa hàng kia Số kết quả thuận lợi... {( 1,1 ) ; ( 1,2 ) ; ( 1,3 ) ; ( 1,4 ) ; ( 1,5 ) ; ( 1,6 ) ; ( 2,1 ) ; ( 2,2 ) ; ( 2,3 ) ; ( 2,4 ) ; ( 2,5 ) ; ( 3,1 ) ; ( 3,2 ) ; ( 3,3 ) ; ( 3,4 ) ; ( 4,1 ) ; ( 4,2 ) ; ( 4,3 ) ; ( 4,4 ) ; ( 5,1 ) ; ( 5,2 )} Số kết quả thuận lợi cho A là : A = 21 Xác suất của A là : P(A) = 21 7 = 36 12 b/ Gọi B là biến cố : Có đúng một con súc sắc xuất hiện mặt 6 chấm Đỗ Đình Quân THPT Nam Tiền Hải Tập mô tả B là : B = {( 6,1 ) ; ( 6,2 ) ; ( 6,3 ) ; ( 6,4 )... không đứng cạnh nhau Bài 8 : Từ 10 chữ số 0,1 , 2,3 , 4,5 , 6,7 , 8,9 có thể lập đợc bao nhiêu số có 6 chữ số đôi một khác nhau sao cho trong các số đó luôn có mặt chữ số 0 và 1 Bài 9 : Tìm tất cả các số tự nhiên lẻ gồm 5 chữ số khác nhau và lớn hơn 70.000 Đáp số Các chữ số lấy là : 0,1 , 2,3 , 4,5 , 6,7 , 8,9 Có 4386 số thoả mãn Bài 10 : Từ các chữ số 1,2 , 3,4 , 5,6 ,7 có thể lập đợc bao nhiêu số có 3 chữ số khác... 0,1 , 2,3 , 4,5 ,6 có thể lập đợc bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau trong đó luôn có mặt chữ số 5 Bài 5 : Có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau tạo thành từ các chữ số 1,2 , 3,4 , 5,6 mà các số đó nhỏ hơn 345 Bài 6 : Cho các chữ số 0,1 , 2,3 , 4,5 Có thể lập đợc bao nhiêu số gồm 8 chữ số trong đó chữ số 5 lặp lại 3 lần , các chữ số còn lại có mặt đúng 1 lần Bài 7 : Từ các chữ số 1,2 , 3,4 , 5,6 thiết... ( 6,5 ) ; ( 1,6 ) ; ( 2,6 ) ; ( 3,6 ) ; ( 4,6 ) ; ( 5,6 ) } Số kết quả thuận lợi cho B là : B = 10 Xác suất của B là : P(B) = 10 5 = 36 18 c/ Gọi C là biến cố : Có ít nhất một con súc sắc xuất hiện mặt 6 chấm Có hai khả nẳng xảy ra : + Có một con xuất hiện mặt 6 chấm + Cả hai con xuất hiện mặt 6 chấm Tập mô tả C là : C = {( 6,1 ) ; ( 6,2 ) ; ( 6,3 ) ; ( 6,4 ) ; ( 6,5 ) ; ( 1,6 ) ; ( 2,6 ) ; ( 3,6 ) ; ( 4,6 ) ; ( 5,6 )... dạng : N = a1a 2a 3a 4 a n Khi chọn các chữ số a1 , a2 , , an ta chọn những chữ số bị ràng buộc trớc Ví dụ + a1 phải khác 0 + Nếu N lẻ thì an phải chọn các số lẻ 1 ; 3 ; 5 ; 7 ; 9 B Bài tập Bài 1 : Cho tập A có các phần tử 1,2 , 3,4 , 5,6 ,7 Có bao nhiêu số có năm chữ số đôi một khác nhau đợc lấy ra từ tập A Bài 2 : Cho tập A có các phần tử 0,1 , 2,3 , 4,5 , 6,7 Có bao nhiêu số có năm chữ số đôi một khác nhau... Trờng hợp 1 : ( 1,1 ,2 ) tức là 2 ngời vào cửa hàng 1 , một ngời vào cửa hàng 2 Có 3 cách chọn trờng hợp này + A1 , A2 vào của hàng 1 và A3 vào cửa hàng 2 + A1 , A3 vào của hàng 1 và A2 vào cửa hàng 2 + A2 , A3 vào của hàng 1 và A1 vào cửa hàng 2 Hoàn to n tơng tự : Trờng hợp 2 : ( 1,1 ,3 ) có 3 cách Trờng hợp 3 : ( 2,2 ,1 ) có 3 cách Trờng hợp 4 : ( 2,2 ,3 ) có 3 cách Trờng hợp 5 : ( 3,3 ,1 ) có 3 cách ... lớn hơn 300 và nhỏ hơn 600 Đáp số a1 chọn 3 , 4 , 5 Có 90 số thoả mãn Bài 11 : Từ các số 0,1 , 2,3 , 4,5 có thể lập đợc bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau đôi một thoả mãn : 1/ Không bắt đầu bằng 123 2/ Không tận cùng bằng 4 Đáp số 1/ (Dùng phơng pháp loại trừ ) Có 594 số thoả mãn bài to n 2/ a5 4 Có 504 số thoả mãn bài to n Bài 12 : Từ các số 0,1 , 2,3 , 4,5 có thể lập đợc bao nhiêu số có 3 chữ số... số chẵn Tập mô tả A là : A = {( 2,2 ) ; ( 2,4 ) ; ( 4,2 ) ; ( 2,6 ) ; ( 6,2 ) ; ( 4,6 ) ; ( 6,4 ) ; ( 6,6 ) } Số kết quả thuận lợi cho A là : A = 8 Đỗ Đình Quân THPT Nam Tiền Hải Xác suất của A là : P(A) = 8 2 = 36 9 b/ Gọi B là biến cố : Tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con súc sắc là một số 7 Tập mô tả A là : A = {( 1,6 ) ; ( 6,1 ) ; ( 2,5 ) ; ( 5,2 ) ; ( 3,4 ) ; ( 4,3 ) } Số kết quả thuận lợi cho A là... 0,2 và P( A1 ) = P( A 2 ) = P( A 3 ) = 1 0,2 = 0,8 1/ Gọi B là biến cố : Ngời đó bắn trúng hồng tâm đúng một lần Khi đó : B = A1 A 2 A 3 A1 A2 A 3 A1 A 2 A3 Vậy P(B) = 0,2 . 0,8 . 0,8 + 0,8 . 0,2 . 0,8 + 0,8 . 0,8 . 0,2 = 0,3 84 2/ Gọi C là biến cố : Ngời đó bắn trúng hồng tâm ít nhất một lần Nhận xét : Biến cố đối của C là C : Ngời đó không bắn trúng hồng tâm lần nào Khi đó : P( C ) = A1 A 2 A 3 = 0,8 . 0,8 . 0,8 . Có thể liệt kê nh sau : = {( 1,1 ,1 ) ; ( 1,1 ,2 ) ; ( 1,1 ,3 ) ; ( 1,2 ,1 ) , ( 1,2 ,2 ) , ( 1,2 ,3 ) , ( 1,3 ,1 ) , ( 1,3 ,2 ) , ( 1,3 ,3 ) , , ( 3,3 ,3 )} . 1/ Gọi A là biến cố :. {( 1,1 ) ; ( 1,2 ) ; ( 1,3 ) ; ( 1,4 ) ; ( 1,5 ) ; ( 1,6 ) ; ( 2,1 ) ; ( 2,2 ) ; ( 2,3 ) ; ( 2,4 ) ; ( 2,5 ) ; ( 3,1 ) ; ( 3,2 ) ; ( 3,3 ) ; ( 3,4 ) ; ( 4,1 ) ; ( 4,2 ) ; ( 4,3 ) ; ( 4,4 )