TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 82 PHẦN 3: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG A TĨM TẮT LÝ THUYẾT Phương trình tham số phương trình tắc đường thẳng  Phương trình tham số đường thẳng d qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) có vectơ phương a  (a1 ; a2 ; a3 ) với a  là:  x  xo  a1t  ( d ) :  y  yo  a2 t (t  ) z  z  a t o  x  x0 y  y0 z  z0    Nếu a1a2 a3  (d ) : gọi phương trình tắc d a1 a2 a3 Vị trí tương đối hai đường thẳng   Cho hai đường thẳng d, d qua hai điểm M0  x0 ; y0 ; z0  , M0 x0 ; y0 ; z0 có vectơ   phương a   a1 ; a2 ; a3  , a  a1 ; a2 ; a3 Khi đó, ta có:   a; a    d€d      M0  d    a; a    d  d     M0  d    a ; a      d cắt d      a; a M0 M0     d d  chéo  a; a M0 M0     d  d  a.a  Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng  x  x0  ta1  Cho mặt phẳng   : Ax  By  Cz  D  đường thẳng d :  y  y0  ta2  z  z  ta  Xét phương trình: A( x0  ta1 )  B( y0  ta2 )  C ( z0  ta3 )  D  (ẩn t)  d€   (*) vô nghiệm  d cắt    (*) có nghiệm  d     (*) có vơ số nghiệm SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM (*) TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 83 Vị trí tương đối đường thẳng mặt cầu  x  x0  ta1  Cho đường thẳng d :  y  y0  ta2 (1) mặt cầu  S  : ( x  a)2  ( y  b)2  ( z  c)2  R (2)  z  z  ta  Để xét vị trí tương đối đường thẳng d mặt cầu  S  ta thay (1) vào (2), a phương trình:  x0  ta1  a    yx0  ta2  b    z0  ta3  c   (*) 2  d  S  khơng có điểm chung  (*) vô nghiệm  d tiếp xúc  S   (*) có nghiệm  d  I, d   R  d  I, d   R  d cắt  S  hai điểm phân biệt  (*) có hai nghiệm phân biệt  d  I , d   R Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng (chương trình nâng cao) Cho đường thẳng d qua M0 có VTCP a điểm M d (M , d )   M M ; a  a Khoảng cách hai đường thẳng chéo (chương trình nâng cao) Cho hai đường thẳng chéo d1 d2 d1 qua điểm M1 có VTCP a1 , d2 qua điểm M2 có VTCP a2 d (d1 , d )   a1 , a2 .M1M  a1 , a2  Chú ý: Khoảng cách hai đường thẳng chéo d1 , d2 khoảng cách d1 với mặt phẳng   chứa d2 song song với d1 Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song Khoảng cách đường thẳng d với mặt phẳng   song song với khoảng cách từ điểm M d đến mặt phẳng   Góc hai đường thẳng Cho hai đường thẳng d1 , d2 có VTCP a1 , a2 Khi góc d1 , d2 là: cos  d1; d2   cos  a1 , a2   a1.a2 a1 a2 Góc đường thẳng mặt phẳng Cho đường thẳng d có VTCP a  (a1 ; a2 ; a3 ) mặt phẳng   có VTPT n  ( A; B; C ) Góc đường thẳng d mặt phẳng   góc đường thẳng d với hình chiếu d    sin  d , ( )   Aa1  Ba2  Ca3 A2  B  C a12  a22  a32 SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TỐN HỌC BẮC TRUNG NAM TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA Trang | 84 B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Dạng Phương trình đường thẳng qua điểm biết véctơ phương Phương pháp giải: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , đường thẳng d qua điểm M  x0 ; y0 ; z0  có vectơ phương a   a1 ; a2 ; a3  với a12  a22  a32  có phương trình tham số là:  x  x0  a1t   y  y0  a2 t z  z  a t  VD Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho hai mặt phẳng  P  : x  y  3z    Q  : 3x  y  5z   Giao tuyến  P   x   2t  A  y  1  7t  z  4t   Q  có phương trình tham số là:  x   2t  B  y  1  7t  z  4t   x   2t  C  y   7t   z  4t  x   2t  D  y   7t   z  4t Hướng dẫn giải  x  y  3z   () Cách 1: Xét hệ  3 x  y  z   Cho x  thay vào () tìm y  8, z  4 Đặt A(0; 8; 4) Cho z  thay vào () tìm x  2, y  1 Đặt B (2; 1; 0)  AB   2;7;  VTCP  P    Q   x   2t  Như vậy, phương trình tham số  P    Q   y  1  7t  z  4t  Chọn đáp án A  x  y  3z   () Cách 2: Xét hệ  3 x  y  z   Cho z  thay vào () tìm x  2, y  1 Đặt B (2; 1; 0)  P  : x  y  3z   có VTPT nP  (1; 2;3)  Q  : 3x  y  5z   có VTPT nQ  (3; 2; 5)  nP , nQ    4;14;8  chọn u  (2; 7; 4) VTCP giao tuyến  P    Q   x   2t  Như vậy, PTTS  P    Q   y  1  7t  z  4t  Chọn đáp án A Cách 3: (kỹ máy tính cầm tay) Xem phím A,B,C (trên máy) x, y, z (trong phương trình), nhập lúc biểu thức SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 85 A  2B  3C  4:3A  2B  5C  Rút toạ độ điểm ( x0 ; y0 ; z0 ) từ PTTS câu, dùng lệnh CALC nhập vào máy KQ ứng với câu cho đáp số nhận (ở tạm thời nhận A B) Tiếp tục cho t  (ngoài nháp) vào PTTS nhận để có số ( x; y; z ) lại thay vào biểu thức nhập hình Lại tìm số cho đáp số (ở câu A đảm bảo điều nên đáp án A) VD Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d qua điểm M 1; 2;0  có véctơ phương u  0;0;1 Đường thẳng d có phương trình tham số là: x   A  y  2 z  t  x  1 t  B  y  2  2t z  t  x  t  C  y  2t z    x   2t  D  y  2  t z   Hướng dẫn giải  x  x0  at  Học thuộc lòng cơng thức  y  y0  bt thay số vào  z  z  ct   x   0t x     y  2  0t   y  2  z   1t z  t   Chọn đáp án A VD Phương trình tham số đường thẳng d biết qua điểm M (1; 2;3) có véctơ a  1; 4;5  x  1 t  A  y   4t  z   5t  x  1 t  B  y  4  2t  z  5  3t  x  1 t  C  y   4t  z   5t  x  1 t  D  y  4  2t  z  5  3t  Hướng dẫn giải Đường thẳng d qua điểm M (1; 2;3) có vectơ phương a  1; 4;5  có phương x  1 t  trình tham số là:  y   4t  z   5t  Chọn đáp án A VD Phương trình tham số đường thẳng d biết qua điểm M (0; 2;5) có véctơ a  1; 1;3  x   0t  A  y  1  2t  z   5t  x  1 t  B  y  4  2t  z  5  3t   x   2t  C  y  2  2t  z   6t  Hướng dẫn giải SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM  x   2t  D  y   2t  z   6t  TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 86 Đường thẳng d qua điểm M (0; 2;5) có vectơ phương a  1; 1;3 có phương trình  x   2t  tham số là:  y  2  2t  z   6t  Chọn đáp án C VD Phương trình tham số đường thẳng d biết qua điểm M (1; 2;3) có véctơ a   2;0;0  x  1 t  A  y   t z   t  x  1 t  B  y   2t  z   3t  x  1 t  C  y  z   x  1 t  D  y   t z   Hướng dẫn giải Đường thẳng d qua điểm M (1; 2;3) có véctơ phương a   2;0;0  có phương trình x  1 t  tham số là:  y  z   Chọn đáp án C VD Phương trình tham số đường thẳng d biết qua gốc tọa độ O có véctơ phương a   2; 3;1 x   t  A  y  3  t z  1 t   x   2t  B  y   3t z   t   x   2t  C  y   3t z   t  x  1 t  D  y   t z   Hướng dẫn giải Đường thẳng d qua điểm qua gốc tọa độ O có véctơ phương a   2; 3;1 có phương  x   2t  trình tham số là:  y   3t z   t  Chọn đáp án B Dạng Phương trình đường thẳng qua điểm M ; N Phương pháp giải:  Tìm tọa độ véctơ MN  Phương trình đường thẳng cần tìm qua M ( N ) có véctơ phương phương với véctơ MN VD Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, đoạn thẳng AB với hai đầu mút A  2;3; 1 B 1; 2;  có phương trình tham số là: SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 87 x  1 t  A  y   t 1  t    z   5t  x   t  B  y   t  1  t    z  1  5t  x  1 t  C  y   t   t  1  z   5t  x   t  D  y   t   t    z  1  5t  Hướng dẫn giải Phương pháp: Để tìm toạ độ điểm đầu mút đoạn thẳng có phương trình tham số có điều kiện kèm theo ta thay giá trị (đầu mút) tham số vào phương trình tìm x, y, z a) Với phương án A, thay t  vào PTTS ta toạ độ điểm  2;3; 1 t  ta lại điểm  3; 4; 6  khác toạ độ điểm A điểm B b) Với phương án B, thay t  1 ta toạ độ điểm B 1; 2;  t  ta toạ độ điểm A  2;3; 1 Chọn đáp án : B Lưu ý 1: - Để viết phương trình tham số đoạn thẳng AB ta viết phương trình tham số đường thẳng AB , tìm giá trị t A , t B để từ phương trình tham số ta tìm lại toạ độ điểm A, B - Kết phương trình tham số có kèm điều kiện t đoạn tạo t A , t B - Tuy nhiên phương pháp chậm khó để chọn phương án cách cho đề Lưu ý 2: - Nếu HS dùng phương pháp thay toạ độ điểm A B vào phương trình tham số phương án (A,B,C,D) để tìm giá trị t tìm t A , t B đầu mút đoạn điều kiện cho kèm theo phương trình tham số, phương án VD Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hai điểm A 1; 2; 3 B  3; 1;1 Phương trình sau phương trình tắc đường thẳng qua hai điểm A B ? x 1 y  z  x 1 y  z      A B 1 3 x  y 1 z 1 x 1 y  z      C D 2 3 3 Hướng dẫn giải: Phương pháp tự luận: Gọi d đường thẳng qua điểm A 1; 2; 3 B  3; 1;1 Đường thẳng d qua A(1; 2; 3) có vectơ phương ud  AB  (2; 3; 4) nên có phương trình tắc là: x 1 y  z    3 Chọn đáp án B Phương pháp trắc nghiệm: SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TỐN HỌC BẮC TRUNG NAM TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA Trang | 88 Đường thẳng qua A 1; 2; 3 B  3; 1;1 có vectơ phương AB  (2; 3;4) nên loại phương án A C Xét thấy điểm A(1; 2; 3) thỏa mãn phương trình tắc phương án B nên chọn B đáp án VD Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , đường thẳng qua hai điểm A 1; 2;1 , B  2;1;3 có phương trình: x 1 y    A x 1 y    C z 1 z 1 x 1 y  z 1   1 2 x  y 1 z    D Hướng dẫn giải B Đường thẳng AB qua A 1; 2;1 nhận AB (1;3; 2) làm vectơ phương nên có phương trình: x 1 y  z 1   Chọn đáp án A VD 10 Phương trình tham số đường thẳng qua hai điểm M (1; 2;3) N (3;0;0) x  1 t  A  y   4t  z   5t  x   t  B  y   2t  z   3t   x   2t  C  y   2t   z   3t  x   2t  D  y   2t  z   3t  Hướng dẫn giải Ta có véctơ MN   2; 2; 3 véctơ phương đường thẳng MN Chọn đáp án D VD 11 Phương trình tham số đường thẳng qua hai điểm A(1; 2; 3) B(3;0;1) x  1 t  A  y   4t  z   5t  x   t  B  y   t  z   2t   x   2t  C  y   2t   z   3t  x   2t  D  y   2t  z   3t  Hướng dẫn giải Ta có véctơ AB   2; 2;  nên véctơ phương đường thẳng AB u  1;1;  Chọn đáp án B VD 12 Phương trình tham số đường thẳng qua hai điểm A(1; 2; 3) B(3;0;1) x  1 t  A  y   4t  z   5t  x   t  B  y  1  t  z  1  2t   x   2t  C  y   2t   z   3t  x   2t  D  y   2t  z   3t  Hướng dẫn giải Ta có véctơ AB   2; 2;  nên véctơ phương đường thẳng AB u  1;1;  Mặt khác tọa độ trung điểm AB điểm I  2; 1; 1 Chọn đáp án B Dạng Phương trình đường thẳng qua điểm M song song với đường thẳng  cho trước SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 89 Phương pháp giải:  Véctơ phương đường thẳng  u  Phương trình đường thẳng cần tìm qua điểm M có véctơ phương phương với VD 13 véctơ u Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, phương trình đường thẳng qua điểm M  2;1;  song song với trục Ox là:  x   2t  x  2  x  2  t    A  y  t B  y   t C  y  z    z  2t  z   Hướng dẫn giải Trục hoành Ox nhận véctơ đơn vị i  (1;0;0) làm VTCP  x  2t  D  y   t  z  2t  Đường thẳng d song song với trục hoành phải nhận i  (1;0;0) làm VTCP ln Ngồi M  2;1;   d nên viết PTTS d ta chọn phương án C Chọn đáp án C VD 14 Phương trình tham số đường thẳng  qua hai điểm M (1; 2;3) song song với đường x  1 t  thẳng d có phương trình  y  3  4t  z   5t  x  1 t  A  y   4t  z   5t  x   t x  1 t   B  y   4t C  y  2  4t  z   5t  z  3  5t   Hướng dẫn giải x   t  D  y   4t  z   5t  Ta có véctơ u  1; 4; 5  véctơ phương đường thẳng d Vì €d nên véctơ u  1; 4; 5  véctơ phương đường thẳng  Chọn đáp án A VD 15 Phương trình tham số đường thẳng  qua hai điểm M (1;1;1) song song với đường x  1 t  thẳng d có phương trình  y  3  4t  z   5t  x  1 t  A  y   4t  z   5t  x  1 t  B  y   4t  z   5t  x  1 t  C  y   4t  z   5t  x   t  D  y   4t  z   5t  Hướng dẫn giải Ta có véctơ u  1; 4; 5  véctơ phương đường thẳng d Vì €d nên véctơ a   1; 4;5  véctơ phương đường thẳng  Chọn đáp án B SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TỐN HỌC BẮC TRUNG NAM TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA VD 16 Trang | 90 Phương trình tham số đường thẳng  qua hai điểm M (1;1;1) song song với đường x  1 t  thẳng d có phương trình  y  3  z   2t   x   2t  A  y  z  1 t  x  1 t  B  y   z   2t   x   2t  C  y   z   4t   x   3t  D  y   4t  z   5t  Hướng dẫn giải Ta có véctơ u  1;0; 2  véctơ phương đường thẳng d Vì €d nên véctơ a   2;0;  véctơ phương đường thẳng  Chọn đáp án C Dạng Phương trình đường thẳng qua điểm M vng góc với mặt phẳng ( P ) cho trước Phương pháp giải:  Véctơ pháp tuyến mặt phẳng ( P ) n  Phương trình đường thẳng cần tìm qua điểm M có véctơ phương phương VD 17 với véctơ n Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, gọi  đường thẳng qua điểm M  2;0; 3 vng góc với mặt phẳng   : x  y  z   Phương trình tắc  là: x y z 3   3 x2 y z 3   C 3 x y z 3   3 x2 y z 3   D Hướng dẫn giải   : x  y  5z   có VTPT n   2; 3;5 A B Do   ( ) nên  nhận n làm VTCP Ngoài ra, M  2;0; 3   nên phương trình tắc  : x2 y z 3   3 Chọn đáp án C VD 18 Phương trình tham số đường thẳng  qua hai điểm M (1; 2;3) vuông góc với mặt phẳng  P  có phương trình x  y  z   x  1 t  A  y   4t  z   5t  x  1 t x  1 t   B  y   4t C  y  2  4t  z  3  5t  z   5t   Hướng dẫn giải x  1 t  D  y   4t  z   5t  Ta có véctơ n  1; 4; 5  véctơ pháp tuyến mặt phẳng (P) Vì   ( P) nên véctơ n  1; 4; 5  véctơ phương đường thẳng  Chọn đáp án A SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TỐN HỌC BẮC TRUNG NAM TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA VD 19 Trang | 91 Phương trình tham số đường thẳng  qua hai điểm M (1; 2;3) vng góc với mặt phẳng  P  có phương trình x  5z   x  1 t  A  y   z   5t  x  1 t  B  y   z   5t  x  1 t  C  y  2  z  3  5t  x  1 t  D  y   z   5t  Hướng dẫn giải Ta có véctơ n  1;0; 5  véctơ pháp tuyến mặt phẳng  P  Vì   ( P) nên véctơ u   1;0;5  véctơ phương đường thẳng  Chọn đáp án A VD 20 Phương trình tham số đường thẳng  qua hai điểm M (1; 2;3) vng góc với mặt phẳng  Oxy  x  1 t  A  y  z   x   B  y   t z   x   C  y  z   t  x  1 t  D  y   4t  z   5t  Hướng dẫn giải Ta có véctơ k   0;0;1 véctơ pháp tuyến mặt phẳng Oxy Vì   (Oxy ) nên véctơ n   0;0; 1 véctơ phương đường thẳng  Chọn đáp án C Dạng Phương trình giao tuyến hai mặt phẳng VD 21 Phương pháp giải: Cách 1:  Đặt ẩn t giải hệ phương trình theo t Cách 2:  Véctơ phương đường thẳng tích có hướng véctơ pháp tuyến mặt phẳng  Chọn điểm thuộc mặt phẳng điểm thuộc đường thẳng Phương trình tham số đường thẳng  giao tuyến hai mặt phẳng có phương trình ( ) : x  y  z   ( ') : x  y  z    x  5  5t  A  y   3t z  t   x  5  5t  B  y   3t z  t   x  5  5t  C  y   3t z  t  Hướng dẫn giải x  y  z 1  Ta có phương trình tổng qt đường thẳng    x  y  2z   Đặt z  t tìm x, y theo t Chọn đáp án A SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM x  1 t  D  y   4t  z   5t  TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA VD 22 Trang | 92 Phương trình tham số đường thẳng  giao tuyến hai mặt phẳng có phương trình ( ) :2 x  y  z   ( ') :2 x  y  z   x  t  A  y   4t  z   2t  x  t  B  y   4t  z   2t  x  t  C  y   4t  z   2t  x  t  D  y  1  4t  z   2t  Hướng dẫn giải 2 x  y  z   Ta có phương trình tổng qt đường thẳng    2x  y  z   Đặt x  t tìm y; z theo t Chọn đáp án D VD 23 Phương trình tham số đường thẳng  giao tuyến hai mặt phẳng có phương trình ( ) : x  y  ( ) :2 x  y  z  15  x  t  A  y  t  z  15  3t  x  t  B  y  t  z  15  3t  x  t  C  y  t  z  15  3t   x  t  D  y  t  z  15  3t  Hướng dẫn giải x  y  Ta có phương trình tổng qt đường thẳng    x  y  z  15  Đặt x  t tìm y; z theo t Chọn đáp án A Dạng Phương trình đường thẳng d qua điểm M vng góc với đường thẳng d1 ; d không song song Phương pháp giải:  Véctơ phương đường thẳng d u  u1 ; u2   Phương trình đường thẳng cần tìm qua M có véc tơ phương u VD 24 Cho hai đường thẳng d1 ; d có phương trình x  t x y 1 z    d1 :  y  1  4t d :  Phương trình tắc đường thẳng d qua 5  z   6t  M 1; 1;  vng góc với d1 d  x   14t  A  y  1  17t  z   9t   x   14t  B  y  1  17t  z   9t  SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM  x   14t  C  y  1  17t  z   9t   x   14t  D  y  1  17t  z   9t  TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 93 Hướng dẫn giải Ta có: véctơ phương d u3  u1 ; u2   14;17;9  Chọn đáp án B VD 25 Cho hai đường thẳng d1 ; d có phương trình x  t  x  2t   d1 :  y   4t d :  y   t Phương trình tắc đường thẳng d qua   z   5t  z   6t  M 1; 1;  vng góc với d1 d  x   14t  A  y  1  17t  z   9t   x   14t  B  y  1  17t  z   9t   x   14t  C  y  1  17t  z   9t   x   14t  D  y  1  17t  z   9t  Hướng dẫn giải Ta có: véctơ phương d u3  u1 ; u2   14;17;9  Chọn đáp án A VD 26 Cho hai đường thẳng d1 ; d có phương trình x  t  x  2t   d1 :  y   t d :  y   t Phương trình tắc đường thẳng d qua M 1; 1;   z  2  t z   t   vng góc với d1 d  x   2t  A  y  1  3t  z   1t   x   2t  B  y  1  3t  z   1t   x   2t  C  y  1  3t  z   1t   x   2t  D  y  1  3t  z   1t  Hướng dẫn giải Ta có: véctơ phương d u3  u1 ; u2    2;3; 1 Chọn đáp án C Dạng Tìm tọa độ hình chiếu vng góc điểm M lên mặt phẳng ( ) cho trước Tìm tọa độ điểm đối xứng với điểm qua mặt phẳng cho trước Phương pháp giải:  Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M vng góc với ( ) d  Tọa độ H hình chiếu điểm M lên mặt phẳng ( ) nghiệm hệ phương trình  ( )  Điểm M’ điểm đối xứng điểm M qua mặt phẳng ( ) suy H trung điểm M 0M ' SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA VD 27 Trang | 94 Cho điểm M 1; 4;  mặt phẳng ( ) : x  y  z   Tọa độ điểm H hình chiếu vng góc điểm M lên mặt phẳng ( ) A  1; 2;0  B 1; 2;0  C  1; 2;0  D  1; 2;1 Hướng dẫn giải Ta có: Phương trình đường thẳng d qua điểm M 1; 4;  vng góc với mặt phẳng ( ) là: x  1 t x  1 t  y   2t    y   2t Tọa độ điểm H nghiệm hệ phương trình   z   t z   t  x  y z   Chọn đáp án A VD 28 Cho điểm M 1; 1;  mặt phẳng ( ) :2 x  y  z  11  Tọa độ điểm H hình chiếu vng góc điểm M lên mặt phẳng ( ) A  3; 1; 2  B  3;1; 2  C  3;1; 2  D  3;1;  Hướng dẫn giải Ta có:  x   2t  Phương trình đường thẳng d qua điểm M vng góc với mặt phẳng ( ) là:  y  1  t  z   2t   x   2t  y  1  t  Tọa độ điểm H nghiệm hệ phương trình   z   2t 2 x  y  z  11  Chọn đáp án C VD 29 Cho điểm M 1; 4;  mặt phẳng ( ) : x  y  z   Tọa độ điểm M điểm đối xứng điểm M qua mặt phẳng ( ) A  1; 2;1 C  3;0; 2  B  3;0;2  D  3;0;  Hướng dẫn giải Ta có: Phương trình đường thẳng d qua điểm M 1; 4;  vng góc với mặt phẳng ( ) là: x  1 t x  1 t  y   2t    y   2t Tọa độ hình chiếu M ( ) nghiệm hệ phương trình   z   t z   t  x  y  z   Vì H trung điểm MM nên tọa độ điểm M   3;0;  Chọn đáp án D SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TỐN HỌC BẮC TRUNG NAM TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA VD 30 Trang | 95 Cho điểm M 1; 1;  mặt phẳng ( ) :2 x  y  z  11  M điểm đối xứng điểm M qua mặt phẳng ( ) A  7;3; 6  B  7;3; 6  C  7; 3; 6  D  7;3;6  Hướng dẫn giải Ta có:  x   2t  Phương trình đường thẳng d qua điểm M vng góc với mặt phẳng ( ) là:  y  1  t   z   2t  x   2t  y  1  t  Tọa độ hình chiếu M ( ) nghiệm hệ   z   2t 2 x  y  z  11  Vì H trung điểm MM nên tọa độ điểm M   7;3; 6  Chọn đáp án A Dạng Hình chiếu điểm M đường thẳng d Phương pháp giải:  Lấy H  d Tính MH  H hình chiếu M d  MH.ud  VD 31 x  y 1 z   điểm A  1;2;7  Tìm toạ độ điểm H hình chiếu vng góc A d ? A H  4;5;2  B H  2;1;0  C H  3;3;1 D H 1; 1; 1 Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d : Hướng dẫn giải: Phương pháp trắc nghiệm: Nhập vào máy tính: 1 1  A    B   1  C  Sau đó: CALC A  4, B  5, C  ta 6   loại đáp án A CALC A  2, B  1, C  ta   loại đáp án B CALC A  3, B  3, C  ta  chọn đáp án C CALC A  1, B  1, C  1 ta 12   loại đáp án D Chọn đáp án C Phương pháp tự luận: Đường thẳng d có vectơ phương ud  1;2;1 H hình chiếu vng góc A d  H  d  H   t;1  2t; t  AH    t; 1  2t; t   SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 96 Ta có: AH.ud   1  t    1  2t   1 t     t  Vậy H  3;3;1  Chọn đáp án C VD 32 Trong khơng gian Oxyz , tọa độ hình chiếu vng góc điểm M  2; 1;1 đường thẳng x 1 y z    là: A 1;0;2  B  2;2;3 d: C  0; 2;1 D  1; 4;0  Hướng dẫn giải: Phương pháp trắc nghiệm: Nhập vào máy tính: 1 2  A    1  B   11  C  Sau đó: CALC A  1, B  0, C  ta 6   loại đáp án A CALC A  2, B  2, C  ta 12   loại đáp án B CALC A  0, B  2, C  ta  chọn đáp án C CALC A  1, B  4, C  ta   loại đáp án D Chọn đáp án C Phương pháp tự luận: Đường thẳng d có vectơ phương ud  1;2;1 H hình chiếu vng góc A d  H  d  H 1  t;2t;2  t  MH    t;1  2t; t  1 Ta có: MH.ud   1  t   1  2t   1 t  1   t  1 Vậy H  0; 2;1  Chọn đáp án C VD 33  x   4t  Trong không gian Oxyz , cho điểm A  3; 5;2  đường thẳng d :  y  2  t Hình chiếu  z  1  2t  A lên d có tọa độ là: A  2; 3;1 B  2; 3; 1 C  2;3;1 Hướng dẫn giải Phương pháp trắc nghiệm: Nhập vào máy tính: 4   A  1 5  B     C  Sau đó: CALC A  2, B  3, C  ta  Chọn đáp án A SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM D  2; 4;3 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 97 CALC A  2, B  3, C  1 ta   loại đáp án B CALC A  2, B  3, C  ta   loại đáp án C CALC A  2, B  4, C  ta 21   loại đáp án D Chọn đáp án A Phương pháp tự luận: Đường thẳng d có vectơ phương ud   4; 1;2  Gọi H hình chiếu vng góc A d  H  d  H   4t; 2  t; 1  2t  AH    4t;3  t;2t  3 Ta có: AH.ud   4   4t   1  t    2t  3   t  Vậy H  2; 3;1  Chọn đáp án A Dạng Hình chiếu đường thẳng d mặt phẳng   Phương pháp giải: Trường hợp 1: d cắt    Tìm giao điểm A d    Lấy M cụ thể d Tìm hình chiếu M M    Hình chiếu d  đường thẳng AM  Trường hợp 2: d€  VD 34  Lấy M cụ thể d Tìm hình chiếu M M d  Hình chiếu d  đường thẳng qua M song song với d x y 1 z   Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d :   P  : x  y  z  10  Viết 1 phương trình hình chiếu d  d lên  P  Hướng dẫn giải Mặt phẳng  P  có vectơ pháp tuyến n  1;1;1 , lấy M  0;1;3   d Toạ độ giao điểm A d  P  nghiệm hệ x   x y 1 z      1   y  2  A  6; 2;6  2   x  y  z  10  z  Gọi H hình chiếu M  P  SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TỐN HỌC BẮC TRUNG NAM TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA Trang | 98 Đường thẳng MH qua M  0;1;3 nhận n  1;1;1 làm vectơ phương nên có phương x  t  trình:  y   t z   t  x  t x  y  1 t y    Toạ độ H thoả hệ    H  2;3;5 z   t z   x  y  z  10  t  Đường thẳng d  qua H  2;3;5 nhậ AH   4;5; 1 làm vectơ phương nên có phương  x   4t  trình:  y   5t z   t  VD 35 x 1 y 1 z     P  : x  y  2z   2 Viết phương trình hình chiếu d  d lên  P  Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d : Hướng dẫn giải Mặt phẳng  P  có vectơ pháp tuyến n  1;2; 2  Đường thẳng d qua điểm M 1; 1;2  có vectơ phương u   2;1;2  Nhận thấy d€ P  nên gọi H hình chiếu cuả M  P  d  qua H d€d Đường thẳng MH qua M 1; 1;2  nhận n  1;2; 2  làm vectơ phương nên có x  1 t  phương trình:  y  1  2t  z   2t  x  1 t x   y  1  2t y    Toạ độ H thoả hệ    H  2;1;0   z   2t z   x  y  z   t  Đường thẳng d  qua H  2;1;0  nhận u   2;1;2 làm vectơ phương nên có phương  x   2t  trình:  y   t  z   2t  VD 36 x  y 1 z     P  : x  y  2z  13  4 Viết phương trình đường thẳng d  đối xứng với d qua  P  Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d : Hướng dẫn giải SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 99 Mặt phẳng  P  có vectơ pháp tuyến n  1; 1;2  , lấy M  4;1;2   d Toạ độ giao điểm A d  P  nghiệm hệ x   x  y 1 z      4   y   A 1;0;6    x  y  z  13  z   Gọi H hình chiếu M  P  Đường thẳng MH qua M  4;1;2  nhận n  1; 1;2  làm vectơ phương nên có x   t  phương trình:  y   t  z   2t  x   t x  y   t y    Toạ độ H thoả hệ    H  5;0;4  z   t z     x  y  z  13  t  Gọi M đối xứng với M qua  P   H trung điểm MM  M  6; 1;6  Đường thẳng d  qua M  6; 1;6  nhận AM   5; 1;0  làm vectơ phương nên có  x   5t  phương trình:  y  1  t z   Dạng 10 Phương trình đường vng góc chung hai đường thẳng chéo d1 d2 Phương pháp giải:  Chuyển d1 , d2 dạng tham số  Giả sử A, B chân đường vuông góc chung d1 , d2  Tìm toạ độ A, B theo tham số d1 , d2  AB  ud  Từ điều kiện d  d1 , d  d2 suy   toạ độ A B AB  u  d2  Đường thẳng d đường thẳng qua A nhận AB làm VTCP VD 37 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hai đường thẳng  d1   d2  chéo có phương x   x  3t   trình  d1  :  y  10  2t ,  d  :  y   2t Gọi z  t  z  2    d1   d2  Phương trình là: SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM đường thẳng vng góc chung TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA x 2t A y 177 98 z 6t Trang | 100 x 3t 17 49 B y z 46t  x   2t  C  y   3t  z   3t  147t 246t  x   2t  D  y   3t  z   4t  Hướng dẫn giải Phương pháp trắc nghiệm: Nhập vào máy tính: A  B  1C Sau đó: CALC A  2, B  3, C  6 ta  chọn đáp án A CALC A  46, B  147, C  246 ta 48   loại đáp án B CALC A  2, B  3, C  3 ta   loại đáp án C CALC A  2, B  3, C  4 ta 10   loại đáp án D Chọn đáp án A Phương pháp tự luận:  d1  có VTCP u1   0;2;1 ,  d2  có VTCP u1   3; 2;0 Gọi M 1;10  2t1; t1    d1  , N  3t2 ;3  2t2 ; 2    d  Suy MN   3t2  1; 2t2  2t1  7; t1   164  t     5t1  4t2  16  MN u1   49 Ta có:    4t1  13t2  11 t    MN u2   49  11  162 164   27 129  Do đó: M 1; ; ; 2  , MN    2;3; 6  , N  ; 49  49 49   49 49  Từ suy phương trình MN Chọn A Cách làm trắc nghiệm:    có VTCP u  u1 , u2    2;3; 6  Chọn đáp án A VD 38 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , gọi đường vng góc chung hai đường thẳng:   x  4t x     d1  :  y  t  d  :  y   t Phương trình z  1 t    11  z   t SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM là: TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 101 x t 5t A y z t C x B y z t 2t 2t x 1 y  z    1 2 Hướng dẫn giải x 1 y  z    D Phương pháp trắc nghiệm:    có VTCP u  u1 , u2    2;4;4   2 1; 2; 2  Chọn A D Để loại A D, ta cần xét thêm có cắt với  d1  hay khơng cách giải hệ Chọn đáp án B Phương pháp tự luận:  d1  có VTCP u1   0; 1;1 ,  d2  có VTCP u1   4;1;1 11    t2    d  4   7  Suy MN   4t2  2; t2  t1  ; t2  t1   4  Gọi M  2; t1;1  t1    d1  , N  4t2 ;  t2 ; t    MN u1  1 Ta có:   t  MN u      Do đó: M  2;0;1 , N 1;2;3 , MN   1;2;2    1; 2; 2  Từ suy phương trình MN Chọn đáp án B VD 39  x   4t  x  6t    Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng chéo d :  y  2  t d  :  y   t   z  1  t  z   2t    Phương trình sau phương trình đường vng góc chung d d  x 1 y 1 z 1 x 1 y 1 z 1     A B 2 2 x 1 y 1 z x 1 y 1 z     C D 2 2 Hướng dẫn giải Đường thẳng d d  có vectơ phương a   4;1;1 b   6;1;2  Lấy M   4t; 2  t; 1  t  d, N 6t ;1  t ;2  t   d  MN   6t   4t  3; t   t  3;2t   t  3 SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 102   t   MN  a  MN.a  3t  2t      MN đoạn vng góc chung      MN  b  MN.b  41t  27t  27  t   M  1; 1;0  , N  0;1;2  Phương trình MN phương trình đường vng góc chung d d  nên có phương trình: x 1 y 1 z   2 Chọn đáp án C Dạng 11 Viết phương trình đường thẳng  qua điểm M0 cắt đường thẳng d thoả mãn điều kiện cho trước Điều kiện cho trước là:  Vng góc với đường thẳng  cho trước  Song song với mặt phẳng  P  cho trước Phương pháp giải:  Giả sử  cắt đường thẳng d M  M có toạ độ phụ thuộc tham số t d  Từ điều kiện cho trước dẫn đến phương trình bậc theo tham số t  toạ độ M  Viết phương trình đường thẳng  qua M0 có VTCP MMo VD 40 x 1 y z    Phương trình đường thẳng qua điểm A , vng góc cắt đường thẳng d là: x   t x   t x   t x  1 t     A  y  B  y  C  y  D  y  z   t z   t z   t z   t     Trong không gian Oxyz cho điểm A  2;0;1 đường thẳng d : Hướng dẫn giải Đường thẳng d có vectơ phương u  1;2;1 Gọi  đường thẳng qua điểm A , vng góc cắt d M  M 1  t;2t;2  m  Vì d    u AM   4t   t   M 1;0;2  x   t  Phương trình  cần tìm là:  y  z   t  Chọn đáp án C VD 41 x   t x 2 y2 z 3    Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng d1 : ; d2 :  y   2t 1  z  1  t  điểm A(1;2;2) Đường thẳng  qua A , vng góc với d1 cắt d có phương trình A x 1 y  z    2 1 SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM B x 1 y  z    1 3 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA C Trang | 103 x 1 y  z    D x 1 y  z    4 Hướng dẫn giải Đường thẳng d1 có vectơ phương u  1;1;1 Gọi  đường thẳng qua điểm A cắt d2 M  M 1  t;1  2t; 1  t  AM   t;2t  1; t  3 Vì d1    u AM   2t   t   M  1;5;1 Phương trình  cần tìm qua A 1;2;2  nhận AM   2;3; 1 làm vectơ phương nên có phương trình: x 1 y  z    2 1 Chọn đáp án A VD 42 x 1 y 1 z 1   , mặt phẳng 1 ( ) : x  y  z   điểm A(1;2; 1) Đường thẳng  qua A cắt d song song với mp( ) có phương trình Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d : x 1 y  z 1   x 1 y  z 1   C 2 x 1 y  z 1   3 1 x 1 y  z 1   D 1 A B Hướng dẫn giải Mặt phẳng   có vectơ pháp tuyến n   2;1; 1 Gọi  đường thẳng qua điểm A cắt d M  M 1  t;1  2t; 1  t  AM   t;2t  1; t  Vì  €  n AM   t   t  1  M  2; 1; 2  Phương trình  cần tìm qua A 1;2; 1 nhận AM  1; 3; 1 làm vectơ phương nên có phương trình: x 1 y  z 1   3 1 Chọn đáp án B Dạng 12 Viết phương trình đường thẳng  cắt hai đường thẳng d1 d thoả mãn điều kiện cho trước Điều kiện cho trước là:  Đi qua điểm M cho trước không thuộc d1 d  Song song với đường thẳng d cho trước  Vng góc với mặt phẳng  P  cho trước Phương pháp giải: SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 104  Giả sử  cắt d1 d2 A B , A  d1 , B  d2  Từ điều kiện cho trước xác định toạ độ điểm A, B  Khi đường thẳng  đường thẳng qua A nhận vectơ  u  AB làm VTCP Cụ thể:  Nếu điều kiện qua điểm M A, B,M thẳng hàng  Nếu điều kiện song song với đường thẳng d AB phương với ud  Nếu điều kiện vng góc với mặt phẳng  P  AB phương với nP VD 43 Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng có phương trình d1 : d2 : x 2 z3  y 1  x  y  z 1 Viết phương trình đường thẳng cắt d1 d2 đồng thời qua điểm   2 1 M  3;10;1 Hướng dẫn giải Gọi đường thẳng cần tìm d giả sử d cắt hai đường thẳng d1 d2 A   3a; 1  a; 3  2a   d1 B   b;7  2b;1  b   d2 Do đường thẳng d qua M  3;10;1  MA  kMB MA   3a  1; a  11; 4  a  ; MB   b; 2 b  3;  b  3a   kb a     a  11  2 kb  3k  k  4  a  kb b     x   2t  Phương trình đường thẳng d là:  y  10  10t  z   2t  VD 44 Trong không gian Oxyz , viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng d1 cắt hai đường thẳng d2 d3 , biết phương trình d1 , d2 , d3 là: x   d1 :  y  2  6t z   t  x 1 y  z  d2 :    x  1  2t   d3 :  y   t  z  t  Hướng dẫn giải Đường thẳng d1 có vectơ phương u   0;6; 1 Gọi đường thẳng cần tìm d giả sử d cắt hai đường thẳng d2 d3 A 1  a; 2  4a;2  3a   d2 B  1  2b;3  b; b   d3 AB   2b  a  2; b  4a  5; b  3a   SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 105 2 b  a   k.0 a    Do đường thẳng d song song với d1  AB  ku  b  4a   k.6  k  b  3a   k b     A 1; 2;2  , B 1;4;1 Phương trình đường thẳng d qua A có vectơ phương AB   0;6; 1 nên có x   phương trình  y  2  6t z   t  VD 45 Trong không gian toạn độ Oxyz , cho mặt phẳng  P  : x  y  3z   hai đường thẳng d1 : x 1 y 1 z  x 2 y2 z     d2 : Viết phương trình đường thẳng d vng 1 2 góc với  P  đồng thời cắt hai đường thẳng d1 d2 Hướng dẫn giải Mặt phẳng  P  có vectơ pháp tuyến n  1; 6; 3 Gọi đường thẳng cần tìm d giả sử d cắt hai đường thẳng d1 d2 A  1  2a;1  3a;2  a   d1 B   b; 2  5b; 2b   d2 AB   b  2a  3;5b  3a  3; 2b  a   b  2a   k a    Do đường thẳng d vng góc với  P   AB  kn  5b  3a   6k  b  2b  a   3k k     A 1;4;3 , B  2; 2;0  Phương trình đường thẳng d qua A có vectơ phương AB  1; 6; 3 nên có x  1 t  phương trình  y   6t  z   3t  Dạng 13 Viết phương trình đường thẳng  nằm mặt phẳng  P  cắt hai đường thẳng d1 d2 Phương pháp giải:  Đường thẳng  nằm mặt phẳng  P  cắt đường thẳng d1 A  A   P   d1  Đường thẳng  nằm mặt phẳng  P  cắt đường thẳng d2 B  B   P   d2  Tìm toạ độ điểm A B , tính AB  Đường thẳng  qua A nhận AB làm VTCP SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA VD 46 Trang | 106 Viết phương trình đường thẳng  nằm mặt phẳng   : x  y  z   cắt hai x  1 t  x   t   đường thẳng d1 :  y  t d :  y   2t  z  1 t z    x 1 y z 1   A 1 2 x 1 y z 1   C 1 2 x 1 y z 1   1 3 x 1 y z 1   D 3 1 B Hướng dẫn giải Gọi A giao điểm d1   nên toạ độ điểm A thoả hệ x  1 t t  y  t x      A 1;0;1   z   t y     x  y  2z    z  Gọi B giao điểm d2   nên toạ độ điểm B thoả hệ  x   t t   y   2t   x  2     B  2;9;    z  y     x  y  2z    z  AB   3;9;3 Đường thẳng  thoả mãn toán qua A 1;0;1 có VTCP u   AB  1; 3; 1 Phương trình tắc đường thẳng  là: x 1 y z 1   3 1 Chọn đáp án D VD 47 Trong không gian toạn độ Oxyz , cho hai đường thẳng d1 : d2 : x 1 y 1 z 1   , 1 x 1 y  z 1   mặt phẳng  P  : x  y  z   Phương trình tắc 1 đường thẳng  nằm  P  cắt hai đường thẳng d1 , d2 x 1  x 1  C A y 1 z 1  y 1 z 1  4 x 1  x 1  D B Hướng dẫn giải SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM y 1 z 1  2 y 1 z 1  2 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 107  x  1  2t  x   t   Đường thẳng d1 d2 có phương trình tham số d1 :  y   t d2 :  y   t   z  1  t  z   t   Gọi A giao điểm d1   nên toạ độ điểm A thoả hệ  x  1  2t t   y  1 t  x  1     A  1;1;1  z  1 t y 1 2 x  y  z    z  Gọi B giao điểm d2   nên toạ độ điểm B thoả hệ  x   t t   y   t   x    B  2;3; 3   z  1  2t  y  2 x  y  z    z  3 Đường thẳng  thoả mãn toán qua A  1;1;1 có VTCP u  AB   3;2; 4  nên có phương trình tắc là: x 1 y 1 z 1   4 Chọn đáp án C VD 48 Trong không gian toạn độ Oxyz , cho mặt phẳng  P  : x  3y  2z   hai đường thẳng x y2 z x 4 y z 3   d2 :   Phương trình đường thẳng  nằm  P  cắt 1 1 d1 d2 d1 : x 1  x 1  C A y 4 z 3  1 y 4 z 3  2 x 1 y  z    1 2 x 1 y  z    D 2 1 B Hướng dẫn giải  x  t  x   t   Đường thẳng d1 d2 có phương trình tham số d1 :  y   2t d2 :  y  t   z  3t  z   2t    Gọi A giao điểm d1   nên toạ độ điểm A thoả hệ SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TỐN HỌC BẮC TRUNG NAM TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA Trang | 108  x  t t   y   2t  x  1     A  1; 4;3   z  3t y   x  y  z    z  Gọi B giao điểm d2   nên toạ độ điểm B thoả hệ  x   t t   y   t x      B 1; 2; 1   z  1  2t  y   x  y  2z    z  1 AB   2; 2; 4  Đường thẳng  thoả mãn toán qua A  1;4;3 có VTCP u  có phương trình tắc là: AB  1; 1; 2  nên x 1 y  z    1 2 Chọn đáp án B Dạng 14 Viết phương trình đường thẳng  qua điểm A   P  , nằm mặt phẳng  P  vng góc với đường thẳng d Phương pháp giải:  Tìm VTCP d ud VTPT  P  nP  Đường thẳng  có VTCP u   ud ; nP   Viết phương trình đường thẳng  qua A có VTCP vừa tìm VD 49 Trong không gian toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng  P  : x  y  2z   đường thẳng x  1 t  d :  y  2t Đường thẳng  qua M 1;2;1 nằm  P  vng góc với d có phương   z  1 trình: x 1 y  z 1 x 1 y  z 1     A B 2 3 4 2 x 1 y  z 1 x 1 y  z 1     C D 4 2 Hướng dẫn giải Đường thẳng d có vectơ phương ud  1;2;0  , mặt phẳng  P có vectơ pháp tuyến n   2;1; 2  Đường thẳng  nằm  P u  ud ; n    4;2; 3    4; 2;3 SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TỐN HỌC BẮC TRUNG NAM vng góc với d nên có VTCP TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA Trang | 109  qua M 1;2;1 có VTCP u   4; 2;3 nên có phương trình x 1 y  z 1   2 Chọn đáp án D VD 50 Trong không gian toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng  P : x  y  z   đường thẳng  x   2t  d : y  t Đường thẳng  qua giao điểm  P  d , vng góc với d nằm  z  2  3t   P có phương trình:  x  1  t  A  y  1  2t z    x  1  t  B  y  1  2t z    x  1  t  D  y  1  2t z   x  1 t  C  y   2t   z  3 Hướng dẫn giải  x   2t t  1 y  t  x  1   Gọi M giao điểm d  P  suy toạ độ M thoả hệ:    z  2  3t  y  1 2 x  y  z    z   M  1; 1;1 Đường thẳng d có vectơ phương ud   2;1; 3 , mặt phẳng  P có vectơ pháp tuyến n   2;1;1 Đường thẳng  nằm  P vng góc với d nên u  ud ; n    4; 8;0   1; 2;0   x  1  t   qua M  1; 1;1 có VTCP u  1; 2;0  nên có phương trình  y  1  2t z   Chọn đáp án D SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM có VTCP TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA Trang | 110 Dạng 15 Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng Phương pháp giải:  x  x0  at   Cho mặt phẳng  P  : Ax  By  Cz  D  đường thẳng d :  y  y0  bt ,  t   z  z  ct   x  x0  at   y  y0  bt  Xét hệ phương trình   z  z0  ct  Ax  By  Cz  D    1  2  3  4 vào ta có phương trình 1 ,  2 , 3  4 A  x  at   B  y  bt   C  z  ct   D  * TH1: * vơ nghiệm d  P  khơng có giao điểm hay d  P  song song TH2: * có nghiệm t d  P  có giao điểm hay d  P  cắt điểm TH3: * có vơ số nghiệm d  P  có vơ số giao điểm hay d nằm mặt phẳng  P   Thay 0 : Chú ý: Trong trường hợp d € P  d   P  VTCP d VTPT  P  vng góc Khi d € P  khoảng cách d  P  khoảng cách từ điểm d đến mặt phẳng  P  VD 51 (Bài 14 SGK trang 97) Cho mặt phẳng   : x  y  3z   đường thẳng d có phương  x  3  t  trình tham số:  y   2t Trong mệnh đề sau, mệnh đề ?  z 1  A d    ; B d cắt   ; C d€  ; D d    Hướng dẫn giải Cách 1: Xét phương trình  3  t    2t  3.1     (luôn với t ) d   có vơ số điểm chung hay d    Chọn đáp án D Cách 2: Ta có vectơ pháp tuyến   : x  y  3z   n   2;1;3 ,vectơ phương đường thẳng d u  1; 2;  mà n.u     n  u (loại A B) Trên đường thẳng d lấy M  3;2;1 , thay tọa độ M vào phương trình   ta 6   1  d    Chọn đáp án D SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA VD 52 Trang | 111 (Bài tập 3.71 - SBTCB trang 119) Tọa độ giao điểm M đường thẳng x  12 y  z  mặt phẳng   : 3x  y  z   là: d:   A 1;0;1 ; B  0;0; 2  ; C 1;1;6 ; D 12;9;1 Hướng dẫn giải  x  12  4t  Phương trình tham số d là:  y   3t  z   t  Thay x, y, z phương trình vào phương trình tổng quát   ta được: 12  4t     3t   1  t     26t  78  t  3 Vậy d cắt   giao điểm M  0;0; 2  Chọn đáp án B VD 53 (Bài 3.72 SBTCB trang 120) Cho mặt phẳng   : x  y  z   đường thẳng d có  x  1 t  phương trình tham số:  y   t  z   2t  Trong mệnh đề sau, mệnh đề ? A d€  ; B d cắt   ; C d    ; D d    Hướng dẫn giải Xét phương trình 1  t     t   1  2t     0.t  3 (phương trình vơ nghiệm) d   khơng có điểm chung hay d€  Chọn đáp án A VD 54 (Bài 3.73 SBTCB trang 120) Cho đường thẳng d : x 1 y 1 z  mặt phẳng   3   : x  y  z   Trong mệnh đề sau, mệnh đề ? A d cắt   ; B d€  ; C d    ; D d    Hướng dẫn giải  x  1 t  Phương trình tham số d là:  y   2t  z   3t  Xét phương trình 1  t   1  2t     3t     0.t  (phương trình vơ số nghiệm) d    Chọn đáp án C SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TỐN HỌC BẮC TRUNG NAM TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA Trang | 112 Dạng 16 Vị trí tương đối hai đường thẳng Phương pháp giải:  Cho hai đường thẳng: 1 qua A có vectơ phương a  qua B có vectơ phương b  Ta có trường hợp sau:  1  nằm mp   a , b  AB  a , b      1  cắt     a , b  AB  a , b      1  song song với     AB , b   a , b      1  trùng nhau    AB , b    1  chéo   a , b  AB  VD 55 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hai đường thẳng 1 : x 1 y 1 z    1 4  x  2t   :  y   2t Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng?  z  1  8t  A 1 / /  C 1   B 1   D 1  chéo Hướng dẫn giải Ta có : 1 qua điểm A 1;1;2  có vectơ phương u 1; 1; 4   qua điểm B(0;1; 1) có vectơ phương  u1 , u2     nên 1€ u  2; 2; 8  Vì    u , AB     Chọn đáp án A VD 56 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hai đường thẳng d1 d cắt có phương trình  x   3t x 1 y  z   d1 :   d :  y  1  2t Tọa độ giao điểm d1 d là:  z  2  t  A 3;5; B 3;5; C 3; 2; Hướng dẫn giải SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM D 3; 5;5 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 113  x   2s  Phương trình tham số đường thẳng d1 :  y   s ;  s   z   4s   s  3t  (1)  Xét hệ phương trình:  s  2t  8 (2) Từ (1) (2) ta có:  s  t  5 (3)    s  2 thỏa mãn (3), tức d1  t   d cắt Khi t  3 vào phương trình d ta  3;5; 5  Chọn đáp án A VD 57 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hai đường thẳng:  d1  : x y z   3 m x 1 y  z   Với giá trị m  d1   d2  cắt nhau? A m B m C m D m Hướng dẫn giải  x  2s  x  1  3t   Phương trình tham số  d1  :  y  3s ,  s    d  :  y  5  2t ,  t   z  ms z  t    d2  : Để  d1   d2   3t  s  (1)  cắt hệ phương trình sau có nghiệm: 2t  3s  (2) ms  t (3)  t  Từ (1) (2) ta có:  Thế s  t  vào (3) ta m   s  Chọn đáp án A VD 58 x   t  Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hai đường thẳng d :  y   t z   t   x   2t   d  :  y  1  2t  Trong mệnh đề sau đây, mệnh đề ?  z   2t   A d cắt d  B d d  chéo C d  d  D d€d  Hướng dẫn giải Phương pháp tự luận : Đường thẳng d có VTCP u  (1;1; 1) Đường thẳng d  có VTCP u  (2;2; 2) Ta thấy u  2u nên u , u  hai vectơ phương Suy d€d  d  d  Mặt khác, lấy M (1;2;3)  d , thay vào phương trình tham số đường thẳng d  ta được: SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TỐN HỌC BẮC TRUNG NAM TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA Trang | 114  t   1   2t     (vô nghiệm) Suy M (1; 2;3)  d  2  1  2t   t   3   2t     t    Từ suy d€d ' Chọn đáp án D Dạng 17 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Phương pháp giải:  Cho điểm M  x0 ; y0 ; z0  đường thẳng  : x  x0 y  y0 z  z0 Khoảng cách từ M   a b c đến d Ký hiệu : d  M ,    M M1 , u    d M ,   u VD 59 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho điểm M  2; 0;1 đường thẳng d có phương trình x 1 y z    Khoảng cách từ điểm M tới đường thẳng d A 12 B C D 12 Hướng dẫn giải Phương pháp tự luận: Gọi H hình chiếu M đường thẳng d H  d  H (1  t; 2t;  t ) Ta có: MH  (t  1; 2t; t  1) u  (1;2;1) VTCP d Vì MH  d  MH  u  MH u   t   4t  t    t  nên H (1; 0; 2) Khoảng cách từ điểm M tới đường thẳng d độ dài đoạn MH Ta có MH  MH  ( 1)2  02  12  Chọn đáp án C Phương pháp trắc nghiệm : Áp dụng cơng thức tính khoảng cách từ M tới d là: h  SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM M M , u   , với M  d u TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 115 Dạng 18 Khoảng cách hai đường thẳng chéo Phương pháp giải:  x  x1  at  x  x2  a ' t    Cho hai đường thẳng chéo : 1 :  y  y1  bt  :  y  y2  b ' t  z  z  ct z  z  c 't   Khoảng cách hai đường thẳng   Ký hiệu d  1;    Ta có :  qua M1   x1; y1; z1  có u1   a; b; c  ,  qua M   x2 ; y2 ; z2  có u2   a '; b '; c '   Khi đó: d  1 ,    VD 60 u1 , u2  M1M   u1 , u2    Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hai đường đường thẳng  1  :  2  : x y 1 z    Khoảng cách  1     là: 6 A.3 B C 14 Hướng dẫn giải qua điểm A(3; 2; 1) có véctơ phương u1 ( 4;1;1) qua điểm B(0;1; 2) có véctơ phương u2 ( 6;1; 2) AB x  y  z 1   , 1 4 ( 3;3;3), u1 , u2 D.9 (1; 2; 2) u1 , u2 AB d 1, u1 , u2 Chọn đáp án A VD 61 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hai đường thẳng d1 : d2 : x 7 y 5 z 9   , 1 x y  z  18   Khoảng cách hai đường thẳng d1 d là: 1 A.25 B.20 C.15 Hướng dẫn giải D 15 Gọi M  7;5;9   d1 , H  0; 4; 18   d2 Ta có MH   7; 9; 27  , ad2   3; 1;  suy  MH , a d    MH , ad    63; 109; 20  Vậy d  d1 , d   d  M , d     25   a d2 Chọn đáp án A SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TỐN HỌC BẮC TRUNG NAM TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA VD 62 Trang | 116 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , khoảng cách hai đường thẳng d1 : x  y z 1 x7 y2 z     d : là: 12 6 8 6 A 35 17 B 35 17 854 29 Hướng dẫn giải C D 30 d1 có vectơ phương u1 (4; 6; 8) ; d có vec tơ phương u2 (6;9;12) Ta có: 6 8   nên nên u1 u phương  d1 d song song trùng 6 12 Chọn A(2;0; 1)  d1 , B(7; 2;0)  d Ta có: AB (5; 2;1) ;  AB, u2   (15; 66;57)  AB, u2  (15)2  (66)2  (57)2     30 u2 (6)  (9)2  (12)2 Khi : d (d1 , d )  d (A, d )  Chọn đáp án D Dạng 19 Góc hai đường thẳng Phương pháp giải:  Cho hai đường thẳng : d : x  x0 y  y0 z  z0 x  x1 y  y1 z  z1 d ' :     a b c a' b' c'  Gọi    d , d ' Thì : cos  VD 63 u.u '  u u' aa'  bb ' cc ' a  b  c a '2  b '2  c '2 2  x  1  t  Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , số đo góc tạo hai đường thẳng  d1  :  y  z   t   x   2t   d  :  y  t là:  z  2t  o B.60o A.90 C.30o Hướng dẫn giải Véctơ phương d1 : u1 (1;0;1) Véctơ phương d : u2 ( 2;1; 2) Ta có: u1.u2 d1 d2 Vậy số đo góc tạo d1 d là: 90o Chọn đáp án A SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TỐN HỌC BẮC TRUNG NAM D.45o TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA VD 64 Trang | 117  x  1  t  Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hai đường thẳng  1  :  y  2t z   t  x   t     :  y   2t Với giá trị m  1   2  hợp với góc 60o?  z   mt  A m B m C m D m 2 Hướng dẫn giải Véctơ phương : u1 (1; 2;1) Véctơ phương : u2 (1; 2; m) Ta có: cos 60o cos u1 , u2 m m2 3 m Chọn đáp án A VD 65 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , số đo góc đuờng thẳng  x   2t x 2 y  z 3  :   d :  y  1  t 1 1  z   3t  B 300 A 00 C 900 Hướng dẫn giải  có vec tơ phương u (1;1;1) ; d có vec tơ phương ud (2; 1;3) u ud  (1)2  1.(1)  1.3  nên  , d   900 Chọn đáp án C Dạng 20 Vị trí tương đối đường thẳng mặt cầu Phương pháp giải  Cho mặt cầu S  I ; R  đường thẳng  Gọi H hình chiếu I  d  IH khoảng cách từ I đến   Ta có:  d  R suy  cắt S  I ; R   d  R suy  tiếp xúc với S  I ; R   d  R suy  không cắt S  I ; R  SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM D 600 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA VD 66 Trang | 118 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz Cho đường thẳng d mặt cầu  S  có phương trình  x  1 t  d :  y   t , ( S ) : x  ( y  1)  ( z  1)  Giao điểm đường thẳng mặt cầu có tọa  z   2t  độ: A  2;0;0  , 1;3;  B  2; 2;  , 1; 2;3 C  2; 2;  , 1;3;  D  2; 2;0  , 1; 2;3 Hướng dẫn giải Thay x, y, z từ phương trình tham số d vào phương trình mặt cầu  S  ta được:  t   1; 2;3 (1  t )2  (2  t )  (2t  1)   6t  6t    t  1   2; 2;0  Chọn đáp án D VD 67 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz Cho đường thẳng d mặt cầu  S  có phương trình  x   3t  d :  y  t , ( S ) :  x  1  y  z  11 Gọi A, B giao điểm đường thẳng  z t  d mặt cầu  S  Độ dài đoạn thẳng AB bằng: A 11 B 33 C 11 Hướng dẫn giải D 11 Thay x, y, z từ phương trình tham số d vào phương trình mặt cầu  S  ta được: t   A  4;1;1 (3t )2  (t )2  (t )2  11  11t  11     AB  36    11 t  1  B  2; 1; 1 Chọn đáp án C SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TỐN HỌC BẮC TRUNG NAM TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA Trang | 119 C BÀI TẬP CÓ GIẢI DẠNG TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN Câu [SGK - NC] Tọa độ hình chiếu vng góc điểm M  2;0;1 đường thẳng x 1 y z    là: A 1;0;2  B  2;2;3 d: C  0; 2;1 D  1; 4;0  Hướng dẫn giải: Phương pháp trắc nghiệm: Nhập vào máy tính: 1  A     B   11  C  Sau đó: CALC A  1, B  0, C  ta  chọn đáp án A CALC A  2, B  2, C  ta 6   loại đáp án B CALC A  0, B  2, C  ta   loại đáp án C CALC A  1, B  4, C  ta 12   loại đáp án D Chọn đáp án A Phương pháp tự luận: Đường thẳng d có vectơ phương ud  1;2;1 Gọi H hình chiếu vng góc M d  H  d  H 1  t;2t;2  t  MH   t  1;2t; t  1 Ta có: MH.ud   1 t  1   2t   1 t  1   t  Vậy H 1;0;2  Chọn đáp án A Câu  x   4t  [SGK - NC] Cho điểm A 1;1;1 đường thẳng  y  2  t Hình chiếu A lên d có tọa  z  1  2t  độ là: A  2; 3;1 B  2; 3; 1 C  2;3;1 D  2;3;1 Hướng dẫn giải: Phương pháp trắc nghiệm: Nhập vào máy tính: 4 1  A   11  B   1  C  Sau đó: CALC A  2, B  3, C  ta  chọn đáp án A CALC A  2, B  3, C  1 ta   loại đáp án B SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TỐN HỌC BẮC TRUNG NAM TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA Trang | 120 CALC A  2, B  3, C  ta   loại đáp án C CALC A  2, B  3, C  ta 10   loại đáp án D Chọn đáp án A Phương pháp tự luận: Đường thẳng d có vectơ phương ud   4; 1;2  Gọi H hình chiếu vng góc A d  H  d  H   4t; 2  t; 1  2t  AH    4t; 3  t;2t   Ta có: AH.ud   4   4t   1 3  t    2t     t  Vậy H  2; 3;1  Chọn đáp án A Câu  x  8  4t  [SBT - NC] Cho đường thẳng d :  y   2t điểm A(3; 2;5) Tọa độ hình chiếu z  t  điểm A d A (4; 1;3) B ( 4;1; 3) C (4; 1; 3) D (4; 1;3) Hướng dẫn giải: Phương pháp trắc nghiệm: Nhập vào máy tính:   A   2  B   1  C  Sau đó: CALC A  4, B  1, C  ta  chọn đáp án A CALC A  4, B  1, C  3 ta 42   loại đáp án B CALC A  4, B  1, C  3 ta   loại đáp án C CALC A  4, B  1, C  ta 32   loại đáp án D Chọn đáp án A Phương pháp tự luận: Đường thẳng d có vectơ phương ud   4; 2;1 Gọi H hình chiếu vng góc A d  H  d  H  8  4t;5  2t; t  AH   11  4t;7  2t; t  5 Ta có: AH.ud    11  4t     2t   1 t  5   t  Vậy H  4; 1;3  Chọn đáp án A SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Câu Trang | 121 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho đường thẳng M 2; 1;5 Gọi H hình chiếu vng góc M A H 4;0;2 B H 2;0;1 x y z điểm 1 Tọa độ H là: : C H 4;1; D H 4;0; Hướng dẫn giải: Phương pháp trắc nghiệm: Nhập vào máy tính: 1  A   1 1  B   1  C  Sau đó: CALC A  4, B  0, C  ta  chọn đáp án A CALC A  2, B  0, C  ta   loại đáp án B CALC A  4, B  1, C  ta 1   loại đáp án C CALC A  2, B  3, C  ta   loại đáp án D Chọn đáp án A Phương pháp tự luận: Gọi H   t; t;2  t      Ta có: MH   t  2; t  1; t  3 MH u   t  Suy H  4;0;2  Chọn đáp án A Câu  x   2t  Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho đường thẳng    :  y   t điểm A 1;0;  z  7  t  Gọi A điểm đối xứng với A qua    Tọa độ A là: A 9;6; 11 B 9;3;11 C 3; 2;11 D 9;6;11 Hướng dẫn giải: Phương pháp trắc nghiệm: Nhập vào máy tính: 1  A   1  B   1 1  C  Sau đó: CALC A  9, B  6, C  11 ta  chọn đáp án A CALC A  9, B  3, C  11 ta 25   loại đáp án B CALC A  3, B  2, C  11 ta 14   loại đáp án C CALC A  9, B  6, C  11 ta 22   loại đáp án D Chọn đáp án A Phương pháp tự luận: Gọi H   2t;  t; 7  t  hình chiếu điểm A lên đường thẳng    Ta có: AH    2t ;  t ; 6  t  SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TỐN HỌC BẮC TRUNG NAM TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA Trang | 122 Vectơ phương đường thẳng    u   2; 1;1 Vì H hình chiếu điểm A lên đường thẳng    nên AH      AH u   t  Với t  ta có H  5;3; 6  Khi A điểm đối xứng với A qua    H trung điểm đoạn AA  x A  xH  xA  Vậy: tọa độ điểm H  x A  yH  y A  A  9;6; 11 z  2z  z H A  A Chọn đáp án A Câu Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho điểm M 1; 3;  đường thẳng  có phương trình x 1  y  z 2 Tọa độ hình chiếu vng góc điểm M đường thẳng  A  0; 2;1 B  1;1; 1 C 1;0;  D  2; 2;3 Hướng dẫn giải: Phương pháp trắc nghiệm: Nhập vào máy tính: 11  A   3  B   1  C  Sau đó: CALC A  0, B  2, C  ta  chọn đáp án A CALC A  1, B  1, C  1 ta 3   loại đáp án B CALC A  1, B  0, C  ta 6   loại đáp án C CALC A  2, B  2, C  ta 12   loại đáp án D Chọn đáp án A Phương pháp tự luận: Gọi H (1  t; 2t;  t )   hình chiếu vng góc M đường thẳng  Ta có MH  (t; 2t  3; t ) u  (1; 2;1) VTCP đường thẳng  Vì MH    MH u   t  2(2t  3)  t   6t    t  1 nên H (0; 2;1) Chọn đáp án A Câu [SBT - NC] Cho đường thẳng d : x 1 y 1 z    Hình chiếu vng góc d mặt 1 phẳng tọa độ (Oxy) x   A  y  1  t z    x   2t  B  y  1  t z    x  1  2t  C  y   t z   Hướng dẫn giải Mặt phẳng (Oxy) có vectơ pháp tuyến n   0;0;1 , lấy M 1; 1;2   d SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM  x  1  2t  D  y  1  t z   TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 123 Toạ độ giao điểm A d (Oxy) nghiệm hệ  x  3  x 1 y 1 z      1   y  3  A  3; 3;0    z   z  Gọi H hình chiếu M (Oxy)  H 1; 1;0  Đường thẳng d  qua H 1; 1;0  nhận u  AH   2;1;0  làm vectơ phương nên có  x   2t  phương trình:  y  1  t z   Chọn đáp án B Công thức nhanh:  x  x0  at   Hình chiếu vng góc đường thẳng d :  y  y0  bt mặt phẳng  Oxy   z  z  ct   x  x0  at  d  :  y  y0  bt z    x  x0  at   Hình chiếu vng góc đường thẳng d :  y  y0  bt mặt phẳng  Oyz   z  z  ct  x   d  :  y  y0  bt  z  z  ct   x  x0  at   Hình chiếu vng góc đường thẳng d :  y  y0  bt mặt phẳng  Oxz   z  z  ct   x  x0  at  d :  y   z  z  ct  Câu  x   2t  [SBT - NC] Phương trình hình chiếu vng góc đường thẳng d :  y  2  3t mặt z   t  phẳng  Oxy  là: SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA x   A  y  z   t  Trang | 124 x   B  y  2  3t z   t   x   2t  C  y  2  3t z    x   2t  D  y  z   t  Hướng dẫn giải Áp dụng công thức nhanh Chọn đáp án C Câu  x   2t  [SBT - NC] Phương trình hình chiếu vng góc đường thẳng d :  y  2  3t mặt z   t  phẳng  Oyz  là: x   A  y  z   t  x   B  y  2  3t z   t   x   2t  C  y  2  3t z    x   2t  D  y  z   t  Hướng dẫn giải Áp dụng công thức nhanh Chọn đáp án B  x    t  Câu 10 [SBT - NC] Cho đường thẳng d :  y  5t mặt phẳng  P  : 3x  y  3z   Gọi   z   3t  d  hình chiếu d mặt phẳng  P  Trong vectơ sau, vectơ vectơ phương d  ? A  5; 51; 39  B 10; 102; 78  C  5;51;39  D  5;51;39  Hướng dẫn giải: Đường thẳng d có vectơ phương ud   1;5;3 Mặt phẳng  P  có vectơ pháp tuyến nP   3; 2;3 Gọi  Q  mặt phẳng chứa d vng góc với mặt phẳng  P  , suy  Q  có vectơ pháp tuyến nQ   ud ; nP    21;12; 13 Đường thẳng d    P    Q  có vectơ phương u   n p ; nQ    10;102;78  Chọn đáp án D SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TỐN HỌC BẮC TRUNG NAM TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA Trang | 125  x   4t  Câu 11 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hai đường thẳng  d1  :  y  2  t  z  1  t   x  6t   d  :  y   t  Độ dài đoạn vng góc chung  d1   d2  là:  z   2t   A.3 B.6 C Hướng dẫn giải Gọi M   4t; 2  t; 1  t   (d1 ) N  6t ;1  t ;2  2t     d2  D 17 Ta có: MN   3  4t  6t ;3  t  t ;3  t  2t   Vec tơ phương  d1   d2  là: u1   4;1;1 ; u2   6;1;   MN  u1  MN u1  Khi MN đoạn vng góc chung  d1   d2     MN u2   MN  u2 18t  27t   18 t    27t  41t   27 t   t  Với  , ta có MN  1; 2;   MN  t   Chọn đáp án A Câu 12 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hai đường thẳng  d1  :  d2  : A a x  y 1 z 1   1 x y2 z2   Đường vng góc chung  d1   d2  có vectơ phương là: 3 3 3; 3;1 B a 3; 3;3 C a 1;0; D a 1; 3;2 Hướng dẫn giải: Phương pháp trắc nghiệm: Nhập vào máy tính: A  1B  3C Sau đó: CALC A  3, B  3, C  ta  chọn đáp án A CALC A  3, B  3, C  ta 18   loại đáp án B CALC A  1, B  0, C  1 ta 1   loại đáp án C CALC A  1, B  3, C  ta 11   loại đáp án D Chọn đáp án A Phương pháp tự luận: Ta có: Vec tơ phương  d1   d2  là: u1   2; 1;3 ; u2   3; 2; 3 Gọi    đường vuông góc chung  d1   d2  SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 126      d1        d  Khi đó: vectơ phương    u  u1 ; u2    3; 3;1 Chọn đáp án A Câu 13 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hai đường thẳng d1 : d2 : x7 y3 z9   1 x  y 1 z 1   Phương trình đường vng góc chung d1 d là: 7 x  y 1 z 1   1 4 x7 y3 z9   C 1 A x7 y3 z9   x 7 y 3 z 9   D 4 Hướng dẫn giải: B Phương pháp trắc nghiệm: Nhập vào máy tính: 1A  2B 1C ( 1;2; 1 toạ độ vectơ phương d1 ) Sau đó: CALC A  1, B  2, C  4 ta   loại đáp án A CALC A  2, B  1, C  ta  chọn đáp án B CALC A  2, B  1, C  ta 4   loại đáp án C CALC A  2, B  1, C  4 ta   loại đáp án D Chọn đáp án B Phương pháp tự luận: Gọi A, B đoạn vng góc chung d1 d A   m;3  2m;9  m   d1 B   7n;1  2n;1  3n   d AB   4  7n  m; 2  2n  2m; 8  3n  m   6n  6m  m   AB.n1  nên A  7; 3;  , B  3;1;1 , AB   4; 2; 8     62 n  m  n  AB n      x7 y3 z9   Đường thẳng AB qua A có phương trình Do Chọn đáp án B x   t x 2 y2 z 3    Câu 14 [SBT - NC] Cho hai đường thẳng d1 : ; d2 :  y   2t điểm 1  z  1  t  A(1;2;3) Đường thẳng  qua A , vng góc với d1 cắt d có phương trình SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TỐN HỌC BẮC TRUNG NAM TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA x 1  x 1  C A y 2 z 3  3 5 y 2 z 3  Trang | 127 x 1 y  z    1 3 5 x 1 y  z    D 5 B Hướng dẫn giải Phương pháp trắc nghiệm: Nhập vào máy tính: A 1B  1C Sau đó: CALC A  1, B  3, C  5 ta  chọn đáp án A CALC A  1, B  3, C  5 ta 4   loại đáp án B CALC A  1, B  3, C  ta   loại đáp án C CALC A  1, B  3, C  4 ta 6   loại đáp án D Chọn đáp án A Phương pháp tự luận: Đường thẳng d1 có vectơ phương ud   2; 1;1 Giả sử d cắt đường thẳng d2 N 1  b;1  2b; 1  b   d2 Do đường thẳng d qua A 1;2;3 vng góc với d1 nên AN.ud    b   1 2b  1  1 b     b  1  N  2; 1; 2  Phương trình đường thẳng d qua A 1;2;3 có VTCP AN  1; 3; 5 x 1 y  z    3 5 Chọn đáp án A x 3 y 3 z   , mặt phẳng ( ) : x  y  z   điểm A(1;2; 1) Đường thẳng  qua A cắt d song song với mp( ) có phương trình Câu 15 [SBT - NC] Cho đường thẳng d : x 1 y  z 1   x 1 y  z 1   C 2 1 A x 1 y  z 1   1 2 x 1 y  z 1   D B Hướng dẫn giải Phương pháp trắc nghiệm: Vì €  nên u n  Nhập vào máy tính: 1A  1B  1C Sau đó: CALC A  1, B  2, C  ta   loại đáp án A SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 128 CALC A  1, B  2, C  ta 4   loại đáp án B CALC A  1, B  2, C  1 ta  chọn đáp án C CALC A  1, B  2, C  ta   loại đáp án D Chọn đáp án C Phương pháp tự luận: Mặt phẳng   có vectơ pháp tuyến n  1;1; 1 Giả sử  cắt đường thẳng d N   b;3  3b;2b   d AN   b  2;3b  1;2b  1 Do đường thẳng d qua A 1;2; 1 song song với   nên AN.n  1 b    1 3b  1  1 2b  1   2b  2  b  1  N  2;0; 2  Phương trình đường thẳng d qua A 1;2; 1 có VTCP AN  1; 2; 1 x 1 y  z 1   2 1 Chọn đáp án C x  t x  y  z 1  Câu 16 [SBT - NC] Cho hai đường thẳng d :   ; d  :  y  t Đường thẳng qua 2 z   A  0;1;1 cắt d  vng góc d có phương trình x y 1 z 1   3 x 1 y z 1   C 1 3 A x  1 x  D 1 B y 1 z 1  y 1 z 1  3 Hướng dẫn giải Phương pháp trắc nghiệm: Nhập vào máy tính: 2 A  B  1C Sau đó: CALC A  1, B  3, C  ta 4   loại đáp án A CALC A  1, B  3, C  ta 12   loại đáp án B CALC A  1, B  3, C  ta  chọn đáp án C CALC A  1, B  3, C  ta  chọn đáp án D Mặt khác đường thẳng qua A  0;1;1 nên chọn đáp án D Phương pháp tự luận: SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM ... điểm biết véctơ phương Phương pháp giải: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , đường thẳng d qua điểm M  x0 ; y0 ; z0  có vectơ phương a   a1 ; a2 ; a3  với a 12  a 22  a 32  có phương trình... đáp án A Phương pháp tự luận:  d1  có VTCP u1   0 ;2; 1 ,  d2  có VTCP u1   3; 2; 0 Gọi M 1;10  2t1; t1    d1  , N  3t2 ;3  2t2 ; 2    d  Suy MN   3t2  1; 2t2  2t1 ... phương án A C Xét thấy điểm A(1; 2; 3) thỏa mãn phương trình tắc phương án B nên chọn B đáp án VD Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , đường thẳng qua hai điểm A 1; 2; 1 , B  2; 1;3 có phương