ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN THỊ THỜI SỐ MŨ LYAPUNOV VÀ SỰ KHƠNG ỔN ĐỊNH Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 60460102 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS LÊ HUY TIỄN HÀ NỘI−2016 LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung khóa luận, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Lê Huy Tiễn, người tận tình hướng dẫn để em hồn thành luận văn Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới tồn thể thầy giáo khoa Toán - Cơ - Tin học, Đại học Khoa Học Tự Nhiên, Đại Học Quốc Gia Hà Nội dạy bảo em tận tình suốt trình học tập khoa Nhân dịp em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thành viên nhóm seminar hệ động lực trường KHTN có góp ý quý báu để em hoàn luận văn tốt nghiệp Nói riêng, em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới bạn Lê Đức Nhiên, người giúp đỡ nhiều hướng dẫn em việc sử dụng Latex Maple Hà Nội, ngày 16 tháng 11 năm 2016 Học viên Nguyễn Thị Thời Mục lục Lời nói đầu Một số khái niệm hệ động lực rời rạc 1.1 Số mũ Lyapunov số mũ Lyapunov mạnh 1.2 Tập bất biến hỗn độn nhạy cảm quỹ đạo 1.3 Sự ổn định Lyapunov quỹ đạo 13 1.4 Bổ đề Gronwall rời rạc 15 Số mũ Lyapunov nhạy cảm 18 2.1 Sự nhạy cảm quỹ đạo với số mũ Lyapunov dương 19 2.2 Sự nhạy cảm lớp hệ hỗn độn 23 2.3 Sự không nhạy cảm quỹ đạo với số mũ Lyapunov âm 34 2.4 Sự nhạy cảm hệ không ô tô nôm 38 Kết luận 42 Tài liệu tham khảo 43 LỜI NÓI ĐẦU Năm 1975, Li Yorke hai nhà toán học sử dụng khái niệm hỗn độn lí thuyết hệ động lực để chứng minh số tính chất điểm tuần hồn ánh xạ đường thẳng thực Sau đó, có nhiều nỗ lực để làm rõ khái niệm hỗn độn cho hệ động lực rời rạc Tiêu biểu, năm 1989, Devaney đưa định nghĩa tường minh cho tập bất biến hỗn độn kết sau Banks, Brooks, Cairns, Davis, Stacey (1992) Sự phụ thuộc nhạy cảm vào điều kiện ban đầu hay không ổn định phần quan trọng lí thuyết trên, vậy, việc tìm hiểu tính chất cho tính khơng ổn định quỹ đạo quan trọng cần thiết Năm 2010, Palmer cộng đưa số kết đặc trưng phụ thuộc nhạy cảm theo số mũ Lyapunov nhằm đưa thêm vài điều kiện đủ cho việc kiểm tra tập bất biến hỗn độn Trong luận văn này, em tập trung trình bày lại kết gần số mũ Lyapunov nhạy cảm Bố cục luận văn gồm phần mở đầu, hai chương, phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương dành để trình bày vài khái niệm hệ động lực rời rạc Chương đề cập tới kết Palmer số mũ Lyapunov nhạy cảm Luận văn chi tiết hóa chứng minh Palmer báo [3] viết năm 2010 Hà Nội, ngày 05 tháng 09 năm 2016 Nguyễn Thị Thời Chương Một số khái niệm hệ động lực rời rạc Mục đích chương nhằm giới thiệu vài khái niệm hệ động lực rời rạc thông qua phép lặp hàm biến Cụ thể, ta tìm hiểu quỹ đạo điểm I ⊂ R lặp đi, lặp lại hàm số: x1 = f (x0 ) xn = f (xn−1 ) với n ≥ 1, ta gọi x0 điều kiện ban đầu dãy {xn }∞ n=0 quỹ đạo điểm x0 tác động hàm f Trong trường hợp chiều, việc dùng đồ thị hàm số, ta dùng nhiều cơng cụ giải tích khác giải tích định lí Lagrange, định lí modul liên tục, để phân tích dáng điệu động lực quỹ đạo điểm Các định nghĩa chương tham khảo chủ yếu sách C Robinson [1] 1.1 Số mũ Lyapunov số mũ Lyapunov mạnh Trước tiên, ta đưa định nghĩa số mỹ Lyapunov, số biểu diễn tốc độ tăng trưởng mũ đạo hàm hàm số f : I ⊂ R → R theo biến thiên số phép lặp n Tức là, |(f n ) (x0 )| ∼ Ln log(|(f n ) (x0 )|) ∼ log(Ln ) = n log(L) hay (1/n)(log(|(f n ) (x0 )|)) ∼ log(L) (n → ∞) Trong luận văn này, ta xét trường hợp tốt giới hạn tồn n tiến vô Cụ thể, ta có định nghĩa Định nghĩa 1.1.1 Cho f : R → R hàm thuộc lớp C Với điểm x0 , ta định nghĩa số mũ Lyapunov quỹ đạo {xn }∞ n=0 (kí hiệu λ(x0 )) λ(x0 ) = lim n→∞ n + n ln |f (xk )| k=0 giới hạn tồn Nhận xét 1.1.1 Ta thấy rằng, vế phải đẳng thức giá trị trung bình dọc theo quỹ đạo logarithm đạo hàm Định nghĩa số mũ tương tự luận án Lyapunov năm 1892 Năm 1968, cơng trình Oseledec [7] giới hạn tồn với hầu hết điểm Ví dụ 1.1.1 Xét ánh xạ g : [0, 1] → R xác định   2x với ≤ x ≤ 0, g(x) =  2(1 − x) với 0, ≤ x ≤ Nếu x0 điểm cho xn = g n (x0 ) = 0, với n đó, λ(x0 ) khơng xác định đạo hàm g điểm 0, không tồn Những điểm x0 tập khơng q đếm Còn lại điểm x0 ∈ [0, 1] mà g (xn ) = với n số mũ Lyapunov chúng ln Đối với hàm f phức tạp, việc đưa cơng thức xn khó khăn nên ý tưởng ước lượng mũ Lyapunov quỹ đạo sinh hàm f thông qua hàm g đơn giản cần thiết Khái niệm liên hợp tô pô hệ động lực cơng cụ hữu ích để làm điều Ta nói hai hàm f g liên hợp tơ pô tồn đồng phôi h thỏa mãn g(x) = h ◦ f ◦ h−1 (x) Ví dụ minh họa cho việc ước lượng số mũ Lyapunov thơng qua hàm liên hợp tơ pơ Ví dụ 1.1.2 Cho hàm f (x) = 4x(1 − x) Ta nghiên cứu số mũ Lyapunov quỹ đạo sinh f số trường hợp cụ thể sau Trường hợp Xét x0 điểm cho xn = f n (x0 ) = 0, với n đó, ln(|f (xn )|) = ln(|f (0, 5)|) = ln = −∞ Do đó, λ(x0 ) = −∞ với điểm x0 thỏa mãn tính chất Trường hợp Xét x0 = λ(x0 ) = ln(|f (0)|) = ln Trường hợp Xét x0 ∈ (0, 1) mà f n (x0 ) khác 0; 0, Theo Ví dụ 6.2 [1] trang 44, ta có hàm f liên hợp tơ pơ với hàm g Ví dụ 1.1.1, đó, hàm h(y) = sin2 (πy/2) Do hàm h khả vi liên tục [0, 1] nên tồn số K > cho h (y) < K với y ∈ [0, 1] Hơn nữa, h (y) > khoảng mở (0, 1) nên với δ > đủ nhỏ, tồn Kδ > cho Kδ < |h (y)| Ta hạn chế quỹ đạo nằm miền [δ, − δ], λ(x0 ) = lim n→∞ n + n ln |f (xk )| k=0 ln |(f n ) (x0 )| n→∞ n + 1 = lim ln |(h ◦ g n ◦ h− 1) (x0 )| n→∞ n + 1 = lim (ln(|h (yn )|) + ln(|(g n ) (y0 )|) + ln(|(h−1 ) (x0 )|)) n→∞ n + 1 ≤ lim (ln(K) + n ln + ln(|(h−1 ) (x0 )|)) n→∞ n + = lim = ln Nhận xét 1.1.2 Số mũ Lyapunov đặc trưng cho dáng điệu tiệm cận đối n k=0 với quỹ đạo {xn }∞ n=0 lim n→∞ n+1 cố định, giới hạn lim n→∞ n+1 n k=0 ln |f ln |f (xk )| tồn với m > (xk+m )| tồn chúng Trong Nhận xét 1.1.2, ta thay điều kiện m cố định thành điều kiện lim n→∞ n+1 n k=0 ln |f (xk+m )| tồn theo m số mũ thu được gọi số mũ mạnh Khái niệm đưa Palmer năm 2010 nhằm nghiên cứu tính ổn định quỹ đạo nói đến Chương Khái niệm số mũ Lyapunov mạnh tương tự khái niệm số mũ Bohl phương trình vi phân Cụ thể, ta có định nghĩa Định nghĩa 1.1.2 Số mũ Lyapunov mạnh, kí hiệu Λ(x0 ) quỹ đạo {xn }∞ n=0 ánh xạ f : I ⊂ R → R xác định Λ(x0 ) = lim n→∞ n i+n−1 ln |f (xk )|, k=i giới hạn tồn tương ứng với i ≥ Do điều kiện hội tụ theo số i ≥ nên sỗ mũ Lyapunov mạnh tồn số mũ Lyapunov tồn hai giá trị Nhưng trường hợp ngược lại khơng Dưới số ví dụ cho số mũ Lyapunov mạnh Ví dụ 1.1.3 Xét hàm f : [0, 1] → R, xác định f (x) = √ x Chọn điều kiện ban đầu x0 = 18 Khi đó, ta có quỹ đạo xn = f n (x0 ) = 81/2n Theo định nghĩa, ta thu số mũ Lyapunov mạnh quỹ đạo sau Λ = lim n→∞ n + 1 n→∞ n + n ln |f (xk )| k=0 n = lim ln k=0 n+1 n→∞ n + = − ln lim = − ln Trong Chương 2, ta đề cập đến việc xét dấu số mũ Lyapunov (mạnh), đặc trưng quan trọng để xác định nhạy cảm quỹ đạo Dưới điều kiện cần cho tính dương số mũ Lyapunov mạnh, mà ta cần dùng tới chương sau Mệnh đề 1.1.1 Cho f : I ⊂ R → R ánh xạ khả vi liên tục Λ(x0 ) > số mũ Lyapunov mạnh quỹ đạo {xn }∞ n=0 Khi inf |f (xn )| > n≥0 Chứng minh Ta có Λ(x0 ) = lim n→∞ n + i+n ln|f (xk )| k=i tồn Theo định nghĩa giới hạn, tồn N > cho với n ≥ N 3Λ(x0 ) Λ(x0 ) < ln|f (xi ).f (xi+1 ) f (xi+n )| < n+1 Lấy n = N ta có e(N +1) Λ(x0 ) < |f (xi ) f (xi+N )| < e3(N +1) Vì f liên tục [0, 1] nên tồn sup f (x0 ) = M [0,1] Λ(x0 ) Với n ≥ |f (xn )| ≥ M −N exp (N + 1)Λ(x0 ) inf |f (xn )| > n≥0 1.2 Tập bất biến hỗn độn nhạy cảm quỹ đạo Để định nghĩa tập bất biến hỗn độn, ta cần có giả thiết rằng, dáng điệu động lực quỹ đạo tập bất biến hỗn độn hay quỹ đạo gần thời điểm ban đầu khơng gần phép lặp đủ lớn Định nghĩa phục thuộc nhạy cảm vào điều kiện ban đầu khái niệm Định nghĩa 1.2.1 Cho ánh xạ f : I ⊂ R → R Quỹ đạo {xn }∞ n=0 sinh f gọi phụ thuộc nhạy cảm vào điều kiện ban đầu tồn số ε0 > cho với số δ > ln có y0 ∈ I thỏa mãn (i) |y0 − x0 | < δ (ii) |f N (y0 ) − f N (x0 )| ≥ ε0 với số tự nhiên N Nếu quỹ đạo với điều kiện ban đầu nằm tập A ⊂ I phụ thuộc nhạy cảm vào điều kiện ban đầu ta nói f nhạy cảm A Ví dụ 1.2.1 Xét ánh xạ f : R → R xác định f (x) = x2 Xét điều kiện ban đầu x0 = 1, ta có quỹ đạo xn = f n (x0 ) = với n Lấy ε0 = 21 Với số δ > đủ nhỏ, chọn y0 = − 2δ Khi đó, quỹ đạo qua điểm y0 n yn = f (y0 ) = δ 1− 2n bước Bước 1, ta ước lượng số điểm quỹ đạo {xn }∞ n=1 gần điểm cân Từ giả thiết định lí, ta rằng, xn gần điểm cân ci , sau lần lặp thứ mi , quỹ đạo dần điểm bất động qi Ở bước 2, ta sử dụng Hệ 2.2.2 để chứng minh rằng, với n mà xn gần điểm cân ci yn , hai quỹ đạo tách Mặt khác, khơng có n để xn gần điểm cân yn , ta sử dụng lại kĩ thuật Định lí 2.1.1 ước lượng bước để khẳng định tương tự bước Bước phần kết luận định lí Trước bắt đầu chứng minh định lí, ta cần đưa số kí hiệu Theo giả thiết (ii), tồn hữu hạn điểm cân ci (i = 1, , I) Ta kí hiệu mi số m cho f m (ci ) = qi Cũng theo giả thiết (ii), ta có ∆ = min |ci − qj |, i,j i = j|ci − cj | > Tiếp theo, ta chọn r, δ0 Hệ 2.2.2 với p = qi Theo Định lí i Taylor (f mi ) (ci ) = ta có f mi (x) − f mi (ci ) 1 → Di = (f mi ) (ci ) = f (f mi −1 (ci )) f (f (ci ))f (ci ) = (x − ci ) 2 x → ci Chọn η0 > (độc lập với i) cho |f mi −1 (x) − qi | < |x − ci | ≤ η0 ⇒ |Di | ≤ |Di | ≤ (x − ci )2 Tiếp theo, ta chọn δ > cho max |Di |δ ≤ δ0 , δ < ∆, i δ ≤ η0 /2, mδ = inf{|f (x)| : |x − ci | ≤ δ với i đó} > 0, N(δ) = ln ∆ δ −1 6M2 (1 + 3/r) − max mi ≥ , ln M1 mδ λ(x0 ) M1 = max |f (x)|, M2 = max |f (x)| 29 Khi đó, chọn η1 > cho max |Di |η12 ≤ δ0 η1 ≤ η0 /2, i η2 > cho η2 ≤ λ(x0 ) Aδ , 6M2 Aδ = min{|f (x)| : |x − ci | ≥ δ với i} Dưới chứng minh chi tiết Chứng minh Bước Cho n1 < n2 < dãy cho |xnj − ci | < δ với i Ta định nghĩa tập In = {k : ≤ k ≤ n : tồn j cho k = nj } Jn số phần tử In Mục đích bước ước lượng cận cho số Jn Gọi n số nj Do f mi (ci ) = qi , ta thu |xn+mi +k − qi | = |f mi +k (xn ) − f mi +k (ci )| ≤ M1mi +k δ (k ≥ 0) Với i |xn+mi +k − cj | ≥ |qi − cj | − |xnmi +k − qi | ≥ ∆ − M1mi +k δ ≥ δ với k ≤ N(δ) Do đó, với j nj+1 − nj ≥ N(δ) Khi đó, Jn n ≥ nJn ≥ nJn − n1 = (nj − nj−1 ) ≥ (Jn − 1)N(δ) j=2 30 Nên Jn 1 ≤ + n+1 N(δ) n + (2.3) Bước Giả sử n = nj cho tồn i để < |xn − ci | < δ Lấy {yk }∞ k=0 quỹ đạo khác thỏa mãn với n = nj |yn − xn | ≤ η1 r |yn − ci | |xn − ci | ≤ (2.4) Khi đó, ta hai quỹ đạo x y tách khoảng cách δ0 /2 Thật vậy, Do < |xn − ci | < δ < η0 /2 nên |Di ||xn − ci |2 ≤ |xn+mi − qi | ≤ |Di ||xn − ci |2 2 Bằng lập luận tương tự, < |yn − ci | < δ + η1 ≤ η0 nên |Di ||yn − ci |2 ≤ |yn+mi − qi | ≤ |Di ||yn − ci |2 2 Từ hai đẳng thức cuối đẳng thức (2.4) dẫn đến |xn+mi − qi | |xn − ci |2 ≤ r ≤3 yn+mi − qi |yn − ci |2 Cho nên |xn+mi − qi | ≤ r|yn+mi − qi | ≤ |yn+mi − qi | ≤ |Di |(δ + η1 )2 ≤ δ0 Khi đó, theo Hệ 2.2.2 với p = qi , ta áp dụng cho xn+mi yn+mi i tồn N > cho |f N (yn+mi ) − f N (xn+mi )| > δ0 Điều có nghĩa với i, j mà r |yn − ci | |ynj − xnj | < η1 j < |xnj − ci | < δ, |xnj − ci | ≤ hai quỹ đạo tách với khoảng cách δ0 /2 31 Bước Ta đặt S = {y ∈ [0, 1] : f n (y) = xn với n > đó} ¯ S với j Ta giả sử y0 = x0 , y0 ∈ r |yn − ci |, j |xnj − ci | > (2.5) i số cho < |xnj cj | < δ Khi đó, tương tự chứng minh Định lí 2.1.1, ta giả sử |yn − xn | ≤ η2 với n ≥ mâu thuẫn Tương tự Định lí 2.1.1, ta đặt wn = yn − xn Khi wn thỏa mãn wn+1 = [an + bn ]wn ,   |f (x ) − f (c )| ≥ m |x − c | n i δ n i |an | = |f (xn )| =  ≥A δ |xn − ci | < δ |xn − ci | ≥ δ bn ≤ M2 |wn | Khi đó, n = nj (với j đó) cho < |xn − ci | < δ (với i đó) M2 (1 + 3/r) bn M2 |yn − xn | M2 (|yn − ci | + |xn − ci |) ≤ ≤ (2.6) ≤ an 2mδ |xn − ci | 2mδ |xn − ci | 2mδ Mặt khác, n = nj với j bn M2 |yn − xn | M2 η ≤ ≤ an 2|f (xn )| 2Aδ 32 (2.7) ¯ S, Tiếp theo, an + bn = với n ≥ y0 ∈ n+1 n k=0 ln |ak + bk | = n+1 n k=0 ln |ak | + n+1 > λ(x0 )/2 − n+1 n k=0 n ln + k=0 bk ak (2.8) bk ln + ak với n đủ lớn Khi đó, sử dụng (2.3), (2.6), (2.7) với bất đẳng thức ln(1 + x) ≤ x với x ≥ 0, theo nghĩa In Jn (trong Bước 1) ta thu n+1 n ln + k=0 bk ak  =  n+1 k∈I / n ≤  1+ bk + ak ln + k∈In n + − Jn M2 η2 ln + n+1 2Aδ M2 η + + 2Aδ N (δ) n + λ(x0 ) λ(x0 ) λ(x0 ) + + ≤ 12 12 12 λ(x0 ) = ≤ + bk  ak M2 (1 + 3/r) Jn ln + n+1 2mδ (2.9) M2 (1 + 3/r) 2mδ n≥ 6M2 (1 + 3/r) − mδ λ(x0 ) Từ ước lượng (2.8) (2.9) ta kết luận n+1 n ln |ak + bk | > k=0 λ(x0 ) n đủ lớn (mâu thuẫn) Vậy với y0 = x0 , y0 ∈ / S phương trình (2.5) với j với n ≥ 0, ta có |yn − xn | > η2 33 Bước Từ Bước Bước ta kết luận với quỹ đạo yn mà y0 = x0 , y0 ∈ / S, tồn n ≥ cho |yn − xn | > ε = min(δ0 /2, η1 , η2 ) Hơn nữa, S đếm hầu khắp nơi, nên với δ > 0, tồn y0 ∈ /S cho < |y0 − x0 | < δ Định lí chứng minh 2.3 Sự không nhạy cảm quỹ đạo với số mũ Lyapunov âm Định lý 2.3.1 Cho f : [0, 1] → [0, 1] thuộc lớp C Nếu quỹ đạo {xn }∞ n có số mũ Lyapunov âm λ(x0 ) ổn định n ln|f n→∞ n+1 k=0 Chứng minh Do lim (xk )| = λ(x0 ) nên với > 0, tồn N ( ) > cho với n > N λ(x0 ) − < n n−1 ln|f (xk )| < λ(x0 ) + k=0 n(λ(x0 ) − ) < ln|f (x0 ).f (x1 ) f (xn−1 )| < n(λ(x0 ) + ) exp n(λ(x0 ) − ) < |f (x0 ).f (x1 ) f (xn−1 )| < exp n(λ(x0 ) + ) Với n > k > N ta có   |f (x0 ).f (x1 ) f (xn−1 )| < en(λ(x0 )+ )  |f (x0 ).f (x1 ) f (xk−1 )| > ek(λ(x0 )− ) Khi |f (xk ) f (xn−1 )| < en(λ(x0 )+ )−k(λ(x0 )− ) = e(n−k)(λ(x0 )+ Nếu ≤ k ≤ N tồn ck ≥ cho |f (xk ) f (xn−1 )| ≤ ck e(n−k)(λ(x0 )+ 34 )+2k )+2k Chọn c = max ck , với ≤ k ≤ N k=0,N |f (xk ) f (xn−1 )| ≤ ce(n−k)(λ(x0 )+ )+2k Chú ý k = n ta coi vế trái bất đẳng thức Đặt λ(x0 ) + = λ Chọn > đủ nhỏ cho λ(x0 ) + = λ + < Xét {yn }∞ n=0 quỹ đạo khác f đặt wn = yn − xn Ta có wn+1 = yn+1 − xn+1 = f (yn ) − f (xn ) = f (xn + wn ) − f (xn ) = f (xn )wn + [f (xn + wn ) − f (xn ) − f (xn )wn ] = f (xn )wn + gn (wn ), với gn (wn ) = f (xn + wn ) − f (xn ) − f (xn )wn Áp dụng định lí Lagrange, ta có |gn (wn )| = |f (xn + wn ) − f (xn ) − f (xn )wn | ≤ |f (xn )wn − f (xn )wn |, với xn ∈ (xn ; xn + wn ) = |f (xn ) − f (xn )||wn | ≤ |f (xn )||xn − xn ||wn | ≤ M |wn |2 , với M = max |f (x)| x∈[0;1] Quy nạp ta có w1 = f (x0 )w0 + g0 (w0 ) w2 = f (x1 )w1 + g1 (w1 ) = f (x1 )[f (x0 )w0 + g0 (w0 )] + g1 (w1 ) = f (x1 )f (x0 )w0 + f (x1 )g0 (w0 ) + g1 (w1 ) 35 wn =f (xn−1 ) f (x0 )w0 + f (xn−1 ) f (x1 )g0 (w0 ) + + f (xn−1 )gn−2 (wn−2 ) + gn−1 (wn−1 ) Từ ta có |wn | ≤|f (xn−1 ) f (x0 )||w0 | + |f (xn−1 ) f (x1 )||g0 (w0 )| + + |f (xn−1 )||gn−2 (wn−2 )| + |gn−1 (wn−1 )| ≤ cenλ |w0 | + ce(n−1)λ+2 M |w0 |2 + ce(n−2)λ+2.2 M |w1 |2 + + ce(n−k)λ+2k M |wk−1 |2 + + ce(n−(n−1))λ+2.(n−1) M |wn−2 |2 + M |wn−1 |2 n nλ e(n−k)λ+2k |wk−1 |2 |w0 | + M c = ce k=0 Để chứng minh ổn định quỹ đạo {xn }∞ n ta phải chứng minh với η > 0, tồn δ cho |y0 − x0 | = |w0 | < δ với n ≥ ta có |yn − xn | = |wn | < η Ta chứng minh điều mạnh |wn | < ηeλn < η phương pháp quy nạp Giả sử với ≤ n ≤ T , |wn | < ηeλn Ta chứng minh |wT | < ηeλT Thật vậy, với ≤ n ≤ T n nλ |wn | ≤ ce e(n−k)λ+2k ηeλ(k−1) |wk−1 | |w0 | + M c k=1 Nhân hai vế bất đẳng thức với e−λn ta n e −λn M cηe(k−2)λ+2k e−λ(k−1) |wk−1 | |wn | ≤ c|w0 | + k=1 Đặt zn = e−λn |wn | Khi n zn ≤ B + µk zk−1 , k=1 36 với B = c|w0 | µk = M cηe(k−2)λ+2k Áp dụng bổ đề Gronwall, ta có n zn ≤ c|w0 | exp µk k=1 n M cηe(k−2)λ+2k = c|w0 | exp k=1 = c|w0 | exp M cη eλ+2 − eλ+2 = c|w0 |eDη λ+2 e với D = M c 1−e λ+2 Khi đó, với ≤ n ≤ T e−λn |wn | ≤ c|w0 |eDη |wn | ≤ c|w0 |eDη eλn Chọn n = T ta có |wT | ≤ c|w0 |eDη eλT Chọn δ = c−1 e−Dη η |w0 | < δ Khi |wT | ≤ eλT η < η Ví dụ 2.3.1 Xét phương trình Logistic - tơ - nơm tổng quát xn+1 = rxn (1 − xn ) (n = 0, 1, ) sinh ánh xạ f (x) = rx(1 − x), x ∈ I := [0; 1] Ta xét với < r ≤ để f (I) ⊂ I Khi ta có ước lượng |f (x)| = |r − 2rx| = |r||1 − 2x| ≤ r Nếu < r < |f (x)| < Do đó, λ(x0 ) = lim n→∞ n + n ln|f (xk )| < k=0 Theo Định lí 2.3.1 quỹ đạo ổn định 37 Hình 2.1: Quỹ đạo với điểm ban đầu x0 = 0.5, x0 = 0.6, x0 = 0.7 trường hợp r = 1/5 2.4 Sự nhạy cảm hệ không ô tô nôm Nội dung phần tóm tắt lại lại định nghĩa kết Preprint nhóm Hua Shao, Yuming Shi, Hao Zhu năm 2016 [2] hệ không ô - tô - nôm Trước tiên ta cần phát biểu lại định nghĩa trường hợp không ô - tô - nôm Xét X khơng giam metrix với metrix d Ta kí hiệu f0n = fn−1 ◦ · · · ◦ f0 Định nghĩa 2.4.1 Ta nói phương trình xn+1 = fn (xn ), n ≥ (2.10) nhạy cảm x0 ∈ X tồn số δ > cho với lân cận U x0 , tồn y0 ∈ U số nguyên dương N cho d(f0N (y0 ), f0N (x0 )) > δ δ gọi số nhạy cảm hệ (2.10) x0 Trong trường hợp tồn số δ > cho nhạy cảm điểm tập khác rỗng S với số nhạy cảm δ hệ (2.10) gọi nhạy cảm S ⊂ X Định nghĩa 2.4.2 Cho x0 điểm cô lập X Hệ (2.10) gọi nhạy cảm mạnh x0 tồn δ > lân cận U cuả x0 cho với 38 y0 = x0 cho trước thuộc U , với số nguyên dương N d(f0N (y0 ), f0N (x0 )) > δ Khi δ gọi số nhạy cảm mạnh hệ (2.10) x0 ∞ Định nghĩa 2.4.3 Giả sử {Dn }∞ n=0 , {En }n=0 hai dãy tập X hn : Dn → En ánh xạ liên tục với n ≥ Dãy ánh xạ ∞ {hn }∞ n=0 gọi đồng liên tục {Dn }n=0 với > 0, tồn δ > cho với n ≥ d(hn (x), hn (y)) < x, y ∈ Dn mà d(x, y) < δ Định nghĩa 2.4.4 Cho I khoảng không suy biến, bị chặn fn : I → I ánh xạ thuộc lớp C với n ≥ Số mũ Lyapunov hệ (2.10) x0 xác định λ(x0 ) := lim sup n→∞ n n−1 ln|(f0n ) k=0 (x0 )| = lim sup n→∞ n n−1 ln|fk (xk )|, k=0 {xk }∞ k=0 quỹ đạo (2.10) x0 Tiếp theo hai kết [2] mở rộng kết trước Palmer vào năm 2010 Định lý 2.4.1 Cho I khoảng không suy biến, fn : I → I ánh xạ thuộc lớp C với n ≥ x0 ∈ I Giả sử {fn }∞ đồng liên tục I m := inf {|fn (xk )| : n, k ≥ 0} > Nếu λ(x0 ) > hệ (2.10) nhạy cảm mạnh x0 Định nghĩa λ0 (x0 ) := lim inf n→∞ n 39 n−1 ln|fk (xk )| k=0 Định lý 2.4.2 Cho I khoảng khơng suy biến, đóng bị chặn, fn : I → I thuộc lớp C với n ≥ x0 ∈ I Giả thiết {fn }∞ n=0 bị chặn I Nếu −∞ < λ(x0 ) < 2λ(x0 ) < λ0 (x0 ) hệ (2.10) ổn định tiệm cận mũ x0 Ví dụ 2.4.1 Xét phương trình Logistic khơng tơ nơm xn+1 = rn xn (1 − xn ), n ≥ (2.11) sinh ánh xạ fn (x) = rn x(1 − x), x ∈ I := [0; 1] Với < rn ≤ 4, n > fn (I) ⊂ I với n ≥ Ta có với n ≥ 0, fn thuộc lớp C I, fn (x) = rn (1 − 2x) f (x) = −2rn Rõ ràng, điểm bất động hệ (2.11) f (0) = rn , n ≥ với λ(0) = lim sup n→∞ n Giới hạn n n−1 k=0 n−1 k=0 ln|fk (0)| = lim sup n→∞ n n−1 lnrk k=0 lnrk không tồn tại, nhiên giới hạn có tồn Từ đó, giới hạn sử dụng Định nghĩa 2.4.4 sử dụng trường hợp Trong trường hợp này, Ln ≤ rn ≤ 4, n ≥ L > số, |fn (0)| ≥ L > |fn (x)| = 2rn ≤ với n ≥ Suy {fn }∞ n=0 đồng liên tục I với λ(0) ≥ lnL > Do đó, tất giả thiết Định lí 2.4.1 thỏa mãn hệ (2.11) với x0 = Vậy hệ (2.11) nhạy cảm mạnh Trong trường hợp < a ≤ rn < b < 1, n > với a, b số dương b2 < a, từ (2.4.1) ta có λ(0) ≤ lnb < 0, λ(0) ≥ lna > −∞ Do b2 < a nên 2λ(0) − λ0 (0) ≤ 2lnb − lna = ln 40 b2 < a Ngoài ra, fn (x) = 2rn < với n ≥ 0, kéo theo {fn }∞ n=0 bị chặn I Do đó, giả thiết Định lí 2.4.2 thỏa mãn với hệ (2.11) với x0 = Vậy hệ (2.11) ổn định tiệm cận mũ 41 KẾT LUẬN Đóng góp luận văn bao gồm: Trình bày lại khái niệm hệ động lực chiều Chi tiết hóa chứng minh báo Palmer Nêu số ví dụ Mặc dù cố gắng, nhiên luận văn không tránh khỏi sai sót, mong nhận góp ý quý thầy cô bạn đọc Tài liệu tham khảo [1] C Robinson, 2000, "Dynamical Systems: Stability, Symbolic Dynamics and Chaos", CRC Press [2] Hua Shao, Yuming Shi, Hao Zhu, 2016, "Lyapunov exponents, sensitivity, and stability for non-autonomous discrete systems", Preprint [3] H Kocak and K J Palmer, 2010, "Lyapunov Exponential and Sensitive Dependence", J Dyn Diff Equat., 22, 381 - 398 [4] J Banks, J Brooks, G Cairns, G Davis and P Stacey, 1992, "On Devaney’s definition of Chaos", Amer Math Monthly, 99, 332 - 334 [5] T Li and J Yorke, 1975, "Period three implies chaos", Amer Math Monthly, 82, 985 - 992 [6] R Devaney, 1989, "Chaotic Dynamical Systems", Addison - Wesley Publ Co., New York and Reading, MA [7] V I Oseledec, 1968, "A multiplicative ergodic theorem Liapunov characteristic numbers for dynamical systems", Trans Moscow Math Soc 19, 197 - 221 ... 15 Số mũ Lyapunov nhạy cảm 18 2.1 Sự nhạy cảm quỹ đạo với số mũ Lyapunov dương 19 2.2 Sự nhạy cảm lớp hệ hỗn độn 23 2.3 Sự không nhạy cảm quỹ đạo với số mũ Lyapunov âm... Robinson [1] 1.1 Số mũ Lyapunov số mũ Lyapunov mạnh Trước tiên, ta đưa định nghĩa số mỹ Lyapunov, số biểu diễn tốc độ tăng trưởng mũ đạo hàm hàm số f : I ⊂ R → R theo biến thiên số phép lặp n Tức... Một số khái niệm hệ động lực rời rạc 1.1 Số mũ Lyapunov số mũ Lyapunov mạnh 1.2 Tập bất biến hỗn độn nhạy cảm quỹ đạo 1.3 Sự ổn định Lyapunov quỹ đạo