Chuyên đề MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ SỐ NGUYÊN TỐ – HỢP SỐ A Một số kiện thức cần nhớ Định nghĩa • Số nguyên tố số tự nhiên lớn có hai ước Ví dụ Các số ngun tố 2; 3; 5; 7; • Hợp số số tự nhiên lớn có nhiều hai ước Ví dụ Các hợp số 4; 6; 8; 9; Số số số nguyên tố hợp số Số số nguyên tố chẵn số nguyên tố nhỏ nhất, số nguyên tố lại số lẻ Một số tính chất • Nếu số nguyên tố p chia hết cho số ngun tố q p = q • Nếu tích abc chia hết cho số ngun tố p thừa số tích abc chia hết cho số nguyên tố p • Nếu a b khơng chia hết cho số ngun tố p tích ab không chia hết cho số nguyên tố p Cách nhận biết số nguyên tố a) Chia số cho số nguyên tố biết từ nhỏ đến lớn • Nếu có phép chia hết số khơng phải số ngun tố • Nếu chia lúc số thương nhỏ số chia mà phép chia số dư số số ngun tố b) Một số có ước số lớn số khơng phải số ngun tố Ước số ngun tố hợp số a không vượt a Như để kiểm số a hợp số hay không ta chia số a cho số nguyên tố nhỏ a , pháp chia hết a hợp số Phân tích số thừa số ngun tố • Phân tích số tự nhiên lớn thừa số nguyên tố viết số dạng tích thừa số nguyên tố + Dạng phân tích thừa số nguyên tố số nguyên tố số + Mọi hợp số phân tích thừa số nguyên tố Chẳng hạn A = a b c , a, b, c số nguyên tố  ,  , ,   N * Khi số ước số A tính ( + 1)(  + 1) (  + 1) a +1 − b  +1 − c +1 − Tổng ước số A tính a −1 b −1 c −1 Số nguyên tố • Hai số a b nguyên tố ( a, b ) = • Các số a, b, c nguyên tố ( a, b,c ) = • Các số a, b, c đơi nguyên tố ( a, b ) = ( b,c ) = ( c,a ) = II Một số dạng tập liên quan đến số nguyên tố hai hợp số Dạng – Kiểm tra số số nguyên tố hay hợp số Đây dạng tập phổ biến dễ dạng tập số nguyên tố Cơ sở phương pháp kiểm tra chia số a cho số nguyên tố nhỏ a , xẩy phép chia hết a hợp số khơng có phép chia hết xẩy a số nguyên tố Bài Tổng hiệu sau số nguyên tố hay hợp số: a) 3.4.5.6 + 7.8 b) 5.7.9.11 − 2.3.4.7 c) 3.5.7 + 11.13.17 d) 16354 + 67541 • Định hướng tư Để kiểm tra số A số nguyên tố hay hợp số ta kiểm tra xem A có chia hết cho số nguyên tố không vượt A không Nếu số A lớn p mà chia hết cho số nguyên tố p A hợp số Ngoài quan sát tổng, hiệu ta dự đoán tổng hiệu hợp số, ta cần tổng hiệu chia hết cho số nguyên tố nhở Thông thường với tập kiểu ta thường kiểm tra đến tính chẵn lẻ sử dụng tính chất chia hết tổng Lời giải a) Ta có 3.4.5.6 + 7.8 = ( 3.5.6 + 7.2 ) chia hết cho Vậy tổng hợp số b) Ta có 5.7.9.11 − 2.3.4.7 = ( 5.9.11 − 2.3.4 ) chia hết cho Vậy hiệu hợp số c) Ta có 3.5.7 + 11.13.17 số chẵn lớn nên suy tổng hợp số d) Ta có 16354 + 67541 có chữ số tận nên chia hết cho Vậy tổng hợp số Bài Tổng hiệu sau số nguyên tố hay hợp số a) 5.6.7 + 8.9 b) 5.7.9.11.13 − 2.3.7 c) 5.7.11 + 13.17.19 d) 4253 + 1422 • Định hướng tư Quan sát tổng, hiệu ta dự đoán tổng hiệu hợp số, ta cần tổng hiệu chia hết cho số nguyên tố nhở Lời giải a) Ta có 5.6.7 + 8.9 = ( 5.2.7 + 8.3 ) chia hết cho Vậy tổng hợp số b) Ta có 5.7.9.11.13 − 2.3.7 = ( 5.9.11.13 − 2.3 ) chia hết cho Vậy tổng hợp số c) Ta có 5.7.11 số lẻ 13.17.19 số lẻ nên tổng 5.7.11 + 13.17.19 số chẵn hợp số d) Ta có 4253 + 1422 có chữ số tận nên chia hết cho Vậy tổng hợp số Bài Tổng hiệu sau số nguyên tố hay hợp số a) 17.18.19.31 + 11.13.15.23 b) 41.43.45.47 + 19.23.29.31 Lời giải a) Ta có 17.18.19.31 + 11.13.15.23 = ( 17.6.19.31 + 11.13.5.23 ) chia hết tổng hợp số b) Ta có 41.43.45.47 số lẻ 19.23.29.31 số lẻ nên 41.43.45.47 + 19.23.29.31 số chẵn, suy tổng hợp số Bài Cho a = 2.3.4.52008 Các số tự nhiên liên tiếp a + 2; a + 3; a + 4; ; a + 2008 số nguyên tố hay hợp số • Định hướng tư Để chứng minh dãy số a + 2; a + 3; a + 4; ; a + 2008 hợp số ta chứng minh dãy có ước khác Dễ thấy số a chia hết cho số 2; 3; 4;… ; 2008 nên dãy số tương ứng chia hết cho 2; 3; 4;… ; 2008 Do số dãy hợp số Lời giải Dễ thấy a chia hết cho 2; 3; 4;… ; 2008, a + 2; a + 3; a + 4; ; a + 2008 chia hết cho 2; 3; 4;… ; 2008 Đồng thời số a + 2; a + 3; a + 4; ; a + 2008 lớn Do a + 2; a + 3; a + 4; ; a + 2008 hợp sô Bài Thay d chữ số d để số 5d số nguyên tố • Định hướng tư Ta thấy d chữ số tận 5d d  0;1; 2; ; 8; 9 Từ để kiểm tra 5d số nguyên tố hay hợp số ta thay trực tiếp chữ số d Lời giải Ta có d  0;1; 2; 3; ; 8; 9 Nếu d  0; 2; 4; 6; 8 5d chia hết hợp số Nếu d  1; 7 5d chia hết hợp số Nếu d = 5d chia hết hợp số Nếu d  3; 9 5d số nguyên tố Vậy với d = d = 5d số nguyên tố Bài Với số tự nhiên n để số sau số nguyên tố hay hợp số b) 3n + a) n + 12n • Định hướng tư Dự đoán số số nguyên tố với số trường hợp n, ta thay số giá trị đặc biệt để kiểm tra Với giá trị lại ta chứng minh hợp số, tức ta chứng minh số chia hết cho số nguyên tố nhỏ Lời giải a) Ta có n + 12n = n ( n + 12 ) Dễ thấy n + 12  nên n ( n + 12 ) có thêm hai ước n n + Do + Nếu n = n + 12n = n ( n + 12 ) = 13 số nguyên tố + Nếu n  n ( n + 12 ) hợp số b) Nếu n = 3n + = số nguyê tố Nếu n  3n + chia hết hợp số Bài Với số tự nhiên n số sau số nguyên tố hay hợp số ( b A = ( n − ) n + n + a) A = ( 2n + )( 3n + 1) ) Lời giải a) Do A = ( 2n + )( 3n + 1) nên A có hai ước 2n + 3n + Dễ thấy với n số tự nhiên nên 2n +  Do để A số ngun tố 3n + = hay n = , A = số nguyên tố Như n  2n +  3n +  nên A hợp số Vậy n = A số nguyên tố n  A hợp số ( ) b) Ta có A số tự nhiên nên n  Do A = ( n − ) n + n + nên A có hai ước n − n + n + Dễ thấy n + n +  nên để A số nguyên tố n − = hay n = , A = 17 số nguyên tố Như n  ta có n −  n + n +  nên A hợp số Vậy n = A số nguyên tố n  A hợp số Dạng – Bài tốn tìm số tự nhiên số ngun tố hay hợp số Dạng tốn tìm số ngun tố hay hợp số hay số tự nhiên thỏa mãn u cầu Với dạng tốn ta thường dự đốn trước số cần tìm từ sử dụng loại trừ số khơng thỏa mãn u cầu tốn Bài Tìm tất số nguyên tố p cho: a) p + 2; p + số nguyên tố b) p + 10; p + 14 số nguyên tố • Định hướng tư Nhận thấy với p = dãy số số nguyên tố Như ta cần chứng minh với số nguyên tố p khác số dãy hợp số Chú ý với số ngun tố p khác p chia có số dư Từ ta có hướng sau + Hướng Ta bổ sung vào dãy số đa cho số cho số chia hết cho p = Như p khơng chia hết cho số bổ sung khơng chia hết cho 3, đo hai số dãy phải chia hết cho + Hướng Xét trường hợp p = 3k + p = 3k + , từ hai số dãy số hợp số Lời giải a) p + 2; p + số nguyên tố • Lời giải Xét dãy số sau p + 2; p + 3; p + ba số tự nhiên liên tiếp, dãy số có số chia hết cho + Nếu p = , p + = chia hết hợp số Do p = khơng thỏa mãn u cầu tốn + Nếu p = , p + = p + = số nguyên tố, p = thỏa mãn yêu cầu toán + Nếu p  , p số nguyên tố nên p có hai dạng p = 3k + p = 3k + với k số tự nhiên khác Như dãy p + khơng chia hết cho 3, p + p + chia hết cho Do p  khơng thỏa mãn u cầu toán Vậy p = số nguyên tố cần tìm • Lời giải Giả sử với p = số nguyên tố ta có p + = hợp số Do p = không thỏa mãn Với p = số nguyên tố, p + = p + = số nguyên tố, p = thỏa mãn yêu cầu tốn Với p  , p số nguyên tố nên p có hai dạng p = 3k + p = 3k + với k số tự nhiên khác Ta có + Nếu p = 3k + số nguyên tố, ta có p + = 3k + + chia hết hợp số, p = 3k + không thỏa mãn + Nếu p = 3k + số nguyên tố, p + = 3k + + chia hết hợp số, p = 3k + khơng thỏa mãn u cầu tốn Vậy p = số nguyên tố cần tìm b) p + 10; p + 14 số nguyên tố • Lời giải Xét dãy số sau p + 10; p + 12; p + 14 ba số tự nhiên chẵn lẻ liên tiếp, dãy số có số chia hết cho + Nếu p = , p + 10 = 12 chia hết hợp số Do p = khơng thỏa mãn u cầu toán + Nếu p = , p + 10 = 13 p + 14 = 17 số nguyên tố, p = thỏa mãn yêu cầu toán + Nếu p  , p số nguyên tố nên p có hai dạng p = 3k + p = 3k + với k số tự nhiên khác Như dãy p + 12 khơng chia hết cho 3, p + 10 p + 14 chia hết cho Do p  khơng thỏa mãn yêu cầu toán Vậy p = số ngun tố cần tìm • Lời giải Giả sử với p = số nguyên tố ta có p + 10 = 12 hợp số Do p = khơng thỏa mãn Với p = số nguyên tố, p + 10 = 13 p + 14 = 17 số nguyên tố, p = thỏa mãn yêu cầu toán Với p  , p số nguyên tố nên p có hai dạng p = 3k + p = 3k + với k số tự nhiên khác Ta có + Nếu p = 3k + số nguyên tố, ta có p + 14 = 3k + 15 chia hết hợp số, p = 3k + không thỏa mãn + Nếu p = 3k + số nguyên tố, p + 10 = 3k + 12 chia hết hợp số, p = 3k + khơng thỏa mãn u cầu tốn Vậy p = số nguyên tố cần tìm Bài Tìm tất số nguyên tố p cho: a) p + 2;p + 6;p + 8;p + 14 số nguyên tố b) p + 6;p + 8;p + 12;p + 14 số nguyên tố • Định hướng tư Thử giá trị 2, 3, ta nhận thấy với p = dãy số số nguyên tố Như ta cần chứng minh với số nguyên tố p khác số dãy hợp số Chú ý với số nguyên tố p khác p chia có số dư hoặc Từ ta có hướng sau + Hướng Ta bổ sung vào dãy số đa cho số cho số chia hết cho p = Như p khơng chia hết cho số bổ sung không chia hết cho Mà dãy số ln có số chia hết cho 5, số dãy cho phải chia hết cho + Hướng Xét trường hợp p = 5k + , p = 5k + , p = 5k + p = 5k + , từ số dãy số hợp số Lời giải a) p + 2;p + 6;p + 8;p + 14 số nguyên tố • Lời giải Xét dãy số sau p + 2; p + 6; p + 8; p + 10; p + 14 Để ý 2, 6, 8, 10, 14 có số chia hết năm số tự nhiên dãy chẵn ln có số chia hết cho + Nếu p = , p + = chia hết hợp số Do p = khơng thỏa mãn u cầu tốn + Nếu p = , p + = chia hết hợp số Do p = khơng thỏa mãn u cầu tốn + Nếu p = , p + = 7; p + = 11; p + = 13; p + 14 = 19 số nguyên tố Do p = thỏa mãn yêu cầu toán + Nếu p  , p số nguyên tố nên p có dạng p = 5k + , p = 5k + , p = 5k + p = 5k + với k số tự nhiên khác Như dãy p + 10 khơng chia hết cho 5, nên số p + 2; p + 6; p + 10; p + 14 có số chia hết cho Do p  khơng thỏa mãn yêu cầu toán Vậy p = số ngun tố cần tìm • Lời giải Giả sử với p = số nguyên tố, ta có p + = hợp số, p = khơng thỏa mãn yêu cầu toán Với p = số nguyên tố, ta có p + = hợp số, p = khơng thỏa mãn yêu cầu toán Với p = số nguyên tố, p + = 7; p + = 11; p + = 13; p + 14 = 19 số nguyên tố, p = thỏa mãn yêu cầu tốn Với p  , p có dạng p = 5k + 1; p = 5k + 2; p = 5k + 3; p = 5k + Trong k số tự nhiên khác Từ ta xét trường hợp sau + Nếu p = 5k + số nguyên tố, p + 14 = 5k + 15 hợp số, p = 5k + khơng thỏa mãn u cầu tốn + Nếu p = 5k + số nguyên tố, p + = 5k + 10 hợp số, p = 5k + khơng thỏa mãn yêu cầu toán + Nếu p = 5k + số nguyên tố, p + = 5k + hợp số, p = 5k + không thỏa mãn yêu cầu toán + Nếu p = 5k + số nguyên tố, p + = 5k + 10 hợp số, p = 5k + khơng thỏa mãn u cầu tốn Vậy p = số nguyên tố cần tìm b) p + 6;p + 8;p + 12;p + 14 số nguyên tố • Lời giải Xét dãy số sau p + 6; p + 8; p + 10; p + 12; p + 14 Để ý 2, 6, 8, 10, 14 có số chia hết năm số tự nhiên dãy chẵn ln có số chia hết cho + Nếu p = , p + = chia hết hợp số Do p = khơng thỏa mãn u cầu toán + Nếu p = , p + = chia hết hợp số Do p = khơng thỏa mãn yêu cầu toán + Nếu p = , p + = 11; p + = 13; p + 12 = 17; p + 14 = 19 số nguyên tố Do p = thỏa mãn yêu cầu tốn + Nếu p  , p số nguyên tố nên p có dạng p = 5k + , p = 5k + , p = 5k + p = 5k + với k số tự nhiên khác Như dãy p + 10 không chia hết cho 5, nên số p + 6; p + 8; p + 12; p + 14 có số chia hết cho Do p  khơng thỏa mãn u cầu toán Vậy p = số nguyên tố cần tìm • Lời giải Giả sử với p = số nguyên tố, ta có p + = hợp số, p = khơng thỏa mãn u cầu tốn Với p = số nguyên tố, ta có p + = hợp số, p = khơng thỏa mãn u cầu toán Với p = số nguyên tố, p + = 11; p + = 13; p + 12 = 17; p + 14 = 19 số nguyên tố, p = thỏa mãn yêu cầu toán Với p  , p có dạng p = 5k + 1; p = 5k + 2; p = 5k + 3; p = 5k + Trong k số tự nhiên khác Từ ta xét trường hợp sau + Nếu p = 5k + số nguyên tố, p + 14 = 5k + 15 hợp số, p = 5k + không thỏa mãn yêu cầu toán + Nếu p = 5k + số nguyên tố, p + = 5k + 10 hợp số , p = 5k + khơng thỏa mãn u cầu tốn + Nếu p = 5k + số nguyên tố, p + 12 = 5k + 15 hợp số, p = 5k + khơng thỏa mãn u cầu tốn + Nếu p = 5k + số nguyên tố, p + = 5k + 10 hợp số, p = 5k + khơng thỏa mãn yêu cầu toán Vậy p = số nguyên tố cần tìm Bài Tìm tất số nguyên tố p, q cho số 7p + q pq + 11 số nguyên tố • Định hướng tư Do pq + 11 số nguyên tố nên pq + 11 phải số lẻ pq số chẵn, hai số p q Đến ta xét trường hợp p = q = để tìm số nguyên tố lại Lời giải Nếu pq + 11 số ngun tố phải số lẻ số nguyên tố lớn Suy pq số chẵn, hai số p q Ta xét hai trường hợp sau • Trường hợp Với p = Khi ta cần tìm số ngun tố q để 7p + q = 14 + q 2q + 11 số nguyên tố + Nếu q = ta có 7p + q = 7.2 + = 16 hợp số nên q = khơng thỏa mãn + Nếu q = ta có 2q + 11 = 2.3 + 11 = 17 q + 14 = + 14 = 17 số nguyên tố, q = thỏa mãn + Nếu q  , q số nguyên tố nên q có hai dạng q = 3k + q = 3k + với k số tự nhiên khác Với q = 3k + q + 14 = 3k + 15 hợp số với q = 3k + 2q + 11 = ( 3k + ) + 11 = 6k + 15 hợp số Do số nguyên tố q  không thỏa mãn yêu cầu toán Như 5p + chia hết cho Bài 44 Đặt A = an + bn + cn + dn Gọi k = ( a; c ) với k  Khi tồn số nguyên dương a1 ; c1 để a = ka ; c = kc ( a1 ,c1 ) = Từ đẳng thức ab = cd ta a1 b = c1 d , kết hợp với ( a1 ,c1 ) = ta b c1 d a1 Từ suy b = c1s; d = sa1 với s  N* Do ta ( )( ) A = a n + bn + c n + dn = a1n k n + c1ns n + c1n k n + a1ns n = a1n + c1n k n + s n Dễ thấy a1n + c1n  1; kn + sn  Do suy A hợp số Bài 45 Xét số tự nhiên A = 1.2.3 ( k + 1) Khi A chia hết cho 2; 3; 4; ; k + Ta xét dãy số tự nhiên A + 2; A + 3; A + 4; ; A + ( k + 1) gồm k số tự nhiên liên tiếp Dễ thấy A + 2; A + 3; A + 4; ; A + ( k + 1) chia hết cho 2; 3; 4; ; k + Lại thấy số tự nhiên dãy lớn Do A + 2; A + 3; A + 4; ; A + ( k + 1) hợp số Vậy tồn k số tự nhiên liên tiếp mà tất số hợp số Bài 46 Tổng 37 số tự nhiên từ đến 37 + + + + 37 = 37 ( 37 + 1) = 19.37 = 703 Do 19 37 số nguyên tố nên nhóm chia có tổng 1, 19, 37 703 Vì số 37 phải nhóm tổng nhóm phải 37 Như có hai khả chia nhóm là: Thứ chia 37 số tự nhiên thành nhóm gồm số từ đến 37 Hai chia 37 số tự nhiên thành 19 nhóm nhóm có tổng 37 Trong khả chia thứ hai ta thấy số 37 đứng riêng nhóm, số lại chia thành 18 nhóm mà nhóm gồm hai số nhóm với 36, nhóm với 35, , 18 nhóm với 19 Khi ta 37 = + 36 = + 35 = = 18 + 19 Vậy có tất hai cách chia nhóm thỏa mãn yêu cầu toán Bài 47 Giả sử ( x; y; z ) ba số tự nhiên thỏa mãn u cầu tốn Khi số nguyên tố nên số x, y, z phải có dạng x = 3a ; y = 3b ; z = 3c với a, b, c số tự nhiên Như ta có xyz = 3a.3b.3c = 3a+b+c = 32016 suy a + b + c = 2016 Mặt khác theo ta có x  y  z  x + y nên suy  a  b  c Nếu b  c tức ta có c  b + ta z = 3c  3b+1 = 3y  x + y , điều nàu trái với giả thiết toán Do ta b = c 3b  a + 2b = a + b + c = 2016 nên b  672 Mà a  nên 2b  2016 hay b  1008 Chú ý với giá trị b ta giá trị a Như số số ( x; y; z ) thỏa mãn yêu cầu toán số số tự nhiên ( a; b; c ) thỏa mãn điều kiện Và số ( a; b; c ) số b thỏa mãn điều kiện 672  b  1008 Vậy số số ( x; y; z ) thỏa mãn toán 337 Bài 48 Giả sử sáu số a, b, c, d, e, f có m số chẵn, số lẻ sáu số − m Vì tổng hai số chẵn tổng hai số lẻ số chẵn, tổng lớn nên tổng số nguyên tố Do số số ngun tố tạo thành khơng thể vượt số tổng số chẵn (trong m số) với số lẻ (trong − m số), nghĩa vượt m ( − m ) số Cho m nhận giá trị 0, 1, 2, 3, 4, 5, ta thấy giá trị lớn m ( − m ) nhận m = Ta ví dụ sau với số 2, 4, 8, 3, 15, 39 Khi có số nguyên tố 2+3= 4+3=7 + = 11 + 15 = 17 + 15 = 19 + 15 = 23 + 39 = 41 + 39 = 43 + 39 = 47 Vậy tạo thành nhiều số nguyên tố Bài 49 Gọi hai số liên kề tùy ý a b, theo ta có a + b = c  40 Ta viết với 40 số tự nhiên khác số c số nguyên tố c không chia hết cho 2, 3, Như ta cần xếp số tự nhiên từ đến 20 lên đường tròn cho tổng hai số liền kề khơng chia hết cho 2, 3, Muốn ta xếp số thỏa mãn đồng thời điều kiện sau + Trong hai số a b phải có số chẵn số lẻ + Tổng hai số a b phải khơng có chữ số tận + Tổng hai số a b phải khơng chia hết cho Từ ta có cách xếp sau: + Cách − 20 − 11 − 18 − 13 − 16 − 15 − 14 − 17 − 12 − 19 − 10 − − − − − − − − − + Cách − 20 − 11 − 18 − 19 − 12 − 17 − 14 − 15 − 16 − 13 − 10 − − − − − − − − − Bài 50 Từ a+b 1 1 =  c ( a + b ) = ab  ab − ac − bc = + = ta ab a b c c Từ ta ab − ca − bc + c = c  ( a − c )( b − c ) = c Gọi d = ( a − c; b − c ) , ta có c2 d2 nên c d , từ dẫn đến a d; b d Mà a, b, c nguyên tố nên ta d = Do ước chung lớn a − c b − c Mà ta lại có ( a − c )( b − c ) = c nên suy a − c b − c số phương ( ) Đặt a − c = m ; b − c = n m, n  N* Khi ta có c = ( a − c )( b − c ) = m n  c = mn Từ ta có a + b = a − c + b − c + 2c = m + n + 2mn = ( m + n ) Vậy a + b số phương Bài 51 Do 2n + 1; 3n + số phương nên tồn a b nguyên dương 2n + = a thỏa mãn  3n + = b n = − a  2n + = − a + 3a − 2b = 25a − 16b Từ ta  2 1 = 3a − 2b ( ) ( ) Hay ta 2n + = ( 5a − 4b )( 5a + 4b ) Do a b số nguyên dương nên ta có 5a + 4b  5a − 4b 5a − 4b = Do để 2n + số nguyên tố ta cần có  5a + 4b = 2n + Từ ta b = 5a − Thay vào hệ thức = 3a2 − 2b2 ta  5a −  3a −   =  a − 10a + =  a  1; 9   + Với a = ta b = , từ n = Ta thấy 2n + = không số nguyên tố + Với a = ta b = 11 , từ n = 40 Ta thấy 2n + = 89 số nguyên tố Vậy số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu toán n = 40 Bài 52 Do a chia 210 có số dư r nên tồn số tự nhiên k để a = 210k + r với ( a; 210 ) =  r  120 Giả sử r có ước nguyên tố p, tồn số tự nhiên n để r = pn Ta chứng minh p  11 Nếu số nguyên tố p  11 ước r p nhận giá trị 2, 3, 5, Mà ta có 210 = 2.3.5.7 nên p ước 210, p ước 210k + r hay p ước nguyên tố a, điều mâu thuẫn với ( a; 210 ) = Do p  11 khơng xẩy ra, từ ta p  11 Khi từ r = pn ta 11n  pn  120  121 nên ta suy n  11 Từ n có ước nguyên tố q  n q ước nguyên tố r, theo chứng minh ta lại q  11 , điều vơ lí r  pq  121  120 Do n khơng thể có ước ngun tố, suy n = nên ta r = p số nguyên tố với 11  r  120 Bài 53 • Lời giải Dễ thấy n = thỏa mãn yêu cầu toán Xét n  , gọi p ước nguyên tố nhỏ n Do a ước n nên suy n chia hết cho a, lại a + ước n + nên n + chia hết cho a + , từ ta n + chia hết cho cho n + Do ( p − 1) = ( n + 2p ) − ( n + ) chia hết p n + Ta xét hai trường hợp sau p + Nếu n số chẵn p ước nguyên tố nhỏ nên ta p = Khi từ ( p − 1) chia hết cho n n n + ta chia hết cho + , điều vô lí +  p p p Do n số chẵn khơng thỏa mãn + Nếu n số lẻ p phải ước nguyên tố lẻ, Khi từ ( p − 1) chia hết p −  n n số lẻ hay + số lẻ p p n n + ta p − chia hết cho + , điều dẫn p p n + Suy n  p ( p − )  p2 nên ta n = p Khi ước p p nên suy p + chia hết cho 3, tức số nguyên tố p có dạng p = 3k + với k số tự nhiên khác Như với n số nguyên tố cua dạng n = 3k + với k số tự nhiên khác thỏa mãn yêu cầu toán Vậy số tự nhiên n khác phải tìm tất số nguyên tố có dạng 3k + với k số tự nhiên khác • Lời giải Dễ thấy n = thỏa mãn yêu cầu toán + Nếu n số nguyên tố n có hai ước n, n + hiển nhiên chia hết cho n + Lại ước n nên n + phải chia hết cho + = Suy số nguyên tố n có dạng n = 3k + với k số tự nhiên khác thỏa mãn yêu cầu tốn + Nếu n hợp số n viết dạng n = ab với a, b số tự nhiên  a  b  n Như b ước n nên theo n + phải chia hết cho b + hay ab + phải chia hết cho b + Từ suy a ( b + ) − ( a − 1) chia hết cho b + , 2a − chia hết cho b + Mà a  b nên suy 2a −  ( b + ) , điều dẫn đến 2a − = b + hay b = 2a − Thay vào ta n = 2a2 − 4a Mặt khác a ước n nên suy n + chia hết cho a + Từ ta n + = 2a − 4a + = 2a ( a + ) − ( a + ) + 18 chia hết cho a + Do ta 18 chia hết cho a + nên a  4; 7;16 Với a = ta có n = 16 Dễ thấy 16 chia hết cho 16 + khơng chia hết cho + , a = không thỏa mãn Với a = ta có n = 70 Dễ thấy 70 chia hết cho 35 70 + không chia hết cho 35 + , a = khơng thỏa mãn Với a = 16 ta có n = 448 Dễ thấy 448 chia hết cho 224 448 + không chia hết cho 224 + , a = 16 không thỏa mãn Do n hợp số không thỏa mãn yêu cầu toán Vậy số tự nhiên n khác phải tìm tất số nguyên tố có dạng 3k + với k số tự nhiên khác Bài 54 Các số tự nhiên n xét có ba chữ số nên n  1000 Nếu n hợp số n có ước ngun tố nhỏ p n có dạng n = p.d với p  d Từ p2  pd  1000 nên ta p  31 Như để tìm số n số nguyên tố ta cần loại số có ba chữ số bội số nguyên tố 2; 3; 5;7;11;13;17;19; 23; 29; 31 Do abc; acb; bac; bca; cab; cba số nguyên tố nên + Các chữ số a, b, c khơng thể số chẵn a, b, c số chẵn n bội + Các chữ số a, b, c khơng thể a, b, c số n bội Từ a, b, c nhận số 1, 3, 7, + Tổng chữ số n khơng thể chia hết cho tổng chữ số n chia hết cho n bội Như ta loại số có tổng chữ số chia hết cho gồm aaa;117;171; 711;177; 717; 771; 339; 393; 399; 939; 993 Như số lại cần xét 113;119;133;137;139;179;199; 337; 377; 379;779;799 hoán vị Để loại bỏ số n chia hết cho số nguyên tố 11 ta sử dụng dấu hiệu sau đây, + Số n = abc = (14a + b ) + ( 2a + 3b + c ) chia hết cho 2a + 3b + c chia hết cho Từ kiểm tra trực tiếp ta loại số 119;133; 371;791; 931; 973 hốn vị + Số n = abc = 11( 9a + b ) + ( a − b + c ) chia hết cho 11 a − b + c chia hết cho 11 Từ kiểm tra trực tiếp ta loại số 737; 979 hốn vị Để loại bỏ số n chia hết cho 19, 23, 29, 31 ta thực phép chia trực tiếp từ số lại Kết ta thu 113;131; 311199; 919; 991; 337; 373;733 số nguyên tố Từ ta chữ số ( a; b; c ) = (1;1; ) , (1; 9; ) , ( 3; 3; ) thỏa mãn u cầu tốn Bài 55 Vì 79 số lẻ nên hai số p q phải có số chẵn số lẻ Ta xét hai trường hợp sau • Trường hợp Với p số lẻ q số chẵn Khi q số nguyên tố nên q = Từ ta p2 − 2p = 79 Do p số nguyên tố lẻ nên tồn số tự nhiên k khác thỏa mãn p = 2k + Khi p2 = ( 2k + 1) = 4k ( k + 1) + chia có số dư 2p = 22k+1 = 2.4k chia hết cho 4, suy p2 − 2p chia có số dư Mà 79 chia lại có số dư Do trường hợp khơng tồn p q thỏa mãn • Trường hợp Với p số chẵn q số lẻ Khi p số nguyên tố nên ta p = Từ ta 2q − q = 79 nên suy 2q  79 , q  + Nếu q = ta 27 − = 79 đúng, ( p; q ) = ( 2; ) thỏa mãn yêu cầu toán + Nếu q  11 ta đặt q = 2n +  11 với n số tự nhiên lớn Ta có ( )( ) ( )( 2q − q  2q −1 − q = 22n − q = 2n − q n + q  2n + q n − 2n − Lại có (2 n )( ) ( )( ) ( )( ( ) ) ) + q 2n − 2n −  2 n + q n −1 − n −  2 + 11 n −1 − n − ( )( ) Do ta 2q − q  25 + 11 2n −1 − n − = 86 n −1 − n − Với số tự nhiên m  ta có m  m + Thật vậy, ta chứng minh quy nạp sau + Với m = ta có 23  + hiển nhiên + Giả sử bất đẳng thức với m = t , tức ta có 2t  t + + Xét với m = t + ta có t +1 = 2.2 t = t + t  ( t + ) + ( t + )  ( t + 1) + Vậy bất đẳng thức chứng minh Đặt m = n −  theo bất đẳng thức ta n −1  n − + hay ta 2n−1 − n −  hay n −1 − n −  ( ) Do ta 2q − q  86 2n −1 − n −  86  79 Điều trái với 2q − q = 79 Do q  11 khơng thỏa mãn u cầu toán Vậy ( p; q ) = ( 2; ) số nguyên tố thỏa mãn yêu cầu toán Bài 56 + Lời giải Ta có p4 + 2019q4 = p4 − q + 2020q Do đến chứng minh p4 + 2019q chia hết cho 20 ta cần chứng minh p4 − q chia hết cho 20 Để ý ta có 20 = 4.5 ( 4, ) = nên ta chứng minh p4 − q chia hết cho ( ( ) ) Ta có p4 − = ( p − 1)( p + 1) p2 + q − = ( q − 1)( q + 1) q + Do p Do p q số nguyên tố lớn nên p q số nguyên tố lẻ nên ( p − 1)( p + 1) ( q − 1)( q + 1) chia hết cho Điều dẫn đến p4 − q4 − chia hết ( ) ( ) cho Đến ta suy p4 − q = p4 − − q − chia hết cho Ta có ( ) ( ) p4 − = ( p − 1)( p + 1) p2 + = ( p − )( p − 1)( p + 1)( p + ) + ( p − 1)( p + 1) p2 + Để ý ( p − )( p − 1) p ( p + 1)( p + ) chia hết cho Mà p số nguyên tố lớn nên khơng chia hết cho 5, ta có ( p − )( p − 1)( p + 1)( p + ) chia hết cho Từ suy p4 − chia hết cho Lập luận hồn tồn tương tự ta có q4 − chia hết cho Đến ta suy p4 − q chia hết cho Kết hợp kết ta có điều phải chứng minh + Lời giải Hoàn toàn tương tự ta chứng minh p4 − q chia hết cho Do p q số nguyên tố lớn nên p q số lẻ, p q chia cho có số dư Điều dẫn đến p4 q chia cho có số dư Đến ta suy p4 − q chia hết cho Cũng p q số nguyên tố lớn nên p q chia cho có số dư 1; 2; 3; Điều dẫn đến p2 q chia cho có số dư 5, p4 q chia cho có số dư Đến ta suy p4 − q chia hết cho Kết hợp kết ta có điều phải chứng minh Bài 57 Do 16p + số lẻ lập phương số nguyên dương nên tồn số nguyên dương n để ( ) 16p + = ( 2n + 1) = 8n + 12n + 6n +  8p = n 4n + 6n + Ta có 4n2 + 6n + tam thức bậc hai vơ nghiệm Do 4n2 + 6n + số tự nhiên lẻ lớn khơng phân tích thành tích số tự nhiên Để ý p số nguyên tố nên ta có n = 8p = n 4n + 6n +    p = 307 4n + 6n + = p ( ) Thử lại ta được: 16.307 + = ( 2.8 + 1) = 4913 thỏa mãn yêu cầu toán Vậy p = 307 số nguyên tố thỏa mãn toán Bài 58 Gọi số cho a1 ; a ; a ; a ; a số khơng có ứơc số nguyên tố khác nên số có dạng = 2xi 3yi với xi ; y i số tự nhiên Xét cặp số ( x1 ; y1 ) , ( x ; y ) , ( x ; y ) , ( x ; y ) , ( x ; y ) cặp số nhận giá trị bốn trường hợp sau (số chẵn; số chẵn), (số chẵn; số lẻ), (số lẻ; số lẻ) (số lẻ; số chẵn) nên theo ngun lí Dirichlet có cặp số nhận dạng giá trị Không tính tổng quát giả sử ( x1 ; y1 ) , ( x ; y ) nhận giá trị dạng( số chẵn; số lẻ) Khi x1 + x y1 + y số chẵn nên a1 a2 = 2x1 3y1 2x2 3y2 = 2x1 +x2 3y +y2 phương Do ta có điều phải chứng minh Bài 59 Ta có 22n +1 = 2.22n = 2.4n = ( + 1) nên 2 n +1 chia cho có số dư n Do ta đặt 22n+1 = 3k + với k số tự nhiên Khi ta có A = 22 n+1 + 31 = 23k+ + 31 = 4.23k + 31 = 4.8k + 31 Do k chia có số dư nên 4.8 k chia có số dư Lại có 31 chia có số dư Do A = 4.8k + 31 chia có số dư hay số dư Suy A chia hết cho 7, mà A  nên A hợp số với mội số tự nhiên n Bài 60 Do a, b, c ba số nguyên tố thỏa mãn a  b  c nên a  2, b  3,c  Từ ( ab − 1) c ta suy ab + bc + ca −  Từ giả thiết ta lại có nên ( ab + bc + ca − 1) c Tương tự ( ab + bc + ca − 1) a, ( ab + bc + ca − 1) b Vì a, b, c số nguyên tố phân biệt nên a, b, c đôi nguyên tố ( ab + bc + ca − ) abc  ab + bc + ca −  abc Nếu a  ta có abc  3bc  ab + bc + ca  ab + bc + ca − (mâu thuẫn) Do a = Khi ( 2b − 1) c, ( 2c − 1) b Tương tự suy ( 2b + 2c − 1) bc nên 2b + 2c −  bc Nếu b  ta có bc  5c  2b + 2c − (mâu thuẫn) Do b = Suy ra, ab − = c nên c = Thử lại a = 2; b = 3; c = thỏa mãn toán Vậy a = 2; b = 3; c = Bài 61 Ta có p2 − 5q =  p2 − = 5q  ( p − )( p + ) = 5q Do  p −  p + q nguyên tố nên p − nhận giá trị 1; 5; q; q Ta có bảng giá trị tương ứng p−2 p+ p q 5q q2 q 5q q2 Do p, q số nguyên tố nên có cặp ( p; q ) = ( 7; ) thỏa mãn Bài 62 Do 11 số nguyên tố cho lớn nên suy số nguyên tố số lẻ Trong 11 số nguyên tố ln tồn hai số ngun tố có số dư chia cho lớn Ta gọi hai số a b Khi ta có a2 − b2 chia hết cho Mặt khác a b số lẻ nên a − b a + b số chẵn, ta a2 − b2 chia hết cho Ta biết số chia cho có số dư Do a, b số nguyên tố lớn nên a b không chia hết cho 3, suy a b2 có số dư chia cho Do a2 − b2 chia hết cho Để ý 3, 4, ba số nguyên tố theo đôi Do ta a2 − b2 60 p = q = Bài 63 Nếu p = q ta có p − = q −   , điều vơ lí p, q số p = q =  nguyên tố Do p  q , p q số nguyên tố nên p − q q2 − p Như tồn số nguyên dương m, n thỏa mãn p − = mq; q2 − = np , thay vào đẳng thức cho ta m = n Do tồn số nguyên dương k cho p − = kq; q − = kp Bài 64 Giả sử m n hai số nguyên đương khác Khi ta có (m + n) − = ( m + n − 1)( m + n + 1) ( m + n + 1) ( ) Mà theo giả thiết ta có m + n − chia hết cho m + n + ( ) 2 Suy ta có m + n − − ( m + n ) − 1 ( m + n + 1) Do ( m − n ) ( m + n + 1)   Lại m + n + số nguyên tố nên từ ta suy m − n ( m + n + 1) Không tính tổng quát ta giả sử m  n , ta có m − n ( m + n + 1) Từ suy m − n  m + n +  2n +  , điều vơ lí n số nguyên dương Do điều giả sử m n khác sai nên suy m = n Từ ta có m.n = m2 số phương Bài 65 Do số tự nhiên cho các ước nguyên tố không vượt nên số cho có dạng 2x.3y.5z.7 t với x, y, z, t số tự nhiên Mỗi số số x, y, z, t số chẵn số lẻ Như xét tính chẵn lẻ số ( x; y; z; t ) có 16 trường hợp xẩy Như với 20 số có dạng 2x.3y.5z.7 t tồn 20 số mũ ( x; y; z; t ) có tính chẵn lẻ theo ngun lý Dirichlet ln tồn hai số có tính chẵn lẻ Giả sử hai số mũ (x ; y ; z ; t ) 1 1 ( x ; y ; z ; t ) Khi ta có x1 + x ; y1 + y ; z1 + z ; t + t số chẵn tích hai số tự nhiên ứng với hai số mũ (2 ( x1 )( ) 3y1 5z1 t1 2x2 3y2 5z2 t2 = x1 +x2 3y1 + y2 5z1 +z2 t1 +t2 )( Do 2x1 3y1 5z1 t1 2x2 3y2 5z2 t2 ) số phương Bài 66 Ta có p q py + qx p q Giả sử + nhận giá trị nguyên, py + qx + = x y xy x y chia hết cho xy , suy py + qx chia hết cho x nên py chia hết cho x, để ý p số nguyên tố nên ta suy y chia hết cho x lập luận tương tự ta x chia hết cho y Do suy x = y , điều trái với giả thiết x y hai số nguyên dương phân biệt Vậy biểu thức p q + nhận giá trị nguyên x y Bài 67 • Lời giải Theo đề tồn số nguyên dương a b thỏa mãn điều kiện p + q = a2 ; p + 4q = b2 Từ ta suy b − a = 3q  ( b − a )( b + a ) = 3q Từ q số nguyên tố a + b  nên ta có trường hợp sau + Trường hợp Với b − a = 1; b + a = 3q , ta b = a + 2a + = 3q Do suy q số lẻ Ta viết q = 2k + với k số nguyên dương Khi 2a = 3q − = 6k + hay a = 3k + p = a – q = 9k + 4k = k ( 9k + ) Do p số nguyên tố nên k = p = 13,q = + Trường hợp Với b − a = 3; b + a = q , ta b = a + q = 2a + Mà ta lại có p = a − q = a − 2a – = ( a + 1)( a – ) Do p số nguyên tố nên a = p = 5,q = 11 + Trường hợp Với b − a = q; b + a = b  a  Suy b = a = , ta q = khơng phải số ngun tố Vậy cặp số thỏa mãn yêu cầu toán ( p; q ) = ( 5;11) , (13; ) • Lời giải Theo đề tồn số nguyên dương thỏa mãn p + q = a2 ; p + 4q = b2 Từ ta suy b − a = 3q  ( b − a )( b + a ) = 3q Vì p, q số nguyên tố nên a  2; b  Do ta có trường hợp sau + Trường hợp Với b − a = 1; b + a = 3q Khi b = a + 2a + = 3q Suy q số lẻ Ta viết q = 2k + với k số nguyên dương Khi 2a = 3q − = 6k + hay ta a = 3k + p = a – q = 9k + 4k = k ( 9k + ) Do p số nguyên tố nên k = Từ suy p = 13; q = + Trường hợp Với b − a = 3; b + a = q Khi b = a + q = 2a + Mặt khác ta lại có p = a − q = a − 2a – = ( a + 1)( a – ) Do p số nguyên tố nên a = Từ ta suy p = 5; q = 11 Vậy cặp số thỏa mãn yêu cầu toán ( p; q ) = ( 5;11) , (13; ) Bài 68 Dễ thấy y số nguyên tố chẵn nên y = , từ ta x = Bài 69 Ta có ab − ba = (10a + b ) − (10b + a ) = 10a + b − 10b − a = 9a − 9b = (a − b ) = 32 (a − b ) Vì a, b  1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 nên  a − b  Để ab − ba số phương a − b = a − b = + Nếu a − b = ta có số ab 98; 87; 76; 65; 54; 43; 32; 21 Vì ab số nguyên tố nên có số 43 thoả mãn + Nếu a − b = ta có số ab 95; 84; 73; 62; 51 Vì ab số nguyên tố nên có số 73 thoả mãn Vậy có hai số thoả mãn điều kiện toán 43 73 Bài 70 Để ý 111 = 3.37 nên suy n = 1116 = 36.37 Do ước n có dạng 3x.37 y với x  0;1; 2; 3; 4; 5; 6 y  0;1; 2; 3; 4; 5; 6 Số x nhận giá trị y nhận giá trị nên suy n có tất 49 ước nguyên dương phân biệt Nếu a ước nguyên dương khác 1113 n b = n ước a số nguyên dương n a  b Khi a b tạo thành cặp ước số nguyên dương n thỏa mãn ab = n Như 49 ước số nguyên dương phân biệt n gồm có 1113 48 ước số lại chia thành 24 cặp ước số có tính chất cặp ước ngun dương ( a; b ) Do tích tất ước nguyên ( dương phân biết số tự nhiên n 1116 ) 24 1113 = 111147 Bài 71 Ta có p2 − 2q2 = 41 nên suy p2 = 2q2 + 41 Do suy p số nguyên tổ lẻ Do tồn số nguyên dương k để p = 2k + Từ suy ( 2k + 1) = 2q + 41  4k + 4k = 2q + 40  2k + 2k = q + 20 Đến ta lại suy q số chẵn Do q số nguyên tô nên ta q = Thay q = vào phương trình cho ta p2 = 49 hay p = Vậy cặp số nguyên tố ( p; q ) = ( 7; ) thỏa mãn yêu cầu tốn Bài 72 Ta có x y = z − x, y số nguyên tố nên suy x  2; y  Từ ta z  Do z số nguyên tố lẻ Do ta có x y = z − z số lẻ nên x y số chẵn, suy x = Từ ta z = y + Bài tốn quy tìm số nguyên tố y z thỏa mãn hệ thức z = y + Ta xét hai trường hợp sau + Nếu y số lẻ Khi ta có y = 2k + với k số nguyên dương Do từ hệ thức z = y + ta 22k+1 + = 2.4k + = ( + 1) + chia hết suy z k chia hết cho Điều dẫn đến vô lí z số ngun tố lớn + Nếu y số chẵn Khi y số nguyên tố nên ta y = , thay vào hệ thức ta z = Vậy số nguyên tố ( x; y; z ) = ( 2; 2; ) thỏa mãn yêu cầu toán Bài 73 Ta xét trường hợp sau + Trường hợp Xét x = , thay vào biểu thức P ta P = số nguyên tố Do x = thỏa mãn yêu cầu toán + Trường hợp Xét x = , thay vào biểu thức P ta P = = 23 lũy thừa số nguyên tố Do x = thỏa mãn yêu cầu toán + Trường hợp Xét x = , thay vào biểu thức P ta P = 25 = 52 lũy thừa số nguyên tố Do x = thỏa mãn yêu cầu toán + Trường hợp Xét x  Khi P lũy thừa số nguyên tố nên tồn ( ) số nguyên tố p để x3 + 3x2 + x + = pn Để ý x3 + 3x + x + = ( x + ) x + = pn nên tồn số tự nhiên a b thỏa mãn x + = pa x2 + = pb với a + b = n Do x2 +  2x  x + với x  ta pb  pa , từ suy pb chia hết cho pa hay x + chia hết cho x + Lại có x + = x − + 10 = ( x − )( x + ) + 10 nên ta suy 10 chia chia hết cho x + Mà lại có x  nên suy x +  , từ ta x + = 10 hay x = Thử lại ta thấy không thỏa mãn Vậy giá trị thỏa mãn yêu cầu toán x  0;1; 2 ( ) ( ) ( ) ) Bài 74 Do p2q + p chia hết cho p2 + q nên ta q p2 + q − p2 q + p = q − p chia hết cho p2 + q ( Do pq + q chia hết cho q2 − p nên ta pq + q − p q − p = p2 + q chia hết cho q2 − p Từ ta có ( + Nếu q − p = − p2 + q ) ta q + q + p2 − p = Không tồn số nguyên tố p q thỏa mãn + Nếu q2 − p = p2 + q ta ( q + p )( q − p − 1) =  q − p − =  q = p + Mà p q hai số nguyên tố nên p = 2; q = (thỏa mãn toán) Vậy số nguyên tố thỏa mãn yêu cầu toán p = 2; q = ... hợp số Nếu d  3; 9 5d số nguyên tố Vậy với d = d = 5d số nguyên tố Bài Với số tự nhiên n để số sau số nguyên tố hay hợp số b) 3n + a) n + 12n • Định hướng tư Dự đốn số số nguyên tố với số trường... A số nguyên tố n − = hay n = , A = 17 số nguyên tố Như n  ta có n −  n + n +  nên A hợp số Vậy n = A số nguyên tố n  A hợp số Dạng – Bài tốn tìm số tự nhiên số nguyên tố hay hợp số Dạng tốn... p = 5k + số nguyên tố, p + 12 = 5k + 15 hợp số, p = 5k + khơng thỏa mãn u cầu tốn + Nếu p = 5k + số nguyên tố, p + = 5k + 10 hợp số, p = 5k + khơng thỏa mãn yêu cầu toán Vậy p = số nguyên tố cần