THI ONLINE – GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ - CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT CHUN ĐỀ: GIỚI HẠN MƠN TỐN LỚP 11 BIÊN SOẠN: BAN CHUYÊN MÔN TUYENSINH247.COM MỤC TIÊU ĐỀ THI: 1   - Sử dụng giới hạn hàm số có giới hạn  lim  0, lim  0, lim  0,  để tính giới hạn số n n n   hàm khác - Nắm vững lí thuyết giới hạn hữu hạn, giới hạn vô cực Cấu trúc đề thi: 20 câu hỏi trắc nghiệm bao gồm cấp độ: NB Câu (NB) Cho u n  A TH VD VD cao  4n Khi lim u n bằng? 5n B  C D  C D  C D  C D  n  3n Câu (NB) Cho u n  Khi lim u n bằng?  4n B  A Câu (NB) Cho u n  A n  3n Khi lim u n bằng?  4n B  3n  5n Câu (NB) Cho u n  Khi lim u n bằng? 5n A B Câu (NB) Trong giới hạn sau giới hạn -1? Truy cập trang http://Tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất! A lim 2n  2n  B lim 2n  2n  C lim 2n  2n  D lim 2n  2n  Câu (NB) Dãy số có giới hạn  ? A u n  n  2n 5n  5n B u n  Câu (TH) Giới hạn lim 1 n2 5n  B 3  25n 5 2n  n  B  bằng? C 2  D  n  n  n bằng? B  Câu 12 (TH) Giới hạn lim D 1 C 2n  n  A Câu 11 (TH) Giới hạn lim D  C B Câu 10 (TH) Giới hạn lim D  C  n  n   n  bằng? B  Câu 13 (VD) Cho dãy số (u n ) với u n  A bằng? n  3n   9n  bằng? 2n  A 1 n2 5n  B 1 Câu (TH) Giới hạn lim A  D u n  D  C 1   5n   n  1 Câu (TH) Giới hạn lim A  2n 5n  5n 2n 1  3.5n  bằng? 3.2n  9.5n A A 4 C u n  B C  1 1     1.2 2.3 3.4 n n 1 C  D Khi lim u n bằng? D 2 Truy cập trang http://Tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất! Câu 14 (VD) Cho dãy số (u n ) với u n  A B 1 1     1.3 3.5 5.7 2n 1  2n  1  Khi lim u n bằng? C D 1 1  1  Câu 15 (VD) Cho dãy số (u n ) với u n  1   1   1   Khi lim u n bằng?     n  A B Câu 16 (VD) Cho dãy số (u n ) với u n  A  C  2n 1 1 3n  Khi B 1 n  5n 1 C  D lim u n bằng? D 2 u   Câu 17 (VD) Cho dãy số (u n ) xác định  Khi mệnh đề sau đúng? un 1  u n 1  ,  n  1 A Dãy (u n ) dãy giảm tới n   B Dãy (u n ) dãy tăng tới n   C Không tồn giới hạn dãy (u n ) D Cả đáp án sai  u  Câu 18 (VD) Cho dãy số (u n ) xác định  Khi mệnh đề sau đúng?  u n 1  ,  n  1  un  A Dãy (u n ) dãy giảm tới n   B Dãy (u n ) dãy tăng tới n   C Không tồn giới hạn dãy (u n ) D Cả đáp án sai  u  Câu 19 (VDC) Cho dãy số (u n ) xác định  Đặt u  u u  u  u   1, n        n n n n   n 1 n Tính lim v n bằng?   i 1 u i  A  B C D Truy cập trang http://Tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!  u  n  Câu 20 (VDC) Cho dãy số (u n ) xác định  Đặt Khẳng định v   n 2 u u  4u  u i   u  n n n i ,  n  1 n 1   sau đúng? A Không tồn giới hạn v n B v n có giới hạn hữu hạn  C v n có giới hạn hữu hạn lim v n  D v n có giới hạn hữu hạn lim v n  HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT THỰC HIỆN : BAN CHUYÊN MÔN TUYENSINH247.COM B 11 B B 12 B A 13 C B 14 A B 15 B B 16 A D 17 A C 18 B D 19 C 10 B 20 D Câu Phương pháp: Chia tử mẫu phân thức cho n Cách giải: 4  4n 4 n lim u n  lim  lim   5n 5 Chọn B Câu Phương pháp: Chia tử mẫu phân thức cho n Cách giải: n  3n n   1 lim u n  lim  lim 1  4n  4 n 1 Chọn B Câu Phương pháp: Truy cập trang http://Tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất! Chia tử mẫu phân thức cho n Cách giải:  n  3n n n   lim u n  lim  lim 1  4n  4 n Chọn A Câu Phương pháp: Chia tử mẫu phân thức cho 5n Cách giải: n 3   1 n n 5 lim u n  lim  lim     n 1 Chọn B Câu Phương pháp: Chia tử mẫu phân thức cho bậc cao tử mẫu Cách giải:  2n  n n   lim  lim 2n  2  2 n 2 2n  n   1 lim  lim 2n  2  2 n 2 2n  n   lim  lim 2n  2 2 n 2 2n  n   lim  lim 2n   n n3 Chọn B Câu Truy cập trang http://Tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất! Phương pháp: Chia tử mẫu phân thức cho n Cách giải: n  2n n  lim  lim 5n  5n 5 n 1 1 n2 n lim  lim   5 5n   n n   2n n n   lim  lim 5n  5n 5 n 1 1 n2 lim  lim n   5 5n   n n2 1 Chọn B Câu Phương pháp: Chia tử mẫu phân thức cho 5n Cách giải: n n 2 1       2n 1  3.5n  2.2n  3.5n  5    3   lim  lim  lim   n n n n n 3.2  9.5 3.2  9.5 2    5 Chọn D Câu Phương pháp: Chia tử mẫu phân thức cho n Cách giải: 2  (2  5n)3 (n  1)   5 3 (2  5n) (n  1) n  n n lim  lim  lim  2  25n  25n n5 n5  1 1    n   ( 5)  25  25 Truy cập trang http://Tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất! Chọn C Câu Phương pháp: - Nhân liên hợp, - Chia tử mẫu phân thức cho n Cách giải: Cách 1: n  3n   9n  lim  lim 2n   lim   (n  3n  5)  (9n  3)   n  3n   9n  (2n  1)  n n  lim   1    n n n   n  3n   9n  8   1    n   lim  n  3n   9n    n  3n   9n  (2n  1)  8n  3n   n  3n   9n  (2n  1) 8  1 4.2 Cách 2: Chia tử mẫu cho n n  3n   9n  lim  lim 2n  1   9 n n n  lim   1 2 n Chọn D Câu 10 Phương pháp: Chia tử mẫu phân thức cho n Cách giải:  2n  n  n n   lim  lim 1 2n  n  2  n n 2 Chọn B Câu 11 Phương pháp: Truy cập trang http://Tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất! - Nhân liên hợp, - Chia tử mẫu phân thức cho n Cách giải: lim  n n n     lim n2  n  n n2  n  n n n n   lim n  n  n2 n n n n  lim n n n 1 1   2 1 1 n  lim Chọn B Câu 12 Phương pháp: - Nhân liên hợp, - Chia tử mẫu phân thức cho n Cách giải: lim  n2  n 1  n2     lim n2  n 1  n2 1  lim n2  n 1  n2 1  lim n2  n 1  n2 1  n2  n 1  n2 1  n2  n 1  n2 1 n n2  n 1  n2 1  lim 1 1  1 1   1 n n n Chọn B Chú ý sai lầm: Nhiều học sinh có lời giải sau:  1 lim n  n   n   lim n      n n n  ta không định nghĩa giới hạn .0       n 1  1  , lời giải sai Lưu ý chúng  Câu 13 Phương pháp: - Rút gọn biểu thức, tính giới hạn Cách giải: Truy cập trang http://Tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất! un  1 1 1   n 1 n          1.2 2.3 3.4 n  n  1 1.2 2.3 3.4 n  n  1 1 1 1 1           1 2 3 n n 1 n 1    lim u n  lim 1     n 1  Chọn C Câu 14 Phương pháp: - Rút gọn biểu thức, tính giới hạn Cách giải: un   2n  1   2n  1  1 1  1              1.3 3.5 5.7  2n  1  2n  1  1.3 3.5 5.7  2n  1  2n  1   1 1 1     1           1    3 5 2n  2n    2n   1   lim u n  lim 1    2n   Chọn A Câu 15 Phương pháp: - Rút gọn biểu thức, tính giới hạn Cách giải: 2 1 1    22    32    n     1  1  n  1  u n  1   1   1           22.32 n     n      n   1.3  2.4   3.5  4.6   n  1  n  1 2 n  n 1 2n n 1  lim u n  lim  lim n  2n 2 1 Chọn B Câu 16 Phương pháp: - Chia tử mẫu phân thức cho n Cách giải: Truy cập trang http://Tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất! 6n  n  1 6   2 2n  11  3n   6n  n  n n n   lim u n  lim  lim  lim lim 3 3 n  5n  n  5n  n  5n  3   n3 n5 n6 n Chọn A Chú ý sai lầm: Khi chia tử mẫu cho n mẫu ta có n  5n  n  5n   , nhiều học sinh n2 n6 nhầm lẫn không cho n2 vào bậc ba mà thực phép chia n  5n  n2 Câu 17 Phương pháp: - Tính u2 , u3 , , từ dự đốn cơng thức tổng qt dãy số - Rút nhận xét Cách giải:  21    2 1 22  u3    2 1 23  u4    u2  Chứng minh quy nạp: u n 1  2n  , n  1; 2; (*) : 2n u1   21  * Với n  : u    : (*) 2 * Giả sử (*) với n  k 1 , tức u k  u k 1  2k  ta chứng minh (*) với n  k , tức cần chứng minh 2k 2k 1  2k 1 2k  2k   2k  k k uk 1 2.2k  2k 1  2     k 1 Ta có : u k 1  2 2k 1 Theo nguyên lý quy nạp, ta chứng minh (*) 10 Truy cập trang http://Tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất! Như vậy, công thức tổng quát dãy (u n ) là: u n  Từ (*) ta có u n 1  u n   2n 1  1   n 1 , n  1; 2; (*) n 1 2   1  1  n 1   n  n 1  n  1, 2,   u n  dãy giảm n   2   lim u n  lim 1  n 1    (u n ) dãy giảm tới n     Chọn A Câu 18 Phương pháp: - Tính u2 , u3 , , từ dự đốn cơng thức tổng quát dãy số - Rút nhận xét Cách giải:  u  (u n ) :   u n 1  , (n  1)  un  1 2   3 1 2 2 1 3 u3     4 1 2 3 u2   Chứng minh quy nạp: u n  n , n  1;2; (*) n 1 * Với n  1,n  : (*) * Giả sử (*) với n  k , tức u k  u k 1  k , ta chứng minh (*) với n  k 1 , tức cần chứng minh k 1 k 1 k2 Ta có: u k 1  1 k 1    2k   k k  2  uk  k k 1 k 1 Theo nguyên lý quy nạp, ta chứng minh (*) với n = 1, 2, … Như vậy, công thức tổng quát dãy (u n ) là: u n  n , n  1;2; (*) n 1 11 Truy cập trang http://Tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất! Từ (*) ta có u n 1  u n  lim u n  lim n 1 n n  2n   n  2n      u n  dãy tăng n  n 1  n   n  1  n   n  1 n  lim   (u n ) dãy tăng tới n   n 1 1 n Chọn B Câu 19 Phương pháp: - Biến đổi, rút gọn biểu thức tính giới hạn Cách giải: u  1.2.3.4   5, u n  0, n  1; 2; Ta có: u n 1  u n  u n  1 u n   u n  3    u n  3u n    u n2  3u n    u n u n  3u n  u n2  3u n     3u n  1  u n2  3u n   u n 1   u n2  3u n    u n  1 u n     u n 1    u n  1 u n    1  un 1 un  1   u n  u n  u n 1  n Do đó: v n   i 1 n  1  1 1        u i  i 1  u i  u i 1   u1  u n 1  u n 1  Xét hiệu u n 1  u n  u n2  3u n   u n   u n  1    u n  dãy tăng Giả sử lim u n 1  lim u n  a   a  a  3a   a  2a    a  1  ktm   lim u n    lim v n  1 1   0  u n 1  2 Chọn C Câu 20 Phương pháp: - Biến đổi, rút gọn biểu thức tính giới hạn Cách giải: 12 Truy cập trang http://Tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất! u 2n  4u n  u n u n2  4u n  u n u n2  u n  un      u n  dãy tăng Xét u n 1  u n  2 Giả sử lim u n  a a  a  a  4a  a  a  a  4a  a  a  4a  a  (vô lý) Suy lim u n   u 2n 1  4u n 1  u n 1 un   2u n  u n 1  u n2 1  4u n 1  4u 2n  4u n u n 1  u n2 1  u n2 1  4u n 1  u n2   u n  1 u n 1  1 1    u n  u n  1 u n 1 u n 1 u n Do  1 1   1   1 1          6         2 u1  u1 u   u u  un i 1 u i  u n 1 u n  u1 u1 u n    lim v n  lim       un   n   Chọn D 13 Truy cập trang http://Tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất! ... n có giới hạn hữu hạn lim v n  HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT THỰC HIỆN : BAN CHUYÊN MÔN TUYENSINH247.COM B 11 B B 12 B A 13 C B 14 A B 15 B B 16 A D 17 A C 18 B D 19 C 10 B 20 D Câu Phương pháp: Chia... un  1 1 ? ?1   n ? ?1? ?? n          1. 2 2.3 3.4 n  n  1? ?? 1. 2 2.3 3.4 n  n  1? ?? 1 1 1 1           1? ?? 2 3 n n ? ?1 n ? ?1    lim u n  lim ? ?1     n ? ?1  Chọn C Câu 14 Phương... thức, tính giới hạn Cách giải: un   2n  1? ??   2n  1? ??  1 1  ? ?1              1. 3 3.5 5.7  2n  1? ??  2n  1? ??  1. 3 3.5 5.7  2n  1? ??  2n  1? ??   1 1 1     ? ?1   