ĐỀ THI ONLINE - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍCH THỂ TÍCH KHỐI TRÕN XOAY – CĨ LỜI GIẢI CHI TIẾT Mục tiêu đề thi: - Biết vận dụng công thức tính thể tích vật thể tròn xoay - Phân biệt tốn vật thể tròn xoay xoay quanh trục Ox với tốn vật thể tròn xoay xoay quanh trục Oy - Luyện tập phương pháp tính tích phân: Phương pháp đổi biến phương pháp phần - Luyện tập cách vẽ số đồ thị hàm số đơn giản Cấu trúc đề thi: Đề thi gồm 20 câu trắc nghiệm phân thành cấp độ: Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao 6 Câu (Nhận biết) Cho hình phẳng hình (phần tơ đậm) quay quanh trục hồnh Thể tích khối tròn xoay tạo thành tính theo công thức ? b A V    f  x   g  x   dx a b B V    f  x   g  x  dx a b C V     f  x   g  x   dx a b D V    f  x   g  x  dx a Câu (Nhận biết) Viết cơng thức tính thể tích V khối tròn xoay tạo quay hình thang cong, giới hạn đồ thị hàm số y  f  x  , trục Ox hai đường thẳng x  a, x  b  a  b  , xung quanh trục Ox b A V    f  x  dx a b B V   f  x  dx a b C V    f  x  dx a b D V   f  x  dx a Câu (Nhận biết) Cho hình phẳng D giới hạn đường cong y   sin x , trục hoành đường thẳng x  0, x   Khối tròn xoay tạo thành quay D quanh trục hồnh tích V ? A V    1 B V  2   1 C V  2 D V  2 Truy cập trang http://Tuyenssinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất! Câu (Nhận biết) Cho hình phẳng D giới hạn đường cong y  e x , trục hoành đường thẳng x  0, x  Khối tròn xoay tạo thành quay D quanh trục hồnh tích V ? A V   e2 B V    e2  1 e2  C V  D V    e2  1   Câu (Nhận biết) Cho hình phẳng giới hạn D   y  tan x; y  0; x  0; x   Thể tích vật tròn xoay 3    D quay quanh trục Ox V    a   , với a, b  R Tính T  a  2b b  A T  B T  C T  12 D T  Câu (Nhận biết) Tính thể tích S   y  x  x  6; y   x  x  6 quay quanh trục Ox A V  B V   C V   D V  3 Câu (Thơng hiểu) Thể tích khối tròn xoay sinh phép quay xung quanh Ox hình giới hạn trục Ox parabol  P  : y  x  ax  a  0  3 B a  1;   2 1  A a   ;1 2  V  Khẳng định ? 3  C a   ;  2   5 D a   2;   2 Câu (Thông hiểu) Cho hình phẳng  H  giới hạn đường y  x , y   x x  Thể tích khối tròn xoay tạo thành quay hình  H  quanh trục hồnh V  a a phân số tối , với a, b  b b giản Tính tổng T  a  b A T  44 B T  36 C T  50 D T  24 Câu (Thơng hiểu) Thể tích khối tròn xoay thu quay hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y   x , y  x, y  xung quanh trục Ox tính theo cơng thức sau ? A V      x  dx    x dx C V    x dx     x dx B V      x  dx D V    x dx      x  dx Câu 10 (Thơng hiểu) Cho hình phẳng  H  giới hạn đường y   x  x y  Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành quay hình  H  quanh trục Oy Truy cập trang http://Tuyenssinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất! A V   B V   C V  10  D V  16  Câu 11 (Thơng hiểu) Thể tích khối tròn xoay tạo nên quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn  C  : y  ln x, trục Ox đường thẳng x  e có dạng   e  a  Khi a bằng: A B C D -1 x2 y Câu 12 (Thơng hiểu) Tính thể tích khối tròn xoay hình phẳng giới hạn đường  E  :   quay 16 quanh Oy ? A V  36 B V  24 C V  16 D V  64 Câu 13 (Vận dụng) Thể tích vật thể giới hạn hai mặt phẳng x  x  có thiết diện bị cắt mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ x   x  3 hình chữ nhật có hai kích thước x  x , A V  B V  18 C V  20 D V  22 Câu 14 (Vận dụng) Hình phẳng C giới hạn đường  P  : y  x  x  2, trục tung tiếp tuyến P điểm M 1;5  , quay quanh trục Ox tạo thành khối tròn xoay tích có dạng V  a a , với b b phân số tối giản Khi S  a  b có giá trị : B – A C D Câu 15 (Vận dụng) Cho hàm số bậc hai y  f  x  có đồ thị hình vẽ bên Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành quay hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  f  x  Ox xung quanh Ox A 16 15 B 16 C 12 15 D 4 Câu 16 (Vận dụng) Thể tích vật thể tròn xoay sinh hình phẳng giới hạn đường y  x , y   x  , y  quay quanh trục Oy, có giá trị kết sau ? A V   3 B V   C V  32  15 D V  11  Truy cập trang http://Tuyenssinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất! Câu 17 (Vận dụng) Kí hiệu  H  diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y   x  1 e x , trục tung trục hồnh Thể tích V khối tròn xoay thu quay hình H  xung quanh trục Ox V   e a  b   , với a, b số nguyên Tính P  2a  b A P  B P  C P  D P  Câu 18 (Vận dụng) Thể tích khối tròn xoay hình phẳng giới hạn đồ thị y    x , x  y  quay quanh trục Ox V  A T  33 a a , với a, b  phân số tối giản Tính tổng T  a  b b b B T  31 C T  29 D T  27 Câu 19 (Vận dụng cao) Tính thể tích hình xuyến quay hình tròn  C  có phương trình x   y    quanh trục Ox A V  6 B V  4 C V  2 D V  8 Câu 20 (Vận dụng cao) Gọi V thể tích khối tròn xoay tạo thành quay hình phẳng giới hạn đường y  x , y  x  quanh trục Ox Đường thẳng x  a   a   cắt đồ thị hàm số y  x M (hình vẽ bên) Gọi V1 thể tích khối tròn xoay tạo thành quay tam giác OMH quanh trục Ox Biết V  2V1 Khi A a  B a  C a  2 D a  Truy cập trang http://Tuyenssinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất! HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT THỰC HIỆN: BAN CHUYÊN MÔN TUYENSINH247.COM 1B 2A 3B 4D 5B 6D 7C 8A 9D 10B 11A 12D 13B 14D 15A 16C 17A 18A 19B 20B Câu Phương pháp: Thể tích khối tròn xoay xoay hình phẳng giới hạn đường y  f  x  , y  g  x  , x  a, x  b quanh trục b Ox là: V    f  x   g  x  dx a Lời giải b Thể tích khối tròn xoay tính theo cơng thức V     f  x   g  x   dx a Chọn B Câu Phương pháp: Thể tích khối tròn xoay xoay hình phẳng giới hạn đường y  f  x  , x  a, x  b quanh trục Ox là: b V    f  x  dx a Lời giải b Cơng thức tính thể tích V cần tìm V    f  x  dx a Chọn A Câu Phương pháp: Thể tích khối tròn xoay xoay hình phẳng giới hạn đường y  f  x  , x  a, x  b quanh trục Ox là: b V    f  x  dx a Lời giải Truy cập trang http://Tuyenssinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!  Thể tích khối tròn xoay tính theo cơng thức V    f  x  dx     sin x    dx     sin x   dx    x  cos x     2  1    2   1 Chọn B Câu Phương pháp: Thể tích khối tròn xoay xoay hình phẳng giới hạn đường y  f  x  , x  a, x  b quanh trục Ox là: b V    f  x  dx a Lời giải Thể tích khối tròn xoay tính theo cơng thức V    f  x  dx    e  x dx    e2 x dx Đặt t  e2 x  dt  2e2 x dx  e2 x dx  dt đổi cận x   t   x   t  e dt   e2   e  1 Khi V      dt  t  2 2 1 e2 Vậy V    e2  1 2 e2 Chọn D Câu Phương pháp: Thể tích khối tròn xoay xoay hình phẳng giới hạn đường y  f  x  , x  a, x  b quanh trục Ox là: b V    f  x  dx a Lời giải      1 dx Thể tích vật tròn xoay cần tính V    tan x dx     cos x  0 3 Truy cập trang http://Tuyenssinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!     a       tan x  x  03         a     3 3    b  Vậy T   3  2.3  Chọn B Câu Phương pháp: Giải phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hàm số tìm cận x = a x = b Thể tích khối tròn xoay xoay hình phẳng giới hạn đường y  f  x  , x  a, x  b quanh trục Ox là: b V    f  x  dx a Lời giải x  Hoành độ giao điểm hai parabol x  x    x  x    x  1 Thể tích vật tròn xoay cần tính V     x  x      x  x   dx 2    12 x3  36 x  24 x  dx    3x  12 x3  12 x   3 0 Chọn D Câu Phương pháp: Xét phương trình hồnh độ giao điểm (P) trục Ox, tìm cận x = a x = b Thể tích khối tròn xoay xoay hình phẳng giới hạn đường y  f  x  , x  a, x  b quanh trục Ox là: b V    f  x  dx a Lời giải x  Phương trình hồnh độ giao điểm  P  Ox x  ax    x  a a a Khi đó, thể tích cần xác định cho V     x  ax  dx     x  2ax  a x  dx 2 Truy cập trang http://Tuyenssinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất! a  x5 ax a x3   a5 60    a5 V   2a  ;2 Mặt khác       30     30  Chọn C Câu Phương pháp: Xét phương trình hồnh độ giao điểm Áp dụng cơng thức tính thể tích khối tròn xoay xoay hình phẳng giới hạn đường b y  f  x  , x  a, x  b quanh trục Ox là: V    f  x  dx a Đưa tích phân cần tính dạng V  a , tìm hệ số a b, thay vào tính tổng a + b b Lời giải x   x  x  Phương trình hồnh độ giao điểm y  x , y   x Khi đó, thể tích cần tính V      x    x  dx    x  x dx 4 1    x  x dx    x  x dx     x  x  dx     x  x  dx  x3 x   x x  41 a a  41             b  3 2 3 b   1  0 Vậy T  44 Chọn A Câu Phương pháp : Tìm đầy đủ giao điểm, chia tích phân cần tính thành tích phân thích hợp Lời giải Truy cập trang http://Tuyenssinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất! 0  x  2x  x    x  1;  x   x  2 2  x  x Xét phương trình hồnh độ giao điểm : Thể tích vật tròn xoay cần tìm thể tích khối tròn xoay thu quay hai hình phẳng  H1  :  y  x; x  0; x  1  H  :  y    x ; x  1; x  Vậy thể tích khối tròn xoay V    x dx      x  dx Chọn D Câu 10 Phương pháp : Rút hàm số theo biến y, x  f  y  ; x  g  y  Giải phương trình tung độ giao điểm để tìm cận y = a y = b Áp dụng cơng thức tính thể tích khối tròn xoay quanh trục Oy hình phẳng bị giới hạn đồ thị hàm b số x  f  y  , x  g  y  , y  a, y  b V   f  y   g  y  dy a Lời giải  x  1 1 y Ta có y   x  x   x  1   y    x    y Xét phương trình tung độ giao điểm   y    y   y   y  Truy cập trang http://Tuyenssinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!  Khi đó, thể tích cần tính V      y    1 1 y  dy     y dy Đặt  y  t   y  t  dy  2tdt y   t  Đổi cận:  y   t  0 t3 Khi V   4t.2tdt  8 t dt   1  8 Chọn B Chú ý sai lầm: Học sinh cần phân biệt toán xoay quanh trục Ox xoay quanh trục Oy Câu 11 Phương pháp : Giải phương trình hồnh độ giao điểm để tìm cận Thể tích khối tròn xoay xoay hình phẳng giới hạn đường y  f  x  , x  a, x  b quanh trục Ox là: b V    f  x  dx a Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm  C  Ox ln x   x  e e e 1 Khi đó, thể tích cần tính V    ln x dx    x ln x     x d  ln x  ln x  e e     e u  ln x dx du    V    x ln x   ln xdx    e   ln xdx  Đặt  x dv  dx 1      v  x dx  e e u  ln x e e e du   Đặt  x   ln xdx  x ln x   dx  x ln x  x  e  e   dv  dx 1  v  x Vậy I    e    a  Chọn A Câu 12 Phương pháp : Rút hàm số cho theo biến y : x  f  y  , Vẽ hình xác định đường giới hạn 10 Truy cập trang http://Tuyenssinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất! Áp dụng cơng thức tính thể tích khối tròn xoay quanh trục Oy hình phẳng bị giới hạn đồ thị hàm b số x  f  y  , x  g  y  , y  a, y  b V   f  y   g  y  dy a Lời giải  y2  x2 y    x  16 1    x    y2 16 9   Phương trình tung độ giao điểm đồ thị  E  với Oy  y  3 y2  1  16 y  Ta xét thể tích vật tròn xoay xoay hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số x   y2 , đường thẳng x = 0, 3 16 16  y3  y = 3, y = quanh trục Ox là: V     y  dy    9y    32 9  0 Khi thể tích cần tìm 2V  64 Chọn D Câu 13 Phương pháp : Áp dụng cơng thức tính thể tích vật thể biết thiết diện vật thể cắt mặt phẳng vng góc với trục b Ox điểm có hồnh độ x, đường thẳng x = a x = b V   S  x  dx a Lời giải Diện tích hình chữ nhật có hai cạnh x  x x  x 11 Truy cập trang http://Tuyenssinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất! Suy thể tích vật thể cần tính V   x  x dx x   t  Đặt t   x2  x2   t  x dx   t dt đổi cận  x  3 t  0 3 Vậy thể tích V   2 t dt  2 t dt  t  18 3 Chọn B Câu 14 Phương pháp : Xác định phương trình tiếp tuyến (d) đồ thị hàm số (P) điểm M(1 ; 5) : y  y ' 1 x  1  Giải phương trình hồnh độ giao điểm để tìm đường giới hạn Thể tích khối tròn xoay xoay hình phẳng giới hạn đường y  f  x  , x  a, x  b quanh trục Ox là: b V    f  x  dx a Lời giải Ta có y '  2x   y ' 1  Khi tiếp tuyến parabol  P  M 1;5 có phương trình  d  : y   x  1   x  Phương trình hồnh độ giao điểm  P   d  x  x   x   x  1 Vậy thể tích khối tròn xoay cần tính V     x  x     x  1 dx 2  x5  x3 23    x  x  x  dx     x  x  x  3 dx     x   3x   15  0 0 1 4 a  23   S  a  b  23  15  b  15 Chọn D Câu 15 Phương pháp: Xác định hàm số parabol (P) : y  ax  bx  c Xác định đường giới hạn hình phẳng sinh khối tròn xoay 12 Truy cập trang http://Tuyenssinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất! Thể tích khối tròn xoay xoay hình phẳng giới hạn đường y  f  x  , x  a, x  b quanh trục Ox là: b V    f  x  dx a Lời giải Gọi phương trình hàm số bậc hai y  ax  bx  c có đồ thị  P  Dựa vào đồ thị hàm số, ta thấy  P  qua điểm O  0;0  , A 1;1 , B  2;0  c  a     Khi đó, ta có a  b  c   b    P  : y  f  x   x  x 4a  2b  c  c    2 0 Vậy thể tích khối tròn xoay cần tính V    f  x  dx     x  x  dx 2  x5 x3  16     x  x  x  dx     x     15  Chọn A Câu 16 Phương pháp : Xét đầy đủ phương trình hồnh độ giao điểm Vẽ hình suy thể tích cần tính Lời giải y  Ta có y  x   y   x  x   y x  y y 1 Xét phương trình y   y  y  y     y  2 Khi thể tích khối tròn xoay sinh quay hình phẳng tơ vàng hình vẽ bên quanh trục tung 1  y5 y3  32 Vậy V      y    y   dy     y  y  y   dy      y  y     15  0 0 Chọn C Câu 17 13 Truy cập trang http://Tuyenssinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất! Phương pháp: Giải phương trình hồnh độ giao điểm tìm đường giới hạn Thể tích khối tròn xoay xoay hình phẳng giới hạn đường y  f  x  , x  a, x  b quanh trục Ox là: b V    f  x  dx a Lời giải Xét phương trình hồnh độ giao điểm  x  1 e x   x  1 Thể tích khối tròn xoay cần tính V      x  1 e x  dx  4   x  x  1 e x dx 0 du   x   dx 2x x  x  e  u  x  x      2x x Đặt    I   x  e d x    I0    e  2x 2 d v  e d x v      du  dx 2x u  x  x  1 e x  1 e  e2  x 2x  I    e d x    Đặt   e 0 2x 2 4 v  dv  e dx  0  Vậy I    x  2x  1 e x dx  e2   V  e     a   P  2.2    b   Chọn A Câu 18 Phương pháp: Giải phương trình hồnh độ giao điểm tìm đường giới hạn Thể tích khối tròn xoay xoay hình phẳng giới hạn đường y  f  x  , x  a, x  b quanh trục Ox là: b V    f  x  dx a Lời giải x2 x  3y   y   Hoành độ giao điểm nghiệm phương trình   x2   0  x  x2    x2  x2    x   x   3   x  x  36  14 Truy cập trang http://Tuyenssinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!  Khi đó, thể tích khối tròn xoay cần tính V     x4 x3 x5     4  x   dx    x    45     3 4 x  2  x2      dx  3   28  2      5   Vậy V   a  28 28 a    T  a  b  28   33 b b  Chọn A Câu 19 Phương pháp: Rút hàm số theo biến x: y  f  x  y  g  x  Xác định đường giới hạn Áp dụng cơng thức tính thể tích khối tròn xoay xoay hình phẳng giới hạn đường b y  f  x  , x  a, x  b quanh trục Ox là: V    f  x  dx a Lời giải Xét  C  : x   y    có tâm I  0;  , bán kính R  Như  Nửa  C  ứng với  y  có phương trình y  f1  x     x với x   1;1  Nửa  C  ứng với  y  có phương trình y  f  x     x với x   1;1 Khi đó, thể tích khối tròn xoay cần tính   V       x2 1    2  1 x    dx  8   x dx 1    x  1 t   Đặt x  sin t  dx  cos t dt đổi cận   x  1 t     Khi V  8      2 cos t cos t dt  4  1  cos 2t  dt  4  t  sin 2t   4      2 Chọn B 15 Truy cập trang http://Tuyenssinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất! Câu 20 Phương pháp: Tính thể tích V V2 Sử dụng giả thiết V = 2V2 tìm a Lời giải Vì V thể tích khối tròn xoay tạo thành quay hình phẳng giới hạn đường y  x , y  x  4 quanh trục Ox V      x dx    x dx  8  V1  4 Gọi N giao điểm đường thẳng x  a trục hoành Khi V1 thể tích tạo quay hai tam giác OMN MNH quanh trục Ox với N hình chiếu M OH MN  a Tam giác OMN xoay quanh trục Ox tạo nên khối nón có bán kính MNH xoay quanh trục Ox tạo nên khối nón có bán kính Vậy V1   a  a   4  a  a  a chiều cao a, tam giác a chiều cao – a 4 a  4  a  3 Chọn B 16 Truy cập trang http://Tuyenssinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất! ... http://Tuyenssinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất! Câu 20 Phương pháp: Tính thể tích V V2 Sử dụng giả thi t V = 2V2 tìm a Lời giải Vì V thể tích khối tròn xoay tạo thành quay... hạn hình phẳng sinh khối tròn xoay 12 Truy cập trang http://Tuyenssinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất! Thể tích khối tròn xoay xoay hình phẳng giới... Tìm đầy đủ giao điểm, chia tích phân cần tính thành tích phân thích hợp Lời giải Truy cập trang http://Tuyenssinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất! 0 