Thông tin tài liệu
CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC BÀI GIẢNG BÀI TOÁN RÚT GỌN TRÊN TẬP SỐ PHỨC (TIẾT 1) MƠN TỐN: 12 – THẦY NGUYỄN QUỐC CHÍ Ví dụ 2: Rút gọn số phức chứa i mẫu: a) z 1 3i b) z 3i 1 i c) z 1 i (1 2i)(3 4i) Giải Nguyên tắc thực hiện: Thực phép toán nhân liên hợp Biểu thức liên hợp xuất phát từ đẳng thức: ( A B)( A B) A2 B a) z 1.(1 3i) 3i 3i i 3i (1 3i)(1 3i) (3i) 10 10 10 3i (2 3i)(1 i) 2i 3i 3i i i b) z 1 i (1 i)(1 i) i2 2 c) z z 1 i 1 i 1 i (1 i)(11 2i) 11 2i 11i 2i 13i (1 2i)(3 4i) 4i 6i 8i 11 2i (11 2i)(11 2i) 112 (2i) 125 13 i 125 125 Ví dụ 3: a) Cho z1 i; z2 4i Tìm phần thực, phần ảo z1 z2 b) Cho z 4i Tìm số phức 2z z c) Cho z thỏa mãn: (1 2i) z 25i z 2(1 2i) 8i Tìm mơ đun w z i 1 i Giải a) z1 z2 i 2(3 4i) i 8i 7i Phần thực ; phần ảo b) +) z z 2(3 4i) 4i 8i 4i 4i +) 25i 25i(3 4i) 75i 100i 100 75i 4 3i 4i (3 4i)(3 4i) (4i) 25 c) (1 2i) z 2(1 2i) 8i 1 i Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa tốt nhất! (1 2i )(1 i ) z 2(1 2i) (7 8i)(1 i) (1 i 2i 2i ) z 4i 7i 8i 8i (3 i ) z 4i 1 15i (3 i ) z 3 11i 3 11i (3 11i)(3 i) 20 30i z 2 3i 3i (3 i )(3 i ) 10 w 2 3i i 1 4i w 12 42 17 1 i Ví dụ 4: Tìm phần thực, phần ảo z biết z 1 i Giải Phân tích: Ta có hai hướng làm: 1) Khử i mẫu cách nhân tử mẫu với liên hợp mẫu Rồi sử dụng đẳng thức mũ ba để khai triển 2) Rút gọn tử riêng, mẫu riêng Sau ta làm theo hướng 1 i 1 i z 1 i 1 i +) i 1 i 3 1 i 1 2i 3i i 2 2i i 2 2i 2i 8 +) (1 i)3 (1 i)2 (1 i) 2i.(1 i) 2i 2i 2 2i z 8 8(2 2i) 16 16i 16 16i 2i 2 2 2i (2 2i)(2 2i) (2) (2i) z 2i Phần thực 2; phần ảo -2 Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa tốt nhất! CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC BÀI GIẢNG GIẢI PHƢƠNG TRÌNH TRÊN TẬP SỐ PHỨC (PHƢƠNG TRÌNH BẬC 2) +) Phương trình bậc đồng nghĩa với rút gọn số phức Ví dụ: z(1 2i) 2i 4i z 4i (3 2i) 2 6i (2 6i)(1 2i) 14 2i 14 i 2i 2i (1 2i)(1 2i) 5 Dạng 1: Phƣơng trình bậc Cho phương trình: a.z b.z c Cách giải +) Bước 1: Tính b2 4ac Nếu phương trình có hai nghiệm Nếu phương trình có nghiệm kép Nếu phương trình có hai nghiệm +) Bước 2: Phương trình có nghiệm là: z1 b b ; z2 2a 2a Ví dụ 1: Giải phương trình a) z z b) z z 10 c) z iz Giải z a) z z z 3 b) z z 10 +) 36 40 4 4i +) Phương trình có hai nghiệm z1 b 2i b 2i i z2 3i 2a 2a c) z iz +) i 9 9i +) Phương trình có hai nghiệm z1 b i 3i b i 3i i z2 i 2a 2a Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa - GDCD tốt nhất! Ví dụ (A-2009): Gọi z1 , z2 nghiệm z z 10 Tính A z1 z2 2 Giải Phương trình: z z 10 +) 40 36 36i +) Phương trình có hai nghiệm z1 A 1 3i 1 3i 2 2 6i 2 6i 1 3i; z2 1 3i 2 (1)2 32 (1) (3) 10 10 20 * Cách tính bậc hai số phức: Có cách tính: Tự luận, bấm máy, nhẩm Sau ta làm theo cách tự luận Cách 1: Gọi bậc hai 4i a bi (a, b ) 4i (a bi ) 4i a 2abi (bi) 4i a b 2abi a b 2ab b a Thế b a2 vào a b2 ta được: a a2 4 a a a2 a 1(loai ) a b Với a a 2 b 1 Vậy bậc 4i i; 2 i Ví dụ 3: Gọi z1; z2 nghiệm z z 2i Tính z1 z2 Giải Phương trình z z 2i +) 4(1 2i) 8i 8i có hai bậc hai 2i 2 2i nên phương trình có hai nghiệm 2i 2i z1 i; z2 i 2 z1 z2 Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa - GDCD tốt nhất! CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC BÀI GIẢNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH SỐ PHỨC (PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO) Một số lưu ý: Thường phương trình bậc n có n nghiệm Phương trình phức khơng vơ nghiệm Tìm cách đưa phương trình bậc Ví dụ 1: Giải phương trình a) z b) z c) z i Giải z 1 z a) z z ( z 1)( z z 1) z z 1 Xét phương trình z z +) 3 3i z1 1 3i 1 3i ; z2 2 Vậy phương trình có nghiệm: z1 1 3i 1 3i ; z2 ; z3 2 b) z z ( z 1)( z 1) z 1 z2 z 1 z i z 1 z 1 i Vậy phương trình có nghiệm z {1; 1; i; i} c) z i z i z i3 ( z i)( z iz i ) z i z i z iz Xét phương trình z iz +) i z1 i i ; z2 2 Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất! i i Vậy phương trình có nghiệm z ; ; i Ví dụ 2: Giải phương trình sau: a) 3z 8z 10 z b) z z 27iz 27i Giải a) 3z 8z 10 z 3z z (3z 2)( z z 2) z z Xét phương trình z z +) 4 4i z1 2i 2i i; z2 i 2 b) z z 27iz 27i z ( z 1) 27i ( z 1) ( z 1)( z 27i ) z 1 z z 27i Xét phương trình: z 27i z 27i3 ( z 3i)( z 3iz 9i ) z 3i z 3i 3i 3 z z 3iz z 3i 3 3i 3 3i 3 Vậy phương trình có nghiệm z 1;3i; ; 2 Ví dụ 3: a) Gọi z1 , z2 , z3 , z4 nghiệm phương trình: z 3z Tính z1 z2 z3 z4 b) Giải phương trình: z (1 3i) z 2i Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất! iz iz c) Giải phương trình: z 2i z 2i d) Giải phương trình: z z z z Giải a) z 3z Đặt z t t Phương trình trở thành: t 3t t 4 +) Với t z z 1 +) Với t 4 z 4 4i z 2i z1 z2 z3 z4 1 2i 2i b) z (1 3i) z 2i Đặt z t Phương trình trở thành: t (1 3i)t 2i +) (1 3i)2 4(2i 2) 2i i t1 3i i 3i i 2i; t2 1 i 2 z 1 i Với t1 2i z 2i z 1 i 1 i Với t2 1 i z 1 i z 2 1 1 Vậy phương trình có nghiệm z (1 i ); i 2 1 iz iz c) ( z 2i) z 2i z 2i Đặt iz t z 2i t i Phương trình trở thành: t 2t t i Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất! Với t i iz ( z 2i)(1 i) iz z iz 2i z 1 2i Với t i iz ( z 2i)(1 i) iz z iz 2i (2i 1) z 2i z 2i 12 i 2i 5 12 Vậy phương trình có nghiệm z 1 2i; i 5 d) z z z z +) Thay z (vơ lý) phương trình khơng có nghiệm z +) Chia hai vế phương trình cho z ta được: 1 1 z z z z (1) z z z z Đặt z 1 t z2 t z2 t z z z t Phương trình (1) trở thành: 2.(t 2) 7t 2t 7t t 2 3i z 2 Với t z z z z 3i z z 5 Với t z z z z z 2 1 3i 3i Vậy phương trình có nghiệm z 2; ; ; 2 Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất! CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC BÀI GIẢNG TÌM SỐ PHỨC THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC (PHẦN 1) * Phương pháp: +) Gọi z a bi (a, b ) +) Thay z vào đề dẫn tới hệ phương trình +) Giải hệ phương trình ta số phức z cần tìm * Nhắc lại lý thuyết: +) Số phức số có dạng z a bi (a, b ) +) Số phức liên hợp: z a bi +) Môđun số phức: z a2 b2 +) Số phức z a bi (a, b ) có điểm biểu diễn M (a, b) a1 a2 +) Cho z1 a1 b1i, z2 a2 b2i(a1 , a2 , b1, b2 ) z1 z2 b1 b2 +) z a bi số ảo a +) Số thực số có phần ảo khơng Ví dụ 1: Tìm số phức: a) z 3iz 11.i c) Cho z thỏa mãn b) Biết z 3(1 i ) z 9i Tính mơ đun z 5( z i) i Tính w biết w z z z i Giải a) z 3iz 11.i Gọi z a bi (a, b ) 2(a bi) 3i(a bi) 11.i 2a 2bi 3ai 3b 11.i (2a 3b) (3a 2b)i 11.i 2a 3b a 3a 2b 11 b Vậy số phức cần tìm z 2i b) z 3(1 i) z 9i Gọi z a bi (a, b ) Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa - GDCD tốt nhất! 2(a bi) 3(1 i)(a bi) 9i 2a 2bi 3a 3bi 3ai 3b 9i 5a 3b (3a b)i 9i 5a 3b a 3a b 9 b Vậy số phức cần tìm z 3i c) 5( z i) i ( z i) z i Gọi z a bi (a, b ) 5(a bi i) (2 i)(a bi i) 5a 5bi 5i 2a 2bi 2i b 1) 5a (5 5b)i 2a b (2 2b)i a 5a 2a b z 1i 2 5 5b 2b a b 2 1 1 w 1 z z 1 i i i 2 2 2 w 13 Ví dụ 2: Tìm số phức z biết: a) z phần thực gấp đôi phần ảo b) z z z z c) z z ảo d) z z z Giải a) +) z Gọi z a bi (a, b ) a2 b2 a2 b2 25 (1) +) Phần thực gấp đôi phần ảo a 2b (2) a b2 25 Từ (1) (2) ta có hệ phương trình a 2b Thế a 2b vào (1) ta được: b a 4b2 b2 25 b2 b a 2 Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa - GDCD tốt nhất! Vậy số phức cần tìm z1 5i; z2 2 5i b) z z z z Gọi z a bi (a, b ) +) z z a bi a bi a b2 a b2 a2 b2 a2 b2 (1) +) z z a bi a bi 2a a Thay a vào (1) ta được: b2 b 1 Vậy số phức cần tìm z i; z i c) z z ảo Gọi z a bi (a, b ) +) z a2 b2 a2 b2 (1) +) z (a bi)2 a2 b2 2abi ảo a b2 a b2 thay vào (1) ta được: b a a 1 2b b 2 b 1 a (1) a 1 2 Vậy số phức cần tìm z 1 i;1 i; 1 i; 1 i d) z z z Gọi z a bi (a, b ) (a bi)2 a bi a bi a 2abi b2 a b a bi b 2abi b a bi b2 a b2 a 2b2 2ab b b(2a 1) 0(*) Thế a 2b vào (*) ta được: b b a 4b b b(4b 1) b b a 2 1 1 Vậy số phức cần tìm z 0; i; i 2 2 Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa - GDCD tốt nhất! CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC BÀI GIẢNG TÌM SỐ PHỨC THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC (PHẦN 2) Ví dụ 3: Tìm số phức z thỏa mãn: a) z 2i z.z 34 b) z i z 2i c) 1 z 10 z i ( z 3)( z 3i) z 1 Giải a) z 2i z.z 34 Gọi z a bi (a, b ) +) z 2i a bi 2i (a 1)2 (b 2)2 (a 1)2 (b 2)2 25 a2 b2 2a 4b 20 (1) +) z.z 34 (a bi)(a bi) 34 a b2 34 (2) 2 a b 2a 4b 20 Từ (1) (2) ta có hệ 2 a b 34 Thế a 34 b2 vào (1) ta 34 2a 4b 20 a 2b 7 a 2b Thế a 2b vào (2) ta được: b a (2b 7) b 34 5b 28b 15 b a 29 5 2 Vậy số phức cần tìm z1 5i; z2 b) z i z 2i 29 i 5 1 z 10 Gọi z a bi (a, b ) +) z i z 2i a bi i a bi 2i (a 2)2 (b 1)2 (a 1) (2 b) (a 2)2 (b 1)2 (a 1) (2 b) 4a 2b 2a 4b Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa - GDCD tốt nhất! 2a 2b a b (1) +) 1 1 z 10 10 z 1 a b2 10 a b2 10 (2) a bi 10 a b Từ (1) (2) ta có hệ 2 a b 10 a b Thế a b vào (2) ta 2a 10 a a b Vậy số phức cần tìm z1 5i; z2 5i c) z i ( z 3)( z 3i) z 1 Gọi z a bi (a, b ) +) z i z i z 1 z 1 a bi i a bi a (b 1)2 (a 1)2 b2 a (b 1)2 (a 1)2 b2 2b 2a a b a b +) ( z 3)( z 3i) z z 3i a bi a (b 3)i (a 3) b2 a (b 3) Thế b a ta (a 3)2 a a (a 3) a (a 3) a b 2a a a 3 b Vậy số phức cần tìm z1 0; z2 3 3i Ví dụ 4: a) Tìm số phức z thỏa mãn z 4i z 2i z 2i b) Tìm giá trị nhỏ z biết (2 z )(1 z ) ảo Giải a) +) z 4i z 2i Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa - GDCD tốt nhất! Gọi z a bi (a, b ) Điều kiện cho trở thành a bi 4i a bi 2i (a 2)2 (b 4)2 a (b 2) 4a 8b 16 4b 4a 4b 16 a b b 4a +) z 2i a bi 2i (a 1)2 (b 2)2 Thế b a ta (a 1)2 (2 a) 2a 2a Ycbt 2a 2a 2a 2a Xét hàm số y 2a 2a Có y ' 4a 2 2a 2a y' a a y' y Từ bảng biến thiên a Vậy z 1 z 2i Thay a vào b a b 2 i 2 b) (2 z )(1 z ) = z z z.z Gọi z a bi (a, b ) Điều kiện cho trở thành: 2(a bi) (a bi) (a b2 ) a a b2 3bi Ycbt a2 b2 a b2 a a Vì b2 a2 a 1 a z a b2 thay b2 a a ta z a a a a Vì 1 a a a Dấu “=” xảy a a 1 b Vậy z a 1; b Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa - GDCD tốt nhất! CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC BÀI GIẢNG TẬP HỢP ĐIỂM BIỂU DIỄN SỐ PHỨC I Lý thuyết +) Số phức z x yi ( x, y ) có điểm biểu diễn M ( x; y) Phương pháp tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức Bước 1: Gọi số phức z x yi có điểm biểu diễn M ( x; y) Bước 2: Thay z vào đề Sinh phương trình: +) Đường thẳng: Ax By C +) Đường tròn: x2 y 2ax 2by c +) Parabol: y a.x bx c +) Elip: x2 y 1 a b II Bài tập Ví dụ 1: Tìm tập hợp điểm biểu diễn z biết: a) z i z 2i b) z z i c) z số ảo Giải a) z i z 2i +) Gọi z x yi ( x, y ) có điểm biểu diễn M ( x; y) Điều kiện cho trở thành x yi i x yi 2i ( x 1) (1 y ) x ( y 2) 2x 1 y 1 y 2x y x 3y 1 Tập hợp điểm biểu diễn z đường thẳng x y b) z z i Gọi z x yi ( x, y ) có điểm biểu diễn M ( x; y) Điều kiện cho trở thành x yi ( x yi) i yi i 12 (2 y 1) Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất! (2 y 1) y y 1 y 1 y Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z hai đường thẳng y 1 1 ;y 2 c) z ảo Gọi z x yi ( x, y ) có điểm biểu diễn M ( x; y) z ( x yi)2 x2 y xyi x y z ảo x y ( x y )( x y ) x y Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z hai đường thẳng x y 0; x y Ví dụ 2: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z a) z 2i b) z 3i z c) z Giải a) z 2i Gọi z x yi ( x, y ) có điểm biểu diễn M ( x; y) Điều kiện cho trở thành x yi 2i ( x 1)2 ( y 2) ( x 1)2 ( y 2) 16 Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường tròn tâm I (1; 2) bán kính R b) z 3i z 3i z 3i z 2 z z Gọi z x yi ( x, y ) có điểm biểu diễn M ( x; y) Điều kiện cho trở thành x yi 3i x yi x ( y 3) x y x ( y 3)2 4( x y ) 3x y y x2 y y Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất! Đường tròn có tâm I (0; 1) bán kính R (1)2 02 Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường tròn tâm I (0; 1) bán kính R c) z Gọi z x yi ( x, y ) có điểm biểu diễn M ( x; y) Điều kiện cho trở thành x yi ( x 1)2 y ( x 1)2 y Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z hình tròn tâm bán kính R Ví dụ 3: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z a) z i z z 2i b) z 4i z 4i 10 Giải a) z i z z 2i Gọi z x yi ( x, y ) có điểm biểu diễn M ( x; y) Điều kiện cho trở thành x yi i x yi x yi 2i x ( y 1) (2 y 2) x ( y 1) 4( y 1) x y y y y x2 y y x Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z parabol có đỉnh I (0;0) b) z 4i z 4i 10 Gọi z x yi ( x, y ) có điểm biểu diễn M ( x; y) Điều kiện cho trở thành x yi 4i x yi 4i 10 x ( y 4) x ( y 4) 10 x ( y 4) 10 x ( y 4) x ( y 4) 100 20 x ( y 4) x ( y 4) 20 x ( y 4) 100 16 y x ( y 4) 25 y 25 x ( y 4) 625 200 y 16 y 25 x 25 y 200 y 400 625 200 y 16 y 25 x y 225 x2 y 1 25 Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất! Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường elip x2 y 25 Ví dụ 4: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức w (3 4i) z i biết z Giải Gọi w x yi ( x, y ) có điểm biểu diễn M ( x; y) Điều kiện cho trở thành x yi i 4i ( x yi i )(3 4i ) 3x xi yi y 3i z z (3 4i)(3 4i) 16 x yi (3 4i ) z i z z 3x y y x i 25 25 3x y y x z 4 25 25 2 (3x y 4) (3 y x 3) 16.625 10000 25 x 25 y 25 24 xy 24 x 32 y 24 xy 18 y 24 x 10000 25 x 25 y 50 y 10000 25 x y y 399 Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức w đường tròn tâm I (0;1) , bán kính R 20 Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất! CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC BÀI GIẢNG: MIN MAX SỐ PHỨC * Phương pháp chung +) Phương pháp đại số: Dùng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối A B A B A B Thế ẩn sử dụng đạo hàm Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki (ac bd )2 (a b2 )(c d ) +) Phương pháp hình học Ví dụ 1: Cho z thỏa mãn z 4i Tìm max z B A C D 13 Giải Dấu hiệu: Đề yêu cầu tính max mô đun ta sử dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đơi Ta có: z 2 4i z 4i z 20 z 20 max z Đáp án A Ví dụ 2: Cho z 4i Tìm max z A 2 B 2 C D Giải Ta có: z 4 4i z 4i z 4i z z 4i z max z Đáp án D Ví dụ 3: Cho (1 i) z 7i Tìm max z Giải Ta có: (1 i) z 7i Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất! (1 i) z 7i 1 i z (1 i) z 7i 1 i 1 i 7i z (3 4i) 1 i Mà z 3 4i z (3 4i) z 3 4i z max z Ví dụ 4: Cho z 2i z i Đặt w z 3i tìm w Giải Đặt z x yi ( x; y ) Điều kiện cho trở thành +) x yi 2i x yi i ( x 1) ( y 2) ( x 2) ( y 1) x2 x y y x2 x y y 2x y x 3y +) w x yi 3i ( x 2)2 ( y 3)2 (1) Thế x y vào (1) ta w (3 y 2) ( y 3) 10 y y 13 w' 20 y 10 y y 13 Nhận thấy y Vậy w w'0 y 3 10 w 10 11 10 10 Ví dụ 5: Cho z z ( z 2i)( z 3i 1) Tìm w với w z 2i A B C D Giải Ta có z z ( z 2i)( z 3i 1) z z ( z 2i)( z 3i 1) ( z 1)2 4i ( z 2i)( z 3i 1) Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất! ( z 2i)( z 2i) ( z 2i)( z 3i 1) z 2i z 2i z 3i +) z 2i z 2i w 1 w +) z 2i z 3i ( x 1)2 ( y 2)2 ( x 1)2 ( y 3) (Đặt z x yi ( x; y ) ) ( y 2)2 ( y 3)2 y 1 2 3 Với y w x i 2i w ( x 2) 2 2 Vậy w Đáp án C Ví dụ 6: Cho z1 ; z2 thỏa mãn z1 z2 1; z1 z2 Tính max T z1 z2 A B 10 C D 10 Giải Đặt z1 x1 y1i; z2 x2 y2i ( x1 , y1 , x2 , y2 ) Điều kiện cho trở thành +) z1 z2 x1 y1i x2 y2i ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 x12 x22 y12 y22 x1 x2 y1 y2 (1) +) z1 z2 x1 y1i x2 y2i x12 x22 y12 y22 x1 x2 y1 y2 (2) Cộng vế với vế (1) (2) ta x12 x2 y12 y2 +) T z1 z2 x12 y12 x2 y2 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta T x12 y12 x2 y2 1 1 x12 x22 y12 y22 2.5 10 max T 10 Đáp án D Ví dụ 7: Cho z Tìm max T z i z i Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất! Giải Đặt z x yi ( x; y ) +) z ( x 1)2 y ( x 1)2 y +) T x2 ( y 1)2 ( x 2)2 ( y 1)2 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta T x ( y 1) ( x 2) ( y 1) (1 1) x ( y 1) ( x 2) ( y 1) T 2.(2 x y x 6) 4.( x y x 3) ( x 1) y Thay ( x 1)2 y ta T 4.(2 2) Vậy max T Ví dụ 8: Cho z 3i Tìm giá trị lớn z i là: A D 13 C 13 B Giải Đặt z x yi ( x; y ) Điều kiện cho trở thành +) x ( y 3)i ( x 2)2 ( y 3)2 x2 y x y 12 +) z i ( x 1)2 ( y 1)2 = x2 y x y (1) Thay x2 y x y 12 vào (1) ta z i = x y 12 x y x y 10 Xét x y 10 6( x 2) 4( y 3) 14 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta 6( x 2) 4( y 3) (62 42 ) ( x 2) ( y 3) 52.1 52 6( x 2) 4( y 3) 14 52 14 x y 10 52 14 Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất! z i x y 10 52 14 = 13 +) Phương pháp hình học Bước 1: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức Có tập hợp điểm thường gặp +) Đường thẳng +) Đường tròn +) Đường elip +) Parabol Gọi z x yi ( x, y ) có điểm biểu diễn M ( x, y) Bước 2: Vẽ tập hợp điểm biểu diễn số phức Từ tìm max, mơ đun Chú ý: Số phức z x yi ( x, y ) có điểm biểu diễn M ( x, y) Mô đun số phức z độ dài đoạn thẳng OM với O gốc tọa độ Ví dụ 1: Cho số phức z x yi thỏa mãn z 4i z 2i đồng thời có mơ đun nhỏ Tính N x2 y A N B N 10 C N 16 D N 26 Giải Gọi M ( x, y) điểm biểu diễn số phức z x yi +) z 4i z 2i ( x 2)2 ( y 4)2 x2 ( y 2)2 4 x y 16 4 y x y 16 x y Suy tập hợp điểm biểu diễn z đường thẳng x y +) N x y z N z OM OM d : x y M (2, 2) N 22 22 Đáp án A Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất! Ví dụ 10: Cho z (2 4i) Tìm max, z 2i Giải Gọi M ( x, y) điểm biểu diễn số phức z x yi +) z (2 4i) ( x 2)2 ( y 4)2 M ( x, y) nằm đường tròn tâm I (2, 4) , bán kính R +) z 2i ( x 1)2 ( y 2)2 MA (với A(1, 2) ) z 2i MA M C z 2i max MA max M D AI (1, 6) Phương trình đường thẳng AI là: 6x y Tọa độ C , D nghiệm hệ 6 x y 2 ( x 2) ( y 4) Từ hệ ta tính MC, MD Ví dụ 11: Cho số phức z thỏa mãn z z 10 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ z là: A 10 B C D Giải Đặt z x yi ( x; y ) Điều kiện cho trở thành ( x 4)2 y ( x 4)2 y 10 (1) Gọi M ( x, y) điểm biểu diễn số phức z x yi Từ (1) MA MB 10 (với A(4,0), B(4,0) ) Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất! Suy tập hợp điểm M nằm elip có: +) a +) b , c Vì M nằm elip nên z OM M A ; z max OM max M B Vậy giá trị lớn z Vậy giá trị nhỏ z Đáp án D Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất! ... ĐỀ SỐ PHỨC BÀI GIẢNG TẬP HỢP ĐIỂM BIỂU DIỄN SỐ PHỨC I Lý thuyết +) Số phức z x yi ( x, y ) có điểm biểu diễn M ( x; y) Phương pháp tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức Bước 1: Gọi số phức. .. học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa tốt nhất! CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC BÀI GIẢNG GIẢI PHƢƠNG TRÌNH TRÊN TẬP SỐ PHỨC (PHƢƠNG TRÌNH BẬC 2) +) Phương trình bậc đồng nghĩa với rút gọn số phức. .. số phức z cần tìm * Nhắc lại lý thuyết: +) Số phức số có dạng z a bi (a, b ) +) Số phức liên hợp: z a bi +) Môđun số phức: z a2 b2 +) Số phức z a bi (a, b ) có điểm biểu diễn
Ngày đăng: 28/03/2020, 11:09
Xem thêm: Bài toán rút gọn trên tập số phức ôn thi thpt
