ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - TRỊNH NHƯ QUỲNH LÝ THUYẾT CỰC TRỊ TRONG TÀI CHÍNH VÀ BẢO HIỂM LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội, năm 2014 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - TRỊNH NHƯ QUỲNH LÝ THUYẾT CỰC TRỊ TRONG TÀI CHÍNH VÀ BẢO HIỂM Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán học Mã số: 60.46.0106 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS TRẦN HÙNG THAO Hà Nội, năm 2014 LỜI MỞ ĐẦU Lý thuyết cực trị tài chủ đề cổ điển lý thuyết xác suất thống kê Tốn học Nó bắt nguồn từ nghiên cứu hai nhà tốn học Fisher Tippett Từ đó, số lượng lớn sách cơng trình nghiên cứu lý thuyết cực trị xuất Ngày nay, có nhiều độc giả quan tâm, phải kể đến nhà toán học: Adler, Aldous, Beirlant, Reiss, Galabos, Gumbel, Rootzen … Một số ghi chép lịch sử lý thuyết cực trị ghi nhận, người đặt móng cho lý thuyết Nicolas Bernoulli (1709) Những sách xuất Leadbetter, Lindgren, Rootzen Resnick thu hút nhiều người đọc Những sách sau liên quan đến nguồn gốc lý thuyết cực trị gắn với biến ngẫu nhiên độc lập, phân phối Hai cơng cụ đóng vai trò trung tâm nghiên cứu lý thuyết cực trị là: lý thuyết hàm biến đổi trình điểm thuộc xác suất Lý thuyết cực trị cho biến ngẫu nhiên rời rạc nghiên cứu Anderson, Arnnold, Balakrishman, Nagaraja, Gordon, Schilling Waterman Lý thuyết cực trị với trình với thời gian liên tục nghiên cứu Adler, Berman Leadbetter Leadbetter tiến hành nghiên cứu cực trị dãy trình dừng cách tổng kết kết quan sát biến ngẫu nhiên độc lập phân phối Galambos Resnick nghiên cứu cực trị nhiều chiều Beirlant, Gumbel, Peifer Reiss chứng minh kết cực trị dựa vào thống kê Từ đó, phương pháp thống kê trở thành sở nghiên cứu lý thuyết cực trị nói chung lý thuyết cực trị Tốn tài nói riêng Ứng dụng tốn học vào lĩnh vực đời sống hướng thú vị thu hút nhiều quan tâm nhà toán học Lý thuyết EVT số lý thuyết nghiên cứu vận dụng vào toán thực tế đời sống Một số ứng dụng nghiên cứu lĩnh vực: dự báo thời tiết; cảnh báo thiên tai, động đất; tài chính; bảo hiểm chi trả bảo hiểm … Một số nhà toán học nghiên cứu lý thuyết cực trị tài ứng dụng chúng tài chính, bảo hiểm dựa theo phương pháp thống kê tiêu biểu Pareto, A J McNeil, Rüdiger Frey, P Embrenchts, C Klüppelberg T Mikosch với nhiều cơng trình khoa học sách tiếng cơng bố Trong đó, sách tiếng là: “Quantitative Risk Management”; “Modelling Extremal events for Insurance and Finance” Luận văn nghiên cứu cách trình bày tập hợp số kết nghiên cứu, cơng trình khoa học tác giả nêu Trong đó, tác giả cố gắng trình bày ngắn gọn lý thuyết EVT theo hướng cổ điển đại, với trọng tâm theo hướng phát triển nay, phương pháp thống kê dựa hai sách nêu Từ đó, tác giả lựa chọn hai ví dụ áp dụng lý thuyết phân tích số giá cổ phiếu hai hãng IBM FORD Qua đó, nhà đầu tư lựa chọn thời điểm đầu tư phù hợp với diễn biến thị trường Tác giả vô biết ơn hướng dẫn PGS, TS Trần Hùng Thao, thầy giáo Khoa Tốn – Cơ – Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà nội Tôi bày tỏ giúp đỡ Ths Hồng Đức Mạnh, Bộ mơn Điều khiển học kinh tế, Khoa Tốn tài chính, trường đại học Kinh tế Quốc dân giúp đỡ tác giả thực luận văn thành viên lớp cao học Toán niên khoá 20112013, trường Đại học Khoa học Tự nhiên – Đại học Quốc gia Hà nội giúp đỡ tác giả hoàn thành luận văn Do khả thời gian có hạn, luận văn khơng tránh sai xót, đóng góp xin gửi hòm thư: tnquynh112@gmail.com qua số điện thoại: 0163.655.3456 Tác giả xin trân trọng cảm ơn Hà nội, ngày 14 tháng năm 2014 Các kí hiệu sử dụng EVT: (Extreme Value Theory) Lý thuyết cực trị; GEV: (Genaralised Extreme Value Distribution) Phân phối cực trị tổng quát; GPD: (Genaralised Preto Distribution) Phân phối Pareto tổng quát; MDA: (Maximum Domain of Attraction) Miền hấp dẫn cực đại; MLE: (Maximum Likelihood Estimation) Ước lượng hợp lí cực đại; MSE: (mean squared errors) Sai số bình phương trung bình; POT: (Peaks – Over - Threshold) Điểm vượt ngưỡng; MỤC LỤC Lời mở đầu Các kí hiệu sử dụng Chương I Các phân phối cực trị tốn tài chính……………………………1 1.1 Giới hạn xác suất cho cực đại………………… ……………………… 1.2 Sự hội tụ yếu cực đại qua phép biến đổi afin………….…………… 1.3 Miền cực đại số chuẩn 13 1.3.1 Miền hấp dẫn cực đại phân phối Fréchet…………………………15 1.3.2 Miền hấp dẫn cực đại phân phối Weibull…………………………18 1.3.3 Miền hấp dẫn cực đại phân phối Gumbel…………………………20 1.4 Phân phối cực trị tổng quát (GEV)………………………………………25 1.5 Phân phối Pareto tổng quát (GPD)………………………………………28 Chương II Lý thuyết cực trị tài chính………………………………………… 31 2.1 Cực đại (maxima) ……………………………………………………….31 2.1.1 Phân phối cực đại khối……………………………………………… 31 2.1.2 Mức hoa lợi chu kỳ lợi suất……………………………………… 32 2.2 Sự vượt ngưỡng ………………………………………………………….34 2.2.1 Mơ hình tổn thất vượt ngưỡng ……………………………………….34 2.2.2 Dữ liệu không độc lập không phân phối (non_iid)………… 35 2.2.3 Vẽ đồ thị hàm vượt trội trung bình mẫu…………………37 2.3 Mơ hình độ đo rủi ro đuôi………………………………………38 2.3.1 Xác suất đuôi độ rủi ro…………………………………………….38 2.3.2 Ước lượng thực hành………………………………………… 39 2.4 Phân phối Hill…………………………………………………………….39 2.4.1 Ước lượng số đuôi……………………………………………… 39 2.4.2 Ước lượng đuôi Hill………………………………………………41 2.5 Nghiên cứu mô ước lượng phân vị EVT…………………………42 2.6 Mô hình trình điểm…………………………………………………43 2.6.1 Sự vượt ngưỡng cho dãy “ồn trắng” hồn tồn (ngặt)………………43 2.6.2 Các q trình điểm…………………………………………………… 44 2.6.3 Dáng điệu tiệm cận trình điểm vượt trội……… ……45 2.6.4 Áp dụng kết thực hành…………………………………… 46 2.7 Mơ hình POT…………………………………………………………… 46 2.7.1 Cơng thức Poison hai chiều mơ hình POT…………………………47 2.7.2 Ước lượng thống kê cho mơ hình POT……………………………… 48 2.7.3 Sự thuận lợi việc lập mơ hình POT……………………………….49 2.7.4 Áp dụng mơ hình POT vào chuỗi liệu hoa lợi…………………… 49 2.8 Q trình tự kích thích………………………………………………… 50 2.9 Q trình tự kích thích POT…………………………………………….51 2.9.1 Mơ hình đánh dấu khơng dự đốn được……………………………….52 2.9.2 Mơ hình đánh dấu dự đoán được………………………………………53 Chương Áp dụng lý thuyết EVT tài chính…………………………54 3.1 Phân tích giá hoa lợi số chứng khốn IBM……………………54 3.2 Phân tích giá hoa lợi số chứng khoán FORD………………….60 Kết luận Tài liệu tham khảo Chương I Các phân phối cực trị tốn tài Cơng cụ để nghiên cứu chương một, luật biến cố xác suất, vấn đề cực trị, ví dụ: xấp xỉ Poison hội tụ yếu Kết trung tâm định lý Fisher – Tippett dạng phân phối cực trị toán tài chính, tiêu biểu dạng phân phối: Fréchet, Weibull, Gumbel Khi tổng quát hóa, ta thu phân phối Pareto tổng quát 1.1 Giới hạn xác suất cho cực đại Cho dãy biến ngẫu nhiên: X1, X2,… , Xn độc lập phân phối khơng suy biến có hàm phân phối F Chúng ta nghiên cứu biến thiên mẫu cực đại sau: M1=X1, Mn=max (X1,…, Xn), n ≥ Ta biết: (X1,…, Xn) = - max (-X1, …, -Xn) Phương pháp xác suất biến ngẫu nhiên Mn : ℙ(Mn ≤ x) = ℙ(X1 ≤ x1,…, Xn ≤ xn), x ∈ ℝ, n ∈ ℕ, =ℙ (X1 ≤ x1) ℙ(X2 ≤ x2) ℙ(Xn ≤ xn), = Fn(x) Từ đó, ta thấy hình dạng đồ thị Mn liên quan mật thiết đến đồ thị hàm phân phối F, phải đồ thị gắn với điểm cuối phải Kí hiệu: xF = sup {x ∈ ℝ : F(x) < 1}: điểm cuối phải hàm phân phối F Suy ra: ℙ(Mn ≤ x) = Fn(x) → 0, (khi n → ∞), ∀x < xF Nếu xF < +∞, ∀x ≥ xF ℙ(Mn ≤ x) = Fn(x) =1 P Do vậy: Mn   xF (n →∞), với: xF ≤ ∞ Suy ra, dãy (Mn) dãy biến ngẫu nhiên không giảm theo n => (Mn) hội tụ h.c.c Khi đó, h.c.c Mn   xF, n→∞ (1.1) Kết khơng mang lại nhiều ý nghĩa Để có nhiều thơng tin hơn, ta cần tìm độ lớn cực đại nhận từ kết hội tụ yếu (theo hàm phân phối) chuẩn hóa cực đại Vấn đề chủ đề lý thuyết cực trị cổ điển Trong đó, định lý Fisher- Tippett sau: Định lý Fisher – Tippett: Nếu tồn số cn > 0, dn∈ ℝ cho: M n  dn d   H, n→∞ cn (1.2) Với H hàm phân phối khơng suy biến H phải ba hàm phân phối cực trị Điều tương tự định lý giới hạn trung tâm Từ đó, ta cần phải xem xét xác suất: ℙ( M n  dn ≤ x) = ℙ ( Mn ≤ cn.x + dn) = ℙ(Mn ≤ un), cn (1.3) với: un = un(x) = cnx + dn Trước tiên, ta nghiên cứu (1.3) cho dãy (un), sau ta nghiên cứu (1.2) Câu hỏi đặt là: với điều kiện hàm F để chắn giới hạn: ℙ(Mn ≤ un), n → ∞ tồn tại, với số un ? Một điều kiện chắn cần đến tính liên tục phải điểm cuối xF Đây quy tắc nhiều hàm phân phối quan trọng Trường hợp, F có phân phối Poison thì: ℙ(Mn ≤ un) khơng có giới hạn (0; 1) với dãy (un) Điều suy rằng, cực đại chuẩn hóa dãy biến ngẫu nhiên độc lập, phân phối Poison giới hạn theo hàm phân phối Chú ý khác giới hạn theo tổng theo cực đại biến ngẫu nhiên Nếu EX2 < +∞, định lý giới hạn trung tâm cho ta giới hạn đến phân phối chuẩn Nếu EX2 = ∞ liên quan đến lớp nhỏ phân phối α _ổn định Chỉ trường hợp đuôi to, điều kiện đuôi: F = – F bảo đảm tồn giới hạn hàm phân phối Đối với tổng, ln cần điều kiện đuôi F để chắn ℙ(Mn ≤ un) hội tụ tới số khoảng (0; 1) (khơng suy biến) Ta tìm câu trả lời cho vấn đề nêu Trước hết, ta bắt đầu kết bản, đóng vai trò chủ yếu hội tụ yếu mẫu cực đại, đồng thời cơng cụ luận văn Mệnh đề 1.1: (xấp xỉ Poison) Cho trước ∈ [0, +∞) dãy (un) số thực Các giới hạn sau tương đương: n F (un) → (1.4) ℙ(Mn ≤ un) → e- (1.5) Chứng minh: Xét: ≤ < ∞ Giả sử (1.4) => F (un) →  n Ta có: ℙ(Mn ≤ un) = Fn(un) = (1 - F (un))n = (1 -  + O( ))n → e- , (n → ∞) n n Giả sử (1.5) => F (un) → Vì F (un) ↛ 0, ∃ dãy {nk} cho F ( un ) k bị chặn ℙ( M n  un ) = (1 - F ( un ))nk → (nk → ∞) (vô lý) k k k Lấy loga vế: -n.ln(1 - F (un)) →  Vì: - ln(1 – x) ~ x, khi: x → 10 Hình học Beta Hình học 0.0565 -0.0005 Beta -0.0005 1.169e-05 Từ đây, ta phải kiểm tra hợp lý mơ hình Đồ thị phân vị phần lại là: Từ trên, đồ thị phân vị xấp xỉ hàm tuyến tính Do đó, ta kết luận GPD hàm hợp lý tốt cho liệu Do vậy, giá trị cực trị âm (dưới ngưỡng -0.025) tính tốn bởi: G(x) = – (1 + 0.4689x/(0.128))-1/0.4689 Trong quản lý rủi ro, người ta quan tâm đến ước lượng VaR ES p_giá trị khác mơ hình Trong thống kê, VaR dễ áp dụng cho ước lượng phân vị Ta tìm thấy mơ hình phù hợp dễ dàng cách sử dụng phần mềm EVIR: p_giá trị 0.99 0.999 Ước lượng VaR 0.04658902 0.09292915 Ước lượng ES 0.0676375 0.1548897 65 0.9999 0.99999 0.22934078 0.63089623 0.4117342 1.1678084 Phân tích giá lợi suất ngày hãng Ford Chỉ số giá cổ phiếu hãng Ford lấy từ Yahoo Finance Chuỗi thời gia xác định từ 3/1/1977 đến 6/1/2014 Giá lợi suất tính phân tích tương tự phân tích phần 1) cổ phiếu hãng IBM Trước tiên, vẽ đồ thị cho phân vị phân phối chuẩn liệu kết sau: Ta nhận thấy đuôi đường cong mỏng xa so với đường thằng, điều liệu khơng có phân phối chuẩn Để xác nhận điều đó, ta vẽ đồ thị hàm phân phối thực nghiệm liệu theo thang log-log Đường thẳng thang log dáng điệu đuôi Pareto 66 Ta nhận thấy rằng, đuôi xấp xỉ đường tuyến tính Do vậy, cần xác định phân phối Pareto phù hợp với Cũng giống phần 1), trước tiên ta phải tìm ngưỡng đồ thị hàm phân phối vượt trội trung bình Hơn nữa, không đề cập đến mát lớn chúng làm cho đồ thị biến dạng 67 Ta nhận thấy rằng, đồ thị xấp xỉ tuyến tính ngưỡng 0.03 Do vậy, ta chọn ngưỡng u = 0.06 Điều thể ngưỡng lợi nhuận lớn ngày Từ đó, ta xác định phân phối GPD phù hợp cho liệu ngưỡng u nêu cách sử dụng hàm GPD phần mềm EVIR Ta thu kết sau phương pháp ước lượng hợp lý cực đại: Tổng số điểm liệu 9338 Ngưỡng lựa chọn: 0.03 Số điểm vượt ngưỡng: 47 Phần trăm xấp xỉ ngưỡng là: 98% Ước lượng tham số hình học (ξ): 0.4607 Ước lượng tham số tỉ lệ : 0.0158 Ma trận hệ phương sai: Hình học Beta Hình học 0.03637 -0.0003453 Beta -0.0003453 1.306e-05 68 Đồ thị phân vị phần lại là: Từ đồ thị phân vị trên, ta thấy xấp xỉ tuyến tính, nghĩa phân phối GPD phù hợp với liệu phân tích Do vậy, ta kết luận giá trị cực trị âm (dưới ngưỡng 0.03) tính tốn bởi: G(x) = – (1 + 0.4607.x/0.0158)-1/0.4607 Mơ hình tương ứng với lợi nhuận giá cổ phiếu Ford Để phân tích giá trị cực trị âm, ta cần nhân liệu cho trước với -1 lặp lại trình nêu Ba điểm liệu cuối hàm vượt ngưỡng trung bình bị bỏ qua trước đó, ta tìm mơ hình cho Ta dùng hàm vượt ngưỡng trung bình là: 69 Từ đồ thị trên, ta ước lượng ngưỡng u xấp xỉ 0.05 Do vậy, -0.05 ngưỡng cho mát ngày số cổ phiếu Ford Từ đây, ta tìm phân phối GPD phù hợp với liệu ngưỡng chọn cách sử dụng hàm GPD phần mềm EVIR Ta nhận kết sau phương pháp ước lượng hợp lý: Tổng số điểm liệu 9338 Ngưỡng lựa chọn: 0.05 Số điểm vượt ngưỡng: 58 Phần trăm xấp xỉ ngưỡng là: 98% Ước lượng tham số hình học (ξ): 0.2646 Ước lượng tham số tỉ lệ : 0.01145 Ma trận hệ phương sai: Hình học Hình học 0.02022 Beta -1.619e-04 70 Beta -1.619e-04 4.577e-06 Đồ thị phân vị phần lại là: Trong quản lý rủi ro, ta quan tâm đến ước lượng VaR ES cho mơ hình với p_giá trị khác Từ đó, ta dễ dàng nhận giá trị nêu cách sử dụng phần mềm EVIR p_giá trị 0.99 0.999 0.9999 0.99999 Ước lượng VaR 0.05343 0.09260 0.1646 0.2971 Ước lượng ES 0.0702 0.1235 0.2214 0.4015 KẾT LUẬN 71 Luận văn trình bày sơ lược lý thuyết EVT áp dụng phân tích số giá hai hãng IBM FORD Sở dĩ, tác giả chọn số giá chứng khốn hai hãng vì, thứ niêm yết đầy đủ, cơng khai từ ngày lên sàn giao dịch số liệu dễ lấy; thứ hai số quan sát nhiều (tính theo ngày) liên tục; thứ ba, tính minh bạch cao hơn, thị trường chứng khoán Mĩ phát triển có lịch sử lâu đời, ổn định bị tác động yếu tố hạn chế lý thuyết so với thị trường chứng khoán non trẻ Việt Nam Do đó, tính xác lý thuyết có xác suất cao Do thời gian khả có hạn nên tác giả phân tích cho số giá niêm yết cho hai hãng, chắn, việc áp dụng lý thuyết để phân tích cho số giá hãng khác sàn chứng khoán áp dụng tương tự nhờ phần mềm thống kê chuyên dụng S-PLUS R Việc áp dụng lý thuyết EVT số lĩnh vực dự báo thời tiết; cảnh báo thiên tai sóng thần; tài bảo hiểm tác giả quan tâm Cùng với việc nghiên cứu lý thuyết EVT trường hợp nhiều chiều có nhiều kết ứng dụng quan trọng không đề cập đến luận văn Tác giả cố gắng nghiên cứu đào sâu để khắc phục hạn chế nêu Một lần nữa, tác giả xin trân trọng cảm ơn hướng dẫn cửa PGS TS Trần Hùng Thao, thầy cô giáo Khoa Toán – Cơ – Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà nội Tôi bày tỏ giúp đỡ Ths Hoàng Đức Mạnh, Bộ mơn Điều khiển học kinh tế, Khoa Tốn tài chính, trường đại học Kinh tế Quốc dân thành viên lớp Cao học Toán niên khoá 2011-2013, trường Đại học Khoa học Tự nhiên – Đại học Quốc gia Hà nội giúp đỡ tác giả hoàn thành luận văn TÀI LIỆU THAM KHẢO 72 Nguyễn Văn Hữu, Vương Hồng Qn, “Các phương pháp tốn học tài chính”, Nhà xuất ĐHQGHN Bensalah Younes (November 2000) “Steps in Applying Extreme Value Theory to Finance: A Review”, Bank of Canada Working Paper 2000-20 Trần Hùng Thao, “Nhập mơn tốn học tài chính”, Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật, ấn hành 2009 Embrechts P., Klüppelberg C., Mikosch T., “Modelling Extremal Events for Insurance and Finance” Heidelberg: Springer-Verlag, 1999 Mcneil J A., Frey R., Embrechts P., “Quantitative risk management”, Princeton University Press McNeil J A & Saladin T (April 24, 1997), “The Peaks over Threshold Method for Estimating High Quantiles of Loss Distributions”, Departement Mathematik ETH Zentrum McNeil, A (May 17, 1999), “Extreme Value Theory for Risk Managers”, Departement Mathematik ETH Zentrum 73 ... tiết; cảnh báo thiên tai, động đất; tài chính; bảo hiểm chi trả bảo hiểm … Một số nhà toán học nghiên cứu lý thuyết cực trị tài ứng dụng chúng tài chính, bảo hiểm dựa theo phương pháp thống kê... cứu cực trị nhiều chiều Beirlant, Gumbel, Peifer Reiss chứng minh kết cực trị dựa vào thống kê Từ đó, phương pháp thống kê trở thành sở nghiên cứu lý thuyết cực trị nói chung lý thuyết cực trị. .. QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - TRỊNH NHƯ QUỲNH LÝ THUYẾT CỰC TRỊ TRONG TÀI CHÍNH VÀ BẢO HIỂM Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán học Mã số: 60.46.0106 LUẬN