SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ - LỚP 12 HÀ NỘI Năm học 2009 - 2010 Môn thi: Toán Ngày thi 12 - 11 - 2009 Thời gian làm bài: 180 phút (Đề thi gồm 01 trang ) Bài I (6 điểm) Cho hàm số 2 2 2 2 ( 1) ( 1) (1 )y x m m= − − + − ( m là tham số ) 1. Biện luận theo m số giao điểm của đồ thị hàm số trên với trục hoành. 2. Xác định các giá trị của m để đồ thị hàm số trên cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt có hoành độ tương ứng lập thành cấp số cộng. Bài II ( 5 điểm ) 1. Giải phương trình : 9( 4 1 3 2) 3x x x+ − − = + 2. Cho dãy số ( ) n u có 2 n n n n P u A + = với n là số nguyên dương ( n P là số hoán vị của tập hợp gồm n phần tử, 2 n n A + là số chỉnh hợp chập n của n+2 phần tử). Đặt 1 2 . n n S u u u= + + + . Tìm lim n S Bài III (5 điểm) Cho hình lập phương ABCD.A ’ B ’ C ’ D ’ có cạnh bằng a. Với M là một điểm thuộc cạnh AB, chọn điểm N thuộc cạnh D ’ C ’ sao cho AM + D ’ N = a 1. Chứng minh đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định khi M thay đổi. 2. Tính thể tích của khối chóp B ’ .A ’ MCN theo a. Xác định vị trí của điểm M để khoảng cách từ B ’ tới mặt phẳng (A ’ MCN) đạt giái trị lớn nhất. Tính khoảng cách lớn nhất đó theo a. 3. Tìm quỹ tích hình chiếu vuông góc của điểm C xuống đường thẳng MN khi điểm M chạy trên cạnh AB Bài IV (4 điểm) 1. Cho hai số thực x, y thoả mãn 1 0x y≥ ≥ > Chứng minh rằng : 3 2 3 2 2 2 1 x y y x xy x y + + ≥ + + 2. Viết phương trình của đường thẳng tiếp xúc với đồ thị hàm số y = (x - 1) (x 3 + x 2 + 1) tại hai điểm phân biệt thuộc đồ thị hàm số. ………………………… Hết……………………. ( Giám thị không giải thích gì thêm) Họ và tên thí sinh:…………………………………………Phòng thi:……Số báo danh:………… SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI HỌC SINH GIỎI - LỚP 12 ĐỀ CHÍNH THỨC HÀ TÂY Năm học 2005 - 2006 Môn thi: Toán Thời gian làm bài : 180 phút (Đề thi gồm 01 trang ) Bài I: (4 điểm) Giải phương trình: 2 5 1 3 2 8 2 15 13 2 23x x x x x− + − = + − + − Bài II: (7 điểm) Cho hàm số : 3 2 1 2 3 3 y x mx x m= − − + + (1) với m là tham số 1. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số (1). Tìm m để khoảng cách giữa hai điểm cực trị đó là nhỏ nhất. 2. Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt. Gọi các hoành độ giao điểm đó là: x 1 , x 2 , x 3 a, Tìm m để x 1 , x 2 , x 3 lập thành cấp số cộng b, Tìm m để 2 2 2 1 2 3 15x x x+ + ≥ Bài III: (4 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC vuông tại A với B(-3;0), C(7;0). Tìm toạ độ tâm I của đường tròn nội tiếp của tam giác ABC, biết bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác đó là r = 5 2 5− Bài IV: (5 điểm) Cho đường tròn tâm O , có bán kính OK vuông góc với bán kính OA. Gọi M là trung điểm của đoạn OK, phân giác của góc OMA cắt bán kính OA tại N. Qua N vẽ đường thẳng song song với đường thẳng OK, cắt cung nhỏ AK tại B. Chứng minh rằng : AB là một cạnh của ngũ giác đều nội tiếp của đường tròn đã cho. …………… Hết…………… ( Giám thị không giải thích gì thêm) Họ và tên thí sinh:…………………………………………………… Phòng thi:……………………………………………………………… Số báo danh:………………………………………………………… ĐỀ CHÍNH THỨC SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI HỌC SINH GIỎI - LỚP 12 HÀ TÂY Năm học 2004 - 2005 Môn thi: Toán Thời gian làm bài : 180 phút (Đề thi gồm 01 trang ) Bài I : (3 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số 5 2 ( ) 3 2005 x f x x x= − − + với 0x ≥ Bài II: (7 điểm) Cho hàm số 3 2 ( ) 4 x y f x ax bx c= = + + + 1. Tìm a, b,c biết đồ thị hàm số đi qua các điểm O(0;0); A(1;1) và B(-1;1) 2. Gọi (C ) là đồ thị hàm số ứng với a; b; c tìm được ở câu 1 CMR: hoành độ giao điểm của đồ thị (C ) với đường thẳng 1 2 y = là 1 9 x cos π = ; 2 7 9 x cos π = ; 3 13 9 x cos π = . 3. Gọi các giao điểm theo thứ tự là 1 2 3 , ,M M M các tiếp tuyến tại các điểm 1 2 3 , ,M M M lần lượt cắt đồ thị (C ) tại các điểm 1 2 3 , ,N N N (với i i M N≠ ; I = 1, 2, 3 ) CMR các điểm 1 2 3 , ,N N N thẳng hàng Bài III: (6 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho đường tròn (C ): 2 2 4 0x y y+ − = và đường thẳng d có phương trình: 3x + 4y + 7 = 0. MP và MQ là các tiếp tuyến kẻ từ một điểm M bất kỳ trên đường thẳng d tới đường tròn (C ), tiếp điểm là P, Q. 1. Xác định toạ độ của điểm M trên đường thẳng d sao cho độ dài đoạn thẳng PQ đạt giá trị nhỏ nhất. 2. CMR: Nếu M di động trên đường thẳng d thì đường thẳng PQ luôn đi qua một điểm cố định. Bài IV: (4 điểm) Cho hình tứ diện ABCD có AB = 1,5; CD = 3 các cạnh còn lại đều bằng 2. a, Tính thể tích khối tứ diện ABCD. b, P là một điểm tuỳ ý trong không gian CMR: PA + PB + PC + PD ≥ 5 …………………… Hết…………………… ( Giám thị không giải thích gì thêm) ĐỀ CHÍNH THỨC . TẠO KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ - LỚP 12 HÀ NỘI Năm học 2009 - 2 010 Môn thi: Toán Ngày thi 12 - 11 - 2009 Thời gian làm bài: 18 0 phút (Đề thi gồm 01 trang. 18 0 phút (Đề thi gồm 01 trang ) Bài I: (4 điểm) Giải phương trình: 2 5 1 3 2 8 2 15 13 2 23x x x x x− + − = + − + − Bài II: (7 điểm) Cho hàm số : 3 2 1