Chương 4: Phương trình đạo hàm riêng CHƯƠNG IV: PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG GIỚI THIỆU Phương trình vi phân phương trình chứa hàm số biến độc lập, đạo hàm chúng biến độc lập Lý thuyết phương trình vi phân khảo sát chương trình tốn giải tích II Phương trình đạo hàm riêng phương trình chứa hàm số nhiều biến số, đạo hàm riêng chúng biến độc lập Phương trình sóng điện từ Maxuell nói riêng phương trình truyền sóng nói chung phương trình đạo hàm riêng thường sử dụng để mô tả tượng vật lý áp dụng điện tử viễn thông Trong chương ta khảo sát khái niệm phương trình đạo hàm riêng: ƒ Nghiệm phương trình đạo hàm riêng, điều kiện biên, điều kiện đầu Một vài phương pháp tìm nghiệm phương trình đạo hàm riêng ƒ Tìm nghiệm phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp 1, phương trình tuyến tính cấp cao hệ số dạng tắc ƒ Giải tốn Dirichlet phương trình Laplace ƒ Giải tốn Cauchy phương trình truyền sóng: Cơng thức Kirchoff, Poisson, D’Alembert ƒ Giải tốn Cauchy phương trình truyền nhiệt Để học tốt chương học viên nên xem lại kiến thức giải tích II: Hàm nhiều biến, đạo hàm riêng, tích phân mặt Các định lý Green, Stock, Odstrograsky NỘI DUNG 4.1 BÀI TỐN DẪN ĐẾN PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ CÁC ĐỊNH NGHĨA 4.1.1 Phương trình dao động sợi dây Trong mặt phẳng Oxu xét sợi dây AB vị trí cân bằng, song song với trục Ox Chúng ta nghiên cứu dao động ngang sợi dây tức trình chuyển động chất điểm ln ln dịch chuyển thẳng góc với trục Ox (xem hình 4.1) u u α(x) M1 A O a B b M2 α( x + dx) x O 121 x x + dx x Chương 4: Phương trình đạo hàm riêng Giả sử sợi dây AB mảnh chịu uốn có sức căng T tương đối lớn so với trọng lượng Vì q trình xem xét bỏ qua trọng lượng sợi dây Gọi u ( x, t ) độ lệch dây so với vị trí cân điểm vật chất M (x ) dây ∂u ⎛ ∂u ⎞ thời điểm t Coi dao động nhỏ nên ; < x < l ;t > =a ∂t ∂x ⎧ u (0, t ) = với điều kiện đầu u ( x,0) = sin 2πx điều kiện biên ⎨ ⎩ u (l , t ) = Giải: Thay (4.8)-(4.10) vào phương trình ta phương trình ảnh sU − u ( x,0) = a ∂ 2U ∂x ∂ 2U ⇒ a2 ∂x − sU = −3 sin 2πx (*) Nếu xem s tham số phương trình ảnh (*) phương trình tuyến tính cấp biến x có nghiệm tổng quát: U ( x, s ) = C1 Từ điều kiện biên U (0, s ) = − s x e a L {u (0, t )} = ⎧ C1 + C = ⎪ ⎨ − s ⎪C e a + C e ⎩ Do U ( x, s ) = + C2e s + 4π a s a s x a + s + 4π a U (1, s ) = sin 2πx L {u (1, t )} = Suy ra: ⇒ C1 = − C = =0 sin 2πx 2 Vậy u ( x, t ) = L −1{U ( x, s )} = e − π a t sin 2πx 4.2 PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG CẤP 4.2.1 Phương trình tuyến tính cấp Phương trình dạng n ∂u ∑ X k ( x1 , , xn ) ∂x k =1 125 k =0 (4.11) Chương 4: Phương trình đạo hàm riêng gọi phương trình tuyến tính cấp Ta xét trường hợp phương trình (4.11) với giả thiết hàm X k ( x1 , , x n ) , k = 1, n hàm liên tục đạo hàm riêng chúng lân cận điểm X = ( x10 , , x n0 ) không đồng thời triệt tiêu X , chẳng hạn ( ) Xn X ≠ (4.12) Rõ ràng hàm u ( x1 , , xn ) = C (C số đó) nghiệm (4.11) Ta gọi nghiệm tầm thường Sau ta tìm nghiệm khơng tầm thường (4.11) Gọi hệ phương trình vi phân dạng đối xứng: dx dx1 dx2 = ="= n X1 X Xn (4.13) hệ đối xứng tương ứng với phương trình (4.11) Kết hợp với điều kiện (4.12), hệ (4.13) viết dạng chuẩn tắc sau: ⎧ dx1 X ⎪ dx = X n ⎪⎪ n ⎨ """" ⎪ dx X ⎪ n −1 = n −1 ⎪⎩ dxn Xn (4.14) Hàm số ϕ = ϕ( x1 , , xn ) khả vi liên tục hàm gọi tích phân (4.13) hay (4.14) trở thành hàm thay x1 , , xn −1 nghiệm riêng hệ Định lý 4.1: a Nếu ϕ = ϕ( x1 , , xn ) tích phân (4.13) hàm số u = ϕ( x1 , , xn ) nghiệm (4.11) b Ngược lại, u = ϕ( x1 , , xn ) khác số nghiệm (4.11) ϕ = ϕ( x1 , , xn ) tích phân (4.13) Như việc tìm nghiệm (4.11) đưa việc tìm tích phân (4.13) Lý thuyết phương trình vi phân hệ (4.13) có n − nghiệm độc lập Vậy tìm n − tích phân độc lập hệ (4.13) ϕi = ϕi ( x1 , , xn ) ; i = 1, , n − Khi hàm số: ϕ = Φ(ϕ1 , ϕ , , ϕn −1 ) Φ hàm số tuỳ ý khả vi liên tục, tích phân tổng quát hệ (4.13) Vì hàm số: u = Φ(ϕ1 , ϕ , , ϕ n −1 ) nghiệm tổng quát (4.11) Ví dụ 4.4: Tìm nghiệm tổng qt phương trình 126 (4.15) Chương 4: Phương trình đạo hàm riêng x ∂u ∂u ∂u +y +z =0 ∂x ∂y ∂z Giải: Hệ đối xứng tương úng: dx dy dz = = x y z ⎧ dx dz ⎪⎪ x = z hay ⎨ ⎪ dy = dz ⎪⎩ y z ⇒ ⎧ x = C1 z ⎨ ⎩ y = C2 z C1 ,C số tuỳ ý x y , ϕ = ; z ≠ hai tích phân độc lập hệ đối xứng trên, nghiệm z z tổng quát phương trình là: Dễ thấy ϕ1 = ⎛x y⎞ u = Φ⎜ , ⎟ ⎝z z⎠ với Φ hàm khả vi liên tục 4.2.2 Phương trình tuyến tính khơng Phương trình dạng n ∂u ∑ X k ( x1 , , xn , u ) ∂x k =1 k = f ( x1 , , x n , u ) (4.16) gọi phương trình tuyến tính khơng cấp Ta xét trường hợp phương trình (4.16) với giả thiết hàm X k ( x1 , , xn , u ) , k = 1, n f ( x1 , , xn , u ) hàm liên tục đạo hàm riêng chúng lân cận điểm ( ) Y = ( x10 , , x n0 , u ) Các hàm không đồng thời triệt tiêu Y , chẳng hạn X n Y ≠ Chúng ta tìm nghiệm (4.16) dạng ẩn: V ( x1 , , xn , u ) = , V khả vi ∂V ∂x ∂u ∂V = − i ; i = 1, n Vậy liên tục (Y ) ≠ Theo định lý hàm ẩn suy ∂V ∂xi ∂u ∂u n ∂V ∑ X k ( x1 , , xn , u) ∂x k =1 k + f ( x1 , , xn , u ) ∂V = ∂u (4.17) Đó phương trình tuyến tính trình bày đoạn Gọi ϕi = ϕi ( x1 , , xn , u ) ; i = 1, , n tích phân độc lập hệ đối xứng tương ứng với (4.14) Khi nghiệm tổng quát (4.17) là: V = Φ(ϕ1 , ϕ , , ϕ n ) 127 Chương 4: Phương trình đạo hàm riêng Suy tích phân tổng quát (4.17) Φ(ϕ1 , ϕ , , ϕ n ) = Với Φ hàm tuỳ ý khả vi liên tục 4.2.3 Nghiệm tốn Cauchy phương trình Xét tốn Cauchy: Hãy tìm nghiệm u = u ( x1 , x2 , , xn ) phương trình n ∂u ∑ X k ( x1 , , xn ) ∂x k =1 =0 (4.18) k Thoả mãn điều kiện: u ( x1 , x2 , , xn −1 , xn0 ) = ϕ( x1 , x2 , , xn −1 ) Trong ( (4.19) X i ; i = 1, n liên tục đạo hàm riêng cấp lân cận ) X = x10 , x 20 , , x n0 ϕ hàm khả vi liên tục Để giải toán (4.18) - (4.19) ta làm sau: ♦ Lập hệ đối xứng tương ứng (4.18) tìm n − tích phân độc lập hệ đó: ϕi = ϕi ( x1 , , xn ) ; i = 1, , n − ♦ Lập hệ phương trình với ẩn số x1 , x2 , , xn −1 ⎧ϕ1 ( x1 , , xn −1 , xn0 ) = ϕ1 ⎪ ⎨""""""""""" ⎪ ⎩ϕ n −1 ( x1 , , xn −1 , xn ) = ϕn −1 giải hệ phương trình ⎧ x1 = ψ1 (ϕ1 , , ϕn −1 ) ⎪ ⎨"""""""""" ⎪x ⎩ n −1 = ψ n −1 (ϕ1 , , ϕn −1 ) ♦ Thay ϕ1 , ϕ2 , , ϕn −1 hàm số ϕ1 , ϕ , , ϕn −1 ta nghiệm toán Cauchy (4.18)-(4.19): u = ϕ (ψ1 (ϕ1 , ϕ , , ϕ n −1 ) , , ψ n −1 (ϕ1 , ϕ , , ϕ n −1 ) ) (4.20) Thật vậy, theo (4.16) u nghiệm (4.18), kiểm tra điều kiện (4.19) ux n = x n0 = ϕ (ψ1 ( ϕ1 , ϕ2 , , ϕn −1 ) , , ψ n −1 ( ϕ1 , ϕ2 , , ϕn −1 ) ) = ϕ( x1 , x , , x n −1 ) Nhận xét: 128 Chương 4: Phương trình đạo hàm riêng Trong toán thực tế biến thứ n biểu diễn phụ thuộc vào thời gian thường ký hiệu t thay cho xn Lúc điều kiện (4.19) tốn Cauchy gọi điều kiện đầu Quá trình tìm nghiệm tốn Cauchy phương trình khơng tương đưa phương trình (4.17) Thí dụ minh họa điều Ví dụ 4.5: Tìm nghiệm tốn Cauchy sau ⎧ ∂u ∂u ⎪ x ∂x + ( y + x ) ∂y = u ⎨ ⎪ u ( x, y ) = y−4 x=2 ⎩ Giải: Đưa dạng (4.17): x ∂V ∂V ∂V + (y + x2 ) +u = có nghiệm dạng ∂x ∂y ∂u hàm ẩn V ( x, y , u ( x, y ) ) = Hệ phương trình vi phân đối xứng dạng (4.13) tương ứng: dx dy du = = x u y + x2 dx dy dy y = ⇒ = + x ⇒ y = x(C1 + x) (phương trình vi phân tuyến tính cấp 1) x dx x y + x2 dx du = ⇒ u = C x Do nhận hai tích phân độc lập x u ϕ1 ( x, y, u ) = y − x2 u , ϕ ( x, y , u ) = x x y−4 ⎧ ⎪⎪ϕ1 (2, y, u ) = = ϕ1 Giải hệ phương trình ⎨ ⎪ϕ (2, y, u ) = u = ϕ ⎪⎩ 2 ⎧ y = ϕ1 + Nhận được: ⎨ ⎩ u = ϕ2 Điều kiện (4.19) tương ứng V (2, y , u ( 2, y ) ) = u ( 2, y ) = y − suy ϕ = ϕ1 hay ϕ2 = ϕ1 Công thức (4.15): u y − x2 = x x Vậy u = y − x nghiệm cần tìm 4.3 PHÂN LOẠI PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG RIÊNG TUYẾN TÍNH CẤP TRƯỜNG HỢP HÀM HAI BIẾN Xét phương trình: a( x, y ) u xx + 2b( x, y ) u xy + c( x, y ) u yy + F ( x, y, u, u x , u y ) = ký hiệu: 129 (4.21) Chương 4: Phương trình đạo hàm riêng u x thay cho u ' x = ∂u ∂ 2u ∂ 2u ; u xx thay cho u" xx = ; u xy thay cho u" xy = " ∂x ∂x∂y ∂x (4.22) a ( x, y ), b( x, y ), c( x, y ) hàm liên tục Ω ⊂  F hàm liên tục biểu diễn tuyến tính u, u x , u y Ta phân loại (4.21) M ( x0 , y ) ∈ Ω sau: a Phương trình (4.21) thuộc loại hyperbolic M (b − ac) M > b Phương trình (4.21) thuộc loại elliptic M (b − ac) M < c Phương trình (4.21) thuộc loại parabolic M (b − ac) M = Phương trình (4.21) thuộc loại hyperbolic (elliptic, parabolic) điểm M ( x, y ) ∈ Ω ta nói thuộc loại hyperbolic (elliptic, parabolic) miền Ω Dưới dùng phép biến đổi thích hợp để đưa (4.21) dạng rút gọn, gọi phương trình tắc Xét phép biến đổi khơng suy biến ⎧ ξ = ξ( x , y ) D (ξ, η) với điều kiện J = ≠ ⎨ D ( x, y ) ⎩ η = η( x, y ) (4.23) Trong phép biến đổi ta giả thiết ξ( x, y ), η( x, y ) hàm khả vi liên tục đến cấp Định lí 4.2: Loại phương trình (4.21) (tại điểm hay miền) không thay đổi qua phép biến đổi không suy biến (4.23) Chứng minh: Từ (4.23), áp dụng công thức đạo hàm hàm hợp, suy ra: u x = u ξ ξ x + u ηη x , u y = u ξ ξ y + u ηη y u xx = u ξξ ξ 2x + 2u ξη ξ x η x + u ηη η 2x + u ξ ξ xx + u η η xx u xy = u ξξ ξ x ξ y + u ξη (ξ x η y + ξ y η x ) + u ηη η x η y + u ξ ξ xy + u η η xy u yy = u ξξ ξ 2y + 2u ξη ξ y η y + u ηη η 2y + u ξ ξ yy + u η η yy Thay vào (4.21) nhận được: a1 (ξ, η) u ξξ + 2b1 (ξ, η) u ξη + c1 (ξ, η) u ηη + F1 (ξ, η, u, u ξ , u η ) = (4.24) đó: a1 (ξ, η) = aξ 2x + 2bξ x ξ y + cξ 2y , (4.25) b1 (ξ, η) = aξ x η x + b(ξ x η y + ξ y η x ) + cξ y η y , (4.26) 130 Phụ lục ∞ −u e 4t x(u ) du X πt ∫0 14 s ∞ s ∫ J (2 ut ) x(u) du 15 16 n∞ n − t u J n (2 ut ) x(u ) du ⎛1⎞ f⎜ ⎟ s n +1 ⎝ s ⎠ ∫ ⎛ 1⎞ f ⎜s + ⎟ s⎠ s2 +1 ⎝ ∫ J (2 u(t − u) ) x(u) du x(t ) 18 π ∞ u 19 ∞ −3 − s u e 4u X (u ) du ∫ t x(u ) ∫ Γ(u + 1) du f (ln s ) s ln s n P( s) Q( s) 20 ⎛1⎞ f⎜ ⎟ ⎝s⎠ t 17 ( s) P(a ) ∑ Q' (ak )e ak t k =1 k 231 Bậc P(s) < bậc Q(s), Q(s) có nghiệm đơn a1 , , a n Phụ lục PHỤ LỤC D: Biến đổi Laplace hàm thường gặp ∞ X ( s ) = ∫ e − ist x(t )dt TT Ảnh biến đổi Laplace X (s ) Hàm gốc x(t ) 1 s sn sα 10 11 12 t α −1 Γ(α ) ; α >0 s−a t n −1 (n − 1)! ; n = 1, 2, 3, ( s − a) n e at ; n = 1, 2, 3, t n −1 at e ( n − 1)! ; α >0 t α −1 at e Γ(α ) ( s − a )α s +a sin at a s cos at s2 + a2 e bt sin at a ( s − b) + a s−b ( s − b) + a ebt cos at 2 s −a sh at a s ch at s2 − a2 232 Phụ lục 13 14 e bt sh at a ( s − b) − a s −b ( s − b) − a e bt ch at 15 (s sin at − at cos at ) 2 ) t sin at 2a ) sin at + at cos at 2a + a2 ) cos at − at sin at ) t cos at ) 2 ) tsh at 2a ) sh at + at ch at 2a ) ch at + at sh at 2 t ch at +a 2a s 16 17 18 19 (s +a s2 (s +a s3 (s s2 − a2 (s + a2 20 (s −a atch at − sh at 2a s 21 22 23 24 (s −a s2 (s −a s3 (s −a s2 + a2 (s − a2 ) 25 (s + a2 (3 − a 2t ) sin at − 3at cos at ) 8a 233 Phụ lục s 26 27 28 29 30 31 32 33 34 (s + a2 t sin at − at cos at ) 8a s2 (s + a2 (1 + a 2t ) sin at − at cos at ) 8a s3 (s + a2 ) 3t sin at + at cos at 8a ) (3 − a 2t ) sin at + 5at cos at 8a ) (8 − a 2t ) cos at − at sin at s4 (s + a2 s5 (s + a2 3s − a (s + a2 t sin at 2a ) s − 3a s (s +a 2 t cos at ) s − 6a s + a (s +a ) t cos at t sin at 24a s3 − a s (s + a2 ) 35 (s − a2 (3 + a 2t ) sh at − 3at ch at ) 8a s 36 37 38 (s − a2 at ch at − t sh at ) 8a s2 (s − a2 at ch at + (a 2t − 1) sh at ) 8a s3 (s − a2 3t sh at + at ch at 8a ) 234 Phụ lục 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 s4 (s − a2 ) (3 + a 2t ) sh at + 5at ch at 8a ) (8 + a 2t ) ch at + at sh at s5 (s − a2 3s + a (s − a2 t sh at 2a ) s + 3a s (s −a 2 t ch at ) s + 6a s + a (s −a ) t ch at t sh at 24a s3 + a s (s − a2 ) ⎫ at at e at / ⎧ − cos + e − 3at / ⎬ sin ⎨ 2 3a ⎩ ⎭ s3 + a3 ⎫ at at e at / ⎧ + cos − e − 3at / ⎬ ⎨ sin 3a ⎩ 2 ⎭ s s3 + a3 ⎛ − at at ⎞ at / ⎜e ⎟ cos + e ⎜⎝ ⎟⎠ s2 s3 + a3 e − at / ⎧ 3at / at at ⎫ − sin − cos e ⎨ ⎬ 2 ⎭ 3a ⎩ s3 − a3 ⎫ at at e − at / ⎧ − cos + e 3at / ⎬ ⎨ sin 3a ⎩ 2 ⎭ s3 − a3 ⎛ at at ⎞ ⎜ e + 2e − at / cos ⎟ ⎜⎝ ⎟⎠ s2 s3 − a3 1 s + 4a 4a 235 {sin at ch at − cos at sh at} Phụ lục 52 53 54 55 56 57 58 59 60 s sin at sh at s + 4a 2a s2 {sin at ch at + cos at sh at} 2a s + 4a s3 s + 4a cos at ch at 1 s4 − a4 2a s s −a 2a s2 {sh at − sin at} {ch at − cos at} {sh at + sin at} 2a s4 − a4 s3 {ch at + cos at} 2a s4 − a4 e − bt − e − at s+a + s+b 2(b − a ) πt s s+a erf at a 61 s ( s − a) e at erf at a 62 s−a +b ⎧ ⎫ − be b t erfc(b t )⎬ e at ⎨ ⎩ πt ⎭ 63 64 s +a J (at ) I (at ) s −a n 65 ⎛ s2 + a2 − s⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ; n > −1 s2 + a2 a n J n (at ) 236 Phụ lục n 66 ⎛ s − s2 − a2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ; n > −1 s2 − a2 s2 +a2 ) eb ( s − 67 2 e−b s + a η (t − b) J (a t − b ) tJ1 ( at ) a s +a 69 (s + a ) s 70 74 75 76 77 78 tJ (at ) (s + a )3 s2 71 73 J (a t (t + 2b) ) s2 + a2 68 72 a n I n (at ) J (at ) − tJ1 ( at ) (s + a ) = s (e s − 1) s s (e − r ) es −1 s s (e − r ) = = e−s x(t ) = n , n ≤ t < n + 1, n = 0, 1, 2, s (1 − e − s ) e−s s (1 − re −s x(t ) = ) s (1 − re ∑ r k ; [t ] phần nguyên t k =1 − e− s −s [t ] x(t ) = r n , n ≤ t < n + 1, n = 0, 1, 2, ) e− s / a s cos at πt e− s / a sin at πa s3 e− s / a sα +1 α /2 ⎛t⎞ ⎜ ⎟ ⎝a⎠ ; α > −1 Jα (2 at ) a2 e 4t e−a s s − πt 237 Phụ lục a e−a s 79 a2 e 4t − πt 80 − e−a s s ⎛ a ⎞ erf ⎜ ⎟ ⎝2 t ⎠ 81 e−a s s ⎛ a ⎞ erfc ⎜ ⎟ ⎝2 t ⎠ 82 e−a s s ( s + b) 83 e −a / s sα +1 a ⎞ ⎛ e b(bt + a ) erfc ⎜ b t + ⎟ t⎠ ⎝ ∞ ; α > −1 πt a 2α +1 ∫u − u2 α e 4a t J 84 ⎛s+a⎞ ln⎜ ⎟ ⎝ s+b⎠ e − bt − e − at t 85 ⎛⎜ s + a ⎞⎟ ln s ⎜⎝ a ⎟⎠ Ci (at ) 86 ⎛s+a⎞ ln⎜ ⎟ s ⎝ a ⎠ Ei (at ) − 87 88 89 γ + ln s 6s + 2(cos at − cos bt ) t (γ + ln s ) s 90 ln s s 91 ln s s 92 ln t ; γ số Euler s ⎛ s2 + a2 ⎞ ⎟ ln⎜ ⎜ s2 + b2 ⎟ ⎝ ⎠ π2 Γ(α + 1) − Γ(α + 1) s sα +1 2α ( u ) du ln t ; γ số Euler − (ln t + γ ) (ln t + γ ) − ; α > −1 t α ln t 238 π2 Phụ lục 93 ⎛a⎞ arctg ⎜ ⎟ ⎝s⎠ sin at t 94 ⎛a⎞ arctg ⎜ ⎟ s ⎝s⎠ Si (at ) 95 96 97 98 ea / s erfc s e s2 / 4a2 es / 4a2 ( a/s e − at πt ) erfc ( s / 2a ) 2a − a t e erfc ( s / 2a ) s erf (at ) e as erfc s ( as π π (t + a ) ) t+a 99 e as Ei (as) 100 ⎧π ⎫ cos as ⎨ − Si (as )⎬ − sin as Ci ( as ) ⎩2 ⎭ a 101 ⎧π ⎫ sin as ⎨ − Si (as )⎬ + cos as Ci (as ) ⎩2 ⎭ 102 ⎧π ⎫ cos as ⎨ − Si (as )⎬ − sin as Ci ( as ) ⎩2 ⎭ s acrtg (t / a ) 103 ⎧π ⎫ sin as ⎨ − Si (as )⎬ + cos as Ci (as ) ⎩2 ⎭ s ⎛⎜ t + a ⎞⎟ ln ⎜⎝ a ⎟⎠ 104 ⎧π ⎫ ⎨ − Si ( as)⎬ + Ci (as ) ⎩2 ⎭ ⎛⎜ t + a ⎞⎟ ln t ⎜⎝ a ⎟⎠ 105 δ (t ) - hàm Dirac 106 e − as δ (t − a) t + a2 t t + a2 239 Phụ lục 107 e − as s η (t − a) 108 sh xs s sh as x ∞ (−1) n nπx nπt sin cos + ∑ a π n =1 n a a 109 sh xs s ch as (2n − 1)πt (2n − 1)πx ∞ (−1) n sin sin ∑ π n =12n − 2a 2a 110 ch xs s sh as t ∞ (−1) n nπx nπt cos sin + ∑ a π n =1 n a a 111 ch xs s ch as 112 sh xs s sh as 113 sh xs s ch as 1+ (2n − 1)πt (2n − 1)πx ∞ (−1) n cos cos ∑ π n =12n − 2a 2a xt 2a ∞ (−1) n nπx nπt sin cos + ∑ 2 a π n =1 n a a x+ 8a π (−1)n ∞ ∑ (2n − 1)2 sin n =1 (2n − 1)π x (2n − 1)π t cos 2a 2a 114 ch xs s sh as t 2a ∞ (−1) n nπ x ⎛ nπ t ⎞ + ∑ cos ⎜ − cos ⎟ a ⎠ a ⎝ 2a π n=1 n 115 ch xs s ch as 8a 116 117 t+ 119 ch x s s sh a s n =1 (2n − 1)π x (2n − 1)π t sin 2a 2a 2 (−1) n ne − n π ∑ a t / a2 sin n =1 ch x s ch a s 118 ∑ (2n − 1)2 cos 2π ∞ sh x s sh a s sh x s s ch a s π (−1)n ∞ π a ∞ ∑ − (2 n −1)2 π 2t (−1)n−1 (2n − 1)e 4a (2n − 1)π x n =1 ∞ ∑ a n=1 − (2 n−1)2 π 2t (−1) n−1 e 4a ∞ + ∑ a a n=1 240 cos nπx a sin − n2π 2t (−1)n e a 2a (2n − 1)π x cos 2a nπ x 2a Phụ lục 120 sh x s s sh a s 121 ch x s s ch a s 122 sh x s s sh a s 123 2 −n π t x (−1)n nπ x + ∑ e a sin a π n =1 n 2a ∞ π 2t −(2 n −1) (−1)n 1+ ∑ e 4a π n=1 2n − ∞ xt 2a + a π2 x2 − a2 ch x s s ch a s +t − 16a π (−1)n ∑ (1 − e n =1 n ∞ (−1)n ∞ ∑ n =1 (2n − 1) J (ix s ) s J (ia s ) a2 126 as 129 130 a2s2 + π ch ( as − 4a 2a −1 as ) 2 (a s + π )(1 − e 2a e − as s (1 − e − as ) − as a 2a 3a 4a t πa 2 (2n − 1)π x λ1 , λ2 , nghiệm dương J (λ ) = as ) πa 2a ∞ − λn t / a e J (λn x / a) x2 − a2 + t + 2a ∑ λn J1 (λn ) n =1 as th ( ) s 127 128 th ( cos nπ x λ1 , λ2 , nghiệm dương J (λ ) = J (ix s ) s J (ia s ) ) sin 2 125 2a − n 2π 2t − (2 n−1)2 π 2t e 4a (2n − 1)π x e − λn t / a J (λn x / a ) − 2∑ λn J1 (λn ) n =1 ∞ 124 cos a 2a 3a t a 2a 3a t a 2a 3a t ) 241 Phụ lục 131 132 133 134 135 e − as (1 − e − bs ) s η (t − a) − η (t − a − b) ∞ ∑ n [η (t − (n − 1)a ) − η (t − na )] s (1 − e − as ) n =1 ∞ e − s + e − 2s s (1 − e ∑ n [η (t − n) − η(t − (n + 1))] −s ) n=0 ∞ − e− s ∑ r n [η (t − n) − η (t − (n + 1))] s (1 − re − as ) n=0 πa(1 + e − as ) (η (t ) − η (t − a) )sin πt a2s + π a 242 Tài liệu tham khảo TÀI LIỆU THAM KHẢO Lê Bá Long, Tài liệu hướng dẫn học tập môn xác suất thống kê cho hệ đào tạo từ xa chuyên ngành điện tử viễn thông Vũ Gia Tê, Lê Bá Long, Giáo trình tốn chun ngành cho sinh viên hệ quy chuyên ngành điện tử viễn thông Học viện Công Nghệ Bưu Chính Viễn Thơng, 2006 Nguyễn Phạm Anh Dũng, Các hàm xác suất ứng dụng viễn thơng Trung Tâm Đào Tạo Bưu Chính Viễn Thơng 1, 1999 Nguyễn Quốc Trung, Xử lý tín hiệu lọc số NXB Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội, 2004 Nguyễn Duy Tiến (và tập thể), Các mô hình xác suất ứng dụng, tập 1, 2, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội, 2000 D L (Paul) Minh, Applied probability models, Duxbury, Thomson Learning 2001 A Angot, Compéments de mathématiques a l’usage des ingénieurs de l’eslektrotechnique et des tétécommunications Paris, 1957 A V Bitsadze, Equations of Mathematical Physics, Mir Publishers Moscow, 1980 P.J Buker, 1976 Proof of a conjecture on the interarrival-time distribution in an M/M/1 queue with feedback IEEE Transactions on Communications, COM-24, 575-576 10 L W Couch, II, Digital and Analog Communication Systems 6th ed, Prentice Hall, 2001 11 V Ditkine et A Proudnikov, Calcul opérationnel Dịch tiếng Pháp Djilali Embarex, Mir 1979 12 V Ditkine et A Proudnikov, Transformation intégrales et calcul opérationnel Dịch tiếng Pháp Djilali Embarex, Mir 1978 13 Charles Dixon, Applied Mathematics of science & Engineering John Wiley & Sons: London, New York, Sydney, Toronto 1980 14 J L Doob, 1953 Stochastic Processes Willey and Sons, New York 15 B.A Fukxơ B V SaBat, Hàm biến phức ứng dụng Bản dịch tiếng Việt Tràn Gia Lịch, Lê Văn Thành Ngô Văn Lược, NXB Khoa học Hà Nội, 1969 16 S Haykin, 1988 Digital communications John Willey and Sons 17 S Karlin, 1966 A first Course in Stochastic Processes Academic Press, New York and London 18 P Quinn; B Andrrews & H Parsons, 1991 Allocating telecommunications resources at L L Bean Inc., Interfaces, 21, 75-91 19 M R Spiegel, PhD, Theory and Problems of Laplace Transform Schaum's outline series Mc Graw - Hill Book company, Inc 1986 20 E J Savant JR, Fundamentals of the Laplace Transformation Mc Graw - Hill Book company, Inc 1962 243 Tài liệu tham khảo 21 C E Shannon, Mathematical Theory of Communication The Bell System Technical Journal 1948, Vol 27, pp 379 - 423, 623 - 656 22 R E Ziemer & R L.Peterson, Publishing Company, 1992 Introduction to digital communication, Macmillan 244 TOÁN CHUYÊN NGÀNH Mã số : 491TNC214 Chịu trách nhiệm thảo TRUNG TÂM ÐÀO TẠO BƯU CHÍNH VIỄN THƠNG (Tài liệu ban hành theo Quyết định số : /QĐ-TTĐT1, ngày /07/2006 Giám đốc Học viện Cơng nghệ Bưu Viễn thơng) ... ∫∫∫ ut2 + a 2u x2 + a 2u 2y K )t − 2a2 (ut ux ) x − 2a2 (ut u y ) y }dxdydt = Áp dụng công thức Ostrogradski: JJG JJG JJG JJG JJG JJG I = ∫∫ ut2 + a 2u x2 + a 2u 2y cos( n , Ot ) − 2a 2ut u x... 2ut , lấy tích phân K , có ( ) I = ∫∫∫ 2utt ut − a (2ut u xx + 2ut u yy ) dxdydt = K ( ) ( ) ( ) Nhận thấy: 2u tt u t = u t2 t ; 2ut u xx = 2( ut u x ) x − u x2 ; 2ut u yy = 2( ut u y ) y − u 2y... a⎜⎜ x − a2 ⎝ ∞ I= ∫e − a x + 2bx dx = ∫ −∞ −∞ ∫ ∫ b2 ∞ ea a ∫e − y2 dy = b2 ∞ ea −∞ ∫ −∞ ∫e a −b2 ∞ 2 e− a x +i 2bx dx = e a ∞ J= 2b ⎞ ⎛ b2 ∞ −a ⎜ x2 − x ⎟ e ⎝ a ⎠ dx = e a b ⎞ ⎛ − a2 ⎜ x− ⎟