LỜI NÓI ĐẦU Trong kinh tế thị trường nay, với phát triển mạnh mẽ ngành nghề, ngành giáo dục hết cần phải có đổi mới, vận động phát triển để khẳng định vai trị Có đáp ứng yêu cầu xã hội, tạo cho xã hội sản phẩm người có tri thức, vững ln động, sáng tạo, thích hợp với sống đại Là sinh viên, em thấy vai trò tầm quan trọng việc học tốn Chính em chọn đề tài nghiên cứu khoa học là: Các tốn liên quan đến tính tốn chứng minh đa giác Trong trình thực đề tài em hướng dẫn tận tình thầy cô đặc biệt quan tâm giúp đỡ nhiệt tình thầy giáo Bùi Trọng Kim Em xin chân thành thầy cô giúp đỡ em hoàn thành đề tài Mặc dù em cố gắng nhiều song thời gian lực có hạn nên đề tài cịn nhiều thiếu sót, em mong đóng góp ý kiến để đề tài em hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Sinh viên thực Phạm Thị Thơm I LÝ THUYẾT Đa giác .3 Đa giác đơn 3 Đa giác lồi Đường chéo đa giác .3 Đa giác II MỘT SỐ KẾT QUẢ TÍNH TOÁN TRONG ĐA GIÁC III PHÂN LOẠI CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN ĐẾN TÍNH TOÁN TRONG ĐA GIÁC IV MỘT SỐ BÀI TOÁN Tính số cạnh đa giác .5 Tính số đo góc đa giác Bài Toán liên quan đến đường chéo đa giác 13 Diện tích đa giác 18 4.1 Hàm diện tích: .18 4.2 Diện tích đa giác đơn 18 4.3 Diện tích hình phẳng .18 a Hình đơn giản: .18 b Hình khả diện .18 c Các tính chất diện tích đa giác .18 4.4 Các cơng thức tính diện tích 19 Các khoảng cách đa giác 24 Một số toán khác 26 IV KẾT LUẬN CHUNG 28 1.Kết luận: .28 Lời cảm ơn .29 V TÀI LIỆU THAM KHẢO 29 I LÝ THUYẾT Đa giác Đa giác n cạnh đường gấp khúc n cạnh ( n ≥ 3) A1A2…An+1 cho đỉnh đầu Aa đỉnh cuối An+1 trùng nhau, cạnh đầu A1A2 cạnh cuối AnAn+1 ( coi hai cạnh liên tiếp) không nằm đường thẳng Đa giác kí hiệu A 1A2…An Đa giác n cạnh gọi n – giác Các điểm A i gọi đỉnh đa giác , đoạn thẳng AiAi+1 gọi cạnh đa giác Góc A i-1AiAi+1 gọi góc đa giác đỉnh Ai Đa giác đơn ĐN: đa giác đơn đa giác mà cạnh khơng liên tiếp khơng có điểm chung Đa giác lồi ĐN: Đa giác lồi đa giác mà nằm phía đường thẳng chứa bất lì cạnh đa giác Đường chéo đa giác ĐN: Một đoạn thẳng nối đỉnh không kề củamột đa giác gọi đường chéo đa giác ĐL: Bằng đường chéo thích hợp n – giác đơn phân hoạch thành đa giác có số cạnh bé n Đa giác ĐN: Đa giác đa giác có tất cạnh góc II MỘT SỐ KẾT QUẢ TÍNH TỐN TRONG ĐA GIÁC VD1: Cho hình n_ giác lồi a Chứng mính tổng góc hình n_giác (n - 2)180 b Tính tổng góc ngồi hình n_giác Giải: a Vẽ đường chéo xuất phát từ định n_ giác Khi đường chéo cạnh đa giác tạo thành n – tam giác Tổng góc hình n_ giác tổng góc (n - 2) tam giác tổng (n - 2).1800 b Tổng số đo góc góc ngồi đỉnh hình n_giác 180 Tổng số đo góc góc ngồi n đỉnh hình n_giác n.1800 Tổng số đo góc hình n_giác (n - 2).180 Vậy tổng số đo góc ngồi hình n_giác n.1800 – (n - 2).1800 = 3600 = 4v Tổng số đo góc ngồi hình n_ giác khơng phụ thuộc vào số cạnh đa giác µ VD2: Chứng minh hình n_ giác có tổng tất A đường chéo Giải: Cách 1: Từ đỉnh hình n_ giác ta vẽ (n - 1) đoạn thẳng nối từ đỉnh với (n - 1) đỉnh cịn lại đa giác (trong có đoạn thẳng trùng với hai cạnh đa giác) Qua đỉnh hình n_giác vẽ n – – = n – đường chéo Do hình n_ giác vẽ n(n - 3) đường chéo Vì đường chéo tính lần nên hình n_ giác có tất n(n − 3) đường chéo Cách 2: Từ đỉnh hình n_ giác ta vẽ n -1 đoạn thẳng nối đỉnh với n – đỉnh lại đa giác + Với n đỉnh ta vẽ n(n - 1) đoạn thẳng (trong đoạn thẳng tính lần) => số đoạn thẳng thực n(n − 1) + Mặt khác số có n đoạn thẳng cạnh hình n _ giác Vậy hình n_ giác có n(n − 1) n(n − 3) -n= đường chéo 2 III PHÂN LOẠI CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TÍNH TỐN TRONG ĐA GIÁC Tính số cạnh đa giác Tính số đo góc đa giác Bài tốn liên quan đến đường chéo đa giác Diện tích đa giác Các khoảng cách đa giác Một số toán IV MỘT SỐ BÀI TỐN Tính số cạnh đa giác Bài 1: Tổng số đo góc đa giác n _ cạnh trừ góc A 570 µ Tính số cạnh đa giác A Giải: µ µ Ta có (n - 2) 1800 – A = 5700 ⇔ A = (n - 2).1800 – 5700 µ Vì 00 < A < 1800 ⇒ < (n - 2) 1800 – 5700 < 1800 ⇔ 0 nên m + ∈ Z m + > ⇒ n – < ⇔ n < Khi m,n có trường hợp sau n - = -2  n = TH 1:  m + = 12  n - = -  TH2:  m + =  n - = -  TH3:  m + =  ⇔  m =  n = ⇔  m =  n = ⇔  m =  Vậy cạnh đa giác 20; 8; Bài 4: Một mảnh giấy hình vng cắt đường cắt thẳng thành mảnh Một hai mảnh lại cắt làm Ta làm nhiều lần Hỏi số lần cắt để nhận đa giác 20 cạnh Giải: + Giả sử sau n lần cắt ta nhận 100 đa giác 20 cạnh Sau lần cắt số đỉnh tăng nhiều đỉnh Vậy sau n lần cắt số đỉnh không vượt 4n + đỉnh + Sau lần cắt số mảnh giấy tăng thêm ⇒ Sau n lần cắt số mảnh giấy n + + Số mảnh giấy khơng phải hình 20 cạnh n + – 100 = n – 99 ⇒ Tổng số đỉnh đa giác 3(n - 99) đỉnh + Ta có 4n + ≥ 100.20 + (n - 99) ⇔ n ≥ 1699 Vậy số lần cắt 1699 + Trước hết cắt 99 lần đường thẳng song song với cạnh hình vng để 100 hình chữ nhật Sau với hình chữ nhật ta cắt 16 lần để hình đa giác 20 cạnh Vậy tổng số lần cắt là: 99 + 100.16 = 1699 (lần cắt) Bài 5: Trong mặt phẳng cho n đường thẳng đơi cắt khơng có đường thẳng đồng quy Chứng minh rằng: a Khi n ≥ đường thẳng chia mặt phẳng thành Pn = b Khi n ≥ Pn phần nói có Qn = n2 + n + phần n - 3n + đa giác Chứng minh: a n = ta có: P1 = 1+ + = 2, tức đường thẳng chia mặt phẳng thành 2 phần ⇒ mệnh đề nói với n = Giả sử mệnh đề có n – đường thẳng ta chứng minh mệnh đề cho trường hợp n đường thẳng Giả sử ta có n đường thẳng d1, d2, …dn, thoả mãn điều kiện tốn Vì mệnh đề n – đường thẳng d 1, d2, …dn- nên n -1 đường thẳng (n - 1) + (n - 1) + n - n + = chia mặt phẳng thành Pn phần với Pn = 2 Đường thẳng dn bị n – đường thẳng nói chia thành n phần (trong có n – đoạn thẳng tia), ta gọi phần ∆1 , ∆ ,… Δ n Mỗi Δi nằm Dj chia Dj thành phần số phần mà n đường thẳng phân chia là: Pn = Pn-1 n2 - n + n2 + n + + n= = 2 Vậy mệnh đề với trường hợp n đường thẳng ⇒ đpcm 32 - 3.3 + b Khi n = ta có Q3 = = tức số phần mà đường thẳng (đôi cắt không đồng quy) chia mặt phẳng có phần tam giác ⇒ Mệnh đề b n = Bây ta giả sử mệnh đề b, với n – đường thẳng (n ≥ 4) ta chứng minh b, cho trường hợp n đường thẳng Giả sử ta có n đường thẳng d1, d2, …dn (đơi cắt khơng có đường thẳng đồng quy) Vì mệnh đề n – đường thẳng d 1, d2, …dn -1 nên số phần chúng phân chia mặt phẳng có : Qn - = (n - 1) - 3(n - 1) + n - 5n + = phần đa giác mà ta kí hiệu phần : 2 n - 5n + D1 ,D , D k (với k = ) Đường thẳng dn bị n – đường thẳng nói chi thành n phần có n – đoạn thẳng mà ta ký hiệu Δ1 ,Δ , Δ n-2 Mỗi đoạn ∆1 nằm đa giác D j chia D j thành đa giác, số đa giác mà n đường thẳng phân chia là: Q n = Q n-1 + n-2 = n -5n+6 n - 3n + +n-2= 2 ⇒ Mệnh đề cho trường hợp n đường thẳng ⇒ đpcm Bài tập đề nghị: Bài 1: Chứng minh ngũ giác có cạnh góc liên tiếp ngũ giác Bài 2: Chứng minh đa giác cạnh, đường chéo lớn nhỏ cạnh Bài 3: a Tìm số n cho mặt phẳng phủ kín đa giác có n cạnh b Có tồn ngũ giác để phủ kín mặt phẳng khơng? Bài 4: Cho lục giác ABCDEF Gọi A’, B’,C’,D’,E’,F’ trung điểm cạnh AB,BC,CD, DE, EF, FA Chứng minh A’B’C’D’E’F’ lục giác Bài 5: Tổng tất góc góc ngồi đa giác 2225 Hỏi đa giác có cạnh? Bài 6: Tìm số cạnh đa giác biết đường chéo có độ dài Bài 7: Người ta đánh dấu đỉnh đa giác 1995 cạnh màu xanh đỏ Chứng minh ln ln tìm đỉnh đa giác đỉnh tam giác cân đánh dấu màu Tính số đo góc đa giác Bài tập mẫu: Bài 1: Tính số đo góc hình cạnh đều, cạnh đều, 15 cạnh Giải: (5 - 2).1800 = 1080 + Số đo góc hình cạnh là: + Số đo góc hình cạnh là: (9 - 2).1800 = 1400 + Số đo góc hình 15 cạnh là: (15 - 2).1800 = 1560 15 Bài 2: Cho ngũ giác lồi ABCDE a Gọi M, N, P, Q theo thứ tự trung điểm MP Chứng minh IK CD b Chứng minh tồn đường chéo ngũ giác tạo với góc không vượt 360 Giải: a Gọi F trung điểm EC QM =// 1 (EBt ; FN =// EB, ⇒ QM = FN ⇒ QMNF hình bình hành 2 Mà IQ = IN ⇒ I giao điểm hai đường chéo hình bình hành ⇒ I,M,F thẳng hàng IM = IF Ta có: IM = IF KM = KP Mà PE = PD   ⇒ PF = CD EF = FC  Từ (1), (2) ⇒ IK =   ⇒ IK = PF  (1) (2) CD b Lấy điểm mặt phẳng ngũ giác Vẽ năm đường thẳng song song với đường chéo ngũ giác, chúng tạo thành 10 góc khơng có điểm chung, có tổng 3600 Tồn góc nhỏ 360 Bài 3: Cho hình vng ABCD Lấy điểm E thuộc miền hình vng cho · · EAB = EBA = 15 Chứng minh ΔCDE B A Giải: 15o E F + Dựng Δ EFB cho F C phía EB ⇒ + D 0 · · · FBC = 90 – ( EBA + EPF ) = 15 ⇒ AB = BC   ∆ ⇒ Δ ABE = ∆ CBF 0 · · ABE = CBF = 15  ·  FCB BE = PF ⇒ AE = CF mà AE = EB = FB ⇒ Δ CBF cân F · · · · · ⇒ FCB = 150 ⇒ FCE = 150, FCB = 1500 ⇒ EFC = 1500 ⇒ CEF = 150 ⇒ Δ CBF cân C ⇒ CE = CB = CD Vậy ΔCDE Bài 4: Chứng minh đa giác lồi có góc nhọn Giải: 10 C ⇒ ∆EKC đồng dạng ∆BIF ⇒ + Mà BI // BE ⇒ BI IF FD = = EK KC AC BI H'I = KE H'K H'I FD = H'K AC Vậy Từ (1) , (2) ⇒ H'I HI ⇒ H ≡ H’ = H'K HK Vậy AD, BE, CF đồng quy Bài 4: Các đường chéo hình thang ngoại tiếp ABCD (AD//BC) cặt O Bán kính đường trịn nội tiếp ΔAOD , ΔAOB , ΔBOC , ΔCOD r1, r2, r3, r4 Chứng 1 1 minh r + r = r + r Giải: Giả sử ΔAOD , ΔAOB , ΔBOC , ΔCOD có diện tích nửa chu vi S 1, P1, S2, P2, S3, P3, S4, P4 S2 =S4  S S Dễ thấy:  =  S4 S3  P1 +P3 =P2 +P4  (1) O (2) (3) Từ (1), (2) ta suy S1S3 = S22 = S42 ⇒ S4 = S1 +S3 1 D Do S = P.r nên ta có r + r = r + r ⇔ P1 P3 P2 P4 + = S +S S1 S3 ⇔ P +P P +P P1 P3 P P + = ⇔ 1+ = S1S3 S1 S3 S4 S1 S3 (4) S1 P 2S P12 ⇔ S1 = Mặt khác ΔAOD đồng dạng ΔCOD nên S = P3 P3 P1 P3 (4) ⇔ S3P1 + S = P32 ⇔ B A P1 + P3 S3P12 S3 P32 P32 P2 + P3 = P3 + (đúng) P1 P1 16 C 1 1 Vậy (4) ⇒ r + r = r + r ⇒ đpcm Bài 5: Tìm cạnh tứ giác bất kì, phía ngồi nó, dựng hình vng Chứng minh tâm hình vng đỉnh tứ giác có đường chéo vng góc với Giải: Gọi M trung điểm AC O + Dễ thấy ΔO1AB , ΔO BC , ΔO3CD , B O ΔO DA tam giác vuông cân A Theo kết O1M = O2M, C M O1M ⊥ O2M O3M = O4M, O3M O ⊥ O4M Suy ΔO1 NO3 = ΔO MO 4 D O O1M = O M  O M = O M · · · O1MO3 =O MO =90 +O1MO · · ⇒ O1O3 = O2O4 MO1O3 =MO 2O Từ tam giác O1O2I O1O2M suy O1I ⊥ O2I tức O1O3 ⊥ O2O4 Bài tập đề nghị: Bài 1: Trên cạnh AB,BC,CD,DA hình vng ABCD lấy điểm P,Q,R,S cho tứ giác PQRS hình chữ nhật Chứng minh hình chữ nhật PQRS hình vng có cạnh song song với đường chéo hình vng cho Bài 2: Một hội nghị gồm 20 người ngồi xung quanh bàn Thật tình cờ người khơng biết khơng ngồi cạnh Hỏi có tất cặp khơng biết (dựa vào toán xác định số đường chéo đa giác) Bài 3: Cho đa giác n cạnh (n > 3) Có tam giác có cạnh ba đường chéo đa giác Bài 4: Cho hình thang ABCD (AB // CD) 17 a Đường thẳng m song song với đáy qua giao điểm O hai đường chéo cắt cạnh bên E F Chứng minh: OE = OF b Đường thẳng n song song với đáy cắt đường chéo H K, cắt hai cạnh bên M,N Chứng minh NH = KN Bài 5: Chứng minh có vơ số hình bình hành MNPQ nội tiếp hình bình hành ABCD cho trước (mỗi đỉnh hình bình hành MNPQ nằm cạnh hình bình hành ABCD) hình bình hành có chung tâm đối xứng Diện tích đa giác 4.1 Hàm diện tích: ∆ tập hợp tất đa giác đơn mặt phẳng ánh xạ S: ∆ → R+ (R+ tập hợp tất số thực dương) gọi hàm diện tích thoả mãn tính chất sau + Nếu đa giác H1 H2 S(H1) = S(H2) + Nếu đa giác H phân hoạch thành đa giác H1, H2,…,Hn n S(H) = ∑ S (H ) i =1 + Nếu V hình vng có cạnh S (V) = 4.2 Diện tích đa giác đơn Định lí: Nếu hàm diện tích tồn 4.3 Diện tích hình phẳng a Hình đơn giản: Một hình H gọi hình đơn giản hợp số hữu hạn miền tam giác, đơi khơng có điểm chung b Hình khả diện + ĐN: Một hình X gọi khả diện (có diện tích) với ε > cho trước ln ln có hình đơn giản G H cho G ⊆ X ⊆ H S(H) – S(G) < ε + Diện tích hình khả diện: Diện tích S(X) hình X giá trị S(X) = S (X) = S (X) c Các tính chất diện tích đa giác + Hai đa giác có diện tích 18 + Nếu hai đa giác chia thành đa giác khơng có điểm chung diện tích tổng diện tích đa giác + Hình vng có cạnh đơn vị dài diện tích đơn vị vng 4.4 Các cơng thức tính diện tích a Diện tích hình chữ nhật: S = ab b Diện tích hình vng: S = a2 c Diện tích tam giác: + Tam giác vuông: S = ab + Tam giác bất kì: S = a.h d Diện tích hình thang: S = (a+b)h e Diện tích hình bình hành: S = a.h f Diện tích hình thoi: S = a.h = m.n (m.n đường chéo) * Diện tích hình có cạnh trở lên dựa vào việc phân chia thành tam giác tứ giác đặc biệt để tính Bài tập mẫu: Bài 1: Cho hình vng ABCD, qua giao điểm O đường chéo ta kẻ đường thẳng vng góc MON POQ cắt cạnh AD,BC,CD,AB theo thứ tự M,N,P,Q Chứng minh đường thẳng chia hình vng thành tứ giác có diện tích Giải: + Vì AC,BD đường chéo hình vng ABCD µ µ µ µ nên A1 = B1 = C1 = D1 = 450 µ µ µ µ Mà AC ⊥ BD, MN ⊥ PQ nên O1 = O2 = O = O3 Q A M OA = OB = OC = OD o ⇒ ΔOAM=ΔOBQ=ΔONC=ΔODP ⇒ SOAM = SOBQ = SONC = SODP 19 1 + Chứng minh tương tự ta có: SOAQ = SONB = SOPC = D B P N C SOMD + Các tứ giác AMOQ, BNOQ,CNOP,DPOM tứ giác chia thành tam giác khơng có điểm chung nên diện tích tứ giác tổng diện tích tam giác Vậy SAMOQ = SBNOQ = SCNOP = SDPOM ⇒ đpcm Bài 2: Trong lục giác lồi A1A2A3A4A5A6 có cặp cạnh đối song song với Chứng minh rằng: SA A A = SA A A A A Giải: Ta có SA A A = SA A A = (S + S1) A S: Là diện tích lục giác cho S1: diện tích tam giác T có cạnh A A A hiệu cạnh đối lục giác song song với chúng Để chứng minh ta đưa lục giác cho thành hình hành tam giác T hình vẽ Bài 3: Cho tứ giác lồi ABCD Chứng minh tồn hình bình hành có diện tích diện tích tứ giác Giải: Gọi E,F,G,H theo thứ tự trung điểm cạnh DC, CB,BA,AD Gọi I điểm đối xứng với F qua E, K điểm đối xứng với G qua H HA = HD   HG = HKΔAHG=ΔDHK ⇒ Ta có ·  · AHG =DHK  ⇒ SAHG = SDHK (1) C F B G  EI = EF  EC = EDΔCEF = ΔDEI ⇒ + ·  CBF = ·IED  ⇒ SCEF = SDEI (2) E A H   ⇒ BG=DK (3) ΔAHG = ΔDHK ⇒ Mà BG = AG  I AG = DK K   ⇒ FB=DI (4) Mà FC = FB  ΔCEF = ΔDEI ⇒ FC = DI 20  BD    ⇒ HG //= EF ⇒ GK //= IF >> GFIK hình bình hành EF//= BD    HG //= + ⇒ GF = IK (5) Từ (3),(4),(5) ⇒ ΔBGF = ΔIDK ⇒ SBGF =SIDK (6) Từ (1), (2), (6) suy SABCD = SGFIK Vậy tồn hình bình hành có diện tích diện tích tứ giác cho Bài 4: Giả sử M điểm tam giác ABC Qua M kẻ đường thẳng DE,IJ,FG song song với BC,CA,AB (trong G, J ∈ BC, E, F ∈ CA; D, I ∈ AB) Chứng minh rằng: A Giải: + Ta thấy ΔMDI đồng dạng ΔJGM (g.g) ⇒ F DM IM S = = MDI GJ MJ S JGM I ⇒ SBGMD S BG DM IM = = BGM = = = SJGM SJGM GJ GJ MJ ⇒ SBGMD = SMDI SJGM E D + Tứ giác BGMD hình bình hành SMDI SJGM B G J C (7) + Chứng minh tương tự ta có: SCEMJ = SMEF SJGM (8) SAIMF = SMDI SMEF (9) Từ (7), (8), (9) áp dụng bất đẳng thức xy + yz + zx ≤ x2 + y2 + z2 ta có S BGMD + SCEMJ + S AIMF = 2( S MID S JMG + S MEF S JMG + S MDI S MEF ) ≤ ( S MDI + S MEF + S JGM ) ⇒ 3( S BGMD + SCEMJ + SAIMF ≤ 2( S MID + S MEF + S JMG + S BGMD + SCEMJ + S AIMF ) ⇒ 3( S BGMD + SCEMJ + SAIMF ) ≤ S ABC ⇒ S BGMD + SCEMJ + S AIMF ≤ S ABC Dấu “=” xảy M trọng tâm ∆ABC Bài 5: Có viên gạch kích thước 20x20(cm) xếp liền kẻ hình vẽ Tính diện tích phần bị gạch 21  AB = HG · · Giải: + Ta có ∆ABE = ∆GHE Vì BAE = HGE ả B = H = 90 A EB = EH ⇒ E trung điểm BH B I E H D C F G + Chứng minh tương tự ta có F trung điểm CG + Mặt khác EH // FG; EH // HG ⇒ EHGF hình bình hành ⇒ I trung điểm EG, HF + Do ΔIGH, ∆EHG có chung đường cao hạ từ H, có đáy IG = AB // QR ⇒ SIGH = EG SEHG HG = EH = 50(cm ) 2 Bài 6: Ba tam giác nội tiếp Cho ∆ ABC nội tiếp ∆ KMN ∆ KMN nôi tiếp ∆ PQR AB // QR, BC // PQ, CA // RQ Biết SABC = 3cm2; SPQR=12cm2 Tính SKMN = ? Giải: + Ta thấy ∆ ABC tương đương ∆ RQP ( Vì có cạnh tương ứng song song) ⇒ AB = RQ SABC = SRPQ Mặt khác AB // QR nên Δ KAB hình thang ABQR có chung chiều cao ⇒ SAKB AB 1 = = = SABQR AB+QR 1+2 + Tương tự ta có SNAC S = MBC = SACPR SBCPQ ⇒ SKMN = SABC + SKAB + SNAC + SNBC = SABC + (SABC + SABQR + SACPR + SBCPQ ) 3 2 = SABC + SPQR = + 12 = 6(cm ) 3 3 Vậy SKMN= 6cm2 * Tổng quát ta có S2MNK = SABC SPQR Bài tập đề nghị: 22 Bài 1: Tứ giác lồi ABCD có cạnh AB, CD chia thành 2n+1 đoạn Gọi MN đoạn nằm AB EK đoạn nằm CD (đoạn thứ n+1 tính từ A từ D) Chứng mính rằng: SMNKE = SABCD Bài 2: Cho tứ giác ABCD Trên tia đối tia BA, CB, CD, AD lấy tương ứng điểm M, N, P, Q cho MB = BA, NC = CB, PD = DC, QA = AD Chứng minh rằng: SMNPQ = 5SABCD Bài 3: Cho ngũ giác lồi ABCDE Gọi A 1, B1, C1, D1, E1 trung điểm cạnh AB, BC, CD, DE, EA Chứng minh SA B C D E > SABCDE 1 1 Bài 4: tam giác ABC có góc nhọn, vẽ đường cao BD, CE Gọi H, K hình chiếu B, C đường thẳng ED Chứng minh rằng: a EH = Dk b SBEC + SBDC = SBHKC Bài 5: Cho hình chữ nhật có kích thước a, b Các tia phân giác góc hình chữ nhật cắt tạo thành tứ giác Xác định dạng tứ giác tính diện tích Bài 6: Cho tứ giác lồi ABCD, E F theo thứ tự trung điểm AD CD Biết BE + BF = a Chứng minh SABCD a2 < Bài 7: Các cặp cạnh đối lục giác lồi ABCDEF song song với Chứng minh rằng: a SACE ≥ SABCDEF b SACE = SBDF Bài 8: Một mảnh vườn hình tam giác có giếng D cạnh BC Hãy chia mảnh vườn thành phần có diện tích đường thẳng qua D Bài 9: Cho tứ giác ABCD, I trung điểm AB Qua A kẻ đường thẳng song song với ID cắt CD E, qua B kẻ đường thẳng song song với IC cắt CD F Biết diện tích tứ giác ABCD 60cm2 Chứng minh: 23 a SIED = SIAD b Tính SIEF c Gọi M trung điểm EF Tính SAIMD µ Bài 10: Cho tam giác vng có A = 90°, BC = a, CA = b, AB = c Về phía ngồi tam giác vẽ hình vng BCPQ, ACGF, ABDE Chứn minh rằng: SDEFGPQ = 2b + 2c2 + bc Các khoảng cách đa giác Bài tập mẫu: Bài 1: Cho hình vng ABCD Gọi I điểm nằm A B Tia ID tia Cb cắt K kẻ đường thẳng qua D, vng góc với DI Đường thẳng cắt đường thẳng BD L Chứng minh rằng: a ∆ DIL tam giác cân b Tổng 1 + không đổi I thay đổi cạnh AB DI DK Giải: a)Xét tam giác vuông DAI DCL có DC = DA · · CDL = ·IDA ( cộng với góc IDC = 90° ) ⇒ ∆ vuông DAI = ∆ vuông DCL ⇒ DI = DL ⇒ ∆ DIL cân b) 1 1 + = + = = Const 2 2 DI DK DL DK DC Nhận xét: Với P ∈ AD, Q ∈ BC ma PQ // DL PQ ⊥ DI, PQ = DI Bài 2: Cho tam giác ABC có góc nhọn, e đường cao AA 1, BB1, CC1 Gọi H trực tâm HA HB HC 1 tam giác ABC Chứng minh rằng: AA + BB + CC = 1 1 Kết có thay đổi ∆ ABC có góc tù? Vì sao? Giải: 24 BC.AA1 S BHC = BC.HA1 +) Ta có S BHC BC.HA1 HA1 ⇒ = = S ABC BC.AA AA S ABC = +) Chứng minh tương tự ta có kết sau: SAHC HB1 SAHB HC1 = ; = SABC BB1 SABC CC1 HA HB HC 1 Vậy AA + BB + CC = 1 SBHC +SAHC +SHB SABC = =1 SABC SABC µ * Nếu tam giác ABC có góc tù, khơng tính tổng quát Ta giả sử A tù SABC = SBHC – SAHC - SAHD HA HB HC 1 Do đó: AA - BB - CC = 1 SBHC -SCHA -SAHB =1 SABC Chứng minh tương tự: HB HA HC HC HB HA 1 • Góc B tù thì: BB - AA - CC = 1 1 1 • Góc C tù thì: CC - BB - AA = 1 1 Bài 3: Chứng minh tổng khoảng cách từ điểm tuỳ ý tam giác đến cạnh khơng đổi Giải: * Từ M tam giác ABC, ta kẻ đường // với BC, Cắt AB, AC tương ứng P, Q * Vì tam giác ABC nên tam giác APQ * Từ M kẻ đường thẳng // với AC cắt AB R Suy tam giác MPR * Do MI, MJ, MK tương ứng khoảng cách từ M đến BC, CA, Ab MI + MJ + MK = MI + ST + SP ( S trực tâm tam giác APQ, T = PS I AC) 25 * Vậy MI + MJ + MK = MI + PT = AH = Const suy (đpcm) Bài tập đề nghị: Bài 1: Cho lục giác lồi có tất góc Chứng minh hiệu cạnh đối diện Bài 2: Cho hình chữ nhật ABCD, M điểm thuộc hình chữ nhật.Chứng minh rằng: MA + MB + MC + MD < AB + AC + Ad Bài 3: Cho tứ giác ABCD I, J trung điểm đường chéo AC, BD Chứng minh rằng: AC + BD + 2Ị < AB + BC + CD + AD µ · Bài 4: Cho tam giác vuông ABC, B=54° Trên AC lấy D cho DBC = 18° Chứng minh rằng: BD < AC Bài 5: Ngũ giác ABCDE có cạnh a nội tiếp (o) Các đường thẳng kẻ từ đỉnh ngũ giác vng góc với cạnh ngũ giác tạo thành ngũ giác có cạnh b ( hình vẽ ) Giả sử cạnh ngũ giác ngoại tiếp (o) C Chứng minh rằng: a2 + b2 = c2 Bài 6: Cho lục giác lồi A1A2…A6 Gọi B1,B2,…,B6 theo thứ tự trung điểm cạnh A1A2, …, A6A1 Chứng minh tam giác B1B3B5 tam giác B2B4B6 có trọng tâm Bài 7: Cho tam giác ABC Xác định vị trí M cạnh BC cho tổng khoảng cách từ B C đến AM lớn Một số toán khác Bài tập mẫu: Bài 1: Một tứ giác lồi có đường chéo chia tứ giác thành phần có diện tích Chứng minh tứ giác hình bình hành Giải: 26 +) Giả sử tứ giác ABCD có hai đường chéo AC BD cắt O Theo giả thiết: đường chéo AC chia tứ giác thành hai tam giác ABC ACD có diện tích SABC = 1 BH.AC = SADC = DK.AC 2 Suy BH = DK +) Xét ΔvOBH, ΔvODK: BH = DK · · HBO = ODK Suy tam giác vuông OBH = tam giác vuông ODK theo (g.c.g) Suy OD = OB +) Chứng minh tương tự ta có: OA = OC +) Tứ giác ABCD có đường chéo AC BD cắt trung điểm đường nên hình bình hành Bài 2: Cho lục giác lồi ABCDEF có cặp cạnh đối AB DE; BC EF; CD AE vừa song song vừa Lục giác ABCDEF có thiết lục giác hay F không? A B Giải: Lục giác ABCDEF không thiết phải lục giác Thật vậy: E +) Trên mặt phẳng lấy điểm O tuỳ ý, vẽ tia OA, OC, O D C OE cho độ dài đoạn OA, OC, OE đôi khác độ lớn góc AOC, COE, EOA đơi khác +) Vẽ hình bình hành OABC, OCDE, OAEF ta có lục giác lồi ABCDEF +) Rõ ràng AB//=ED; BC//=EF, CD//=FA ABCDEF khơng phải lục giác Bài 3: Tìm tất hình chữ nhật hình chữ nhật cắt thành 13 hình vng Giải: Giả sử cạnh hình chữ nhật chia thành m phần nhau, cạnh chia thành n phần ( m, n ∈ N) ta có m.n = 13 27 Vì 13 số nguyên tố nên số m, n cịn số 13 Vậy hình chữ nhật có cạnh 13 thoả mãn đk đề Bài tập đề nghị: Bài 1: Cho tam giác ABCD có đường phân giác BB’, CC’ Chứng minh tam giác ABC cân Bài 2: Cho hình thang ABCD có đáy CD = BC + AD Chứng minh phân giác góc A góc B cắt điểm thuộc đáy CD Bài 3: Chứng minh tứ giác lồi ABCD có AD = BC, góc A = góc B tứ giác hình thang cân Bài 4: Cho tứ giác ABCD; E, F trung điểm cạnh AB, CD G, H, I, K theo thứ tự trung điểm cạnh AF, ED, BF, EC Chứng minh GHIK hình bình hành Bài 5: Cho lục giác lồi tuỳ ý Nối trung điểm cạnh với trung điểm cạnh kề với cạnh đối diện Ta thu tam giác Chứng minh trọng tâm tam giác trùng Bài 6: Cho lục giác lồi có tất góc Chứng minh hiệu cạnh đối diện băng IV KẾT LUẬN CHUNG 1.Kết luận: Qua q trình nghiên cứu, tìm tịi để thực đề tài hoàn tất đề tài, em rút số kinh nghiệm cho thân sau: Việc hệ thống tốn tính tốn đa giác cơng việc cần thiết bổ ích Qua ta có kiến thức, kĩ toán liên quan đến đa giác Các toán liên quan đến đa giác cho cách nhì tổng quan Đồng thời ta thấy tốn cịn ứng dụng vào sống thực tế để giải số khó khăn mà ta thường gặp Tuy nhiên: “Các toán liên quan đến tính tốn đa giác” vơ phong phú sinh động thời gian có hạn kiến thức em hạn chế nên chủ yếu em tập trung vào tam giác, tứ giác, ngũ giác, lục giác cịn đa giác có số cạnh lớn đề cập Và em xét đa giác lồi, đa giác không lồi em không đề cập đến 28 Lời cảm ơn Đề tài em chủ yếu nghiên cứu tài liệu, tổng kết thu thập tài liệu có cách giải sáng tạo cá nhân hạn chế Với thời gian lực hạn chế em hy vọng đề tài giúp ích nho nhỏ cho người đọc Và em hy vọng qua đề tài người yêu Toán có thái độ đắn sau sắc Đề tài em thực giúp đỡ thầy cô bạn sinh viên Em xin chân thành cảm ơn! V TÀI LIỆU THAM KHẢO Hình học sơ cấp thực hành giải tốn – tác giả: Văn Như Cương Những toán chọn lọc cho học sinh lớp chuyên – tác giả: Đỗ Đức Thái Một số vấn đề phát triển hình học – tác giả: Vũ Bình 29 30 ... _ giác Vậy hình n_ giác có n(n − 1) n(n − 3) -n= đường chéo 2 III PHÂN LOẠI CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TÍNH TỐN TRONG ĐA GIÁC Tính số cạnh đa giác Tính số đo góc đa giác Bài toán liên quan đến. .. LOẠI CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN ĐẾN TÍNH TỐN TRONG ĐA GIÁC IV MỘT SỐ BÀI TOÁN Tính số cạnh đa giác .5 Tính số đo góc đa giác Bài Toán liên quan đến. .. đường chéo đa giác Diện tích đa giác Các khoảng cách đa giác Một số tốn IV MỘT SỐ BÀI TỐN Tính số cạnh đa giác Bài 1: Tổng số đo góc đa giác n _ cạnh trừ góc A 570 µ Tính số cạnh đa giác A Giải: