Chuyªn ®Ị 1: C¸c bµi to¸n vỊ biªn ®ỉi c¨n b¹c hai Đề 1: • Câu 1 : Chứng minh : số A = 26 4813532 + +−+ là một số nguyên. Hướng dẫn câu 1: A = ( ) ( ) 1 26 26 26 132532 2 2 = + + = + +−+ • Câu 2 :Cho a,b,c là các số thực không âm. Chứng minh : a+ b + c = .cbabcacab ==⇔++ • Hướng dẫn câu 2 ( ) ( ) ( ) cba cbcababcacabcba ==⇔ =−+−+−⇔++=++ 0 222 • Câu 3 : Cho x , y , z là các số thực dương thỏa mãn 0 =−+ zyx Chứng minh : 0 111 = −+ + −+ + −+ zyxyxzxzy • Hướng dẫn câu 3: 0 =−+ zyx suy ra xyzyxzyx 2 −=−+⇒=+ Tương tự : z + x - y = xz2 ; x + y - z = xy2 Do đó ta có : 0 22 1 2 1 2 1111 = −+ =−+= −+ + −+ + −+ xyz zyx xyxzyz zyxyxzxzy Câu 4: Tìm tất cả các giá trò x,y,z thỏa mãn điều kiện : zyxzyx +−=+− Hướng dẫn câu 4: zyxzyx +−=+− ⇔ zxyzyx +=++− điều kiện x,y,z ≥ 0 và x +z ≥y    = = ⇔=−−⇔=+−⇔=+−⇔ zy yx zyyxxyzyxyxyzyxy 0))(()(. Vậy x = y ≥0 hoặc y = z ≥0 • Câu 5 :Cho biết ( ) ( ) 333 22 =++++ yyxx (1) Hãy tính : E = x+ y. • Hướng dẫn câu 5: Nhân hai vế (1) cho 3 2 +− xx ta có : -3 ( ) 33 2 =++ yy ( 3 2 +− xx ) ⇔ ( ) ( ) )2(33 22 +−−=++ xxyy Nhân hai vế (1) cho 3 2 +− yy ta có -3 ( ) 33 2 =++ xx ( 3 2 +− yy ) ⇔ ( ) ( ) )3(33 22 +−−=++ yyxx Cộng 2 và 3 ta có : x+y = 0. Câu 6 : Cho x và y thỏa 111 22 =−+− xyyx (1) Chứng minh x + y = 1. Hướng dẫn câu 6: Cách 1: làm giống câu 5. Cách 2: 1 suy ra ( ) ( ) ( ) 01111111 2 2 2 2 2 222 =−−⇔−−=−⇔−−=− yxxyyxxyyx Suy ra 11 222 =+⇒−= yxxy Câu 7: Cho ba số thực x, y, z khác 0 và zyzxyx +++=+ (1) Chứng minh : 0 111 =++ zyx Hướng dẫn câu 7: Điều kiện x+y, y + z và x+z ≥0 Bình phương hai vế (1) ta có ⇔=++⇔=++⇔=++ 0))(())(( 2 xzyzxyzxyzxzxyzx 0 111 =++ zyx • Câu 8 : Cho a,b,c là các số hữu tỉ. Chứng minh : 222 )( 1 )( 1 )( 1 accbba − + − + − là một số hửu tỉ • Hướng dẫn câu 8 : Đặt x = a-b , y = b-c và z = c-a ta có x+ y + z = 0 Ta có 222222 2 111 .2 111111 zyx zyx zyx zyx zyx ++= ++ +++=         ++ • Câu 9: a) Tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức : A = xx + b) Tìm giá trò nhỏ nhất và giá trò lớn nhất của biểu thức :B = xx +− 3 • Hướng dẫn câu 9 : a) điều kiện để tồn tại x là x ≥ 0 do đó A = x + x ≥ 0 Nên MinA = 0 khi và chỉ khi x =0 chú ý : cách giải sai : A = 4 1 4 1 4 1 2 1 2 −=⇒−≥−       + MinAx ( Ở đây dấu bằng không thể xảy ra vì khi đó 2 1 −= x là điều vô lí. b) Điều kiện x ≤ 3 ; Đặt y = x − 3 suy ra y 2 = 3-x Do đó B = 3-y 2 + y = 4 13 2 1 4 13 2 ≤       −− y • Câu 10 :Tìm giá trò lớn nhất của biểu thức A = x 2 y với các điều kiện x,y là số dương và 2x + xy = 4. • Hướng dẫn câu 10 : Ta có A = xyx.2 2 1 . áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số dương 2x và xy ta có : A = xyx.2 2 1 ≤ 2 4 )2( 2 1 2 = + xyx Câu 11 : ĐỀ II Câu 1: (Đề thi tuyển sinh THPT Lương Văn Chánh 2005-2006) a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương k , ta có :         + −< + 1 11 2 )1( 1 kkkk b) Chứng minh rằng : 2 )1( 1 . 34 1 23 1 2 1 < + ++++ nn , với mọi số nguyên dương n . Câu 2: (Đề thi tuyển sinh THPT Lương Văn Chánh 2002-2003) Tính : T = 61230 1062315417 + ++− Câu 3: Rút gọn : B = 52253 20 +++ Câu 4: (65/400) Tìm các số x,y, z thỏa )( 2 1 21 zyxzyx ++=−+−+ Câu 5 : (67/400) Cho a,b,c là các số hữu tỉ thỏa mãn : ab +bc +ca = 1. chứng minh rằng số : A = )1)(1)(1( 222 cba +++ là một số hữu tỉ. Câu 6 (80/1001) Tìm x biết : x = .135135 ++++ trong đó các dấu chấm có nghóa là lặp đi lặp lại cách viết căn thức có chứa chữ số 5 và 13 một cách vô hạn lần. Câ 7: (82/1001) Rút gọn : A = 33 3312518233125182 −++ Câu 8: (84/1001) Cho số x = 33 549549 −++ a) Chứng tỏ rằng x là nghiệm của phnwơng trình : x 2 - 3x - 18 = 0 . b) Tính x . Câu 9: (87/1001)chứng minh đẳng thức và bất đẳng thức sau: a) 15252 33 =−++ b) 6 8 33 3223223 >       −++ ( Đề thi lớp 10 chất lượng cao THPT Duy Tân 2006-2007) Câu 10: ( Đề thi lớp 10 chất lượng cao THPT Duy Tân 2006-2007) a)Tìm giá trò lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức : A = 15 −+− xx b) Giải phương trình: 15 −+− xx = -x 2 + 2x +1 Câu 11: (81/1001)(Thi HSG toàn quốc 1999) Tính giá trò biểu thức : A = (3x 3 +8x 2 +2 ) 2006 với x = 56145 38517)25( 3 −+ −+ Câu 12 ( bài 11/tr120 cđbđtvà cực trò) Cho a,b,c ≥ 0 Chứng minh rằng: a 2 + b 2 + c 2 ≥ abccabbca ++ ĐỀ 3: • Câu 1 : Cho A = 20002001;19992000 −=− B ;So sánh A và B. Hướng dẫn : Ta có : 20002001 1 20002001 20002001 20002001 19992000 1 19992000 19992000 19992000 + = + − =−= + = + − =−= B A Do đó A > B • Câu 2:Rút gọn biểu thức : 3242)4321(23 3814 3 )3612( +++−−− − − . • Câu 3 ( Đề thi vào lớp 10 chuyên năm 2001-2002 Hà Tây) Tìm các giá trò của x,y,z thỏa mãn phương trình: .3000)( 2 1 200220012000 −++=−+−+− zyxzyx Hướng dẫn:Đk : x≥ 2000 ;y≥ 2001 ; z ≥ 2002 Phương trình đã cho tương đương 0)2002()12001()12000( 222 =−+−−+−− zyx Do đó ta có : x=2001; y = 2002 ; z= 2003 • Câu 4 : ( Đề thi vào lớp 10 chuyên vòng 1 năm 2002-2003 Hà Nội) Chứng minh đẳng thức : 1 2 3 11 2 3 1 2 3 11 2 3 1 = −− − + ++ + Hướng dẫn: Ta có VT = 1 33 32 33 32 4 )13( 1 2 32 4 )13( 1 2 32 22 = − − + + + = − − − + + + + • CÂU 5: ( Đề thi vào lớp 10 chuyên vòng 2 năm 2002-2003 Hà Nội) Chứng minh rằng số : x 0 3236322 +−−++= là một nghiệm của phưong trình: x 4 - 16x 2 + 32 = 0 Hướng dẫn: Ta có : 03216 166438)336(4)32(4 )3362322()8( 833623228 33623228 2 0 4 0 4 0 2 0 22 2 0 0 2 0 2 0 =+−⇔ +−=+−++⇔ −++=−⇔ ≤−++=−⇔ −−+−= xx xx x x x 2 x kiện Điều Vậy x 0 là nghiệm của phương trình x 4 - 16x 2 + 32 = 0 • Câu 6: ( Đề thi vào lớp 10 chuyên vòng 2 năm 2002-2003 Hà Tây) Tìm số n nguyên dương thỏa mãn: .6)223()223( =−++ nn Hướng dẫn: Đặt .)223()223( nn a −=>+= a 1 thì 0a với Phương trình đã cho tương đương a+ 6 1 = a ⇔ a 2 -6a + 1 =0 có nghiệm a 1 = 3-2 223;2 2 += a - Với a 1 = 3-2 ;2 suy ra 2)223()223( 223 1 223)223( 21 −=⇒+=+= + =−=+ −− n n (loại). - Với a 1 = 3+2 ;2 suy ra 2)223(223)223( 2 =⇒+=+=+ n n Vậy n = 2 • Câu 7: a) Với ba số a,b,c khác 0 và a+ b+c =0 thì cba cba 111111 222 ++=++ b) Rút gọn : 22222222 2007 1 2006 1 1 5 1 4 1 1 4 1 3 1 1 3 1 2 1 1 ++++++++++++= B • Câu 8 :Tìm giá trò lớn nhất của biểu thức : A = x x x x 2002 2 2001 − + + − Hướng dẫn: Đk x ≥ 2002 Đặt a = 2001 − x ; và b = 2002 − x Ta có a 2 = x -2001 ⇒ x +2= a 2 + 2003 và x-2002 = b 2 ; x = b 2 + 2002. A = b b a a b b a a 2002 1 2003 1 20022003 22 + + + = + + + p dụng bất đẳng thức côsi ta có : 20022003 2003 ≥+≥+ b 2002 và b a a Do đó A ≤ 2002 1 2003 1 + ; Đẳng thức xảy ra khi 4004 2002 2003 2003 2002 2 2 =⇔      = = ⇔        = = x b a a a b b • CÂU 9: ( Đề thi vào lớp 10 chuyên năm 2003-2004 Đại Học Vinh) a) Tính giá trò biểu thức : P = x 3 + y 3 - 3(x+y) + 2004. Trong đó 3333 221721217;223223 −++=−++= yx . b) Rút gọn : P = 20072003 1 . 1713 1 139 1 95 1 51 1 + ++ + + + + + + + Hướng dẫn : 343221721217 63;223223 3 33 3 33 =−⇒−++= =−⇒−++= yyy xxx Do đó : P = x 3 + y 3 - 3(x+y) + 2004= x 3 -3x + y 3 -3y +2004=6+34+2004=2044. • Câu 10: Tìm số nguyên n thỏa mãn đẳng thức : 888 3 2 3 2 =+−+++ nnnn Hướng dẫn: Gọi x = 888 3 2 3 2 =+−+++ nnnn Ta có x 3 -3x(-2) -2n =0 suy ra n = (8 3 -2.8.(-2)):2 =280 • Câu 11:Tìm tất cả các cặp số tự nhiên x, y sao cho : 1989 =+ yx Hướng dẫn : ta có 2213 =+ yx vì 2213 là số vô tỉ nên yx, là những căn thức đồng dạng chứa 221 Do đó đặt 221,221 byax == với a, b ∈ N ; Ta có : a+b=3. Vậy    = =    = =    = =    = = 0 3 ; 3 0 ; 1 2 ; 2 1 b a b a b a b a Các cặp số x, y cần tìm là : (221;884);(884;221);(0;1989);(1989;0) ĐỀ 4 • Câu 1 Với x, y là các số dương thỏa mãn : 2000)1)(1(. 22 =+++ yxyx Tính giá trò biểu thức : S = 22 11 xyyx +++ Hướng dẫn :với x,y > 0 ta có : [ ] 1)11( 1)1()1)(1(2)1( .1)1)(1(2 )1)(1()1)(1(2))1)(1(.(2000 222 222222 22222222 222222222 ++++= +++++++= +++++++= ++++++=+++= xyyx xyyxxyyx yxyxyxxyyx yxyxxyyxyxyx Do đó : 2000 = S 2 +1 suy ra S = 1999 • Câu 2: Trục căn thức ở mẫu : A = 224 2 33 ++ Hướng dẫn : A = 3 3 3 33 3 2 3 3 2 3 2 33 33 42 1)2( )12(4 12)2( 2 )212(2 2 224 2 −= − − = ++ = ++ = ++ • Câu 3: Tìm giá trò nhỏ nhất của A = 4444 −−+−+ xxxx Hướng dẫn : 8 x 4là A củanhất nhỏ trò giá ậy khi raxảy dấu ≤≤⇔ ≤≤⇔≥−−=≥ =−−++−≥−−++−= 4 840424 442244224 v xxA xxxxA • Câu 4:Rút gọn biểu thức : 13 2 : 22102 62230102 −− −−+ = A • Câu 5: Cho biểu thức 3 32 1 23 32 1115 + + − − − − −+ − = x x x x xx x A a) Tìm điều kiện của x để A có nghóa.; b) Rút gọn A.; c) So sánh A với 3 2 • Câu 6: Không dùng máy tính hãy so sánh: 3232 −++ và 12 + • Câu 7: Chứng minh đẳng thức : a b a ba b a b ab − − = − − Với a, b trái dấu. Hướng dẫn : Vì a,b trái dấu nên 0 >− b a ;Ta có : a b a ba a b b a b ba b a b ba b a b ab −− − = −−− − = −− − = − − ).()( 2 • Câu 8: ( Đề thi vào lớp 10 chuyên năm 2003-2004 Đà Nẵng) Thu gọn biểu thức : P = 432 48632 ++ ++++ . Hướng dẫn. P = 12 432 )432(2)432( += ++ +++++ Câu 9: Tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức : P = 22 )2007()2006( +++ xx Hướng dẫn: P = 22 )2007()2006( +++ xx = 12007200620020062002006 =++−−≥++−−=+++ xxxxxx Vậy P ≥ 1, Đẳng thức xảy ra khi :(-x - 2006)(x+2007) ≥0⇔ -2007≤ x ≤ -2006 Câu 10: Rút gọn biểu thức : P= bcaccbabcaccba +−+++++++ 22 Hướng dẫn: )()( )()(22 22 cbacba cbacbabcaccbabcaccba −++++ =−++++=+−+++++++ Nếu a+b≥ c thì P=2 ba + Nếu a+b< c thì P=2 c • Câu 11:Tính giá trò biểu thức : P = x 3 +3x +2 với 3 3 12 1 12 − −−= x . đẳng thức và bất đẳng thức sau: a) 15252 33 =−++ b) 6 8 33 3223223 >       −++ ( Đề thi lớp 10 chất lượng cao THPT Duy Tân 2006-2007) Câu 10: ( Đề. A Do đó A > B • Câu 2:Rút gọn biểu thức : 3242)4321(23 3814 3 )3612( +++−−− − − . • Câu 3 ( Đề thi vào lớp 10 chuyên năm 2001-2002 Hà Tây) Tìm các giá